Aplicaciones e.diferenciales

CAP´
ITULO 3
APLICACIONES DE LAS E.D. DE

as
atic
PRIMER ORDEN

atem
eM
o. d
3.1. ´
APLICACIONES GEOMETRICAS
ept
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales
,D
y
g(x)
uia
tioq

f (x)
An
de

γ
ad
rsid

β α
x
ive
Un

Figura 3.1

En la ﬁgura 3.1 se tiene que α = β + γ, luego γ = α − β, donde γ es el
angulo formado por las tangentes en el punto de intersecci´n.
´ o
45

CAP´
ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.

Definiciń 3.1 (trayectorias isogonales) .
o
a). Dada una familia de curvas f (x, y, c) = 0, existe otra familia
g(x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo angulo γ. A
´
la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y
g(x, y, c) = 0 es soluciń de la E.D.:
o
tan α − tan β f (x) − g (x) f (x) − y
tan γ = tan(α − β) = = =
1 + tan α tan β 1 + f (x)g (x) 1 + f (x)y

b). En particular, cuando γ = 900 , a g se le llama la familia de trayectorias

as
ortogonales de f y en este caso g es soluciń de la E.D.:
o

atic
tan α tan β = f (x)g (x) = −1 = f (x)y

atem
Ejemplo 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia

eM
y(x + c) = 1.
Soluciń:
o
f (x) − y

o. d
tan 450 = =1
1 + f (x)y
por derivaciń impl´
o ıcita: ept
,D
d d
(y(x + c)) = (1)
uia

dx dx
tioq

dy
y + (x + c) =0
dx
An

dy y
⇒ =−
de

dx x+c
En la E.D.:
ad
rsid

−y
y
− x+c − y 1 −y −y 2 − y
y
1= y = =
1 + − x+c y 1 − y2y
ive

1+ −y
1 y
y
Un

1 − y 2 y = −y 2 − y ⇒ y (y 2 − 1) = 1 + y 2

y2 + 1 y2 − 1
y = ⇒ 2 dy = dx
y2 − 1 y +1

46

´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

2
1− dy = dx
1 + y2

y − 2 tan−1 y = x + K

g(x, y, K) = 0 = y − 2 tan−1 y − x − K
Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y = ceax ,

as
donde c y a son constantes.

atic
2
(Rta.: y + a ln |ay − 1| = x + c)

atem
Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 = cx3 .
(Rta.: 2x2 + 3y 2 = C2 )

eM
Ejercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hiprbolas

o. d
equil´teras xy = c.
a
(Rta.: x2 − y 2 = C)
ept1
Ejercicio 4. Determinar la curva que pasa por ( 2 , 3 ) y corta a cada
,D
2
miembro√ la familia x2 + y 2 = c2 formando un angulo de 60o .
de √ ´
3 tan−1 x = ± 1 ln |x2 + y 2 | + 3 tan−1 3 − 1 ln 5 )
1
uia

(Rta.: y 2 2 2
tioq

Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
curvas y = C1 x2 .
An

2
(Rta.: x + y 2 = C)
2
de

Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
ad

curvas y = C1 e−x .
2
(Rta.: y2 = x + C)
rsid
ive

Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias
ortogonales de la familia de curvas x + y = C1 ey que pasa por (0, 5).
Un

(Rta.: y = 2 − x + 3e−x )

3.1.2. Problemas de Persecuci´n:
o
Ejemplo 2. Un esquiador acu´tico P localizado en el punto (a, 0) es
a

47

CAP´

remolcado por un bote de motor Q localizado en el or´ ıgen y viaja hacia
arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige
en todo momento hacia el bote.

y

Q

as
atic
θ

atem
P (x, y)
x
x

eM
(a, 0)

o. d
Figura 3.2
ept
Soluciń: del concepto geom´trico de derivada se tiene que:
o e
,D

√
uia

y = tan θ = − sec2 θ − 1,
tioq

pero de la figura 3.2 se tiene que
a
An

sec θ = −
x
de

por lo tanto,
ad

√
√ a2 a2 − x 2
rsid

y = − sec2 −1 = − −1=− , donde x > 0,
x2 x
ive

separando variables: √
a2 − x 2
Un

dy = − dx,
x
por medio de la sustituciń trigonom´trica x = sen α en el lado derecho de
o e
la E.D., se llega a que:
√
a + a2 − x 2 √
y = a ln − a2 − x2 + C;
x

48

´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

como el esquiador arranca desde el punto (a, 0), entonces las condiciones
iniciales son x = a, y = 0; sustituyendo en la soluciń general, se obtiene
o
que C = 0.
Luego la soluciń particular es:
o
√
a+ a2 − x 2 √
y = a ln − a2 − x 2
x

Ejercicio 1. Suponga que un halcń P situado en (a, 0) descubre una
o

as
paloma Q en el or´ ıgen, la cual vuela a lo largo del eje Y a una velocidad v;

atic
el halcń emprende vuelo inmediatamente hacia la paloma con velocidad w.
o
¿Cual es el camino seguido por el halcń en su vuelo persecutorio?
o

atem
v v
x 1+ w x 1− w
( ) ( )
(Rta.: y = a a v − a v + c , donde c = wavw 2 )
2 1+ 1− 2 −v
w w

eM
Ejercicio 2. Un destructor est en medio de una niebla muy densa que se
levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo en la superficie a

o. d
cuatro kil´metros de distancia. Suponga:
o
i) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda m´quina en
a
una direcciń desconocida.
o
ept
,D
ii) que el destructor viaja tres kil´metros en l´
o ınea recta hacia el submarino.
Qu trayectoria debera seguir el destructor para estar seguro que pasar´ direc-
a
uia

tamente sobre el submarino, si su velocidad v es tres veces la del submarino?
tioq

θ
(Rta.: r = e 8 )
√
An

Ejercicio 3. Suponga que el eje Y y la recta x = b forman las orillas de
un r´ cuya corriente tiene una velocidad v (en la direcciń negativa del eje
ıo o
de

Y ). Un hombre esta en el origen y su perro esta en el punto (b, 0). Cuando
ad

el hombre llama al perro, ´ste se lanza al r´ y nada hacia el hombre a una
e ıo
velocidad constante w (w > v). Cual es la trayectoria seguida por el perro?
rsid

v b v
(Rta.: y = x [( x ) w − ( x ) w ])
2 b
ive

Ejercicio 4. Demuestre que el perro del Ej. anterior nunca tocar´ la otra
a
Un

orilla si w < v.

