Fracciones parciales

1. Ecuaciones Diferenciales,
Fracciones Parciales y F´rmulas de Heaviside
o
Dr. Juli´n Gpe. Tapia Aguilar
a
E S F M – Instituto Polit´cnico Nacional
e
julianpe@yahoo.com.mx
Agosto de 2008
´
Indice
1. Introducci´n
o 1
2. Ra´
ıces Reales Distintas 2
3. Ra´
ıces Reales Repetidas 5
4. Factores Cuadr´ticos Irreducibles Distintos
a 8
1. Introducci´n
o
Una fracci´n propia es por definici´n aquella en donde,
o o
P (x)
, (1)
Q(x)
el grado del polinomio en el denominador Q(x) es mayor que el grado del polinomio en el numerador
P (x).
A veces se hace necesario escribir el cociente como una suma de fracciones en donde el de-
nominador es lineal o cuadr´tico (en el caso de que no existan ra´
a ıces reales). Por ejemplo, como
motivaci´n de esta idea, considere la integral,
o
3x2 − 6x + 7
dx.
x3 − 6x2 + 11x − 6
A primera vista, parece una tarea bastante complicada; sin embargo, al tomar en cuenta la factoriza-
ci´n del denominador,
o
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3),
1

2. le permite al m´todo que estamos a punto de estudiar, escribir la fracci´n como una “suma de
e o
fracciones parciales”,
3x2 − 6x + 7
=
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
=
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A B C
= + + .
x−1 x−2 x−3
donde hay que determinar las constantes num´ricas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes,
e
de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la b´squeda de
u
la integral como se indica a continuaci´n.
o
3x2 − 6x + 7
dx =
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
= dx
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A B C
= dx + dx + dx.
x−1 x−2 x−3
= A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x − 3).
2. Ra´
ıces Reales Distintas
En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracci´n se puede reescribir de la siguiente manera.
o
P (x)
. (2)
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )
donde ai , i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las ra´
ıces de Q(x).
Para este caso, la descomposici´n en fracciones parciales que se propone es,
o
P (x)
= (3)
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )
A1 A2 A3 Ak
= + + + ··· + .
x − a1 x − a2 x − a3 x − ak
En este caso,
P (ai ) P (ai )
Ai = , equivalentemente, Ai = (4)
Q (ai ) Qi (ai )
donde como siempre, Q (x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio
Q(x), y el polinomio Qi (x) queda definido por,
Q(x)
Qi (x) = ,
(x − ai )
esto es, Qi (x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor (x − ai ).
2

3. Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a,
s−1
.
s2 +s−6
Soluci´n: En este caso la factorizaci´n es la siguiente,
o o
s−1 s−1 A1 A2
= = + , (5)
s2 +s−6 (s + 3)(s − 2) s+3 s−2
Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “n´meros amigos”; aquellos n´meros que anulan al
u u
polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuaci´n 3 se satisface, entonces,
o
s − 1 = A1 (s − 2) + As (s + 3).
Los n´meros amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera:
u
s = 2: Implica que,
1
2 − 1 = A1 (2 − 2) + A2 (2 + 3) = 5A2 , ∴ A2 = .
5
s = −3: Implica que,
4
−3 − 1 = A1 (−3 − 2) + A2 (−3 + 3) = −5A1 , ∴ A1 = .
5
Las f´rmulas de Heaviside en este caso, donde
o
P (s) = s − 1, Q(s) = s2 + s − 6, ∴ Q (s) = 2s + 1,
proponen para los coeficientes,
s−1 −3 − 1 4
A1 = = = ,
2s + 1 s=−3 2(−3) + 1 5
s−1 2−1 1
A2 = = = .
2s + 1 s=2 2(2) + 1 5
Las f´rmulas equivalentes requieren los polinomios,
o
s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2)
Q1 (s) = = = s − 2,
s+3 s+3
s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2)
Q2 (s) = = = s + 3.
s−2 s−2
Los coeficientes son,
s−1 −3 − 1 4
A1 = = = ,
Q1 (s) s=−3 −3 − 2 5
s−1 2−1 1
A2 = = = .
Q2 (s) s=2 2+3 5
Los mismos resultados.
3

