matematicas

1. v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
v APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Solucionario de Problemas
de Ecuaciones
Diferenciales
Primer parcial (3ra versión)
Roberto Cabrera
09

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 2
Ecuaciones Diferenciales separables
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa
ecuación diferencial de la siguiente manera:
Donde

3. se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta
ecuación diferencial:
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:
1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:
0
0
0
0
3)
3)
3)
3)
-
-
-
-
y
y
y
y
-
-
-
-
3x
3x
3x
3x
dx(xy
dx(xy
dx(xy
dx(xy
-
-
-
-
8)
8)
8)
8)
-
-
-
-
4y
4y
4y
4y
2x
2x
2x
2x
-
-
-
-
dy(xy
dy(xy
dy(xy
dy(xy =
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c
4
x
ln
5
x
3
y
ln
5
y
4
x
dx
5
dx
3
y
dy
5
dy
4
x
dx
5
4
x
dx
4
x
3
y
dy
5
)
3
y
(
dy
)
3
y
(
4
x
dx
1
x
3
y
dy
2
y
ecuación
la
de
lados
ambos
a
Integramos
4
x
dx
1
x
3
y
dy
2
y
);
x
(
g
)
y
(
f
4)
2)(x
-
(y
1)
-
3)(x
(y
dx
dy
2)
-
4(y
2)
-
x(y
3)
(y
-
3)
x(y
dx
dy
8
-
4y
2x
-
xy
3
-
y
-
3x
xy
dx
dy
+
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
+
−
⇒
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫

4. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 3
[ ]
( )
[ ]
[ ];
)
e
(2
arctan
y
:
es
particular
solución
La
1;
K
K;
4
$
tan
arctan(K);
$/4
;
K
e
2
arctan
$/4
$/4;
y(0)
si
;
K
)
e
(2
arctan
y
:
es
general
solución
La
K;
)
e
(2
tan(y)
;
e
e
c;
e
2
3ln
tan(y)
ln
:
v
y
u
do
Reemplazan
3
x
0
3
x
3
x
c
e
2
3ln
tan(y)
ln
x
x
−
=
=
⇒
=






=
−
=
⇒
=
−
=
−
=
=
+
−
=
+
−
;
c
e
1
ln
2
e
ln
2
e
2
e
ye
:
es
general
implicita
solución
La
;
)
e
(1
e
dx
e
ye
;
c
e
1
ln
2
e
ln
2
e
2
)
e
(1
e
dx
;
c
u
1
ln
2
u
ln
2
u
2
)
u
(1
u
du
2
;
u
1
du
2
u
du
2
u
du
2
)
u
(1
u
du
2
;
du
u
1
1
u
1
u
1
2
)
u
(1
u
du
2
1;
C
1;
-
B
1;
A
:
son
C
B,
A,
de
valores
los
Donde
;
u
1
C
u
B
u
A
)
1
u
(
u
1
:
obtenemos
parciales
fracciones
por
Integrando
x/2
x/2
x/2
y
y
x/2
x/2
y
y
x/2
x/2
x/2
x/2
x/2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
−
−
=
−
⇒
+
=
−
+
+
+
−
−
=
+
⇒
+
+
+
−
−
=
+
⇒
+
+
−
=
+
⇒












+
+
−
=
+
⇒
=
=
=
+
+
+
=
+
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:
Si
Si
Si
Si ;
)
(
y
4
0
π
=
3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:
0
0
0
0
)
)
)
)
e
e
e
e
(1
(1
(1
(1
e
e
e
e
dx
dx
dx
dx
ydy
ydy
ydy
ydy
e
e
e
e x/2
x/2
x/2
x/2
y
y
y
y
x/2
x/2
x/2
x/2
=
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
+
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
)
u
(1
u
du
2
)
u
u(1
u
du
2
)
e
(1
e
dx
;
u
du
2
dx
udx
2
1
du
;
dx
e
2
1
du
e
u
?
)
e
(1
e
dx
;
)
e
(1
e
dx
dy
ye
;
ye
1
)
y
(
g
;
)
e
(1
e
1
)
x
(
f
);
y
(
g
).
x
(
f
)ye
e
(1
e
1
dx
dy
;
)
e
(1
e
dx
ydy
e
2
x/2
x/2
2
/
x
2
/
x
x/2
x/2
x/2
x/2
y
y
x/2
x/2
y
x/2
x/2
x/2
y
x/2
c;
v
3ln
u
ln
;
v
3dv
u
du
:
do
Reemplazan
dx;
e
dv
e
2
v
(y);
sec
du
tan(y)
u
;
)
e
(2
dx
3e
tan(y)
(y)dy
sec
;
)
e
(2
dx
3e
tan(y)
(y)dy
sec
f(x).g(y);
(y)
)sec
e
(2
tan(y)
3e
dx
dy
tan(y)dx;
3e
(y)dy
)sec
e
(2
0
(y)dy
)sec
e
(2
tan(y)dx
3e
x
x
2
x
x
2
x
x
2
2
x
x
x
2
x
2
x
x
+
=
=
⇒
−
=
⇒
−
=
=
⇒
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
=
−
=
−
=
−
+
∫
∫
∫
∫

5. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 4
4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
0
dy
)
x
ln(
1
x
)
e
e
(
dx
)
x
ln(
y
2 y
y
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
;
!
1
n
2
1
n
2
y
dy
!
1
n
2
y
dy
!
1
n
2
y
;
dx
)
x
ln(
1
x
)
x
ln(
dy
!
1
n
2
y
:
emplazando
Re
;
!
1
n
2
y
y
)
y
(
senh
!
1
n
2
y
)
y
(
senh
Si
dy
y
)
y
(
senh
;
dx
)
x
ln(
1
x
)
x
ln(
dy
y
)
y
(
senh
)
y
(
senh
2
)
e
e
(
;
dx
)
x
ln(
1
x
)
x
ln(
dy
y
2
)
e
e
(
;
dx
)
x
ln(
1
x
)
x
ln(
dy
y
2
)
e
e
(
)
x
ln(
1
x
)
e
e
(
)
x
ln(
y
2
dx
dy
;
)
x
ln(
1
x
)
x
ln(
)
e
e
(
y
2
)
y
(
f
);
x
(
g
).
y
(
f
)
x
ln(
1
x
)
e
e
(
)
x
ln(
y
2
dx
dy
;
dx
)
x
ln(
y
2
dy
)
x
ln(
1
x
)
e
e
(
0
n
1
n
2
0
n
n
2
0
n
n
2
0
n
n
2
0
n
n
2
0
n
1
n
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
∑
∫∑
∑
∫
∫∑
∑
∑
∫
∫
∫
∫
∞
+
=
+
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
⇒
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+
−
=
+
=
∧
−
=
=
+
−
=
=
+
−
:
que
obtenemos
Integrando
:
potencias
de
series
usar
debemos
integrar
Para
:
siguiente
lo
tenemos
entonces
que
observamos
Si
:
obtiene
se
ecuación
la
de
lados
ambos
a
Integrando
g(x)

6. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 5
( )
( )
( )( )
( ) C
3
2
!
1
n
2
1
n
2
y
;
C
3
2
dx
C
3
2
;
C
z
3
z
2
z
;
z
;
du
zdz
2
u
1
;
dx
Si
?
dx
dx
3
1
n
2
3
3
3
+








+
−
+
=
+
+
+








+
−
+
=
+
⇒
+








+
−
+
=
+
⇒
+






−
=
=
⇒
=
+
⇒
=
⇒
+
=
+
=
+
⇒
=
⇒
=
=
+
+
∑
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞
+
=
+
ln(x)
1
ln(x)
1
:
es
implícita
forma
de
general
solucion
La
ln(x)
1
ln(x)
1
ln(x)
1
x
ln(x)
u
1
u
1
u
1
udu
2
1)dz
-
(z
1)2zdz
-
(z
1)2zdz
-
(z
u
1
udu
z
Ahora
u
1
udu
ln(x)
1
x
ln(x)
x
dx
du
ln(x)
u
ln(x)
1
x
ln(x)
:
ln(x)
1
x
ln(x)
integrando
Ahora
0
n
2
2
2
2

7. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 6
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:
g(x);
p(x)y
y' =
+
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:
Ø El método del factor integrante.
Ø Método de variación de parámetros
El método del factor integrante:
[ ]
[ ]
[ ]
;
u(x)g(x)dx
u(x)
1
y
;
u(x)g(x)dx
u(x)y
;
u(x)g(x)dx
u(x)y
d
u(x)g(x);
u(x)y
dx
d
u(x)g(x);
p(x)y
y'
u(x)
;
e
u(x)
p(x)dx
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
+
∫
=
=
+ g(x);
p(x)y
y'
Método de variación de parámetros
v(x);
y'
v'(x)
y
y'
v(x);
y
y
Asumir:
e
y
p(x)dx;
y
p(x)dx;
y
dy
;
p(x)y
dx
dy
;
p(x)y
'
y
;
p(x)y
'
y
h
h
h
p(x)dx;
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫ −
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ln
0
g(x);
p(x)y
y'
[
[
[
[ ]
]
]
]
[
[
[
[ ]
]
]
] [
[
[
[ ]
]
]
]
[
[
[
[ ]
]
]
] [
[
[
[ ]
]
]
]
[
[
[
[ ]
]
]
]
[
[
[
[ ]
]
]
]
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
dx;
y
g(x)
e
y
v(x);
y
y
dx;
y
g(x)
v(x)
dx;
y
g(x)
dv
g(x);
y
dx
dv
g(x);
y
v'(x)
g(x);
v(x)
y
v'(x)
s:
, entonce
p(x)y
Pero y'
g(x);
p(x)y
y'
v(x)
y
v'(x)
g(x);
v(x)
p(x)y
v(x)
y'
v'(x)
y
g(x);
p(x)y
y'
:
emplazando
h
p(x)dx
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
0
0
Re

8. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 7
1) ;
ctg(x)
(x)
sen
x
y
xy'
4
2
3
=
−2
[ ]
;
C
3
)
X
(
ctg
4
x
y
;
C
3
)
X
(
ctg
4
y
x
1
;
C
3
)
X
(
ctg
4
C
3
)
X
(
ctg
4
dx
ctg(x)
)
x
(
csc
3
u
4
4
/
3
u
du
u
u
du
dx
ctg(x)
)
x
(
csc
;
dx
)
x
(
csc
du
)
x
(
ctg
u
Si
;
dx
ctg(x)
)
x
(
csc
dx
ctg(x)
(x)
sen
1
;
dx
ctg(x)
(x)
sen
1
y
x
1
;
dx
ctg(x)
(x)
sen
1
y
x
1
d
;
ctg(x)
(x)
sen
1
y
x
1
dx
d
;
ctg(x)
(x)
sen
x
x
1
y
x
2
y'
x
1
;
x
1
x
e
e
e
)
x
(
u
;
ctg(x)
(x)
sen
x
y
x
2
y'
4 3
2
4 3
2
4 3
4
/
3
4
2
4
/
3
4
/
3
4
/
1
4
4
2
2
4
2
4
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
)
x
ln(
)
x
ln(
2
dx
x
2
4
2
2
2








+
−
=
+
−
=
⇒
+
−
=
+
−
=
⇒
−
=






−
=
−
=
−
=
⇒
−
=
⇒
=
=








⇒








=
⇒








=






⇒








=














=






−
=
=
=
=
∫
=
∫
=
=
+
=
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
− −
:
es
l
diferencia
ecuacion
la
de
general
solución
La
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
u(x)
integrante
factor
el
emos
Multipliqu
e
u(x)
:
u(x)
integrante
factor
el
s
Encontremo
:
integrante
factor
del
método
el
aplicar
podemos
tanto
lo
Por
g(x);
p(x)y
y'
forma
la
Tiene
p(x)dx

9. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 8
2) 


≥
≤
=
=
=
+
2
x
;
2x
-
2
x
0
;
p(x)
1;
y(0)
1;
p(x)y
y'
1
Para el intervalo 2
x
0
≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1
p(x)= :
( )
( )
( )
( )
2;
x
para
:
potencias
de
series
usar
s
necesitamo
integrar
para
Pero
lineal)
dif.
(Ec.
1;
y'-2xy
-2x;
p(x)
2,
x
para
Ahora
+
+
−
=
⇒
+
+
−
=
⇒
−
=
⇒
=
⇒
=
=
=
=
∫
=
=
=
≥
∑
∑
∫∑
∫
∫
∫
∞
+
=
+
∞
+
=
+
−
∞
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
;
k
e
!
n
)
1
n
2
(
x
1
e
y
;
k
!
n
)
1
n
2
(
x
1
y
e
;
dx
!
n
x
1
y
e
dx
e
;
dx
e
y
e
;
dx
e
)
y
e
(
d
;
e
dx
)
y
e
(
d
);
1
(
e
xy
2
y'-
e
;
e
e
)
x
(
u
2
0
n
x
1
n
2
n
x
2
0
n
2
1
n
2
n
x
0
n
n
2
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xdx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
0
para
);
separable
dif.
(Ec.
≤
=
⇒
=
⇒
−
=
=
−
=
=
−
=
+
−
=
−
+
=
−
−
=
−
⇒
=
−
−
=
⇒
=
+
=
+
−
−
+
−
−
∫
∫
1
y
;
0
k
;
e
k
1
1
;
1
)
0
(
y
Pero
;
e
k
1
y
;
e
k
y
1
;
e
e
K
x
y
1
ln
;
C
x
y
1
ln
;
dx
y
1
dy
dx
y
1
dy
;
y
1
dx
dy
;
1
y
dx
dy
;
1
y
'
y
1
1
0
1
x
1
1
x
1
K
x
y
1
ln
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
!
n
1
n
2
2
1
2
e
1
k
;
!
n
1
n
2
2
2
1
e
1
k
;
k
e
!
n
1
n
2
2
2
1
e
1
;
k
e
!
n
1
n
2
2
2
1
e
1
;
k
e
!
n
1
n
2
2
1
e
1
;
k
e
!
n
1
n
2
x
1
e
1
;
y
y
);
x
(
f
)
x
(
f
0
n
n
2
n
4
2
0
n
n
2
n
4
2
2
4
0
n
n
2
n
4
2
4
0
n
n
2
n
4
2
2
0
n
1
n
2
n
2
2
x
0
n
1
n
2
n
x
2
x
2
x
2
2
x
1
2
x
a
x
a
x
2
2
2
2
lim
lim
lim
lim
lim
lim
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
+
∞
+
=
+
→
→
→
→
→
→
+
−
−
=
⇒
+
−
−
=
⇒
=
+
−
−
⇒
+
+
−
=
⇒
+
+
−
=
⇒






+
+
−
=
⇒
=
⇒
=
+
−
+
−
+
−
:
dice
condición
Esta
:
funciones
dos
de
d
continuida
de
condición
la
usaremos
k
encontrar
para
Ahora 2
( ) ( )
( )





≥






+
−
−
+
+
−
≤
=
∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
+
2
x
2
x
0
;
:
encia
correspond
de
regla
siguiente
la
con
expresada
queda
solución
La
;
!
n
1
n
2
2
1
2
e
1
e
!
n
)
1
n
2
(
x
1
e
1
y
0
n
n
2
n
4
0
n
x
1
n
2
n
x 2
2

10. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 9
3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:
x
e
y
dx
dy
y
2
+
=
Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto
a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra
variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( )
)
y
(
f
x = .
( )
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫
∫
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
=