Suponga ahora que el hombre camina r´ abajo a la velocidad v mientras
ıo
llama a su perro. Podr´ esta vez el perro tocar la otra orilla?
a
(Rta.: S, en el punto (0, − bv ))
w

49

CAP´

Ejercicio 5. Cuatro caracoles situados en las esquinas de un cuadrado
[0, a] × [0, a] comienzan a moverse con la misma velocidad, dirigińdose cada
e
uno hacia el caracol situado a su derecha. Qu´ distancia recorrerń los cara-
e a
coles al encontrarse?
(Rta.: a unidades)

3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica
Ejemplo 3. Hallar la ecuaciń de todas las curvas que tienen la propiedad
o

as
de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los

atic
ejes coordenados.

atem
Soluciń:
o

eM
2y
tan α = f (x) = − 2x

o. d
y dy
y = −x ⇒ y
= − dx
x

ln |y| = − ln |x| + ln |c|
ept
,D

c c
ln |y| = − ln ⇒y= ⇒ xy = c
uia

x x
tioq

Ejercicio 1. Empleando coordenadas rectangulares hallar la forma del
espejo curvado tal que la luz de una fuente situada en el origen se refleje en
An

´l como un haz de rayos paralelos al eje X.
e
(Rta.: y 2 = 2cx + c2 )
de
ad

Ejercicio 2. Una curva pasa por el origen en el plano XY , al primer
cuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del area
´ ´
rsid

del rectńgulo que tiene esos puntos como v´rtices opuestos. Encuentre la
a e
ive

ecuaciń de la curva.
o
(Rta.: y = cx2 )
Un

Ejercicio 3. Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto
P (x, y) tiene interceptos sobre los ejes X y Y cuya suma es 2(x + y)
(Rta.: xy = c)

Ejercicio 4. Hallar la ecuaciń de todas las curvas que tienen la propiedad
o

50

´
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION

de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del
segmento de normal entre el punto y el intercepto con el eje X.
(Rta.: y 2 = ±x2 + c)

Ejercicio 5. Hallar la ecuaciń de todas las curvas del plano XY que
o
tienen la propiedad de que el trińgulo formado por la tangente a la curva,
a
el eje X y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia siempre tiene
un area igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de
´
tangencia.

as
4y+x
(Rta.: ln |y| = √2 tan−1 ( √15x ))

atic
15

o

atem
tienen la propiedad de que la porciń de la tangente entre (x, y) y el eje X
o
queda partida por la mitad por el eje Y .

eM
(Rta.: y 2 = Cx)

o. d
o
tienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origen
ept
de coordenadas a la tangente es igual a la abscisa del punto de contacto.
(Rta.: x2 + y 2 = Cx)
,D
uia

o
tienen la propiedad de que la razń del segmento interceptado por la tan-
o
tioq

gente en el eje OY al radio vector, es una cantidad constante k.
1
(Rta.: y = 1 (Cx1−k − C x1+k ))
An

2
de

Ejercicio 9. Hallar la ecuaciń de todas las curvas del plano XY para
o
las cuales la longitud del segmento interceptado en el eje Y por la normal a
ad

cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen de
rsid

coordenadas.
(Rta.: y = 1 (Cx2 − C ))
2
1
ive
Un

3.2. ´
CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION
Existen en el mundo f´ısico, en biolog´ medicina, demograf´ econom´
ıa, ıa, ıa,
etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposiciń var´ en forma
o ıa
proporcional a la cantidad presente, es decir, dx = kx con x(t0 ) = x0 , o sea
dt

51

CAP´

que
dx
− kx = 0
dt
que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuya
soluciń es x = Cekt
o

Como x(t0 ) = x0 = Cekt0 ⇒ C = x0 e−kt0

as
Por lo tanto la soluciń particular es x = x0 e−kt0 ekt = x0 ek(t−t0 )
o

atic
En particular cuando t0 = 0, entonces x = x0 ekt

atem
eM
3.2.1. Desintegraciń radioactiva
o

o. d
Si Q es la cantidad de material radioactivo presente en el instante t, en-
tonces la E.D. es dQ = −kQ, donde k es la constante de desintegraciń.
o
dt
ept
,D
Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo nece-
sario para que una cantidad Q0 se trasforme en Q0 .
uia

2
tioq

t
Ejercicio 1. Si T es el tiempo de vida media, mostrar que Q = Q0 ( 1 ) T .
2
An

Ejercicio 2. Suponga que un elemento radioactivo A se descompone en
un segundo elemento radioactivo B y este a su vez se descompone en un
de

tercer elemento radioactivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es
ad

x0 y las cantidades de A y B son x e y respectivamente en el instante t y si
k1 y k2 son las constantes de rapidez de descomposiciń, hallar y en funciń
o o
rsid

de t.
(Rta.: Si k1 = k2 , entonces: y = kk1 x01 (e−k1 t − e−k2 t )
ive

2 −k
si k1 = k2 , entonces y = k1 x0 te−k1 t )
Un

1
Ejercicio 3. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000 de la
cantidad original de C14 . Determinar la edad del f´sil, sabiendo que el tiempo
o
de vida media del C14 es 5600 aõs.
n
(Rta.: t ≈ 55,800 aõs)
n

52

´
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION

3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , sumergido en un medio de
tamaõ infinito de temperatura Tm (Tm no var´ apreciablemente con el
n ıa
tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguien-
te E.D.: dθ = −kθ donde θ = T − Tm .
dt

Ejercicio 3. Un cuerpo se calienta a 1100 C y se expone al aire libre
a una temperatura de 100 C. Si al cabo de una hora su temperatura es de
600 C. Cunto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfre a 300 C?