4. Ejemplo 2 Regresando al problema dado como motivaci´n al inicio de este documento, vamos a
o
encontrar la descomposici´n en fracciones parciales del integrando:
o
3x2 − 6x + 7 3x2 − 6x + 7
=
x3 − 6x2 + 11x − 6 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
A B C
= + + .
x−1 x−2 x−3
Soluci´n: En este caso,
o
P (x) = 3x2 − 6x + 7,
y,
Q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Entonces,
P (x) 3x2 − 6x + 7
Ai = = .
Q (x) x=ai 3x2 − 12x + 11 x=ai
3x2 − 6x + 7
A1 =
3x2 − 12x + 11 x=1
3−6+7 4
= = = 2,
3 − 12 + 11 2
3x 2 − 6x + 7
A2 =
3x2 − 12x + 11 x=2
12 − 12 + 7 7
= = = −7,
12 − 24 + 11 −1
3x2 − 6x + 7
A3 =
3x2 − 12x + 11 x=3
27 − 18 + 7 16
= = = 8.
27 − 36 + 11 2
Si queremos usar los polinomios Qi (x), i = 1, 2, 3, tenemos que eliminar el factor lineal que corre-
sponde a ai ; esto es,
Q1 (x) = (x − 2)(x − 3),
Q2 (x) = (x − 1)(x − 3),
Q3 (x) = (x − 1)(x − 2),
entonces,
P (1) 3−6+7 4
A1 = = = 2,
Q1 (1) (1 − 2)(1 − 3) 2
P (2) 12 − 12 + 7 7
A2 = = = −7,
Q2 (2) (2 − 1)(2 − 3) −1
P (3) 27 − 18 + 7 16
A3 = = = 8.
Q3 (3) (3 − 1)(3 − 2) 2
Los mismos resultados!
4

5. 3. Ra´
ıces Reales Repetidas
P (x) P (x)
= . (6)
Q(x) (x − a)r
En este caso el polinomio Q(x) tiene un factor de multiplicidad r. La descomposici´n en fracciones
o
parciales que se propone es,
P (x)
= (7)
(x − a)r
A1 A2 A3 Ar
= + 2
+ 3
+ ··· + .
x − a (x − a) (x − a) (x − a)r
En este caso,
Ar = ϕ(a),
ϕ (a)
Ar−1 = ,
1!
ϕ (a)
Ar−2 = ,
2!
.
.
. (8)
ϕ(r−2) (a)
A2 = ,
(r − 2)!
ϕ(r−1) (a)
A1 = ,
(r − 1)!
donde la funci´n ϕ(x) est´ definida por,
o a
P (x)
ϕ(x) = (x − a)r · ≡ P (x). (9)
Q(x)
Ejemplo 3 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´n.
o
3x2 − 5
. (10)
x3 − 9x2 + 27x − 27
Soluci´n: En este caso,
o
P (x) = 3x2 − 5, Q(x) = x3 − 9x2 + 27x − 27 = (x − 3)3 .
En este caso la descomposici´n en fracciones parciales que corresponde es,
o
3x2 − 5 A1 A2 A3
3
= + 2
+ .
(x − 3) x − 3 (x − 3) (x − 3)3
5

6. La funci´n ϕ(x) es,
o
3x2 − 5
ϕ(x) = (x − 3)3 · = 3x2 − 5. (11)
(x − 3)3
Se sigue que
ϕ(x) = 3x2 − 5, ϕ (x) = 6x, ϕ (x) = 6.
Entonces, con r = 3,
A3 = ϕ(3) = 3(3)2 − 5 = 22,
A2 = ϕ (3) = 6(3) = 18,
ϕ (3) 6
A1 = = = 3.
2! 2
Entonces,
3x2 − 5 3 18 22
= + + .
(x − 3)3 x − 3 (x − 3)2 (x − 3)3
Si el problema es integrar; entonces tenemos que
3x2 − 5
dx =
(x − 3)3
3 18 22
= dx + dx + dx
x−3 (x − 3)2 (x − 3)3
18 11
= 3 ln(x − 3) − − + C.
x − 3 (x − 3)2
Ejemplo 4 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´n.
o
3x2 − 7x + 5
. (12)
(x + 2)4
Soluci´n: En esta caso la descomposici´n es,
o o
3x2 − 7x + 5 A1 A2 A3 A4
4
= + 2
+ 3
+ .
(x + 2) x + 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)4
La funci´n ϕ(x) es,
o
ϕ(x) = 3x2 − 7x + 5,
sus derivadas,
ϕ (x) = 6x − 7, ϕ (x) = 6, ϕ (x) = 0.
Entonces,
A4 = ϕ(−2) = 3(−2)2 − 7(−2) + 5
= 12 + 14 + 5 = 31,
A3 = ϕ (−2) = 6(−2) − 7 = −19,
ϕ (−2) 6
A2 = = = 3,
2! 2
ϕ (−2) 0
A1 = = = 0.
3! 6
6