−
⇒
=
−
=
=
⇒
=
=
∫
=
−
=
∫
=
=
+
=
+
=
−
⇒
=
−
−
⇒
=
−
−
≡
=
−
−
=
+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
dy
y
e
y
dy
y
e
x
y
dy
y
e
x
y
dy
y
e
x
y
y
e
x
y
.
y
e
y
x
2
'
x
y
e
y
x
2
'
x
e
;
y
2
)
y
(
p
;
;
g(y)
p(y)x
x'
;
y
e
y
x
2
'
x
;
0
y
x
2
y
e
'
x
;
0
x
2
e
'
yx
;
0
x
2
e
dy
dx
y
;
dy
dx
y
x
2
e
;
ydx
dy
x
2
e
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
y
x
y
y
y
ln
2
y
y
y
y
y
y
2
x
d
d
dy
d
y
y
:
l
diferencia
ecuación
la
de
lados
ambos
a
y
u(y)
integrante
factor
el
ndo
Multiplica
y
u(y)
y
e
u(y)
s
entonce
e
u(y)
:
y
de
depende
ahora
integrante
factor
El
*
:
integrante
factor
del
método
el
Apliquemos
:
nte
independie
variable
la
y es
Ahora
g(y);
p(y)x
x'
forma
la
Tiene
2
-
dy
d
2
-
2
-
2
-
2
-
dy
y
2
p(y)dy
4
43
4
42
1








+
−
+
+
−
−
=
=








+
+
+
=
=
⇒
=
∑
∫
∫ ∫ ∑
∑
∑
∑
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
;
C
!
n
)
2
n
(
y
)
y
ln(
2
1
y
1
y
2
1
dy
e
y
)
y
(
x
!
n
y
y
!
2
1
y
!
1
1
y
!
0
1
dy
!
n
y
!
n
y
y
e
!
n
y
e
dy
e
3
n
2
n
2
y
2
3
n
3
n
2
3
0
n
3
n
0
n
3
n
0
n
3
y
n
y
y
2
3
3
y
y
:
potencias
de
series
usamos
y
integrar
Para
La solución es:








+
−
+
+
−
−
=
∑
+∞
=
2
3
n
n
2
y
C
2)n!
(n
y
ln(y)
y
2
1
y
2
1
x

11. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 10
4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
;
0
=
=
− y(1)
;
sen(ln(x))
x
y
xy' 2
Utilizando el método del factor integrante:
;
x
)
x
(
u
;
e
e
e
)
x
(
u
;
x
1
e
)
x
(
u
e
)
x
(
u
;
(x))
ln
xsen(
x
y
y'
;
(x))
ln
sen(
x
y
xy'
1
)
x
ln(
dx
x
1
dx
)
x
(
p
dx
)
x
(
p
;
dx
)
x
(
p
2
−
−
∫
−
∫
∫
∫
=
⇒
=
=
=
⇒
−
=
=
⇒
=
=
+
=
−
=
−
p(x)
donde
;
:
entonces
g(x),
p(x)y
y'
forma
siguiente
la
Tiene
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫
∫
=
=
=
⇒
=
⇒
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(x))dx
ln
sen(
x
y
(x))dx
ln
sen(
y
x
(x))dx
ln
sen(
y
x
d
(x))dx
ln
sen(
y
x
d
(x))
ln
sen(
y
x
dx
d
;
(x))
ln
xsen(
x
x
y
x
y'
x
1
1
1
1
1
y
x
dx
d
1
1
1
:
obtiene
se
l
diferencia
ecuación
la
de
lados
ambos
a
integrante
factor
el
ndo
Multiplica
4
43
4
42
1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;
Cx
2
))
x
cos(ln(
))
x
(ln(
sen
x
y
C
2
))
x
cos(ln(
))
x
(ln(
sen
x
x
y
;
C
2
))
x
cos(ln(
))
x
(ln(
sen
x
dx
))
x
(ln(
sen
;
C
2
)
z
cos(
)
z
(
sen
e
dz
e
)
z
(
sen
dz
e
)
z
(
sen
;
dz
e
)
z
(
sen
dx
))
x
(ln(
sen
;
dz
e
dx
;
;
xdz
dx
;
x
dx
dz
);
x
ln(
z
?
dx
))
x
(ln(
sen
2
z
z
z
z
z
+
−
=






+
−
=
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
=
=
=
=
=
⇒
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
:
que
obtenemos
partes
por
integrando
,
e
x
Pero z
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
1
C
;
C
2
1
0
;
C
2
)
0
cos(
)
0
(
sen
0
);
1
(
C
2
))
1
cos(ln(
))
1
(ln(
sen
1
0
;
0
)
1
(
y
;
Cx
2
))
x
cos(ln(
))
x
(ln(
sen
x
y
2
2
=
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
⇒
=
+
−
=
= 0;
y(1)
si
particular
solución
la
ahora
s
Encontremo
[ ]
2
x
2
cos(ln(x))
sen(ln(x))
x
y
:
es
solución
La
2
+
−
=

12. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 11
Ecuaciones diferenciales Exactas
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:
0;
y)
F(x,
:
es
solución
la
Donde
h(x);
y)
H(x,
y)
F(x,
:
obtiene
se
forma,
misma
la
de
procedemos
y
elige
se
Si
:
es
solucíon
La
:
Entonces
y).
F(x,
de
constante
La
y);
N(x,
y
y)
F(x,
con
igualando
Luego
:
y
a
respecto
con
y)
F(x,
derivando
Luego
:
obtiene
se
y),
M(x,
escogemos
Si
:
que
tal
y)
F(x,
:
existe
Entonces
x
y)
(x,
y
y)
M(x,
:
si
exacta
Es
0;
y)y'
N(x,
y)
M(x,
=
+
=
=
∂
∂
=
+
=
+
=
=
−
=
=
+
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
=
∂
=
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
+
∫
∫
,
N(x,y)
y
F(x,y)
;
0
h(y)
G(x,y)
;
0
F(x,y)
h(y);
G(x,y)
F(x,y)
)
y
(
h
G'(x,y);
N(x,y)
h'(y)
N(x,y);
h'(y)
G'(x,y)
);
y
(
'
h
)
y
,
x
(
'
G
y
)
y
,
x
(
F
h(y);
G(x,y)
F(x,y)
;
x
M(x,y)
F(x,y)
M(x,y)
x
F(x,y)
x
)
y
,
x
(
F
N(x,y);
y
F(x,y)
M(x,y);
x
F(x,y)
;
N
M
;
N
x
y

13. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 12
1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
( ) 0
dy
x
xln(x)
y
e
x
dx
4
x
x
yln(x)
x
e
y
4x
xy
4
3
xy
3
=






−
+
−
+






−
+
+
−
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
);
x
(
h
xy
)
x
ln(
yx
!
n
n
y
x
)
y
ln(
y
x
)
y
,
x
(
F
;
!
n
n
y
x
)
y
ln(
y
!
n
y
x
y
1
y
y
e
;
!
n
y
x
y
1
!
n
y
x
!
n
xy
y
1
y
e
y
y
e
);
x
(
h
xy
)
x
ln(
yx
y
y
e
y
x
)
y
,
x
(
F
;
y
x
(x)
ln
x
y
e
x
(F(x,y))
y;
x
(x)
ln
x
y
e
x
(F(x,y))
x;
(x)
ln
x
y
e
x
y
(F(x,y))
x;
(x)
ln
x
y
e
x
Fy
Si
Existe
Nx
My
;
(x)
ln
e
x
4
Nx
)
y
,
x
(
N
;
(x)
ln
e
x
4
M
;
4
x
x
(x)
ln
y
x
e
y
x
4
M(x,y)
1
n
n
n
4
1
n
n
n
1
n
1
n
n
xy
1
n
1
n
n
0
n
1
n
n
0
n
n
xy
xy
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
3
xy
3
y
3
xy
3
+
−
+
−
−
=
+
=
∂








+
=
∂








+
=
=
=
∂








+
−
+
∂








−
=
∂








−
+
−
=
∂
∂








−
+
−
=
∂
−
+
−
=
∂
∂
−
+
−
=
=



=
=
⇒
=
+
−
=
−
+
−
=
+
−
=
−
+
+
−
=
=






−
+
−
+






−
+
+
−
∑
∑
∫ ∑
∫
∑
∑
∑
∫
∫
∫
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
:
potencias
de
series
usa
se
integrar
Para
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
integrando
Entonces
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
y),
N(x,
Fy
y)
N(x,
Fy
y)
M(x,
Fx
donde
y),
F(x,
función
una
exacta;
es
l
diferencia
ecuacion
la
entonces
;
x;
xln(x)
y
e
x
0
y'
x
xln(x)
y
e
x
4
x
x
yln(x)
x
e
y
4x
xy
4
xy
4
3
xy
3

14. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 13
( )
( ) ( )
( )( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ;
0
C
4
x
7
4
x
3
xy
)
x
ln(
yx
!
n
n
y
x
)
y
ln(
y
x
;
C
4
x
7
4
x
3
xy
)
x
ln(
yx
!
n
n
y
x
)
y
ln(
y
x
)
y
,
x
(
F
;
C
4
x
7
4
x
3
)
x
(
h
;
C
z
7
z
3
)
z
(
h
;
dz
z
4
z
3
)
z
(
h
;
dz
z
3
z
4
z
)
z
(
h
;
4
z
x
4
x
z
;
dx
dz
z
3
;
4
x
z
;
dx
4
x
x
)
x
(
h
;
4
x
x
)
x
(
'
h
;
4
x
x
(x)
ln
y
x
e
y
x
4
)
x
(
'
h
)
x
ln(
y
x
e
y
x
4
:
);
x
(
'
h
)
x
ln(
y
x
e
y
x
4
Fx
);
x
(
'
h
y
)
x
ln(
y
y
!
n
y
x
y
x
4
Fx
);
x
(
'
h
y
)
x
ln(
1
y
!
n
n
y
x
n
y
x
4
Fx
;
4
x
x
(x)
ln
y
x
e
y
x
4
Fx
4
3
7
3
1
n
n
n
4
4
3
7
3
1
n
n
n
4
4
3
7
3
4
7
3
6
2
3 3
3
3
3
2
3
3
3
3
xy
3
xy
3
xy
3
1
n
n
1
n
3
1
n
n
1
n
3
3
xy
3
=








+
−
+
−
+
−
+
−
−
=








+
−
+
−
+
−
+
−
−
=








+
−
+
−
=






+
+
=
+
=
+
=
+
=
−
=
=
⇒
−
=
−
=
−
=
−
+
+
−
=
+
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
−
+
+
−
=
=
=
∑
∑
∫
∫
∫
∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
−
∞
+
=
−
:
decir
es
0,
y)
F(x,
s
implicitae
solución
La
:
Entonces
:
h(x)
Obteniendo
:
términos
Eliminando
Fx
do
reemplazan
Entonces
y);
M(x,
Fx
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
M,
Fx
si
Ahora

15. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 14
2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
0
y'
2
y
y
y
x
1)
ln(x
x
2xy
xy
1
x
xy
y 8
3
2
2
2
=








−
+
+
+
+
−
+






+
+
− ;
2
y
y
y
x
1
x
ln
x
xy
2
N(x,y)
xy
1
x
xy
y
M(x,y)
8
3
2
2
2
−
+
+
+
+
−
=
+
+
−
=
);
y
(
'
h
y
x
1
x
ln
x
xy
2
Fy
);
y
(
h
2
y
x
1
x
ln
y
xy
xy
)
y
,
x
(
F
);
y
(
h
2
y
x
x
1
x
1
y
x
y
xy
)
y
,
x
(
F
);
y
(
h
2
y
x
x
1
x
1
1
x
y
xy
)
y
,
x
(
F
);
y
(
h
2
y
x
x
1
x
x
y
xy
)
y
,
x
(
F
x;
xy
1
x
xy
y
(F(x,y))
xy
1
x
xy
y
x
(F(x,y))
;
xy
1
x
xy
y
M(x,y)
Fx
Si
Existe
;
Nx
My
;
xy
2
1
x
x
y
2
Nx
;
xy
2
1
x
1
x
1
y
2
Nx
;
xy
2
1
x
1
1
y
2
Nx
xy
2
1
x
x
y
2
My
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
−
=
=
=
+
+
+
+
−
=
+
+
∂
+
+
∂
−
=
+
+
∂
+
−
+
−
=
+
+
∂
+
−
=
∂






+
+
−
=
∂
+
+
−
=
∂
∂
+
+
−
=
=
=



=
=
⇒
=
+
+
−
=
+
+
−
−
+
=
+
+
+
−
=
+
+
−
=
∫ ∫
∫
∫
y);
N(x,
Fy
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
y),
N(x,
Fy
si
Ahora
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
y),
M(x,
Fx
y)
N(x,
Fy
y)
M(x,
Fx
donde
y),
F(x,
función
una
exacta.
es
l
diferencia
ecuación
la

16. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 15
( )
;
0
C
2
y
2
y
ln
2
8
1
2
y
x
1
x
ln
y
xy
xy
;
C
2
y
2
y
ln
2
8
1
2
y
x
1
x
ln
y
xy
xy
)
y
,
x
(
F
;
C
2
y
2
y
ln
2
8
1
)
y
(
h
;
C
2
z
2
z
ln
2
8
1
)
z
(
h
;
K
2
z
2
z
ln
2
2
1
4
1
2
z
dz
4
1
)
z
(
h
;
dy
y
4
dz
;
y
z
;
dy
2
y
y
)
y
(
h
;
dy
2
y
y
)
y
(
h
;
2
y
y
)
y
(
'
h
2
y
y
y
x
1
x
ln
x
xy
2
);
y
(
'
h
y
x
1
x
ln
x
xy
2
:
4
4
2
2
2
4
4
2
2
2
4
4
2
3
4
2
4
3
8
3
8
3
8
3
2
2
=
+
+
−
+
+
+
+
−
=
+
+
−
+
+
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=








+
+
−
=
−
=
=
⇒
=
−
=
−
=
−
=
−
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
∫
∫
∫
:
decir
es
0,
y)
F(x,
s
implicitae
solución
La
:
Entonces
:
h(y)
Obteniendo
:
términos
Eliminando
Fy
do
reemplazan
Entonces
3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea
exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:
0
y)dy
N(x,
dx
y
x
x
x
y 2
1/2
1/2
=
+








+
+
−
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx
( )
( )
( )
;
x
y
x
x
x
y
2
1
)
y
,
x
(
N
;
y
x
x
x
y
2
1
x
)
y
,
x
(
N
;
y
x
x
x
y
2
1
Nx
;
My
Nx
2
2
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
/
1
∂








+
−
=
∂
+
−
=
∂
∂
+
−
=
=
−
−
−
−
−
−

17. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 16
( )
( )
( )
;
C
y
x
2
1
x
y
)
y
,
x
(
N
;
C
u
2
1
x
y
)
y
,
x
(
N
;
u
u
2
1
x
y
)
y
,
x
(
N
;
x
x
2
u
;
y
x
u
;
x
y
x
x
x
y
)
y
,
x
(
N
;
x
y
x
x
x
y
2
1
)
y
,
x
(
N
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
2
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
/
1
+
+
+
=
+
+
=
∂
−
=
∂
=
∂
+
=
∂








+
−
=
∂








+
−
=
∂
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
( )
0
dy
C
y
x
2
1
x
y
dx
y
x
x
x
y 2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
=