as
(Rta.: t = ln 5 )

atic
ln 2

atem
3.2.3. Ley de absorciń de Lambert
o
Esta ley dice que la tasa de absorciń de luz con respecto a una profundi-
o

eM
dad x de un material translćido es proporcional a la intensidad de la luz a
u
una profundidad x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad

o. d
dI
x, entonces dx = −kI.
ept
Ejemplo 4. En agua limpia la intensidad I a 3 pies bajo la superficie
,D
es de un 25 % de la intensidad I0 en la superficie. ¿Cu´l es la intensidad del
a
rayo a 15 pies bajo la superficie?
uia
tioq

Soluciń:
o
An

x = 0 ⇒ I = I0
de

dI
= −kI ⇒ I = Ce−kx
ad

dx
Cuando x = 0, I = I0 = C
rsid

Luego
I = I0 e−kx
ive

Cuando
Un

x = 3 ⇒ I = 0,25 I0
luego,
0,25 I0 = I0 e−3k

1
⇒ e−k = (0,25) 3

53

CAP´

1 x
I = I0 (e−k )x = I0 ((0,25) 3 )x = I0 (0,25) 3
para
15
x = 15 ⇒ I = I0 (0,25) 3
por tanto
I = I0 (0,25)5
Ejercicio 4. Si I a una profundidad de 30 pies es 4 de la intensidad en
9

as
la superficie; encontrar la intensidad a 60 pies y a 120 pies.

atic
atem
3.2.4. Crecimiento de Cultivos de Bacterias o Cre-
cimientos poblacionales

eM
La razń de crecimiento depende de la poblaciń presente en periodo de
o o

o. d
procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que
representa dicha situaciń es:
o

dQ
ept
= kQ
,D
dt
uia

donde Q(t): poblaciń en el instante t.
o
tioq

Ejercicio 5. Si en un an´lisis de una botella de leche se encuentran 500
a
organismos (bacterias), un d´ despu´s de haber sido embotelladas y al se-
ıa e
An

gundo d´ se encuentran 8000 organismos. ¿Cual es el n´mero de organismos
ıa u
en el momento de embotellar la leche?
de
ad

Ejercicio 6. En un modelo de evoluciń de una comunidad se supone que
o
dP
la poblaciń P (t) se rige por la E.D dt = dB − dD , donde dB es la rapidez
rsid

o dt dt dt
con que nace la gente y dD es la rapidez con que la gente muere.
dt
ive

Hallar: a) P (t) si dB = k1 P y dD = k2 P
dt dt
Un

b) Analizar los casos en que k1 > k2 , k1 = k2 y k1 < k2

Ejercicio 7. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regres´ con
o
gripa. Si se supone que la gripa se propaga con una rapidez directamente
proporcional al n´mero de agripados como tambiń al n´mero de no agripa-
u e u
dos. Determinar el n´mero de agripados cinco d´ despu´s, si se observa que
u ıas e

54

´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION

el n´mero de agripados el primer d´ es 100.
u ıa

Ejercicio 8. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el
n´mero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo
u
de 60 dias el n´mero N ha aumentado a 1000N . Sinembargo, el n´mero
u u
200N es considerado como el l´ ımite saludable. A los cuantos dias, despu´s
e
de elaborado, vence el alimento.
(Rta.: 46.02 dias)

as
Observaciń: un modelo m´s preciso para el crecimiento poblacional
o a

atic
1
es suponer que la tasa per cpita de crecimiento, es decir P dP es igual a la
dt
tasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante, menos la tasa

atem
promedio de defunciones, la cual supondremos proporcional a la poblaciń,o
por lo tanto la E.D. ser´
ıa:

eM
1 dP
= b − aP
P dt

o. d
donde a y b son constantes positivas. Esta E.D. se le llama ecuaciń log´
o ısti-
ca ept
Resolviendo ´sta E.D. por variables separables se obtiene
e
,D

P
uia

| | = ec ebt
b − aP
tioq

Si en t = 0 se tiene P = P0 entonces la soluciń particular es
o
An

bP0 ebt
P (t) =
b − aP0 + aP0 ebt
de

Por la regla de l’Hˆpital se puede mostrar que
o
ad

b
rsid

l´ P (t) =
ım
t→∞ a
ive

3.3. ´
PROBLEMAS DE DILUCION
Un

Una soluciń es una mezcla de un soluto (que puede ser l´
o ıquido, s´lido o
o
gaseoso), en un solvente que puede ser l´
ıquido o gaseoso.

Tipos de mezclas o soluciones :

55

CAP´

i) Soluciones l´
ıquidas cuando disolvemos un s´lido o un l´
o ıquido en un
l´
ıquido.

ii) Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas.

Ecuaciń de Continuidad:
o

Tasa de acumulaciń = Tasa de entrada − Tasa de salida.
o

as
Caso 1. Una Salmuera (soluciń de sal en agua), entra en un tanque a
o

atic
una velocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una concentraciń de c1
o

atem
libras de sal por galń de salmuera (lib. sal/gal. salmuera).
o
Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con P libras de sal di-
sueltas. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad

eM
de v2 galones de salmuera/min.
Encontrar una ecuaciń para determinar las libras de sal que hay en el tanque
o

o. d
en cualquier instante t.(Ver figura 3.3)
ept
,D

t=0 t>0
uia

v1 v1
c1 c1
tioq
An

P : libras de sal x : libras de sal
de

Q : galones de salmuera Q + (v1 − v2 )t : galones
de salmuera
ad

v2 v2
rsid

c2 c2
ive
Un

Figura 3.3

Sea x(t) las libras de sal en el instante t.