7. La representaci´n en fracciones parciales es,
o
3x2 − 7x + 5 3 19 31
4
= 2
− 3
+ .
(x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2)4
Nota 3.1 Si el factor lineal es de la forma ax + b con a = 1, entonces primero factorizamos a a y
despu´s aplicamos la t´cnica anterior como en el ejemplo siguiente.
e e
Ejemplo 5 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´n.
o
−3x3 + 2x2 − 7
. (13)
(2x − 5)5
Soluci´n: Antes de iniciar a resolver, primero llevemos la expresi´n anterior, Ecuaci´n 13 a una
o o o
fracci´n donde el coeficiente del t´rmino lineal es unitario. Esto es,
o e
−3x3 + 2x2 − 7
= (14)
(2x − 5)5
−3x3 + 2x2 − 7 1 3x3 − 2x2 + 7
= 5 =− · ,
25 (x − 5/2)5
2(x − 5/2)
(tambi´n es conveniente factorizar signos negativos) y aplicamos la t´cnica a la fracci´n sin el factor
e e o
2−5 ; esto es, descomponemos en fracciones parciales a,
3x3 − 2x2 + 7
= (15)
(x − 5/2)5
A1 A2 A3
= + 2
+
(x − 5/2) (x − 5/2) (x − 5/2)3
A4 A5
+ 4
+ .
(x − 5/2) (x − 5/2)5
Por supuesto, en este caso ϕ(x),
ϕ(x) = 3x3 − 2x2 + 7,
y sus derivadas,
ϕ(1) (x) = 9x2 − 4x, ϕ(2) (x) = 18x − 4, ϕ(3) (x) = 18, ϕ(4) (x) = 0.
Entonces,
A5 = ϕ(5/2),
ϕ(1) (5/2)
A4 = ,
1!
ϕ(2) (5/2)
A3 = ,
2!
ϕ(3) (5/2)
A2 = ,
3!
ϕ(4) (5/2)
A1 = .
4!
7

8. Una vez evaluadas las constates Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, substituimos en la Ecuaci´n 15 y despu´s en la
o e
Ecuaci´n 14 para obtener la descomposici´n de la fracci´n original Ecuaci´n 13.
o o o o
Problema 1 Termine los detalles que se mencionan en el ejemplo anterior, Ejemplo 5, para es-
cribir completamente la descomposici´n en fracciones parciales.
o
4. Factores Cuadr´ticos Irreducibles Distintos
a
Por un factor cuadr´tico irreducible entenderemos un polinomio cuadr´tico que no tiene ra´
a a ıces
reales. Por ejemplo,
x2 + 4x + 5, x2 + 7.
En el primer caso, si buscamos las raices tedremos
√ √
−4 ± 42 − 4(1)(5) −4 ± 16 − 20 −4 ± −4
x= = = = −2 ± i.
2(1) 2 2
Esto permitir´ la siguiente factorizaci´n,
ıa o
x2 + 4x + 5 = (x + 2 − i)(x + 2 + i).
Es equivalente a la siguiente completaci´n de cuadrados,
o
x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1.
Hecho 4.1 (Caso ax2 + bx + c Irreducible.) Por cada factor cuadr´tico irreducible que aparez-
a
ca en el denominador se propone la fracci´n,
o
Ax + B
,
ax2 + bx + c
donde hay que determinar las constantes A y B.
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales la siguiente funci´n racional,
o
3x2 − 5x + 1
f (x) = . (16)
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
Soluci´n: Los factores del denominador son (x − 2), por lo que habr´ una fracci´n A/(x − 2), y el
o a o
factor cuadr´tico irreducible x2 + 4x + 5, por lo que habr´ la fracci´n mencionada en el Hecho 4.1.
a a o
Esto es,
3x2 − 5x + 1 A Bx + C
= + . (17)
(x − 2)(x2 + 4x + 5) x − 2 x2 + 4x + 5
Si la igualdad en la Ecuaci´n 17 se satisface, significa que,
o
3x2 − 5x + 1 A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2)
= . (18)
(x − 2)(x2 + 4x + 5) (x − 2)(x2 + 4x + 5)
8