+
+
+
+








+
+ −
−
Ahora como My = Nx;
);
y
(
'
h
)
y
x
(
2
1
y
x
Fy
h(y);
y
x
ln
2
1
x
y
2
F(x,y)
;
u
u
2
1
x
y
2
F(x,y)
x;
x
2
u
y;
x
u
x;
y
x
x
x
y
2
F(x,y)
x;
y
x
x
x
y
F(x,y)
x;
y
x
x
x
y
(F(x,y))
y
x
x
x
y
x
(F(x,y))
;
y
x
x
x
y
M(x,y)
Fx
Si
Existe
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
∂
+
=
∂
=
∂
+
=
∂
+
+
=
∂








+
+
=
∂








+
+
=
∂
+
+
=
∂
∂
+
+
=
=
=



=
=
⇒
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
y);
N(x,
Fy
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
y),
N(x,
Fy
si
Ahora
:
siguiente
lo
obtiene
se
entonces
y),
M(x,
Fx
y)
N(x,
Fy
y)
M(x,
Fx
donde
y),
F(x,
función
una

18. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 17
( )
;
0
;
K
Cx
y
x
ln
2
1
x
y
2
K;
Cx
y
x
ln
2
1
x
y
2
F(x,y)
h(y);
y
x
ln
2
1
x
y
2
F(x,y)
;
K
Cx
)
y
(
h
;
C
)
y
(
'
h
;
C
y
x
2
1
x
y
);
y
(
'
h
)
y
x
(
2
1
y
x
:
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+ −
−
:
decir
es
0,
y)
F(x,
s
implicitae
solución
La
:
Entonces
:
h(y)
Obteniendo
:
términos
Eliminando
Fy
do
reemplazan
Entonces

19. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 18
Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante
exacta.
es
l
diferencia
ecuación
la
Ahora
:
y
de
depende
que
integrante
factor
Un
exacta.
es
l
diferencia
ecuación
la
:
es
x
de
depende
solo
que
integrante
factor
Un
:
integrante
factor
un
necesita
se
tanto
lo
por
exacta,
no
l
diferencia
ecuación
una
es
Entonces
Nx;
My
Si
;
0
y'
u(y)N(x,y)
u(y)M(x,y)
;
e
u(y)
Ahora
;
0
y'
u(x)N(x,y)
u(x)M(x,y)
;
e
u(x)
;
0
'
y
)
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
M
dx
N(x,y)
Nx-My
dx
N(x,y)
My-Nx
=
+
∫
=
=
+
∫
=
≠
=
+
1) ( ) 1;
y(1)
Si
0;
dy
20
3y
2x
xydx 2
2
=
=
−
+
+
(
(
(
( )
)
)
) (
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
;
4
;
20
3
2
)
,
(
;
4
;
)
,
(
;
0
20
3
2
0
20
3
2
;
)
(
;
)
(
4
20
3
2
3
3
5
3
2
3
4
3
5
3
2
4
2
2
3
3
3
3
2
2
xy
Nx
y
y
y
x
y
x
N
xy
My
xy
y
x
M
dy
y
y
y
x
dx
xy
;
dy
y
x
y
xydx
y
y
y
u
y
y
u
x;
Nx
;
y
x
N(x,y)
x;
My
xy;
M(x,y)
dy
y
dy
xy
dy
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
≠
≠
≠
≠
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
































































































:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
u(y)
ando
mulitiplic
Luego
e
e
e
u(y)
:
integrante
factor
su
encontrar
debemos
tanto
lo
Por
exacta;
es
no
l
diferencia
ecuación
la
entonces
Nx;
My
3
x
-
4x
y)
M(x,
My
-
Nx

20. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 19
(
((
( )
))
)
;
C
y
y
y
x
C;
y
y
y
x
F(x,y)
C
y
y
y
h
dy
y
y
y
h
;
y
y
h'(y)
;
y
y
y
x
h'(y)
y
x
y
h
y
x
y
x
F
x
xy
y
x
F
xy
x
y
x
F
0
5
2
2
5
2
2
;
5
2
)
(
;
20
3
)
(
20
3
20
3
2
2
);
(
2
)
,
(
;
)
,
(
;
))
,
(
(
4
6
4
2
4
6
4
2
4
6
3
5
3
5
3
5
3
2
3
2
4
2
4
4
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=












=
=
=
=
=
=
=
=
∃
∃
∃
∃
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
:
Entonces
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
:
talque
y))
(F(x,
:
exacta
es
l
diferencia
ecuación
la
tanto
lo
por
Nx,
My
2) ( )
[ ] 0;
dx
ln(x)
1
xy
y
-
2xdy 3
=
+
+
( )( ) ( ) ( )
;
0
8
y
10
y
y
x
;
0
4
y
5
2
y
2
y
x
;
4
C
;
1
5
C
;
0
C
5
2
1
2
1
;
0
C
1
5
2
1
2
1
1
;
0
C
y
5
2
y
2
y
x
4
6
4
2
4
6
4
2
4
6
4
2
4
6
4
2
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
=
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
:
solución
La
1;
y(1)
Si

21. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 20
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )
( )
C
)
y
(
h
;
0
h'(y)
;
y
x
2
h'(y)
y
x
2
);
y
(
h
4
x
)
x
ln(
2
x
2
x
y
x
)
y
,
x
(
F
;
x
(x)
ln
1
x
y
1
)
y
,
x
(
F
;
(x)
ln
1
x
y
1
x
))
y
,
x
(
F
(
;
y
2
Nx
;
y
x
2
)
y
,
x
(
N
;
y
2
My
;
(x)
ln
1
x
y
1
)
y
,
x
(
M
;
0
dy
y
x
2
dx
(x)
ln
1
x
y
1
;
0
xdy
2
y
1
dx-
(x)
ln
1
xy
y
y
1
;
y
1
e
e
)
y
(
u
e
e
)
y
(
u
;
e
)
y
,
x
(
N
(x);
ln
xy
3
xy
3
1
My
;
(x)
ln
1
xy
y
M(x,y)
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
3
2
3
3
3
3
dy
y
3
dy
)
x
ln(
1
xy
1
y
)
x
ln(
1
xy
1
3
dy
)
x
ln(
1
xy
1
y
(x);
ln
xy
3
xy
3
3
dy
(x)
ln
1
xy
y
(x);
ln
xy
3
xy
3
1
2
dy
)
y
,
x
(
M
My
Nx
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
=
=
−
=
+
−
=
+
−
+
+
=
∂






+
+
=
+
+
=
∂
∂
=



=
=
∃
=
−
=
−
=
−
=
+
+
=
=








−






+
+
=
+
+
=
∫
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
=
+
+
=
+
+
=
=
+
+
∫
−








+
+
+
+
−








+
+
−
−
−








+
+
−
−
−
−







 −
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
:
talque
y))
(F(x,
:
exacta
es
e.d.
la
tanto
lo
por
Nx,
My
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
u(y)
ando
mulitiplic
Luego
u(y)
-2;
Nx
-2x;
0;
2xdy
-
dx
ln(x)
1
xy
y 3
;
0
C
4
x
)
x
ln(
2
x
2
x
y
x
;
C
4
x
)
x
ln(
2
x
2
x
y
x
)
y
,
x
(
F
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
+
−
+
+
=
:
Entonces

22. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 21
3) ( ) 2xyln(y);
y'
1
y
y
x 2
2
2
−
=
+
+
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( )
;
C
u
u
3
1
C
u
3
2
2
1
du
u
2
1
)
y
(
h
;
ydy
2
du
;
1
y
u
;
dy
1
y
y
)
y
(
h
;
1
y
y
h'(y)
;
1
y
y
y
x
h'(y)
y
x
);
y
(
h
)
y
ln(
x
)
y
,
x
(
F
;
x
(y)
ln
x
2
)
y
,
x
(
F
;
;
(y)
ln
x
2
x
))
y
,
x
(
F
(
;
y
x
2
Nx
;
1
y
y
y
x
)
y
,
x
(
N
;
y
x
2
My
;
(y)
ln
x
2
)
y
,
x
(
M
;
0
y'
1
y
y
y
x
(y)
ln
x
2
;
0
y'
1
y
y
x
y
1
(y)
ln
xy
2
y
1
;
y
1
)
y
(
u
;
e
e
e
)
y
(
u
;
e
)
y
(
u
;
x
2
Nx
;
1
y
y
x
)
y
,
x
(
N
;
)
y
ln(
1
x
2
My
;
(y)
ln
xy
2
)
y
,
x
(
M
;
0
y'
1
y
y
x
(y)
ln
xy
2
2
/
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
y
1
dy
)
y
ln(
xy
2
)
y
ln(
x
2
dy
(y)
ln
xy
2
)
y
ln(
1
x
2
x
2
dy
)
y
,
x
(
M
My
Nx
2
2
2
2
2
2
+
=






+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
=
∂
=
=
∂
∂
=



=
=
∃
=
=
+
+
=
=
=
=






+
+
+
=
+
+
+
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
+
+
=
+
=
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
−







 −







 +
−







 −
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
y);
N(x,
Fy
y);
M(x,
Fx
:
talque
y))
(F(x,
:
exacta
es
e.d.
la
tanto
lo
por
Nx,
My
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
u(y)
multiplica
se
Luego
( )
( )
( ) ;
0
C
1
y
1
y
)
y
ln(
x
;
C
1
y
1
y
)
y
ln(
x
)
y
,
x
(
F
C;
1
y
1
y
3
1
h(y)
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
3
1
3
1
:
Entonces

23. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 22
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
) { (
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
)
.
integrante
factor
del
método
el
por
resolver
puede
se
que
Lineal,
l
diferencia
ecuación
una
es
Esto
:
siguiente
lo
obtiene
Se
:
Bernoulli
de
ecuación
la
de
lados
ambos
a
factor
el
rá
multiplica
Se
:
e
variabl
de
cambio
siguiente
el
haciendo
lineal
en
convierte
la
se
que
lineal,
no
l
diferencia
ecuación
una
es
Esta
0,1.
n
donde
Bernoulli,
de
l
diferencia
ecuación
una
:
es
Esto












−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≠
≠
≠
≠
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
1
1
1
1
.
:
)
(
)
(
1
1
x
g
n
v
x
p
n
dx
dv
x
g
n
y
x
p
n
dx
dy
y
n
y
x
g
y
n
y
x
p
y
n
dx
dy
y
n
y
n
dx
dy
y
n
dx
dy
dy
dv
dx
dv
Donde
y
v
y
x
g
y
x
p
dx
dy
Sea
v
n
dx
dv
n
n
n
n
n
n
n
n
n
4
43
4
42
1

24. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 23
La solución general es:
;
x
K
9
2x
3
2xln(x)
x
3
2
1
y
2
+
+
−
−
=
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )
∫
∫
∫
−
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
∫
=
+
−
=
+
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
−
−
=
=
=
=
=
+
=
−
=






+
+
−
=
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
;
dx
)
x
ln(
x
2
x
3
2
v
x
;
dx
)
x
ln(
x
x
2
v
x
;
dx
(x)
ln
1
x
2
v
x
;
(x)
ln
1
x
2
dx
v
x
d
;
(x)
ln
1
x
2
x
v
2
x
'
v
x
;
x
e
)
x
(
u
;
(x)
ln
1
2
x
v
2
'
v
;
(x)
ln
1
2
x
y
2
y'
y
2
;
(x)
ln
1
y
y
2
x
y
y
2
y'
y
2
y
2
;
dx
dy
y
2
dx
dv
'
v
;
y
v
;
(x)
ln
1
y
x
y
y'
;
0
(x)
ln
1
y
x
y
y'
;
0
dx
(x)
ln
1
xy
y
xdy-
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dx
x
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
:
integrante
factor
por
o
Resolviend
:
v'
y
v
do
Reemplazan
:
ecuación
la
de
ambos
a
multiplica
se
Luego
;
y
v
sustituye
Se
3;
n
n
1
1) ( )
[ ] 0;
dx
ln(x)
1
xy
y
-
xdy 3
=
+
+
.
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
;
9
2
3
)
ln(
2
3
2
:
;
9
2
3
)
ln(
2
3
2
;
9
2
3
)
ln(
2
3
2
;
9
3
)
ln(
)
ln(
;
3
;
);
ln(
?
)
ln(
2
2
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
2
x
K
x
x
x
x
y
x
K
x
x
x
x
v
K
x
x
x
x
v
x
C
x
x
x
dx
x
x
x
v
dx;
x
dv
x
dx
du
x
u
dx
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
y
v
do
Reemplazan
:
solución
la
Despejando
2
-

25. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 24
2) 1;
y(1)
si
ln(x);
y
y
xy' 2
=
=
+
∫
=
=






=
−
=
∫
=
=
−
−
=
−
−
−
−
=
=
=
=
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
;
dx
x
)
x
ln(
v
x
1
;
x
)
x
ln(
dx
v
x
1
d
;
x
)
x
ln(
x
v
'
v
x
1
;
x
1
e
)
x
(
u
;
x
)
x
ln(
x
v
'
v
;
x
)
x
ln(
y
y
x
y
y
'
y
y
y
;
dx
dy
y
dx
dv
;
y
y
v
;
x
)
x
ln(
y
x
y
'
y
2
2
2
2
x
dx
2
2
2
2
2
2
1
n
1
2
:
integrante
factor
del
método
el
por
o
Resolviend
:
ecuación
la
en
v'
y
v
do
Reemplazan
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
multiplica
se
Luego
2;
n
;
Cx
1
)
x
ln(
1
y
;
Cx
1
)
x
ln(
y
;
Cx
1
)
x
ln(
v
C;
x
1
x
)
x
ln(
-
v
x
1
;
x
dx
x
)
x
ln(
-
v
x
1
;
x
1
-
v
;
x
dx
dv
;
x
dx
du
(x);
ln
u
?
dx
x
)
x
ln(
1
2
2
2
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
=
+
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
−
∫
∫
Integrando
;
2
C
;
1
1
C
1
C-
1
1
=
=
−
=
= :
entonces
1,
y(1)
Si
;
2x
1
ln(x)
1
y
:
es
solución
La
+
−
−
=

26. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 25
3) [ ] 0;
dx
x)
(1
4xy
1
y
x)dy
4(1 2
=
+
+
+
+
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ;
x
1
C
x
1
4
3
x
1
4
y
;
C
x
1
4
3
x
1
4
v
;
C
x
1
4
3
x
1
4
v
x
1
1
;
C
x
1
4
3
x
1
4
dx
x
1
x
2
;
C
z
4
3
z
4
dz
1
z
4
;
dz
1
z
4
z
zdz
2
1
z
2
dx
x
1
x
2
;
1
z
x
;
dx
zdz
2
;
x
1
z
?;
dx
x
1
x
2
;
dx
x
1
x
2
v
x
1
1
;
x
1
x
2
dx
v
x
1
1
d
;
x
1
x
2
x)
1
(
4
v
2
x
1
1
'
v
x
1
1
;
x
1
1
e
e
)
x
(
u
;
x
2
x)
1
(
4
v
2
'
v
;
xy
y
2
x)
1
(
4
y
y
2
'
y
y
2
;
dx
dy
y
2
dx
dv
;
y
y
v
;
xy
x)
1
(
4
y
'
y
0
xy
x)
1
(
4
1
y
'
y
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
x
1
ln
2
1
dx
)
x
1
(
2
1
3
3
3
3
3
2
n
1
3
2
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
−
=
−
−
=
−
=
+
−
=
=
⇒
+
=
=
+
+
=
+
+
=