dx
dt
= Tasa de acumulaciń = Tasa de entrada del soluto − Tasa de salida
o

56

´

del soluto.
dx
= v1 (gal.sol./min) c1 (lib.sal/gal.sol.)
dt
− v2 (gal.sol./min) c2 (lib.sal/gal.sol.)
x
= v 1 c1 − v 2
Q + (v1 − v2 )t

y obtenemos la E.D. lineal en x de primer orden:

as
p(t)

atic
dx v2
+ x = v 1 c1
dt Q + (v1 − v2 )t

atem
q(t)

condiciones iniciales: t = 0, x=P

eM
v2
p(t) = ; q(t) = v1 c1

o. d
Q + (v1 − v2 )t
v2 Q+(v 1−v
F.I. = e p(t) dt
=e 1 2 )tept=
v2
,D
ln |Q+(v1 −v2 )t|
=e v1 −v2
uia

v2
F.I. = [Q + (v1 − v2 )t] v1 −v2
tioq

luego
An

x F.I. = F.I. q(t) dt + C
de

con las condiciones iniciales x(0) = P , hallamos C y se concluye que x = f (t)
ad
rsid

Ejercicio 1: resolver la anterior E.D. con v1 = v2
ive

Caso 2. Un colorante s´lido disuelto en un l´
o ıquido no voltil, entra a un
tanque a una velocidad v1 galones de soluciń/minuto y con una concen-
o
Un

traciń de c1 libras de colorante/galń de soluciń. La soluciń bien homog-
o o o o
enizada sale del tanque a una velocidad de v2 galones de soluciń/min. y
o
entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de
v3 galones de soluciń/min.
o
Inicialmente el primer tanque ten´ P1 libras de colorante disueltas en Q1
ıa
galones de soluciń y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltas en
o

57

CAP´

t=0 t>0
v1 v1
c1 c1

P1 : libras de colorante x : libras de colorante
Q1 + (v1 − v2 )t : galones
Q1 : galones de soluciń v
o de soluciń
o v2
2
c2 c2

as
y : libras de colorante

atic
P2 : libras de colorante Q2 + (v2 − v3 )t : galones

atem
de soluciń
o
Q2 : galones de soluciń
o v3
v3 c3

eM
c3
Figura 3.4

o. d
ept
Q2 galones de soluciń. Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras
o
de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.(Ver figura 3.4)
,D
x = libras de colorante en el primer tanque en el instante t.
y = libras de colorante en el segundo tanque en el instante t.
uia
tioq

E.D. para el primer tanque:
An

dx
dt
= v1 c1 − v2 c2 = v1 c1 − v2 Q1 +(vx −v2 )t
1
de

dx
dt
+ v2 Q1 +(vx −v2 )t = v1 c1 , con la condiciń inicial t = 0, x = P1
1
o
ad

v2
−v
rsid

La soluciń es: x = f (t) = c1 [Q1 + (v1 − v2 )t] + C[Q1 + (v1 − v2 )t]
o 1 −v2 .
ive

E.D. para el segundo tanque:
Un

dy
dt
= v2 c2 − v3 c3 = v2 Q1 +(vx −v2 )t − v3 Q2 +(vy2 −v3 )t
1

dy v3 v2 v2
dt
+ Q2 +(v2 −v3 )t
y= Q1 +(v1 −v2 )t
x= Q1 +(v1 −v2 )t
f (t), t = 0, y = P2
v3
F.I. = [Q2 + (v2 − v3 )t] v2 −v3 para v2 = v3 .

58

´

Si v2 = v3 ¿Cual ser´ su factor integrante?
ıa

Ejercicio 2. Resolver el caso dos cuando v1 = v2 = v3 = v y Q1 = Q2 =
Q.

Caso 3. Una soluciń l´
o ıquida de alcohol en agua, est´ constantemente cir-
a
culando entre dos tanques a velocidades v2 y v3 galones/minuto. Si al primer
tanque tambiń entra una soluciń a una velocidad de v1
e o
galones /minuto y de concentraciń c1 galones de alcohol/galń de soluciń
o o o

as
y las cantidades iniciales en los tanques son P1 y P2 galones de alcohol en Q1

atic
y Q2 galones de agua respectivamente. Encontrar dos ecuaciones para deter-
minar los galones de alcohol presentes en cualquier tiempo en cada tanque

atem
(Ver figura 3.5).
t=0 t>0

eM
v1 v1
v3 v3
c1 c3 c1 c3

o. d
P1 : galones de alcohol x : galones de alcohol
P1 + Q1 : galones ept
P1 + Q1 + (v1 + v3 − v2 )t :
de soluciń
o v2 galones de soluciń
o v2
,D
c2 c2
uia

P2 : galones de alcohol y : galones de alcohol
tioq

P2 + Q2 : galones P2 + Q2 + (v2 − v3 )t :
de soluciń
o galones de soluciń
o
An
de

Figura 3.5
ad
rsid

x = galones de alcohol en el primer tanque en el instante t.
ive

y = galones de alcohol en el segundo tanque en el instante t.
Un

E.D. para el primer tanque:

dx
= v 1 c1 + v 3 c3 − v 2 c2
dt
y x
= v 1 c1 + v 3 − v2
Q2 + P2 + (v2 − v3 )t Q1 + P1 + (v1 + v3 − v2 )t

59

CAP´

dx v2 v3
+ x= y + v 1 c1
dt Q1 + P1 + (v1 + v3 − v2 )t Q2 + P2 + (v2 − v3 )t
(3.1)

E.D. para el segundo tanque:

dy
= v 2 c2 − v 3 c3
dt
v2 v3
= x− y (3.2)

as
Q1 + P1 + (v1 + v3 − v2 )t Q2 + P2 + (v2 − v3 )t

atic
atem
Balance total: galones de alcohol presentes en los dos tanques en el ins-
tante t:

eM
Bal.tot.= x + y = P1 + P2 + v1 (gal.sol./min) c1 (gal.alcohol/gal.sol.) t

o. d
x + y = P 1 + P 2 + v 1 c1 t
luego
ept
,D
y = P 1 + P 2 + v 1 c1 t − x (3.3)
uia

(3.3) en (3.1):
tioq

dx v2
+ x=
dt Q1 + P1 + (v1 + v3 − v2 )t
An

v3
(P1 + P2 + v1 c1 t − x) + v1 c1
Q2 + P2 + (v2 − v3 )t
de
ad
rsid

dx v2 v3
+ + x=
dt Q1 + P1 + (v1 + v3 − v2 )t Q2 + P2 + (v2 − v3 )t
ive

(P1 + P2 + v1 c1 t)v3
+ v1 c1 (3.4)
Un

Q2 + P2 + (v2 − v3 )t
Con la condici´n inicial: t = 0, x = P1
o

Nota: no hay necesidad de resolver la ecuaci´n diferencial (2) porque
o
y = P1 + P2 + v1 c1 t − x.

