1. Universidad del Valle - sede Buga
2do Taller de Algebra Lineal (Rectas y Planos)
Prof. Bladimir Lenis Gil
1. Una recta L de 2 contiene los dos puntos P = (5, 1) y Q = (1, −3). Determine cu´les de los
a
siguientes puntos est´n en L.
a
a) (0,0)
b) (0,1)
c) (1,2)
d) (2,1)
2. Una recta L de 3 contiene el punto P = (−3, 1, 1) y es paralela al vector i−2j+3k. Determinar
cu´les de los siguientes puntos est´n en L.
a a
a) (0,0,0,)
b) (2,-1,4)
c) (-2,-1,4)
d) (-4,3,-2)
e) (2,-9,16)
3. Una recta L contiene los dos puntos P = (−3, 1, 1) y Q = (1, 2, 7). Determinar cu´les de los
a
siguientes puntos est´n en L
a
a) (−7, 0, 5)
b) (−7, 0, −5)
c) (−11, 1, 11)
d) (−11, −1, 11)
e) (−1, 3 , 4)
2
f ) (− 5 , 4 , 3)
3 3
g) (−1, 3 , −4)
2
4. En cada caso, determinar si los tres puntos P, Q y R est´n en una recta.
a
a) P = (2, 1, 1), Q = (4, 1, −1), R = (3, −1, 1)
b) P = (2, 2, 3), Q = (−2, 3, 1), R = (−6, 4, 1)
c) P = (2, 1, 1, ), Q = (−2, 3, 1), R = (5, −1, 1)
5. Una recta pasa por el punto P = (1, 1, 1, ) y es paralela al vector A = i + 2j + 3k. Otra recta
que pasa por Q = (2, 1, 0) y es paralela al vector B = 3i + 8j + 13k. De mostrar que las dos
rectas se cortan y determinar su punto de intersecci´n.
o
3
6. Determinar si se cortan o no las dos rectas siguientes de
L1 = {(1, 1, −1) + t(−2, 1, 3)}
L2 = {(3, −4, 1) + t(−1, 5, 2)}
1

2. 7. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por los puntos (2, 1, −3)
e e
y es paralela al vector 2i − j + 4k.
8. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´trica de la recta que pasa por los puntos (2, 1, 3) y
e e
(4, 0, 4).
9. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (1, 4, 1) y es
e e
paralela a la recta x = 2 − 3t, y = 4, z = 6 + t.
10. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (2, 0, −1) y
e e
es paralela a la recta x = −3t, y = 2 − 4t, z = −6.
11. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (3, 1, −1) y
e e
es paralela a la recta
x−2 y+1 z
= =
3 −4 2
12. Hallar las ecuaciones param´tricas y sem´tricas de la recta que pasa por el punto (−1, 0, 0) y
e e
es paralela a la recta
x+1 y
= =z−2
−2 3
13. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (2, 0, 1) y es
e e
perpendicular a los vectores i + 2k y 2j + k.
14. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (−3, 1, 0) y
e e
es perpendicular a los vectores −3j + k y 4i + 2j − k.
15. Establezca si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares o halle el ´ngulo entre ellas.
a

 x = 1 − 3t

y = 2 + 4t

z = −6 + t


 x = 1 + 2s

y = 2 − 2s

z = −6 + s

16. Establezca si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares o halle el ´ngulo entre ellas.
a

 x = 1 + 2t

y=3

z = −1 + t


x = 2 − s

y = 10 + 5s

z = 3 + 2s

2

3. 17. Establezca si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares o halle el ´ngulo entre ellas
a

 x = −1 + 2t

y = 3 + 4t

z = −6t


x = 3 − s

y = 1 − 2s

z = 3s

18. Determine si las rectas dadas son paralelas, cruzadas, o se intersectan.

x = 4 + t

y=2

z = 3 + 2t


 x = 2 + 2s

y = 2s

z = −1 + 4s

19. Determinar si las rectas dadas son paralelas, cruzadas, o se intersectan

 x = 1 + 2t

y=3

z = −1 − 4t


x = 2 − s

y=2

z = 3 + 2s

20. Sea M = P + sA + tB, donde P = (1, 2, −3), A = (3, 2, 1, ) y B = (1, 0, 4). Determinar cu´les
a
de los siguientes puntos est´n en M :
a
(a) (1, 2, 0), (b) (1, 2, 1), (c) (6, 4, 6) y (d) (6, 6, 6).
21. Los tres puntos P = (1, 1, −1, ) Q = (3, 3, 2) y R = (3, −1, −2) determinan un plano M . Decir
cu´les de los puntos siguientes est´n en M : (a) (2, 2, 1/2), (b) (4, 0, −1/2), (c) (−3, 1, −3), (d)
a a
(3, 1, 3), (e) (0, 0, 0).
22. Determinar las ecuaciones escalares param´tricas para cada uno de los planos siguientes.
e
a) El plano que pasa por (1, 2, 1) y est´ generado por los vectores i. i + j + 4k.
a
b) El plano que pasa por (1, 2, 1), (0, 1, 0) y (1, 1, 4)
23. Un plano M tiene las ecuaciones escalares param´tricas.
e
x = 1 + s − 2t, y = 2 + s + 4t, z = 2s + t
Determinar cu´les de los siguientes puntos est´n en M . (a) (0, 0, 0), (b) (1, 2, 0), (c) (2, −3, −3).
a a
3

4. 24. Hallar una ecuaci´n cartesiana del plano que contiene el punto (1, 3, 2) con vector normal
o
2i − j + 5k.
25. Hallar una ecuaci´n cartesiana del plano que contiene el punto (2, 1, −1) y es paralelo al plano
o
3x − y + 2z = 1.
26. Hallar una ecuaci´n cartesiana del plano que contiene el punto (3, 1, 0) y es paralelo al plano
o
−3x − 3y + 2z = 4.
27. Hallar una ecuaci´n cartesiana del plano que contiene el punto (1, 2, 1) y es perpendicular a
o
los planos x + y = 2, 2x + y − z = 1
28. Hallar una eciuaci´n cartesiana del plana que contiene el punto (1, 2, 1) y es perpendicular a
o
los planosx + x2y − z = 2, 2x − z = 1.
29. Hallar las ecuaciones param´tricas y sim´tricas de la recta que pasa por el punto (1, 2, −1) y
e e
es normal al plano 2x − y + 3z = 12.
30. Determinar el ´ngulo formado por los planos x + y = 1, y + z = 2
a
31. Hallar el vector de longitud 1 perpendicular a i + 2j − 3ky paralelo al plano x − y + 5z = 1
32. Hallar la ecuacion cartesiana del plano paralelo a los vectores i + j y j + k y que corta al eje
x en (2, 0, 0).
33. Demostrar que la distancia desde el punto (x0 , y0 , z0 ) al plano ax + by + cz + d = 0, es
| ax0 + by0 + cz0 + d |
√
a2 + b2 + c2
Referencias
[1] Tom M. Apostol. Calculus. Volumen I. Editorial Revert´, 1972.
e
[2] Robert T. Smith y Roland B. Minton. C´lculo. Volumen I. Editorial McGraw-Hill Interame-
a
ricana S.A. 2001.
4