+
+
=
+
+
−
+
+
=
=
∫
=
=
+
−
=
+
−
+
−
−
=
=
=
=
−
=
+
+
=






+
+
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
2y
-
multiplica
se
Luego
3;
n
3
-
( )
( )
;
x
1
C
x
1
4
3
x
1
4
1
y
2
+
+
+
−
+
=
La solución
general es:

27. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 26
4) ctg(x);
2y
4csc(2x)y
3y' 1/2
−
=
+
[ ]
( )
;
4
1
C
;
C
4
1
;
C
4
;
)
x
(
Cctg
)
x
(
xctg
y
);
x
(
Cctg
)
x
(
xctg
y
);
x
(
Cctg
)
x
(
xctg
v
;
C
x
v
)
x
tan(
;
dx
v
)
x
tan(
;
dx
v
)
x
tan(
;
1
dx
v
)
x
tan(
d
);
x
(
ctg
)
x
tan(
v
)
x
2
csc(
)
x
tan(
2
'
v
)
x
tan(
);
x
tan(
)
x
cos(
)
x
(
sen
)
x
(
sen
2
)
x
2
(
sen
2
)
x
2
cos(
1
)
x
2
(
sen
)
x
2
cos(
1
)
x
(
u
;
)
x
2
(
sen
)
x
2
cos(
)
x
2
(
sen
1
)
x
(
u
);
x
2
(
ctg
)
x
2
csc(
)
x
(
u
e
e
)
x
(
u
);
x
(
ctg
v
)
x
2
csc(
2
'
v
);
x
(
ctg
y
3
2
y
2
3
y
)
x
2
csc(
3
4
y
2
3
'
y
y
2
3
y
2
3
;
'
y
y
2
3
'
v
;
y
y
v
;
2
1
);
x
(
ctg
y
3
2
y
)
x
2
csc(
3
4
'
y
3
2
3 2
2
/
3
2
)
x
2
(
ctg
)
x
2
csc(
ln
dx
)
x
2
csc(
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
3
n
1
2
/
1
π
−
=
+
π
=






+
π
=
=
π
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
=
+
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
∫
=
=
+
=
+
=
=
=
−
=
=
+
∫
∫
−
−
−
−
1
1;
/4)
y(
Si
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
multiplica
Se
n

28. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 27
;
)
x
(
ctg
4
1
)
x
(
xctg
y 3
2











 π
−
+
=
:
es
particular
solución
La
Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma 





=
x
y
f
'
y
);
x
(
x
y
);
x
(
x
y
);
x
(
v
;
x
dx
v
)
v
(
f
dv
;
v
)
v
(
f
dx
dv
x
);
v
(
f
dx
dv
x
v
;
x
y
f
dx
dy
;
dx
dv
x
v
;
;
x
y
f
dx
dy
φ
=
φ
=
φ
=
=
−
−
=
=
+






=
+
=
=
=






=
=
:
ecuación
la
en
y'
y
v,
do
Reemplazan
dx
dy
vx;
y
entonces
x
y
v
:
ón
sustituci
siguiente
la
hace
Se
:
como
ecuación
esta
expresar
puede
se
si
homogénea
es
y)
f(x,
dx
dy
ecuación
la
que
dice
Se

29. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 28
1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:
;
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
2
2






+
=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sen(2v)
8
1
-
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)
v
6
v
v
sec
dv
v
sen(2v)
8
1
-
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)
v
6
v
dv
cos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)
v
6
v
v
sec
dv
v
dv
cos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
2
sen(2v)
v
6
v
vsen(2v)dv
4
sen(2v)
v
6
v
v
sec
dv
v
cos(2v)
2
1
n
sen(2v)dv
dn
dv.
dm
v
m
vsen(2v)dv
4
sen(2v)
v
6
v
v
sec
dv
v
dv
2
2vsen(2v)
2
sen(2v)
v
6
v
dv
cos(2v)
v
2
1
dv
2
v
v
sec
dv
v
;
2
sen(2v)
n
cos(2v)dv
dn
2vdv;
dm
v
m
dv
2
cos(2v)
v
dv
2
v
dv
2
cos(2v)
v
2
v
v
sec
dv
v
dv
2
cos(2v)
v
2
v
dv
2
cos(2v)
1
v
(v)dv
cos
v
v
sec
dv
v
?
v
sec
dv
v
;
x
dx
v
sec
dv
v
:
rando
Integ
x
dx
v
sec
dv
v
separable.
l
diferencia
Ecuación
v
v
sec
dx
dv
x
v
x
v
sec
dx
dv
x
;
v
x
v
sec
v
v
dx
dv
x
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
:
obtiene
se
v,
dx
dv
x
dx
dy
,
x
y
v
xv,
y
,
l
diferencia
ecuación
la
en
do
Reemplazan
v;
dx
dv
x
dx
dy
xv;
y
x
y
v
:
que
Asumiendo
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
=






+
−
−
+
=






+
−
−
+
=
−
+
=
−
=
⇒
=
=
⇒
=
−
+
=






−
+
=
+








=
=
⇒
=
=
⇒
=








+








=








+
=








+
=





 +
=
=
=
=
=
⇒



=
⇒
=
⇒
+
=
+
⇒






+
=
+
=
=
=
+
=
⇒
=
⇒
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
1
2
1
2
1

30. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 29
( )
;
C
C
x
y
v
do
Reemplazan
x
1
sen(2v)
8
1
-
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)
v
6
v
x
1
sen(2v)
8
1
-
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)
v
6
v
x
dx
v
sec
dv
v
2
2
3
2
2
3
3
2
2
=
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
⇔
=
∫
∫
2) ( ) ( ) /2;
y(1)
si
0;
dy
x
dx
2x
y
xy 2
2
2
2
4 =
=
−
+
+
C
La
+
−
=
























+


















+






2
2
3
x
1
x
y
2
sen
8
1
-
x
y
2
cos
4
v
4
x
y
2
sen
x
y
6
x
y
:
por
expresada
queda
implícita
forma
de
solución
( )
;
4
K
;
K
tan
2
1
2
;
K
2
x
ln
4
tan
2
x
y
;
K
2
x
ln
4
tan
2
1
x
y
;
K
2
x
ln
4
tan
2
1
v
;
K
2
x
ln
4
tan
v
2
π
=
=
=








+
=








+
=








+
=








+
=
2
;
2
2
y(1)
Si
:
obtiene
se
lados
ambos
a
tan
Aplicando
;
4
2
x
ln
4
tan
2
x
y 






 π
+
=
:
es
particular
solución
La
( )
( )
( )
( )
( ) ;
K
2
x
ln
4
v
2
arctan
;
C
x
ln
4
v
2
arctan
2
;
x
dx
4
2
/
1
v
dv
;
x
dx
2
/
1
v
4
dv
;
x
dx
2
v
4
dv
;
2
v
4
dx
dv
x
;
2
v
4
v
dx
dv
x
v
;
dx
dv
x
v
dx
dy
;
xv
y
;
x
y
v
;
2
x
y
4
x
y
dx
dy
;
x
x
2
y
4
xy
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
=
+
+
=
+
+
=
∫
∫

31. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 30
3) 0;
x
donde
0;
)
y(x
;
y
x
y
dx
dy
x 0
0
2
2
=
−
+
=
/4;
y(1)=
=
=
=
;
'
xv
v
'
y
;
xv
y
;
x
y
v
;
x
y
1
x
y
dx
dy
;
x
y
x
x
y
dx
dy
;
x
y
x
x
y
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
+
=
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
:
asume
Se
4) ( ) 0;
ydx
dy
ln(y)
ln(x)
x =
−
−
( )
( )
( )
;
x
y
ln
x
y
dx
dy
;
(x)
ln
(y)
ln
x
y
dx
dy
;
0
ydx
dy
(x)
ln
(y)
ln
x
;
0
ydx
dy
(y)
ln
(x)
ln
x












−
=
−
−
=
=
+
−
=
−
−
;
'
xv
v
'
y
;
xv
y
;
x
y
v
+
=
=
=
:
asume
Se
La solución general de forma implícita es:
C;
x
ln
x
y
ln
1
ln
x
y
ln +
−
=






+
−
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
;
2
ln
;
2
);
(
1
;
ln
;
ln
;
ln
;
ln
)
(
;
;
1
;
1
;
1
'
;
1
'
2
2
2
2
























+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
π
π
π
π
π
π
π
π
x
xsen
y
C
C
sen
C
x
xsen
y
C
x
sen
x
y
C
x
sen
v
C
x
v
arcsen
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x
v
xv
v
v
xv
v
:
es
paticular
solución
La
1;
y(1)
Si
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
;
ln
)
ln(
1
ln
ln
;
ln
1
ln
;
ln
1
1
;
ln
1
;
);
ln(
;
)
ln(
1
)
ln(
;
ln
)
ln(
1
;
ln
'
;
ln
'
C
x
v
v
C
x
u
u
C
x
du
u
du
C
x
du
u
u
v
dv
du
v
u
x
dx
dv
v
v
v
v
v
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dx
dv
x
v
v
v
xv
v
v
xv
v
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
































+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
































+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
























−
−
−
−
=
=
=
=
































+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

32. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 31
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales
1)
( )
( )
;
4
y
2x
5
x
2y
dx
dy
−
−
+
−
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
;
z
z
2
1
z
2
du
dz
u
;
z
2
1
z
2
du
dz
u
z
;
du
dz
u
z
du
dv
;
zu
v
;
u
v
z
;
u
v
2
1
u
v
2
du
dv
;
v
u
2
u
v
2
du
dv
;
3
h
;
1
-
k
;
0
4
k
h
2
;
0
5
h
k
2
4
k
h
2
v
u
2
5
h
k
2
u
v
2
du
dv
;
4
k
v
h
u
2
5
h
u
k
v
2
du
dv
;
du
dv
dx
dy
;
k
v
y
;
h
u
x
;
4
1
);
2
(
2
)
1
)(
1
(
;
b
a
b
a
;
0
dy
4
y
x
2
dx
)
5
y
2
x
(
1
2
2
1
−
−
−
=
−
−
=
+
+
=
=
=
−
−
=
−
−
=
=
=



=
−
−
=
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
+
+
−
+
=
=
+
=
+
=
≠
−
−
≠
≠
=
−
−
−
−
−
:
homogénea
l
diferencia
ecuación
una
como
o
Resolviend
:
homogénea
ecuación
una
obtener
poder
para
u,
para
o
Divivdiend
:
Entonces
:
el sistema
o
Resolviend
;
obtiene
se
ecuación,
la
en
y'
y,
x,
do
Reemplazan
:
asume
Se

33. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 32
( )
( )
;
u
du
1
z
dz
2
z
;
z
2
z
z
2
1
z
2
du
dz
u
2
2
−
=
−
−
−
+
−
−
=
( )
( )
( )
( )
;
C
u
ln
1
z
1
z
ln
1
z
ln
2
1
;
u
du
1
z
dz
2
1
z
dz
z
2
2
2
+
−
=
+
−
−
−
−
=
−
−
− ∫
∫
∫
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
;
C
3
x
ln
1
3
x
1
y
ln
2
1
1
3
x
1
y
ln
2
3
;
3
x
u
;
h
x
u
;
1
y
v
;
k
y
v
;
C
u
ln
1
u
v
ln
2
1
1
u
v
ln
2
3
;
C
u
ln
1
z
ln
2
1
1
z
ln
2
3
;
C
u
ln
1
z
ln
1
z
ln
1
z
ln
2
1
1
z
ln
2
1
;
C
u
ln
1
z
1
z
ln
1
z
1
z
ln
2
1
;
C
u
ln
1
z
1
z
ln
1
z
ln
2
1 2
+
−
−
=






−
−
+
−






+
−
+
−
=
⇒
−
=
+
=
⇒
−
=
+
−
=






−
−






+
+
−
=
−
−
+
+
−
=
+
+
−
−
+
+
−
+
−
=
+
−
−
+
−
+
−
=
+
−
−
−
:
es
implícita
forma
de
solución
La
2) ( ) ( ) 0;
dy
3
7y
3x
dx
7
7x
3y =
−
−
−
+
−
( )
( )
( )
;
3
y
7
x
3
7
y
3
x
7
dx
dy
;
du
dv
dx
dy
;
k
v
y
;
h
u
x
;
9
49
);
3
(
3
)
7
)(
7
(
;
b
a
b
a 1
2
2
1
+
+
−
+
+
−
=
=
+
=
+
=
−
≠
−
−
≠
−
≠
:
Usando

34. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 33
( ) ( )
( ) ( )



=
+
+
−
=
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
=
;
0
3
k
7
h
3
;
0
7
k
3
h
7
3
k
7
h
3
v
7
u
3
7
k
3
h
7
v
3
u
7
du
dv
3
k
v
7
h
u
3
7
k
v
3
h
u
7
du
dv
;
:
y'
y
y
x,
do
Reemplazan
;
u
v
z
;
u
v
7
3
u
v
3
7
du
dv
;
v
7
u
3
v
3
u
7
du
dv
;
1
h
;
0
k
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
=
=
:
el sistema
o
Resolviend
;
z
z
7
3
z
3
7
du
dz
u
;
z
7
3
z
3
7
du
dz
u
z
;
du
dz
u
z
du
dv
;
zu
v
−
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
+
+
=
=
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
;
1
7
1
6
1
7
;
1
ln
7
1
6
1
7
ln
;
ln
7
6
7
ln
;
ln
7
6
7
ln
;
ln
2
7
6
7
ln
;
ln
7
6
7
6
14
14
7
;
7
6
7
6
14
14
7
;
3
3
6
14
14
7
3
7
;
6
14
;
7
6
7
;
7
6
7
3
7
;
3
7
7
6
7
;
7
3
7
3
3
7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
























−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
























−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
























+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
C
x
y
x
y
K
x
x
y
x
y
K
u
u
v
u
v
K
u
z
z
C
u
z
z
C
u
z
z
dz
z-
u
du
z
z
dz
z-
z-
z
z-
du
z
z
u
u
du
z
z
dz
z
z
z
z
du
dz
u
z
z
z
z
du
dz
u
:
es
implícita
forma
de
solución
La

35. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 34
3) ( ) ( ) 0;
y
x
1
y'
5
x
y =
−
−
−
−
−
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
;
5
x
y
y
x
1
dx
dy
;
k
v
y
;
h
u
x
;
1
1
;
1
1
1
1
;
b
a
b
a
;
0
y'
5
x
y
-x-y
1
1
2
2
1
−
−
−
−
=
+
=
+
=
−
≠
−
≠
−
−
≠
=
−
−
−
Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación:
( ) ( )
( ) ( )
;
5
k
h
v
u
1
k
h
v
u
du
dv
;
5
h
u
k
v
k
v
-
h
u
-
1
du
dv
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
=
−
+
−
+
+
+
=
;
du
dz
u
z
du
dv
;
zu
v
;
u
v
z
;
u
v
1
u
v
1
du
dv
v
u
v
u
du
dv
;
3
k
;
2
-
h
;
0
5
k
h
;
0
1
k
h
+
=
=






=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
=
=



=
−
+
−
=
+
−
−
:
ecuaciones
de
el sistema
o
Resolviend
;
z
1
z
z
z
1
du
dz
u
;
z
z
1
z
1
du
dz
u
;
z
1
z
1
du
dz
u
z
2
+
−
−
+
−
−
=
−
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
+

36. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 35
( )
( )
;
C
2
x
ln
2
x
3
y
arctan
1
2
x
3
y
ln
2
1
;
C
u
ln
u
v
arctan
1
u
v
ln
2
1
;
C
u
ln
)
z
arctan(
1
z
ln
2
1
;
u
du
1
z
dz
1
z
;
1
z
1
z
du
dz
u
2
2
2
2
2
+
+
−
=






+
−
−
+






+
−
+
−
=






−
+






+
−
=
−
+
−
=
+
−
−
+
−
=
∫
∫
:
es
l
diferencia
ecuación
la
de
implicita
solución
La
Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by)
Se asume el siguiente cambio de variable
Despejando y:
Reemplazando y, y’ en:
Se obtiene una ecuación diferencial de la forma:
Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma:

37. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 36
1. ( ) ( ) 7/4;
y(0)
si
;
1
y
x
1
y
x
y' 2
2
=
−
+
−
+
+
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
;
x
4
1
e
2
y
;
2
k
;
4
1
k
4
7
;
;
x
4
1
ke
y
;
4
1
ke
y
x
;
4
1
ke
z
;
ke
1
z
4
;
C
x
4
1
z
4
ln
;
C
x
1
z
4
ln
4
1
;
dx
1
z
4
dz
;
1
z
4
dx
dz
;
1
1
z
2
z
1
z
2
z
dx
dz
;
1
z
1
z
1
dx
dz
;
1
y
x
1
y
x
y'
;
1
dx
dz
dx
dy
;
x
z
y
;
y
x
z
x
4
x
4
x
4
x
4
x
4
2
1
2
2
2
2
2
2
−
−
=
=
−
=
=
−
−
=
−
=
+
−
=
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
−
−
+
+
=
−
−
+
=
−
−
+
−
+
+
=
−
=
−
=
+
=
∫
∫
:
es
particular
solución
La
4
7
y(0)
Si
:
sustituye
Se

38. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 37
2. ;
y(0)
si
y);
(x
tan
y' 2
π
=
+
=
;
2
x
4
)
y
2
x
2
(
sen
y
2
x
2
;
2
k
;
K
)
2
(
sen
2
;
K
x
4
)
y
2
x
2
(
sen
y
2
x
2
;
C
x
4
)
y
2
x
2
(
sen
2
y
x
;
C
x
4
)
z
2
(
sen
2
z
;
C
x
dz
2
)
z
2
cos(
1
;
C
x
dz
)
z
(
cos
;
dx
)
z
(
sec
dz
);
z
(
sec
dx
dz
);
z
(
tan
1
dx
dz
);
z
(
tan
1
dx
dz
);
y
x
(
tan
'
y
;
1
dx
dz
dx
dy
;
x
z
y
;
y
x
z
2
2
2
2
2
2
π
+
=
+
+
+
π
=
=
π
+
π
π
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=





 +
+
=
=
=
+
=
=
−
+
=
−
=
−
=
+
=
∫
∫
∫
∫
:
es
particular
solución
La
;
y(0)
Si

39. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 38
3. 5;
5
2y
-
10x
y' −
+
=
;
C
x
10
5
y
2
x
10
ln
10
5
y
2
x
10
;
y
2
x
10
z
;
C
x
10
5
z
ln
10
5
z
;
10
5
z
ln
10
5
z
5
2
20
dz
;
10
u
ln
10
u
u
10
udu
;
10
u
du
10
du
10
u
udu
;
10
u
10
1
;
10
u
udu
u
10
udu
;
u
10
udu
u
2
20
udu
2
5
2
20
dz
;
dz
udu
2
;
5
z
u
;
dx
5
2
20
dz
;
5
2
20
dx
dz
;
10
5
2
dx
dz
10
5
dx
dz
2
1
5
;
dx
dz
2
1
5
dx
dy
;
2
z
2
x
10
y
;
y
2
x
10
z
2
+
=
−
+
−
−
+
−
−
−
=
+
=
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
=
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
=
+
−
=
+
=
=
+
−
+
−
=
−
+
=
−
−
+
=
−
−
=
−
=
−
=
−
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
:
es
explicita
forma
de
solucion
La
:
integrales
las
o
eemplazand
R
z
10
-
u
u
10;
-
u
para
u
Dividiendo
z
z
z
z
5;
z
5;
5
2y
-
10x
y'

40. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 39
4. ( ) ( ) 0;
dy
1
2y
4x
dx
y
2x =
−
+
−
+
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ;
C
x
2
y
x
2
5
ln
25
1
y
x
2
5
2
;
C
x
2
z
5
ln
25
1
z
5
2
;
dx
2
z
5
5
dz
5
dz
2
;
2
z
5
5
1
5
2
;
dx
2
z
5
dz
1
z
2
;
1
z
2
1
z
2
2
z
dx
dz
;
2
1
z
2
z
dx
dz
;
1
z
2
z
2
dx
dz
;
2
dx
dz
dx
dy
;
x
2
z
y
;
y
x
2
z
;
1
y
x
2
2
y
x
2
dx
dy
;
4
4
1
4
2
2
b
a
b
a 1
2
2
1
+
=
−
+
−
+
+
=
−
−
=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
+
=
+
−
=
−
=
−
−
=
−
=
+
=
−
+
+
=
−
=
−
−
=
−
=
∫
∫
∫
:
es
implícita
forma
de
solución
La
2
-
5z
1
-
2z
Dividiendo
:
do
Reemplazan

41. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 40
Ecuaciones de Primer Orden
Aplicaciones
1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a
80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura
está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de
50ºC.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) min
67
.
20
0453
.
0
74
29
ln
50
21
74
º
50
min
21
74
min
º
0453
.
0
5
74
59
ln
80
21
74
5
º
80
min
5
21
74
74
21
95
95
21
0
º
95
0
21
º
21
ln
1
0453
.
0
1
1
0453
.
0
5
0
1
=
−






=
→
=
+
=
∴
=
+
=
−
=






=
→
=
+
=
∴
=
+
=
=
−
=
→
=
+
=
∴
=
+
=
∴
+
=
+
=
−
=
−
−
=
−
−
∫
∫
t
e
t
T
C
a
está
café
el
t
t
en
e
t
T
C
k
e
T
C
a
está
café
el
t
en
e
t
T
C
Ce
T
C
a
está
café
el
t
en
Ce
t
T
C
es
cuarto
del
a
temperatur
la
que
sabemos
T
Ce
t
T
C
kt
T
T
kdt
T
T
dT
T
T
k
dt
dT
t
t
k
kt
k
kt
a
kt
a
a
a
2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico
encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula
donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante
de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y
media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el
momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de
Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?
( )
( )
( )
( )
aula
del
a
Temperatur
cuerpo
del
a
Temperatur
tiempo
al
respecto
con
a
temperatur
la
de
Variación
:
dt
dT
dt
dT
:
Newton
de
to
enfriamien
de
Ley
:
T
:
T
T
T
K
a
c
a
c −
−
=

42. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 41
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
5
.
1
t
9924
.
1
k
9924
.
1
5
.
1
t
k
11
5
.
1
ln
5
.
1
t
k
;
11
5
.
1
e
5
.
1
e
11
5
.
27
26
e
11
)
5
.
1
;
t
7047
.
1
k
7047
.
1
kt
11
2
ln
kt
;
11
2
e
2
e
11
28
26
e
11
)
C
28
)
Si
26
e
11
)
t
(
T
26
C
s:
C entonce
37
ir era de
tes de mor
eratura an
Si la temp
26
Ce
)
t
(
T
26
Ce
)
t
(
T
Ce
26
T
e
C
Kt
26
T
l
Kdt
26
T
dT
Kdt
26
T
dT
;
26
T
K
dt
dT
C
5
.
27
)
5
.
1
T(t
1
1
1
5
.
1
t
K
5
.
1
t
K
5
.
1
t
K
1
1
1
Kt
Kt
Kt
Kt
c
Kt
c
Kt
c
Kt
c
C
Kt
26
T
l
c
c
c
c
1
1
1
1
1
1
1
c
2)
(ecuación
T(t
C
27.5
1.5)
T(t
Si
1)
(ecuación
T(t
T(t
11
C
37
C;
37
T(0)
;
;
e
n
1.5.
t
:
entonces
será
C
27.5
de
es
a
temperatur
la
que
en
tiempo
El
C.
27.5
a
desciende
cuerpo
del
a
temperatur
la
media
y
hora
una
de
Después
C
28
)
T(t
.
t
es
C
28
de
es
a
temperatur
la
que
en
tiempo
El
C.
28
es
hallado
es
cuando
cuerpo
del
a
temperatur
La
C
26
T
horas.
en
tiempo
:
t
1
1
1
1
n
1
1
1
a
+
=
⇒
=
+
⇒






=
+
−
⇒
=
⇒
=
⇒
=
+
=
+
⇒
°
=
+
=
⇒
=
⇒






=
−
⇒
=
⇒
=
⇒
=
+
=
⇒
°
=
+
=
⇒
=
⇒
+
=
°
=
°
+
=
⇒
+
=
⇒
=
−
⇔
=
+
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
−
=
−
−
−
=
°
=
+
⇒
+
°
°
°
=
⇒
°
°
°
=
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
∫
∫
( )
22h06.
las
A
decir.
es
encontrado
ser
de
antes
horas
8.89
murio
estudiante
el
tanto
lo
Por
horas
.55705
t
:
2
y
1
ecuación
iguala
se
Si
1 89
.
8
7047
.
1
9924
.
1
2
55705
.
2
t
7047
.
1
t
9924
.
1
t
9924
.
1
55705
.
2
t
7047
.
1
t
9924
.
1
7047
.
1
5
.
1
t
5
.
1
t
9924
.
1
t
7047
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
+
=

43. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 42
3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a
pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la
razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de
infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de
alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la
cantidad de infectados era de 50.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) infectados
infectados
353
50
50
6
x
50
t
x
e
t
x
20000
50
ln
k
50
e
4
x
50
x
4
t
en
e
t
x
1
e
t
x
4999
1
C
1
Ce
1
Ce
5000
0
x
1
x
0
t
en
Ce
1
Ce
5000
t
x
C
kt
5000
5000
x
x
ln
C
kt
5000
x
x
ln
5000
1
kdt
x
5000
x
dx
x
5000
kx
dt
dx
sanos
de
:#
x
5000
de
:#
x
5
.
1
6
*
25
.
0
t
25
.
0
50
ln
t
25
.
0
k
20000
kt
5000
kt
5000
0
0
kt
5000
kt
5000
=
=
=
∴
=
→
=
=
→
=
=
∴
=
=
=
→
=
−
=
→
=
−
−
=
∴
=
=
−
−
=
+
=






−
+
=






−
⇔
=
−
⇔
−
=
−
∫
∫
4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad
existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede
esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 0
0
4
4
16
0
4
0
4
2
ln
0
0
4
0
0
0
0
0
0
32
2
2
16
2
4
2
ln
2
4
x
2
x
4
en t
0
x
x
0
en t
ln
existente
cantidad
:
x
x
x
x
x
x
t
x
e
x
t
x
k
x
e
x
x
x
C
x
Ce
x
Ce
t
x
C
kt
x
kd
x
dx
kx
dt
dx
t
t
k
kt
=
=
=
=
→
=
=
→
=
=
=
=
=
→
=
=
=
=
=
+
=
=
=
∫ ∫

44. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 43
5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una
velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional
a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s.
Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para
la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.
( ) ( )
( ) ( ) 





+
=
→






+
=
+
−
=
−
→
+
−
=
−
→
−
=
−
=
−
=
−
−
−
∫
∫
300
Ce
k
1
t
v
mg
Ce
k
1
t
v
C
t
m
k
mg
kv
ln
C
t
mg
kv
ln
k
m
dt
mg
kv
dv
m
dt
dv
m
kv
mg
dt
dv
m
f
mg
t
30
k
t
m
k
r
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) 148
t
40
e
148
t
x
148
C
0
C
0
40
e
148
0
x
C
t
40
e
148
t
x
C
t
40
e
148
C
dt
40
e
37
t
x
C
dt
t
v
t
x
dt
dx
t
v
40
e
37
t
v
5
.
277
C
5
.
7
k
40
k
300
40
300
Ce
k
1
v
0
300
k
3
C
3
300
Ce
k
1
0
v
t
25
.
0
0
t
25
.
0
t
25
.
0
t
25
.
0
t
25
.
0
0
−
+
=
−
=
→
=
+
+
=
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
−
=
+
=
→
=
+
−
=
−
=
∴
=
→
=
→
=
+
=
∞
=
∞
=
−
=
−
→
=
+
=
=
=
−
−
−
−
−
∞
−
∫
∫
0m
x
,
0
t
en
m/s
4
v
,
t
en
3m/s
v
,
0
t
en

45. 6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40
constante de 50Newtons
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
.
a)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
ke
v
ke
v-
e
e
C
dt
v
dv
dt
v
dv
dv
v
dt
dv
dif. sepa
Ecuación
,
v
dt
dv
, k
dt
dv
kv
kg.
kg
kg
m
istema
otal del s
m: masa t
dt
dv
m
kv
ma;
Fr
Fm
ma
F
m/seg
Newtons
Entonces k
Newtons.
tencia de
a de resis
y la fuerz
m/seg
de
locidad es
Como la ve
kv
Fr
Newtons
Fm
agua
encia del
de resist
Fr: Fuerza
del motor
Fm: fuerza
t
-
-
C
t
-
v-
x
250
250
25
ln
25
25
ln
250
25
500
25
2
50
2
50
500
50
2
500
2
500
50
500
80
420
50
2
20
40
40
20
50
+
+
+
+
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
⇔
⇔
⇔
⇔
=
=
=
=
⇔
⇔
⇔
⇔
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
⇔
⇔
⇔
⇔
−
−
−
−
⇔
⇔
⇔
⇔
−
−
−
−
=
=
=
=












=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∑
∑
∑
∑
ma
Fx =
∑
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza
Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
C
t
-
v-
dt
v
dv
rable
dif. sepa
ma;
k
Newtons.
m/seg
agua
t
-
250
250
25
ln
500
2
2
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
e
v
b)
)e
(
t
x(t)
miento es:
n del movi
La ecuació
C
C
)
(
;
)
x(
el reposo
Si parte d
)e
(
t
x(t)
dt
e
x(t)
e
dt
dx
Entonces:
dx/dt
Como v
e
v
locidad:
n de la ve
La ecuació
-
k
k
por parti
ial es
cidad inic
Si la velo
t
-
t
t
t
t
-
t
-
t
-
25
25
25
lim
250
25
25
25
250
25
0
0
0
250
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
0
0
250
max
250
250
250
250
250
=
=
=
=
































−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
































−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
+
+
+
+
=
=
=
=
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
máxima
o
limite
velocidad
La
44
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg
ejerce una fuerza
. En la dirección del movimiento. El bote tiene
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
pies/seg
)
(
miento es:
)
(
;
C
C
)e
(
t
locidad:
;
)
s v(
so entonce
r del repo
por parti
t
25
250
25
250
25
250
25
25
0
0
250
250
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
:
es
máxima

46. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 45
7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30
ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical.
Hallar la corriente para t=1/5 segundos.
( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ] ( )
( ) amp
i
e
t
i
e
t
i
e
t
i
C
Ce
i
Ce
t
i
C
t
i
C
t
i
dt
i
di
dt
di
i
dt
di
L
iR
v
t
t
t
301
.
0
)
5
/
1
(
3
.
0
7
.
0
5
/
1
en t
3
.
0
7
.
0
9
21
30
1
21
9
30
1
0
0
i
0
en t
9
30
1
30
9
30
9
30
ln
30
1
9
30
30
9
6
30
30
0
30
=
→
+
=
=
+
=
→
+
=
=
→
+
=
=
=
+
=
+
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
+
=
+
=
−
−
−
−
∫
∫
8. Una Fem. de t
5
e
200 −
voltios se conecta en serie con una resistencia de 20
Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga
inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier
instante de tiempo.
5t
-
200e
fem
F
0.01
C
ia
capacitanc
:
C
carga
:
q
ohmios
20
R
a
resistenci
RC.
circuito
el
para
l
diferencia
Ecuación
=
=
⇒
=
⇒



=
+
:
R
fem
C
q
dt
dq
R

47. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 46
( )
( ) c
e
t
e
c
t
e
q(t)
c
t
e
dt
e
dt
e
e
e
q(t)
dt
e
u(t)
u(t)
1
q(t)
e
e
u(t)
lineal.
l
diferencia
Ecuación
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5dt
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
=
+
=
=
=
⇒
=
⇒
=
∫
=



=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
∫
∫
∫
;
e
q
5
dt
dq
;
e
20
q
100
dt
dq
20
;
e
20
01
.
0
q
dt
dq
20
t
5
t
5
t
5
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
5t
-
5t
5t
e
25
1
e
5
t
i(t)
0;
i(o)
:
cero
es
inicial
corriente
la
entonces
cero,
es
inicial
carga
la
Si
e
25
1
e
5
t
i(t)
dt
e
5
1
e
5
t
tdt
e
i(t)
e
5
1
v
dt
e
dv
dt;
du
t;
u
tdt
e
q(t)dt
i(t)
t;
e
q(t)
c
0
0;
q(0)
:
entonces
capacitor,
el
en
carga
hay
no
te
inicialmen
Si
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
=
+
−
−
=
+
−
=
=
−
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
⇒
=
=
∫
∫
∫
∫
C
;
;

48. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 47
Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y”
1) ( ) ;
y'
x
'
y'
y'
3x 2
3
1 =
+





 −
+ x
;
'
'
;
'
2
y
dx
y
d
dx
dv
y
dx
dy
v
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
) (
((
( )
))
)
(
((
( )
))
) (
(
(
( )
)
)
)
(
((
( )
))
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
((
( )
))
)
(((( )))) (((( ))))
(
((
( )
))
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
((
( )
))
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
;
2
;
1
;
1
;
1
3
1
1
;
1
3
1
1
;
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
'
1
1
;
1
1
1
1
)
(
;
)
(
;
1
1
3
1
'
;
1
3
1
'
;
0
1
'
1
3
0
1
3
1
3
1
3
2
2
3
2
3
2
2
/
1
1
1
ln
2
1
1
1
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
udu
dx
u
x
x
u
x
xdx
v
x
x
x
x
dx
v
x
x
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
v
x
x
x
x
x
x
x
u
e
e
e
x
u
x
x
x
x
v
v
x
x
v
x
v
x
v
v
x
x
;
v'
v'-x
v
x
x
v';
x
v
v
x
x
y'';
x
y''
y'
x
x
x
x
x
dx
x
dx
'
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
























+
+
+
+
−
−
−
−
































+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
































−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+























 −
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+























 −
−
−
−
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
:
ecuación
la
en
do
Reemplazan

49. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 48
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ;
ln
;
ln
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
/
/
/
/
K
x
C
x
x
C
x
x
x
y
K
x
C
x
x
C
z
z
x
y
x
dx
x
C
x
dx
C
dz
z
z
x
y
x
dx
x
C
zdz
z
z
x
y
z
x
z
x
dx
zdz
x
z
x
z
dx
x
x
C
dx
x
x
dx
x
y
x
x
C
x
x
x
dx
dy
dx
dy
v
x
x
C
x
x
x
v
x
x
C
x
x
x
v
C
x
x
v
x
x
C
x
x
x
xdx
C
u
u
du
u
u
udu
u
x
xdx
+
−
−
−
+
+
+
−
+
+
+
=
+
−
−
−
+
+
+
−
+
=
−
+
−
+
−
−
+
=
−
+
+
−
−
+
=
−
=
−
−
=
=
+
=
+
=
−
+
+
−
+
+
+
=
−
+
+
−
+
+
+
=
=
−
+
+
−
+
+
+
=
−
+
+
−
+
+
+
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
+
−
=
−
+
+
=
+
+
=
−
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
1
5
4
1
3
8
1
4
1
1
3
8
5
4
1
4
1
1
2
4
1
4
1
1
2
2
2
1
4
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
6
1
1
1
1
2
1
6
1
1
1
1
2
1
6
1
1
1
1
2
1
6
1
2
1
6
1
1
1
2
1
6
1
3
2
6
1
6
2
1
3
1
3
2
2
5
3
2
3
2
2
3
5
2
3
2
2
2
4
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
3
3
2
2

50. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 49
2)
( )
2
-1 y'
x y'+ =y'';
x
( )
( )
( )
[ ]
;
x
C
x
v
;
x
x
C
x
C
1
v
;
x
C
1
z
;
C
x
dx
xz
;
1
dx
z
.
x
d
;
x
1
x
z
xx
'
xz
;
x
e
)
x
(
u
;
x
1
z
x
'
z
;
x
v
v
v
x
v
'
v
v
;
dx
dv
v
dx
dz
;
;
;
x
v
v
x
'
v
v';
x
v
v
x
;
'
'
y
dx
y
d
dx
dv
'
v
;
'
y
dx
dy
v
1
1
dx
x
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
+
=
∫
=
−
=
+
−
=
−
−
−
−
=
=
=
=
=
−
=
+
=
+
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
−
1
-
n
1-
2
1
-
v
z
2;
n
v
z
:
Bernoulli
de
l
diferencia
E.
una
Es
;
'
y'
x
y'
y'
x
:
ecuación
la
en
do
Reemplazan
;
K
C
x
ln
x
y
;
C
x
Cdx
dx
C
x
C
x
y
;
C
x
xdx
y
;
C
x
x
x
C
x
dx
dy
+
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
∫
∫
∫

51. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 50
Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”
Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v;
dx
dy
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3) ( ) 1;
y'
2y
'
y'
2y 2
2
=
+ (HACE FALTA X)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
[
[[
[ ]
]]
]
;
;
2
;
;
;
;
1
;
1
;
;
;
1
;
2
;
)
(
;
1
2
;
2
.
2
.
2
2
;
2
;
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
)
1
(
1
2
1
C
u
y
dy
zdz
C
y
u
dx
dy
C
y
y
y
C
y
dx
dy
y
C
y
v
y
C
y
v
y
C
y
v
y
C
y
z
C
y
z
y
C
y
dy
z
y
dy
z
y
d
y
y
y
z
y
dy
dz
y
y
e
y
u
y
y
z
dy
dz
y
v
v
y
v
v
v
dy
dv
v
dy
dv
dv
dz
dy
dz
v
z
v
z
y
v
y
v
dy
dv
v
dy
y
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
es
variabl
separando
entonces
dy
dv
:
ecuación
la
de
lados
ambos
a
2v
ndo
Multiplica
-1.
n
Bernoulli,
de
l
diferencia
Ecuacion
dy
dv
1;
v
2y
2y
:
ecuación
la
en
'
y'
,
y'
do
Reemplazan
1;
y'
2y
'
y'
2y
2
2
2
2

52. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 51
(
((
( )
))
)(
(
(
( )
)
)
) (
((
( )
))
)(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
)
(
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
) 2
1
2
3
2
1
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
C
y
C
C
y
K
x
:
es
f(y)
x
forma
la
de
solución
la
tanto
lo
Por
C
y
u
Pero
Cu
u
K
x
:
Entonces
,
du
C
u
K
x
entonces
,
u
udu
C
u
dx
dx
dy
C
y
y
:
en
emplazando
Re
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
4) ( ) 0;
y'
'
yy'
y
y' 2
2
=
−
+
( )
( )
;
Cy
y
v
;
C
y
v
y
1
;
dy
v
y
1
;
1
dy
v
y
1
d
;
y
1
y
y
v
y
1
dy
dv
y
1
;
y
1
e
)
y
(
u
;
y
y
v
dy
dv
;
0
y
v
dy
dv
y
;
0
v
dy
dv
yv
vy
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
;
dx
dy
v
2
y
dy
2
2
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=






−
=
−
=
∫
=
−
=
−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
=
=
∫
−
0;
y'
'
yy'
y
y'
:
ecuación
la
en
do
Reemplazan
2
2
dy
y Cy;
dx
dy dy dy
x ;
Cy y Cy C(C y)
= − +
= = +
− −
∫ ∫ ∫
2
2
x ln y ln C y K;
C C
La solución es:
= − − +
1 1

53. Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
1) Resuelva: 2y
3y'
'
y' +
+
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
);
sen(e
2y x
=
52
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes

54. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 53

55. 2) Resuelva:
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
54
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

56. ( )
(
;
4
1
C
C
8
1
0
2
1
C
C
16
5
16
5
)
0
(
'
y
;
C
C
16
3
;
16
3
)
0
(
y
x
tan
2
1
e
C
e
C
'
y
2
1
2
1
2
1
2
x
2
x
1
=
−






+
+
−
=
=
+
=
=
+
−
= −
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
( ) )
)
x
(
sec
x
sec 3
+
e
32
1
e
32
7
y
;
32
1
C
;
32
7
C
:
solviendo
Re
x
x
2
1
+
−
=
−
=
=
−
55
2
)
x
sec(
)
x
tan(
+

57. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 56
3) Resuelva ;
xe
6y
5y'
'
y' x
=
+
−
[ ]
( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
;
xe
2
1
e
4
3
e
C
e
C
y
;
y
y
y
;
xe
2
1
e
4
3
y
;
xe
a
e
a
y
;
2
1
a
;
4
3
a
;
1
a
2
;
0
a
3
a
2
;
xe
xe
a
2
e
a
3
a
2
;
xe
xe
a
e
a
6
e
xe
a
e
a
5
e
2
xe
a
e
a
;
xe
y
6
'
y
5
'
'
y
;
e
2
xe
a
e
a
'
'
y
;
e
xe
a
e
a
'
y
;
xe
a
e
a
y
;
e
x
a
a
y
;
0
s
;
e
x
a
a
x
y
;
xe
y
6
'
y
5
'
'
y
;
e
C
e
C
y
;
e
y
;
e
y
;
2
; r
3
r
;
0
2
r
3
r
;
0
6
r
5
r
;
0
6
r
5
r
e
;
e
r
'
'
y
;
re
'
y
;
e
y
;
0
y
6
'
y
5
'
'
y
x
x
x
2
2
x
3
1
p
h
x
x
p
x
1
x
0
p
1
0
1
1
0
x
x
1
x
1
0
x
x
1
x
0
x
x
1
x
0
x
x
1
x
0
x
x
x
1
x
0
p
x
x
1
x
0
p
x
1
x
0
p
x
1
0
p
x
1
0
S
p
x
ogénea
hom
Solución
x
2
2
x
3
1
h
x
2
2
x
3
1
2
1
tica
Caracterís
Ecuación
2
2
rx
rx
2
rx
rx
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=



=
=
−
=
+
−
=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
α
=
+
=
=
+
−
+
=
=
=
=
=
=
−
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
=
+
−
α
:
el sistema
o
Resolviend
:
homogénea
no
l
diferencia
ecuación
la
en
do
Reemplazan
1;
:
particular
solución
la
s
Encontremo
:
'
y'
,
y'
y,
do
Reemplazan
4
4 3
4
4 2
1
4
3
4
2
1

58. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 57
4) Resuelva: cosx;
e
2y
2y'
y' -x
=
+
+
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ] ( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
2
1
b
;
0
a
;
1
b
2
;
0
a
2
);
x
cos(
e
x
cos
e
2
b
senx
e
2
a
);
x
cos(
e
y
2
'
y
2
'
'
y
'
'
y
,
'
y
,
y
;
x
cos
e
2
senx
e
2
x
cos
xe
2
b
x
cos
e
2
senx
e
2
senx
xe
2
a
'
'
y
;
senx
e
senx
xe
x
cos
xe
b
x
cos
e
x
cos
xe
senx
xe
a
'
y
;
senx
e
senx
e
x
cos
e
x
b
x
cos
e
x
cos
e
senx
e
x
a
'
y
;
senx
xe
b
x
cos
xe
a
y
;
senx
e
b
x
cos
e
a
x
y
1
s
;
senx
e
b
x
cos
e
a
y
;
e
senx
b
x
cos
a
y
1
;
0
s
;
e
senx
b
x
cos
a
x
y
);
x
cos(
e
y
2
'
y
2
'
'
y
;
senx
e
C
x
cos
e
C
y
;
senx
e
y
;
x
cos
e
y
;
1
;
i
1
2
)
2
(
4
4
2
r
;
0
2
r
2
r
;
0
2
r
2
r
e
;
e
r
'
'
y
;
re
'
y
;
e
y
;
0
y
2
'
y
2
'
y
0
0
0
0
x
x
0
x
0
x
p
p
p
x
x
x
0
x
x
x
0
p
x
x
x
0
x
x
x
0
p
x
x
x
0
x
x
x
0
p
x
0
x
0
p
x
0
x
0
p
x
0
x
0
p
x
0
0
p
x
0
0
S
p
x
ogénea
hom
Solución
x
2
x
1
h
x
2
x
1
2
,
1
tica
Caracterís
Ecuación
2
2
rx
rx
2
rx
rx
=
=
=
=
−
=
+
−
=
+
+
+
−
−
+
−
−
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
−
−
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
=
α
=
+
=
=
+
+
+
=
=
=
=
β
−
=
λ
±
−
=
−
±
−
=
=
+
+
=
+
+
=
=
=
=
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α
−
−
−
−
−
:
homogénea
no
l
diferencia
ecuación
la
en
ando
simplific
y
do
Reemplazan
homogénea.
solución
mi
a
respecto
con
e
dependient
e
linealment
términos
contiene
que
ya
particular
solución
esta
asumir
puede
se
No
;
-
:
particular
solución
la
s
Encontremo
1;
:
'
y'
,
y'
y,
do
Reemplazan
4
4
4
4 3
4
4
4
4 2
1
4
3
4
2
1

59. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 58
);
x
(
sen
xe
2
1
senx
e
C
x
cos
e
C
y
;
y
y
y
);
x
(
sen
xe
2
1
x
x
2
x
1
p
h
x
−
−
−
−
+
+
=
+
=
=
p
y
1;
x
3e
cosx
y
2y'
'
y' 2
x
−
+
+
=
+
−
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
senx
2
1
;
2
1
b
;
0
x
cos
2
b
senx
2
;
senx
b
x
cos
a
bsenx
x
cos
a
'
'
y
;
x
cos
b
senx
a
x
cos
b
asenx
'
y
;
bsenx
x
cos
a
y
;
0
s
;
bsenx
x
cos
a
x
y
;
xe
C
e
C
y
;
xe
y
;
e
y
;
1
r
;
0
1
r
;
0
1
r
2
0
1
r
2
r
;
e
r
'
'
y
;
re
'
y
;
e
y
0
1
p
1
p
1
p
s
1
p
x
2
x
1
h
x
2
x
1
2
,
1
2
2
rx
rx
2
rx
rx
−
=
−
=
=