60

´

Caso 4. Un teatro de dimensiones 10 × 30 × 50 mt.3 , contiene al salir el
p´blico 0,1 % por volumen de CO2 . Se sopla aire fresco a raz´n de 500 mt.3
u o
por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad.
Si el aire atmosf´rico tiene un contenido de CO2 del 0,04 % por volumen y el
e
l´
ımite saludable es de 0,05 % por volumen. ¿ En que tiempo podr´ entrar el
a
p´blico? (Ver ﬁgura 3.6)
u

as
t>0

atic
v1 v2
c2

atem
c1

eM
x : mt3 de CO2

o. d
ept
,D
uia

Figura 3.6
tioq
An

Sea x = mt.3 de CO2 presentes en el teatro en el instante t.
de

Cantidad de CO2 en el teatro en t = 0:
ad
rsid

mt.3 deCO2
0,001 × 10 × 30 × 50mt.3 = 15mt.3
mt.3 de aire
ive

dx
Un

= v 1 c1 − v 2 c2
dt
= 500mt.3 aire/min. × 0,04 mt.3 CO2 /mt.3 aire −
100
x mt.3
− 500mt.3 aire/min. × 10×30×50CO2 aire = 0,2 − 30
mt.3
x

1
dt
x
por tanto, dx + 30 = 0,2, E.D. lineal de primer orden con p(t) = 30
y
Q(t) = 0,2

61

CAP´

t
Soluciń general: x = 6 + Ce− 30 .
o
Condiciones iniciales: en t = 0 se tiene que x = 15,
por tanto la soluciń particular es:
o
t
x = 6 + 9e− 30 .

La cantidad de CO2 en el l´
ımite saludable es:
0,05
x= × 10 × 30 × 50 = 7,5,
100

as
atic
t
por tanto 7,5 = 6 + 9e− 30 y despejando t se tiene que t = 30 ln 6 = 53,75min.

atem
Ejercicio 1. En un tiempo t = 0 un tanque A contiene 300 galones de
salmuera en el cual hay 50 libras de sal y un tanque B con 200 galones de

eM
agua pura. Al tanque A le entran 5 galones de agua/min. y la salmuera sale
a la misma velocidad para entrar al tanque B y de este pasa nuevamente al

o. d
tanque A, a una velocidad de 3 gal/min.
Calcular las cantidades de sal en ambos tanques en un tiempo t = 1hora =
60min.. ept
(Rta.: tanque A = 29,62 libras, tanque B = 20,31 libras)
,D
uia

Ejercicio 2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una
salmuera que contiene 1 libra de sal/galń de salmuera fluye al interior del
o
tioq

2
tanque a una rapidez de 2 galones/min. y la mezcla bien homogenizada sale
del tanque con la misma velocidad. Despu´s de 10 minutos el proceso se de-
e
An

tiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 galones/min,
abandonando el tanque a la misma velocidad.
de

Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de
ad

20 minutos.
rsid

(Rta.: 7,34 libras)
ive

Ejercicio 3. Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de
salmuera la cual contiene 2 libras de sal/galń de salmuera entran al tanque
o
Un

cada minuto.
La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la con-
centraciń es de 1,8 libras de sal/galń de salmuera al de cabo de 1 hora,
o o
Calcular las libras de sal que hab´ inicialmente en el tanque.
ıan
(Rta.: 118,08 libras)

62

´

Ejercicio 4. Un dep´sito contiene 50 galones de salmuera en las que
o
estń disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua
a
al dep´sito a razń de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar
o o
a un segundo dep´sito que conten´ inicialmente 50 galones de agua pura.La
o ıa
salmuera sale de este dep´sito a la misma velocidad.Cuńdo contendr´ el
o a a
segundo dep´sito la mayor cantidad de sal?
o
(Rta.: cuando t ≥ 25 minutos)

Ejercicio 5. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que

as
contiene 2 libras de sal/gal. entra al tanque a una velocidad de 4 gal./min.

atic
Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 gal./min.
Si la concentraciń alcanza el 90 % de su valor m´ximo en 30 minutos, cal-
o a

atem
cular los galones de agua que hab´ inicialmente en el tanque.
ıan
30
(Rta.: Q = √10−1 )
4

eM
Ejercicio 6. El aire de un teatro de dimensiones 12 × 8 × 4 mt.3 contiene

o. d
0,12 % de su volumen de CO2 . Se desea renovar en 10 minutos el aire, de
modo que llegue a contener solamente el 0,06 % de CO2 . Calcular el n´mero
u
3 ept
de mt. por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior con-
,D
tiene 0,04 % de CO2 .
(Rta.: 53,23 mt.3 de aire/minuto)
uia
tioq

Ejercicio 7. Aire que contiene 30 % de ox´ ıgeno puro pasa a trav´s de un
e
frasco que contiene inicialmente 3 galones de ox´ ıgeno puro. Suponiendo que
An

la velocidad de entrada es igual a la de salida; hallar la cantidad de ox´
ıgeno
existente despu´s de que 6 galones de aire han pasado por el frasco.
e
de

(Rta.: 1,18 galones)
ad

Ejercicio 8. Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra
rsid

salmuera que contiene k gramos de sal por litro, a razń de 1.5 litros por
o
ive

minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razń de un litro
o
por minuto. Si la concentraciń es 20 gr/litro al cabo de 20 minutos. Hallar
o
Un

el valor de k.
(Rta.: k = 47,47)