9. lo cual se cumple si y s´lo si los numeradores coinciden; esto es,
o
3x2 − 5x + 1 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2). (19)
Note que a´n tenemos un “n´mero amigo”, en este caso x = 2, que nos dar´ informaci´n de la
u u a o
constante A. Esto es,
3
x = 2 ⇒ 3(2)2 − 5(2) + 1 = A(22 + 4(2) + 5) + (B(2) + C)(2 − 2) = A(17) ∴ A = .
17
Sin embargo uno procede en general de la siguiente manera, De la Ecuaci´n 19, ´lgebra nos da,
o a
3x2 −5x+1 = Ax2 +4Ax+5A+Bx2 −2Bx+Cx−2C = (A+B)x2 +(4A−2B+C)x+(5A−2C), (20)
que se satisface si y s´lo si,
o
A + B = 3, 4A − 2B + C = −5 y 5A − 2C = 1.
Note que las constantes A, B y C satisfacen un sistema de tres ecuaciones y esto debe ser suficiente
para determinarlas. Sin embargo, en este ejemplo, aprovecharemos la informaci´n obtenida por
o
nuestro unico n´mero amigo que nos dio A = 3/17.
´ u
De la primera y tercera ecuaci´n,
o
3 48
B = 3−A=3− =
17 17
5A − 1 1
C = =− .
2 17
S´lo a manera de verificaci´n, observe que se satisface la segunda ecuaci´n,
o o o
3 48 1 12 − 96 − 1 85
4A − 2B + C = 4( ) − 2( ) − = = − = −5,
17 17 17 17 17
como debe de ser.
Si nuestro objetivo es integrar esta expresi´n, entonces tenemos,
o
3x2 − 5x + 1
dx =
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
A Bx + C
= dx + 2 + 4x + 5
dx
x−2 x
3 48 1
17 17 x − 17
= dx + dx
x−2 (x + 2)2 + 1
3 dx 1 48x − 1
= + dx.
17 x − 2 17 (x + 2)2 + 1
9

10. La primera integral es inmediata; es ln(x − 2). La segunda se resuelve con el cambio de variable
x + 2 = t que implica dx = dt, para tener,
48x − 1
dx =
(x + 2)2 + 1
48(t − 2) − 1 48t − 97
= dt = dt
t2 + 1 t2 + 1
2tdt dt
= 24 2+1
− 97 2+1
= 24 ln(t2 + 1) − 97 tan−1 (t)
t t
= 24 ln((x + 2)2 + 1) − 97 tan−1 (x + 2)
= 24 ln(x2 + 4x + 5) − 97 tan−1 (x + 2).
Ahora s´lo “arme” la integral con las partes ya calculadas. Suerte! par
o
Es,
3x2 − 5x + 1 3 24 97
2 + 4x + 5)
dx = ln(x − 2) + ln(x2 + 4x + 5) − tan−1 (x + 2).
(x − 2)(x 17 17 17
Ejemplo 7 Utilizando fracciones parciales encuentre la siguiente integral
3z 2 + 2
dz. (21)
(z − 3)(z 2 + 9)
Soluci´n: Un factor lineal y un factor cuadr´tico irreducible sugieren la siguiente proposici´n del
o a o
integrando.
3z 2 + 2 A Bz + C
2 + 9)
= + 2 . (22)
(z − 3)(z z−3 z +9
La ecuaci´n anterior se satisface si y s´lo si,
o o
3z 2 + 2 A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3)
= . (23)
(z − 3)(z 2 + 9) (z − 3)(z 2 + 9)
Si y s´lo si,
o
3z 2 + 2 = A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3)
= Az 2 + 9A + Bz 2 − 3Bz + Cz − 3C
= (A + B)z 2 + (−3B + C)z + (9A − 3C).
Se sigue que,
A + B = 3, −3B + C = 0 y 9A − 3C = 2.
Resolviendo tenemos que,
29 25 25
A= , B= , C= .
18 18 6
10

11. Entonces,
29 25
3z 2 + 2 z + 25 1 29 25z + 75
2 + 9)
= 18 + 18 2 6
= + 2 . (24)
(z − 3)(z z−3 z +9 18 z − 3 z +9
La integral,
3z 2 + 2 1 dz zdz dz
dz = 29 + 25 + 75 . (25)
(z − 3)(z 2 + 9) 18 z−3 z2 + 9 z2 + 9
Esto es,
3z 2 + 2 29 25 75 z
2 + 9)
dz = ln(z − 3) + ln(z 2 + 9) + tan−1 ( ). (26)
(z − 3)(z 18 36 54 3
Hemos usado las siguientes integrales como directas...
xdx 1
dx = ln(x2 + a2 ) + C.
x2 + a2 2
y
dx 1 x
dx = tan−1 ( ) + C.
x2 + a2 a a
11