=
=
=
−
+
−
+
−
=
−
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
=
+
=
=
+
−
−
+
+
=
+
−
+
=
=
=
=
=
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
=
+
−
p1
p1
p1
p1
2
x
2
y
a
o
Resolviend
1;
2b
-
0;
2a
cosx;
a
1;
ecuacion
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan
1.
n
Ecuació
cosx;
y
2y'
'
y'
:
particular
solución
primera
la
o
Encontrand
1;
x
3e
cosx
y
2y'
'
y'
:
particular
solución
la
o
Encontrand
r
;
e
:
homogénea
ecuación
la
en
'
y'
,
y'
y,
do
Reemplazan
;
y
2y'
'
y'
:
homogénea
solución
la
o
Encontrand

60. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 59
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
;
e
x
2
3
;
2
3
a
;
e
3
ae
2
;
e
2
xe
4
e
x
a
'
'
y
;
xe
2
e
x
a
'
y
;
e
ax
y
;
e
a
x
y
;
e
a
x
y
;
e
a
y
;
0
s
;
e
a
x
y
x
2
x
x
x
x
x
2
2
p
x
x
2
2
p
x
2
2
p
x
2
2
p
x
2
p
x
2
p
x
s
2
p
=
=
=
=
+
−
+
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
−
p2
x
p2
p2
p2
x
y
:
es
particular
solución
segunda
La
3e
y
2y'
'
y'
2.
ecuación
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan
homogénea
solución
la
a
respecto
nte,
independie
e
linealment
es
solución
esta
caso,
este
En
2;
s
anterior.
razón
misma
la
por
solución,
esta
asumir
puede
se
Tampoco
1;
s
homogénea.
solución
la
a
respecto
con
e
dependient
e
lienalment
es
que
ya
,
particular
solución
esta
asumir
puede
se
No
2.
n
Ecuació
;
3e
y
2y'
'
y'
:
particular
solución
segunda
la
o
Encontrand
[ ]
c;
2
'
'
y
cx;
2
b
'
y
;
cx
bx
a
y
;
0
s
;
cx
bx
a
x
y
3
p
3
p
2
3
p
2
s
3
p
2
=
+
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
− 3.
n
Ecuació
1;
-
x
y
2y'
'
y'
:
particular
solución
tercera
la
o
Encontrand
[ ] [ ] ;
1
x
cx
bx
a
cx
2
b
2
c
2
1
2
2
2
−
=
+
+
+
+
−
−
=
+
− x
y
2y'
'
y'
2.
ecuación
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan p3
p3
p3

61. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 60
[ ] [ ] [ ]
p
p p p p
x
p
h p
c b a c b x c x x ;
c b a
c b
c
c ;
b ;
a ;
y x x ;
y y y y ;
y sen(x) x e x x ;
y y y ;
y C
Resolviendo el sistema:
La tercera solución particular:
La solución general:
− + + + + = −
− + = −


− + =

 =

=
=
=
= + +
= + +
= − + + + +
= +
=
2 2
2
3
1 2 3
2 2
2 2 2 1
2 2 1
4 0
1
1
4
5
5 4
1 3
5 4
2 2
x x x
e C xe sen(x) x e x x ;
+ − + + + +
2 2
1 2
1 3
5 4
2 2

62. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 61
Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy
1) Demuestre que la ecuación diferencial R
β
donde
0,
βy
xy'
'
y'
x2
∈
α
=
+
α
+ , , se
la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable z
e
x = , y luego resuelva:
;
e
4sen(lnx)
4y
2xy'
'
y'
x 2ln(X)
2
+
=
+
+
(
(
(
( )
)
)
) ;
βy
dz
dy
α
dz
y
d
;
βy
dz
dy
α
dz
dy
dz
y
d
;
βy
dz
dy
x
αx
dz
dy
x
dz
y
d
x
x
;
dz
dy
x
dz
y
d
x
dx
y
d
y''
;
x
dz
dy
x
x
dz
y
d
x
dx
y
d
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
x
dz
y
d
x
dx
y
d
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
y
d
;
dx
dy
dx
d
dx
y
d
;
dz
dy
x
dx
dy
y'
;
x
dz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
x
dx
dz
x
z
Si z
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
;
1
);
ln(
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
























+
+
+
+
































−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
































−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
































−
−
−
−
=
=
=
=
































−
−
−
−
=
=
=
=
























=
=
=
=
























=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0;
βy
xy'
'
y'
x
l
diferencia
ecuación
la
en
do
Reemplazan
:
'
y'
luego
necesita
Se
:
Ahora
e
x
2
α
α
α
α
(
(
(
( )
)
)
) ;
y
dz
dy
dz
y
d
0
4
1
2
0
2
2
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
;
4y
2xy'
'
y'
x
:
homogénea
solución
la
primero
o
Encontrand
;
e
4sen(lnx)
4y
2xy'
'
y'
x
ecuación
la
o
Resolviend
2
2ln(X)
2

63. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 62
( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
2.
n
Ecuació
:
particular
solución
la
segunda
la
o
Encontrand
:
obtiene
se
el sistema
o
Resolviend
1.
Ecuación
:
1
ecuación
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan
:
forma
siguiente
la
tiene
solución
primera
La
1.
Ecuación
:
es
particular
s
solucione
2
tiene
se
Donde
:
obtiene
se
,
e
4sen(lnx)
4y
2xy'
'
y'
x
ecuación
la
en
reemplazar
al
ln(x),
z
y
e
x
que
asume
se
Como
:
particular
solución
la
s
encontremo
Ahora
p
p
p
2ln(X)
2
z
tica
caracterís
Ecuación
;
e
5
y
4
y'
y''
));
x
(ln(
sen
5
6
))
x
cos(ln(
5
2
y
);
z
(
sen
5
6
)
z
cos(
5
2
y
;
5
6
b
;
5
2
a
4
b
3
a
0
b
a
3
);
z
(
sen
4
)
z
cos(
)
z
(
sen
3
b
)
z
(
sen
)
z
cos(
3
a
;
z
sen
4
y
4
y'
y''
;
)
z
(
sen
b
)
z
cos(
a
)
z
(
bsen
)
z
cos(
a
'
'
y
;
)
z
cos(
b
)
z
(
sen
a
)
z
cos(
b
)
z
(
asen
'
y
);
z
(
bsen
)
z
cos(
a
y
;
z
sen
4
y
4
y'
y''
;
e
5
z
sen
4
y
4
y'
y''
5
;
2
)
x
ln(
15
sen
x
C
2
)
x
ln(
15
cos
x
C
y
;
2
z
15
sen
e
C
2
z
15
cos
e
C
y
;
2
z
15
sen
e
y
;
2
z
15
cos
e
y
;
i
2
15
2
1
2
16
1
1
r
;
0
4
r
r
;
0
4
r
r
e
;
0
y
4
'
y
'
'
y
z
2
1
p
1
p
p
p
p
z
2
2
1
h
2
/
z
2
2
/
z
1
h
2
/
z
2
2
/
z
1
2
,
1
2
2
rz
=
+
+
+
−
=
+
−
=
=
−
=



=
+
−
=
+
=
+
+
−
=
+
+
−
+
−
=
−
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
=








+








=








+








=








=








=
±
−
=
−
±
−
=
=
+
+
=






+
+
=
+
+
−
−
−
−
4
3
4
2
1

64. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 63
;
2
x
))
x
(ln(
sen
5
6
))
x
cos(ln(
5
2
2
)
x
ln(
15
sen
x
C
2
)
x
ln(
15
cos
x
C
y
;
y
y
y
;
2
x
))
x
(ln(
sen
5
6
))
x
cos(ln(
5
2
y
;
y
y
y
;
2
x
e
2
1
y
;
e
2
1
y
;
2
1
a
;
e
5
ae
10
;
e
5
ae
4
ae
2
ae
4
;
e
5
y
4
y'
y''
;
ae
4
;
ae
2
;
ae
2
2
1
p
h
2
p
2
p
1
p
p
2
)
x
ln(
2
2
p
z
2
2
p
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
+
+
−








+








=
+
=
+
+
−
=
+
=
=
=
=
=
=
=
+
+
=
+
+
=
=
=
2.
n
Ecuació
:
2
ecuación
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan
'
y'
y'
y
:
solución
siguiente
la
asume
Se
p2
p2
p2
p2
p2
p2
2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;
2
x
5ln
2
x
ln
y
y'
2
x
3
'
y'
2
x 2
2
+
−
−
−
=
+
−
+
−
( )
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
2
x
1
dz
y
d
2
x
1
dx
y
d
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
y
d
;
dx
dy
dx
d
dx
y
d
;
dz
dy
2
x
1
dx
dy
y'
;
2
x
1
dz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
;
2
x
1
dx
dz
);
1
x
ln(
z
;
Si
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z








−
−
−
=






=






=
−
=
=
−
=
=
−
=
−
=
=
:
'
y'
luego
necesita
Se
:
Ahora
entonces
e
2
-
x

65. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 64
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
;
6
z
5
z
y
y'
2
y''
;
2
x
2
x
ln
C
2
x
C
y
;
e
2
x
ln
C
e
C
y
;
ze
C
e
C
y
;
2
x
ln
z
;
ze
C
e
C
y
;
ze
y
;
e
y
;
1
r
;
0
1
r
;
0
1
r
2
r
;
0
1
r
2
r
;
e
r
'
'
y
;
re
'
y
;
e
y
;
0
y
dz
dy
2
dz
y
d
0
;
0
y
dz
dy
1
3
dz
y
d
;
0
y
dz
dy
3
dz
dy
dz
y
d
;
0
y
dz
dy
2
x
1
2
x
3
dz
dy
2
x
1
dz
y
d
2
x
1
2
x
3
;
dz
dy
2
x
1
dz
y
d
2
x
1
dx
y
d
y''
;
2
x
1
dz
dy
2
x
2
x
1
dz
y
d
2
x
1
dx
y
d
2
2
1
h
2
x
ln
2
2
x
ln
1
h
z
2
z
1
h
z
2
z
1
h
z
2
z
1
2
,
1
2
2
2
rz
2
rz
rz
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
+
+
−
−
−
=
+
+
=
=
−
−
+
−
=
−
+
=
+
=
−
=
+
=
=
=
−
=
=
+
=
+
+
=






+
+
=
=
=
=
+
+
=
+
+
=
+
−
+
=
+
+
−
=
+






−
−
+








−
−
−
−
=
+
+








−
−
−
=
=
−








−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
:
obtiene
se
,
6;
2
x
5ln
2
x
ln
y
y'
2
-
x
3
'
y'
2
-
x
ecuación
la
en
reemplazar
al
2),
-
ln(x
z
y
e
2
-
x
que
asume
se
Como
:
particular
solución
la
s
encontremo
Ahora
e
:
homogénea
ecuación
la
en
'
y'
,
y'
y,
do
Reemplazan
;
y
2y'
'
y'
ecuación
la
o
Resolviend
0;
y
y'
2
-
x
'
y'
2
-
x
:
homog{enea
l
diferencia
ecuación
la
en
do
Reemplazan
2
2
z
tica
Caracterís
Ecuación
rz
2
4
3
4
2
1

66. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 65
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
);
2
x
(
ln
)
2
x
ln(
9
22
2
x
2
x
ln
C
2
x
C
y
;
y
y
y
);
2
x
(
ln
)
2
x
ln(
9
22
y
;
z
z
9
22
y
;
22
a
;
9
-
b
;
1
c
1
c
5
-
b
c
4
6
a
b
2
c
2
;
6
z
5
z
cz
bz
a
cz
2
b
2
c
2
;
c
2
'
'
y
;
cz
2
b
;
cz
bz
a
;
0
s
;
cz
bz
a
x
2
2
1
p
h
2
p
2
p
2
2
p
2
2
S
−
+
−
−
+
−
−
+
−
=
+
=
−
+
−
−
=
+
−
=
=
=
=





=
=
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
+
−
=
+
+
=
+
=
+
+
=
=
+
+
=
:
el sistema
o
Resolviend
6;
5z
z
y
2y'
'
y'
ecuación
la
en
y
,
y'
,
'
y'
do
Reemplazan
y'
y
y
:
forma
siguiente
la
tiene
particular
solución
la
Donde
2
p
p
p
p
p
p

67. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 66
3)
( )
ln(x);
z
entonces
e
x
Si
;
3ln(x)
3tan
9y
xy'
'
y'
x
z
2
=
=
=
+
+
,
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
;
)
z
3
cos(
)
z
3
(
sen
)
z
3
(
sen
z
3
sen
z
3
tan
3
3
;
z
3
sen
3
z
3
cos
3
z
3
cos
3
z
3
sen
3
z
3
sen
z
3
cos
'
y
'
y
y
y
;
z
3
cos
3
)
z
(
g
z
3
sen
0
;
y
u
y
u
y
;
z
3
tan
3
g(z)
;
z
3
tan
3
y
9
y''
,
;
)
x
ln(
3
sen
C
)
x
ln(
3
cos
C
y
;
z
3
sen
C
z
3
cos
C
y
;
senz
y
;
z
cos
y
;
i
3
r
;
0
9
r
;
0
9
r
e
;
e
r
'
'
y
;
e
y
;
0
y
9
'
'
y
;
0
y
9
dz
y
d
;
0
y
9
dz
dy
1
1
dz
y
d
;
0
βy
dz
dy
1
α
dz
y
d
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
p
2
1
h
2
1
h
2
1
2
2
rz
rz
2
rz
2
2
2
2
2
2
−
=
−
=
=
+
=
−
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
+
+
=
+
=
=
=
±
=
=
+
=
+
=
=
=
+
=
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
3
u'
y
,
y
W
y
,
y
W
y
,
y
W
u'
:
obtiene
se
e
x
y
x
ln
z
do
Reemplazan
;
3ln(x)
3tan
9y
xy'
'
y'
x
:
particular
solución
la
s
Encontremo
:
obtiene
Se
:
Usando
0;
9y
xy'
'
y'
x
:
homogénea
solución
la
o
Encontrand
1
2
1
2
1
2
1
1
z
2
2

68. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 67
( )
( )
( )
( ) ( ) ;
)
z
3
(
sen
)
z
3
cos(
3
1
)
z
3
cos(
3
)
z
3
(
tg
)
z
3
sec(
ln
3
)
z
3
(
sen
z
3
sen
C
z
3
cos
C
y
;
y
y
y
;
)
z
3
(
sen
)
z
3
cos(
3
1
)
z
3
cos(
3
)
z
3
(
tg
)
z
3
sec(
ln
3
)
z
3
(
sen
y
;
y
u
y
u
y
)
z
3
cos(
3
1
dz
)
z
3
(
sen
u
);
z
3
(
sen
'
u
;
)
z
3
cos(
)
z
3
(
sen
)
z
3
cos(
'
u
3
)
z
3
tan(
z
3
cos
3
)
z
3
tan(
3
z
3
sen
3
0
z
3
cos
;
3
)
z
3
(
tg
)
z
3
sec(
ln
3
)
z
3
(
sen
u
dz
)
z
3
sec(
)
z
3
cos(
u
);
z
3
sec(
)
z
3
cos(
'
u
;
)
z
3
cos(
1
)
z
3
cos(
;
)
z
3
cos(
)
z
3
(
cos
1
)
z
3
cos(
)
z
3
(
sen
2
1
p
h
p
2
2
1
1
p
2
2
2
1
1
1
2
2
−