Ejercicio 9. Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque
fluye salmuera que contiene 2 libras de sal por galń, a razń de 5 galones
o o
por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razń de 10 galones por
o

63

CAP´

minuto. Si la cantidad m´xima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minu-
a
tos. Cual era la cantidad de sal inicial en el tanque?
(Rta.: 375 libras)

Ejercicio 10. Un tanque contiene 200 litros de una soluciń de colorante
o
con una concentraciń de 1 gr/litro. El tanque debe enjuagarse con agua
o
limpia que entra a razń de 2 litros/min. y la soluciń bien homogńizada
o o e
sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que trascurrir´ hasta que la
a
concentraciń del colorante en el tanque alcance el 1 % de su valor original.
o

as
(Rta.: 460.5 min.)

atic
atem
3.4. VACIADO DE TANQUES
Un tanque de una cierta forma geom´trica est´ inicialmente lleno de agua
e a

eM
hasta una altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya area es A
´
2
pie . Se abre el orificio y el l´
ıquido cae libremente. La razń volum´trica de
o e

o. d
salida dQ es proporcional a la velocidad de salida y al area del orificio, es
dt
´
decir, ,D
ept
dQ
= −kAv,
dt
uia

√
ıa: 1
aplicando la ecuaciń de energ´ 2 mv 2 = mgh ⇒ v = 2gh, por lo tanto,
o
tioq

dQ
= −kA 2gh
An

dt
donde g = 32 pie/seg2 = 9,81 mt./seg.2
de
ad

La constante k depende de la forma del orificio:
rsid

Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.
ive

Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75.
Un

Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.

Caso 1. Cil´ ındro circular de altura H0 pie y radio r pie, dispuesto en
forma vertical y con un orificio circular de di´metro φ (pulgadas) (Ver figura
a
3.7).

64


R

H0

as
atic
atem
Figura 3.7

eM
o. d
dQ
dt
= −kA 2gh ept
,D
2
dQ φ √ φ2 √
uia

= −0,6π 2 × 32 × h = −4,8π h (3.5)
dt 24 576
tioq

pero
An

dQ dh
dQ = πr2 dh ⇒ = πr2 (3.6)
dt dt
de

√
Como (3.5)= (3.6): πr 2 dh = − 4,8π φ2 h
ad

dt 576
rsid

y separando variables:
dh 4,8 2
√ = − φ dt
ive

h 576r2
Un

1 4,8 2
h− 2 dh = − φ dt
576r2
√ 4,8
e integrando: 2 h = − 576r2 φ2 t + C.

Con las condiciones iniciales: t = 0, h = H0 , hallamos la constante C.

65

CAP´

h

dh
• • R)
(0,
R
φ
x
H0

as
atic
atem
Figura 3.8

eM
El tiempo de vaciado (tv ): se obtiene cuando h = 0. Hallar tv

o. d
Caso 2. El mismo cil´ ındro anterior pero dispuesto horizontalmente y con
el orificio en el fondo (Ver figura 3.8). ept
,D

dQ 4,8πφ2 √
uia

= −kA 2gh = − h (3.7)
dt 576
tioq

pero de la figura 3.8, tenemos:
An

dQ = 2x × H0 × dh
de

y tambiń
e
ad
rsid

(x − 0)2 + (h − r)2 = r2 ⇒ x2 + h2 − 2rh + r 2 = r2
ive

luego
Un

√
x= 2rh − h2

sustituyendo
√
dQ = 2 2rh − h2 H0 dh

66


• R

H0 r dh

as
h

atic
atem
φ

eM
Figura 3.9

o. d
dQ √ dh
⇒
dt
= 2H0 2rh − h2
dt ept (3.8)
,D
(3.8) = (3.7):
uia

√ dh 4,8πφ2 √
2H0 2rh − h2
= − h
dt 576
tioq

√ √ dh 4,8πφ2 √
2H0 h 2r − h = − h, donde h = 0
dt 576
An

√ 4,8πφ2
2r − h dh = − dt
de

2 × 576 H0
condiciones iniciales:
ad

en t0 = 0 h = 2r, con ella hallo constante de integraciń.
o
rsid

El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv .
ive
Un

Caso 3. Un cono circular recto de altura H0 y radio R dispuesto verti-
calmente con orificio circular en el fondo de di´metro φ (Ver figura 3.9).
a

2 √
dQ φ
= −kA 2gh = −0,6π 2 × 32h
dt 24

67

CAP´

dQ 4,8πφ2 √
=− h (3.9)
dt 576
Por semejanza de trińgulos tenemos que:
a

R H0 Rh
= ⇒r= (3.10)
r h H0
2 2
y como dQ = πr 2 dh entonces, sustituyendo (3.10): dQ = π R h dh
H2 0

as
atic
dQ πR2 2 dh
⇒ = 2
h (3.11)
dt H0 dt

atem
πR2 2 √
(3.9) = (3.11): H02 h2 dh
dt
= − 4,8πφ
576
h

eM
3 4,8φ2 H0
2
⇒ h 2 dh = −
dt 576R2

o. d
Condiciones iniciales: cuando t = 0, h = H0
ept
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv .
,D
uia

Ejercicio 1. Un tanque semiesf´rico tiene un radio de 1 pie; el tanque
e
est´ inicialmente lleno de agua y en el fondo tiene un orificio de 1 pulg. de
a
tioq

di´metro. Calcular el tiempo de vaciado.
a
(Rta.: 112 seg.)
An

Ejercicio 2. Un cono circular recto de radio R y altura H tiene su v´rtice
e
de

hacia abajo. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya area A es controla-
´
ad

da por una v´lvula y es proporcional a la altura del agua en cada instante.
a
rsid

Suponiendo que el tanque est´ lleno de agua, calcular el tiempo de vaciado.
a
Del tiempo de vaciado, qu porcentaje es requerido para vaciar la mitad del
ive

volumen?
(Rta.: el porcentaje requerido para bajar la mitad del volumen es 29,3 %)
Un

Ejercicio 3. Un tanque c´bico de lado 4 pies, est´ lleno de agua, la cual
u a
1
sale por una hendidura vertical de 8 pulg. de ancho y de 4 pies de alto. Encon-
trar el tiempo para que la superficie baje 3 pies. (Ayuda: encontrar el n´mero
u
de pies c´bicos por segundo de agua que salen de la hendidura cuando el agua
u
tiene h pies de profundidad).

68

3.5. APLICACIONES A LA FISICA

(Rta.: 360 segundos.)

Ejercicio 4. Encontrar el tiempo requerido para llenar un tanque c´bico
u
de lado 3 pies si tiene un orificio circular de 1 pulg. de di´metro en la base y
a
si entra agua al tanque a razń de π pies3 /min.
o
(Rta.: 26 min, 14 seg.)

Ejercicio 5. Un tanque rectangular vaco de base B 2 pies2 , tiene un agu-
jero circular de area A en el fondo. En el instante t = 0, empieza a llenarse a
´

as
razń de E pies c´bicos por segundo. Hallar t en funciń de h. Mostrar que si
o u o √

atic
el tanque tiene una altura H, nunca se llenar´ a menos que E > 4,8 A H.
ıa
2 h
√ 2 b
√
(Rta.: t = a b ln b−1,8 √h − 1,8 h = a b ln √h−b − h

atem
4,8 A E
donde, a = B2
, b= 4,8 A
.)

eM
Ejercicio 6. Un embudo de 10 pies de di´metro en la parte superior y 2
a
pies de di´metro en la parte inferior tiene una altura de 24 pies. Si se llena
a

o. d
de agua, hallar el tiempo que tarda en vaciarse.
(Rta.: 14,016 seg.) ept
,D
Ejercicio 7. Un tanque con una cierta forma geom´trica esta lleno de
e
agua. El agua sale por un orificio situado en la base a una rata proporcional
uia

a la ra´ cuadrada del volumen restante en el tanque en todo tiempo t. Si el
ız
tioq

tanque contiene inicialmente 64 galones de agua y 15 galones salen el primer
d´ calcular el tiempo en el cual hay 25 galones en el tanque.
ıa,
An

(Rta.: 72 horas)
de

Ejercicio 8. Un embudo de 5 pies de radio en la parte superior y 1 pie
ad

de radio en la parte inferior tiene una altura de H pies. Si se llena de agua:
rsid

a) Hallar el tiempo de vaciado; b) Del tiempo de vaciado qu porcentaje es
necesario para que el nivel baje a H ?
√ 4
ive

(Rta.: a) 2,86 H; b) 86.41 %)
Un

Caso 1. Cada libre. (Ver figura 3.10)
Por la segunda ley de Newton (ver textos de F´
ısica), se llega a que:

69

CAP´

O
x
•m

g
•

as
+ x

atic
atem
Figura 3.10

eM
o. d
d2 x d dx dv
m 2
=m =m = mg
dt dt dt dtept
,D
dv
= g ⇒ v = gt + C1
dt
uia

condiciones iniciales:
tioq

t = 0 v = v0 ⇒ v = gt + v0
An

dx
por lo tanto, dt
= gt + v0 , e integrando, obtenemos:
de

gt2
ad

x= + v0 t + C 2
2
rsid

y como las condiciones iniciales son: t = 0 x = x0
ive

gt2
⇒x= + v0 t + x 0
Un

2
Caso 2. Cada con resistencia del aire.
Por la segunda ley de Newton (ver textos de F´
ısica), se llega a que:

d2 x
m = mg − kv
dt2

70


dividiendo por m

d2 x k
= g− v
dt2 m
dv k
= g− v
dt m

obtenemos la E.D. lineal en v

dv k

as
+ v = g.

atic
dt m

Hallemos el F.I.

atem
k k
dt
F.I. = e m = emt

eM
resolvi´ndola
e

o. d
k k
ve m t = e m t (g) dt + C ept
m
,D
k k
ve m t = g em t + C
k
m
uia

k
v= g + Ce− m t .
k
tioq

Supongamos que las condiciones iniciales son: t = 0, v = 0 (es decir,
An

parte del reposo), entonces
mg mg
de

0= +C ⇒ C= −
k k
ad

mg mg − k t mg
rsid

kt
v= − e m = 1 − e− m ;
k k k
ive

mg
obsrvese que cuando t→∞⇒v→ k .
Un

Resolviendo para x y teniendo como condiciones iniciales t = 0 y x = 0
se llega a que:
mg m2 g k
x= t − 2 (1 − e− m t )
k k

71

CAP´

Caso 3. Cuerpos con masa variable.

Por la segunda ley de Newton para masa variable (ver textos de F´
ısica),
se llega a que:

d d dm
F = (mv) ⇒ (mv) = F + (v + ω)
dt dt dt
donde, F : Fuerzas que actan sobre el cuerpo,

as
ω: velocidad en relaciń a m de las partculas que se desprenden del cuerpo.
o

atic
dv dm dm dm
m +v = F +v +ω

atem
dt dt dt dt
por tanto,
dv dm

eM
m = F +ω
dt dt

o. d
Ejemplo 5. Un cohete con masa estructural m1 , contiene combustible de
masa inicial m2 ; se dispara en l´
ınea recta hacia arriba, desde la superficie de
la tierra, quemando combustible a un ´ ept
ındice constante a (es decir, dm = −a,
dt
donde m es la masa variable total del cohete) y expulsando los productos
,D
de escape hacia atr´s, a una velocidad constante b en relaciń al cohete. Si
a o
uia

se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg,
donde g la suponemos constante; encontrar la velocidad y la altura alcanza-
tioq

da en el momento de agotarse el combustible (velocidad de altura y apagado).
An

Soluciń:
o
de

dm
Como dt
= −a ⇒ m = −at + C1
ad
rsid

En t = 0, m = m1 + m2 luego m1 + m2 = −a 0 + C1 por tanto,

C1 = m1 + m2 , ⇒ m = m1 + m2 − at
ive
Un

Como ω = −b entonces,
dv dm dv
m = −mg − b ⇒ m = −mg − b(−a)
dt dt dt
o sea que, m dv = −mg + ab
dt

72


Reemplazo m: (m1 + m2 − at) dv = −(m1 + m2 − at)g + ab
dt
dividiendo por m1 + m2 − at: dv = −g + m1 +m2 −at
dt
ab

luego
ab
v = −gt − ln |m1 + m2 − at| + C2 = −gt − b ln |m1 + m2 − at| + C2
a
Condiciones iniciales: en t = 0, v = 0 ⇒ 0 = 0 − b ln |m1 + m2 | + C2
por tanto C2 = b ln |m1 + m2 |

as
m1 + m 2
v = −gt − b ln |m1 + m2 − at| + b ln |m1 + m2 | = −gt + b ln

atic
m1 + m2 − at
Pero ten´
ıamos que m = m1 +m2 −at y como el tiempo de apagado se produce

atem
cuando m = m1 ya que no hay combustible, es decir, m1 = m1 + m2 − at.
Por tanto at = m2 ⇒ t = m2 o sea que cuando t = m2 ⇒ v = velocidad de
a a

eM
apagado.

o. d
Sustituyendo, queda que

v= −
gm2
+ b ln
m1 + m 2 ept
a m 1 + m 2 − a m2
,D
a
uia

luego v = − ma g + b ln
2 m1 +m2
m1
tioq

De la misma manera se encuentra que ha = altura alcanzada al acabarse
m2 g bm2 bm1 m1
An

el combustible = − 22 + + ln
2a a a m1 + m 2
de

Caso 4. Cuerpos en campo gravitacional variable. (Ver figura 3.11)
Por la ley de Gravitaciń Universal de Newton (ver textos de F´
o ısica):
ad
rsid

GM m
F =
(x + R)2
ive

donde,
Un

x: la distancia del cuerpo a la superficie de la tierra.
M : la masa de la tierra.
m: la masa del cuerpo.
R: el radio de la tierra.
G: la constante de gravitaciń universal.
o

73

CAP´

•m

+

M

as
atic
atem
Figura 3.11

eM
k1 m
Se define el peso de un cuerpo como w(x) = (x+R)2 , donde k1 = GM .

o. d
Si x = 0, entonces el peso del cuerpo de masa m en la superficie de la tierra
es: w(0) = mg = kRm , entonces k1 = gR2 , por lo tanto el peso de un cuerpo
1
2
ept mgR2
a una distancia x de la superficie de la tierra es: w(x) = (x+R)2 .
,D

Ejemplo 6. Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con
uia

velocidad inicial v0 . Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando
tioq

en cuenta la variaciń del campo gravitacional con la altura, encontrar la
o
menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la
An

tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape (Ver figura
3.12).
de
ad

Soluciń:
o
rsid

dv mgR2
m = −w(x) = −
dt (x + R)2
ive

donde el signo menos indica que la direcciń de la fuerza es hacia el centro
o
Un

de la tierra.

Cancelando m, y resolviendo la ecuaciń diferencial resultante y poniendo
o
como condiciones iniciales, en t = 0, x = 0 y v = v0 , se llega a que:
2gR2
v 2 = v0 − 2gR +
2
≥0
x+R

74


x
+

••
w(x)

0

as
tierra

atic
R
·

atem
Figura 3.12

eM
o. d
2
Por lo tanto, v0 ≥ 2gR √
de aqu´ conclu´
ı ımos que la velocidad de escape v0 = 2gR ept
,D
Ejercicio 1. Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas/hora
uia

en el momento de agotarse el combustible; si el agua se opone al movimiento
con una fuerza proporcional a su velocidad y si en una milla de recorrido
tioq

reduce su velocidad a 30 millas/hora. ¿A que distancia se detendr´?
a
(Rta.: 2 millas)
An

Ejercicio 2. En el interior de la tierra la fuerza de gravedad es propor-
de

cional a la distancia del centro, si se perfora un orificio que atraviese la tierra
ad

de polo a polo y se lanza una piedra en el orificio con velocidad v0 , con que
rsid

velocidad llegar´ al centro?
a
2
(Rta.: v = gR + v0 , donde R es el radio de la tierra.)
ive

Ejercicio 3. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espe-
Un

sor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspasńdola con v1 = 80 mt/seg.
a
Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es pro-
porcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala
en atravesar la tabla.
(Rta.: t = h0 (v1 −v0 ) = 40003 2,5 seg.)
v1 ln
v0 v1 ln v0

75

CAP´

Ejercicio 4. Una cadena de 4 pies de longitud tiene 1 pie de longitud
colgando del borde de una mesa. Despreciando el rozamiento, hallar el tiem-
po que tarda la cadena en deslizarse fuera de la mesa.
4
√
(Rta.: t = g
ln(4 + 15) seg.)

Ejercicio 5. Un punto material de masa un gramo se mueve en l´ ınea
recta debido a la acci´n de una fuerza que es directamente proporcional al
o
tiempo calculado desde el instante t = 0 e inversamente proporcional a la
velocidad del punto. En el instante t = 10 seg., la v = 50cm/seg y la f = 4

as
dinas. Qu´ velocidad tendr´ el punto al cabo de un minuto desde el comienzo
e a

atic
del movimiento?
√
(Rta.: v = 72500 cm./seg.= 269,3 cm/seg.)

atem
Ejercicio 6. Un barco retrasa su movimiento por acci´n de la resistencia
o

eM
del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial
del barco es 10 mt/seg, despu´s de 5 seg. su velocidad ser´ 8 mt/seg. Despu´s
e a e

o. d
de cuanto tiempo la velocidad ser´ 1 mt/seg ?
a
ln 10
(Rta.: t = −5 ln 0,8 seg.)
ept
,D
Ejercicio 7. Un cuerpo de masa M se deja caer desde el reposo en un
medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad.
uia

Encuentre el tiempo que transcurre hasta que la velocidad del cuerpo alcance
el 80 % de su velocidad l´
ımite.
tioq

(Rta.: t = − M ln 0,2)
k
An
de
ad
rsid
ive
Un

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