 +
−
+
+
=
+
=
−







 +
−
=
+
=
−
=
=
=
=
=
−
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
∫
∫
2
1
2
1
1
y
,
y
W
u'
u'
u'
( ) ( ) );
x
ln
3
(
sen
)
x
ln
3
cos(
3
1
)
x
ln
3
cos(
3
)
x
ln
3
(
tg
)
x
ln
3
sec(
ln
3
)
x
ln
3
(
sen
x
ln
3
sen
C
x
ln
3
cos
C
y 2
1 −





 +
−
+
+
=

69. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 68
4) Si senx
x
y
cosx,
x
y 1/2
2
1/2
1
−
−
=
= forman un conjunto linealmente independiente y
son soluciones de 0;
y
4
1
x
xy'
'
y'
x 2
2
=






−
+
+
Hallar la solución particular para ;
x
y
4
1
x
xy'
'
y'
x 3/2
2
2
=






−
+
+ si
( ) 0;
y'
0;
2
y =
=






;
)
y
,
y
(
W
'
y
)
x
(
g
y
0
'
u
;
x
g(x)
;
y
u
y
u
y
;
x
y
x
4
1
1
x
y'
y''
;
x
x
y
x
4
1
x
x
y'
x
x
y''
x
x
;
;
senx
x
C
x
cos
x
C
y
2
1
2
2
1
2
/
1
2
2
1
1
p
2
/
1
2
2
2
/
3
2
2
2
2
2
2
2
/
3
2
/
1
2
2
/
1
1
h
=
=
+
=
=






−
+
+
=








−
+
+
=






−
+
+
+
=
=






−
+
+
=
=
−
−
−
−
−
−
:
parámetros
de
variación
aplica
Se
x
y
4
1
x
xy'
'
y'
x
de
solución
la
encontrar
Para
:
obtiene
se
entonces
0,
y
4
1
x
xy'
'
y'
x
de
s
solucione
senx son
x
y
y
cosx,
x
y
Como
2
2
2
2
1/2
2
1/2
1

70. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 69
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
2
1
0
2
1
1
1
C
1
2
1
0
1
C
0
;
2
x
senx
x
2
1
x
cos
x
C
x
cos
x
2
1
senx
x
C
'
y
;
1
C
;
0
2
)
1
(
2
C
;
2
)
1
(
2
C
0
2
C
0
;
x
senx
x
C
x
cos
x
C
y
;
0
2
;
x
senx
x
C
x
cos
x
C
y
;
y
y
y
;
x
y
;
x
1
x
x
sen
x
cos
x
y
senx
x
senx
x
cos
x
x
cos
y
;
senx
u
;
x
cos
x
x
cos
x
'
u
;
x
x
x
cos
x
2
1
senx
x
0
x
cos
x
)
y
,
y
(
W
)
x
(
g
'
y
0
y
'
u
;
x
cos
dx
)
x
(
sen
u
);
x
(
sen
x
senx
x
x
senx
x
2
1
x
cos
x
x
senx
x
0
'
u
;
x
)
y
,
y
(
W
;
x
1
x
x
sen
x
cos
x
)
y
,
y
(
W
;
x
cos
senx
x
2
1
x
sen
x
x
cos
senx
x
2
1
x
cos
x
)
y
,
y
(
W
;
x
cos
x
2
1
senx
x
senx
x
senx
x
2
1
x
cos
x
x
cos
x
)
y
,
y
(
W
senx
x
2
1
x
cos
x
x
cos
x
2
1
senx
x
senx
x
x
cos
x
'
y
'
y
y
y
)
y
,
y
(
W
2
1
2
/
3
2
/
3
2
/
1
2
2
/
3
2
/
1
1
2
2
2
1
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
2
2
/
1
1
p
h
2
/
1
p
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
p
2
/
1
2
/
1
p
2
1
1
2
1
2
/
1
2
/
3
2
/
1
2
/
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
/
3
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
/
3
2
/
1
2
/
1
2
/
3
2
/
1
2
/
1
2
1
2
/
3
2
/
1
2
/
3
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
1
2
1
2
1
π
π
−






π
π
−
−
π
+






−
π
π
−
π
−
=
−






−
+






−
−
=
−
=
=
π
+
π
π
+
π
+
π
=
+
+
=
=
π
=





 π
+
+
=
+
=
=
=
=
+
=
+
=
=
=
=
−
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
+
=
+
+
−
=






−
−
−






−
=
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
0;
)
(
y'
y
y
Si

71. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 70
( ) ;
x
senx
x
x
cos
x
2
1
y
;
2
1
C
;
2
C
1
;
1
2
C
2
1
;
C
2
C
2
1
;
2
1
1
C
2
1
C
0
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1
1
1
2
1
2
1
−
−
−
+
−
π
−
=
π
−
=
π
+
=
π
+
π
π
=
π
π
π
−
π
π
=
π
π
π
π
−






π
−






π
π
=

72. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 71
Identidad de Abel
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1
x
dx
x
x
2
1
2
y
1
x
1
;
1
x
dx
x
x
2
1
y
1
x
1
;
1
x
x
x
2
1
y
1
x
1
dx
d
;
1
x
x
x
2
1
1
x
y
'
y
1
x
1
;
1
x
1
e
)
x
(
u
;
1
x
x
x
2
1
1
x
y
'
y
;
x
x
2
1
y
'
y
1
x
;
e
y
'
y
1
x
;
dx
x
2
2
du
;
x
x
2
1
)
x
(
u
;
e
y
'
y
1
x
;
e
y
'
y
1
x
;
y
'
y
1
x
'
y
y
;
'
y
'
y
y
y
;
0
y
x
x
2
1
2
y'-
x
x
2
1
x
1
2
y''
x
x
2
1
x
x
2
1
)
x
(
p
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
dx
2
2
2
2
2
2
x
x
2
1
ln
2
2
2
x
x
2
1
dx
x
2
2
2
2
x
x
2
1
dx
x
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
∫
∫
+
−
−
−
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
=






+
+
−
−
=
+
−
+
+
=
∫
=
+
−
−
=
+
−
−
−
=
−
+
=
−
+
−
−
=
−
−
=
∫
=
−
+
∫
=
−
+
−
+
=
+
=
=
=
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
=
+
+
∫
=
+
=
=
=
=
−
+
+
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
:
Entonces
1
1
x
y
,
y
W
y
,
y
W
0;
q(x)y
y'
'
y'
:
forma
siguiente
la
tener
debe
l
diferencia
ecuación
la
Donde
e
y
,
y
W
:
abel
de
identidad
la
usará
Se
1;
x
y
es
solución
una
Si
1.
(0)
y'
y(0)
Si
0;
2y
y'
x
1
2
'
y'
x
2x
1
2
1
2
1
p(x)dx
2
1
1
2

73. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 72
( )
( ) ( )
;
1
x
dx
2
1
x
dx
1
x
y
1
x
1
2
2
2
2 ∫ ∫ +
+
+
+
−
=
+
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
;
1
x
y
;
1
C
;
C
2
1
C
;
0
C
1
C
2
C
1
C
C
;
1
C
C
1
;
2
C
1
C
1
;
2
x
x
C
1
x
C
y
;
2
x
x
y
;
2
1
x
x
y
;
1
x
2
x
y
1
x
1
;
1
x
2
x
y
1
x
1
;
1
x
dx
2
dx
y
1
x
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
+
=
=
+
=
=








→











=
−
=
−
−
+
=
−
−
+
=
=
−
+
=
=
−
−
−
+
+
=
−
−
−
=
−
+
−
=
+
−
−
=
+
+
−
−
=
+
+
+
−
=
+ ∫ ∫
:
es
solución
La
1
2
-
1
0
1
0
1
2
-
1
1
1
-
1
:
el sistema
o
Resolviend
;
1
2x
C
C
y'
1;
(0)
y'
Si
1;
y(0)
Si
2
1

74. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 73
Método de Reducción de Orden
2) Resuelva:
( )
;
e
y
Si
0;
y
y'
1
x
'
xy'
x
1
−
=
=
+
+
+
[ ] [ ]
( )
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
x
e
)
x
(
'
u
;
x
e
)
x
(
v
;
x
ln
x
)
x
(
v
ln
;
dx
x
1
1
v(x)
dv
;
x
1
1
v(x)
dx
dv
;
e
xe
v(x)
xe
dx
dv
;
0
e
xe
v(x)
xe
v'(x)
;
0
e
xe
u'(x)
xe
u''(x)
;
0
e
xe
)
x
(
'
u
xe
)
x
(
'
'
u
;
0
0
)
x
(
u
e
xe
)
x
(
'
u
xe
)
x
(
'
'
u
;
0
e
e
xe
xe
)
x
(
u
e
xe
)
x
(
'
u
xe
)
x
(
'
'
u
;
0
e
e
1
x
xe
)
x
(
u
e
1
x
xe
2
)
x
(
'
u
xe
)
x
(
'
'
u
;
0
u(x)e
u'(x)e
u(x)e
1
x
u''(x)e
u'(x)e
2
u(x)e
x
;
e
)
x
(
'
'
u
e
)
x
(
'
u
2
e
)
x
(
u
'
'
y
;
e
)
x
(
'
'
u
e
)
x
(
'
u
e
)
x
(
'
u
e
)
x
(
u
'
'
y
;
e
)
x
(
'
u
e
)
x
(
u
'
y
;
e
)
x
(
u
y
;
y
)
x
(
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
x
x
x
x
2
x
x
2
x
2
1
=
=
−
=






−
=






−
=
−
=
=
+
−
+
=
+
−
+
=
=
=
+
−
+
=
+
+
−
+
=
+
−
−
+
+
−
+
=
+
+
−
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
=
=
=
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
:
l
diferencia
ecuación
la
en
(x)
v'
y
v(x)
do
Reemplazan
(x);
'
u'
(x)
v'
(x);
u'
v(x)
:
y
Falta
:
obtiene
se
0,
y
y'
1
x
'
xy'
l
diferencia
ecuación
la
en
do
Reemplazan
y
que
asume
Se
:
orden
de
reducción
de
método
el
Usando
2

75. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 74
( )
( )
( )
;
!
ln
:
es
solución
La
;
!
ln
;
)
(
;
!
ln
)
(
;
!
)
(
;
!
)
(
;
)
(






+
+
=






+
=
=
+
=






+
=
=
=
∑
∑
∑
∫ ∑
∫∑
∫
∞
+
=
−
−
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
−
∞
+
=
−
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
0
1
1
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
x
C
e
C
y
e
n
n
x
x
y
y
x
u
y
n
n
x
x
x
u
dx
n
x
x
x
u
dx
n
x
x
u
x
dx
e
x
u

76. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 75
Ecuación homogénea de orden superior
1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una
cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con
coeficientes constantes, son:
4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i,
Escriba la solución general.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2
10
9
8
2
2
7
6
5
2
3
4
2
3
2
1
4
3
3
cos
:
3
4
x
C
x
C
C
x
sen
e
x
C
x
C
C
x
e
x
C
x
C
x
C
C
e
x
y
entonces
veces
conjugado
complejo
par
un
y
iguales
reales
raíces
tienen
Se
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2. 0
8y
12y'
'
6y'
'
'
y' =
−
+
−
3. 0
32y
dx
y
d
5
5
=
+
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) x
x
x
i
i
i
ki
i
k
e
C
e
x
sen
C
x
C
e
x
sen
C
x
C
x
y
sen
i
e
m
i
sen
i
e
m
i
sen
i
e
m
k
e
m
m
m
2
5
618
.
0
4
3
618
.
1
2
1
3
5
3
5
,
1
5
4
,
0
5
2
5
902
.
1
902
.
1
cos
175
.
1
175
.
1
cos
2
cos
2
2
902
.
1
618
.
0
5
3
5
3
cos
2
2
175
.
1
618
.
1
5
5
cos
2
2
4
,
3
,
2
,
1
,
0
;
2
0
32
−
−
+
+
+
+
+
=
−
=
+
=
=
±
−
=














+






=
=
±
=














+






=
=
=
=
→
=
+
=
π
π
π
π
π
π
φ
π
π
π
π
π
4. ( ) 0
y
5
2D
D
2
2
=
+
−
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
x
C
C
x
sen
e
x
C
C
x
e
x
y
i
m
i
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
x
4
3
2
1
4
,
3
2
,
1
2
2
2
2
2
2
cos
2
1
2
1
2
16
2
2
5
.
1
.
4
4
2
0
5
2
5
2
0
5
2
+
+
+
=
±
=
±
=
−
±
=
−
±
=
=
+
−
+
−
=
=
+
−
=
φ
φ
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3
2
1
2
3
2
1
3
2
2
3
2
0
2
0
4
4
2
0
4
4
1
8
8
2
2
8
12
6
1
0
8
12
6
x
C
x
C
C
e
x
y
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
+
+
=
=
=
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→
=
−
=
=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
=
φ
φ
φ

77. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 76
Ecuaciones de Orden Superior
Ecuación no homogénea de orden superior
1. 8
4x
x
2y'
'
3y'
'
'
y' 2
+
+
=
+
+
( ) ( ) ( )
( )
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( )
( )
( )
( ) A
x
y
B
Ax
x
y
C
Bx
Ax
x
y
Cx
Bx
Ax
x
y
x
y
con
i
l
es
si
Cx
Bx
Ax
C
Bx
Ax
x
x
y
s
x
y
con
nte
independie
e
linealment
es
no
pero
C
Bx
Ax
x
y
s
C
Bx
Ax
x
x
y
x
x
x
g
particular
solución
la
Encuentro
e
C
e
C
C
x
y
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
y
y
aria
complement
solución
la
Encuentro
x
y
x
y
x
y
p
p
p
p
c
p
c
p
s
p
x
x
c
p
c
6
'
'
'
2
6
'
'
2
3
'
.
.
1
0
8
4
:
2
,
1
,
0
0
2
1
0
2
3
0
2
3
0
'
2
'
'
3
'
'
'
:
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
3
2
1
2
2
3
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
→
=
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−
−
φ
φ
φ
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( )
( ) x
x
x
e
C
e
C
C
x
y
general
Solución
x
x
x
x
y
decimos
que
lo
Por
C
B
A
C
C
B
A
B
A
B
B
A
A
A
x
x
C
B
A
x
B
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A
x
x
C
Bx
Ax
B
Ax
A
x
x
y
y
y
x
x
p
p
p
p
4
11
4
1
6
1
:
4
11
4
1
6
1
:
4
11
2
6
6
8
8
2
6
6
4
1
4
18
4
4
4
18
6
1
1
6
8
4
2
6
6
4
18
6
8
4
2
3
2
2
6
3
6
8
4
'
2
'
'
3
'
'
'
2
3
2
3
2
1
2
3
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
=









=
→
+
−
=
→
=
+
+
=
→
−
=
→
=
+
=
→
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
−

78. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 77
2.
2x
2x
2x
2
2
e
5xe
e
2x
1
4x
2x
4y
4y'
'
y'
'
'
y' +
+
+
−
−
=
+
−
−
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( ) ( ) ( )
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( ) ( ) ( )
( )
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( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
C
B
A
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C
B
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x
y
C
B
x
C
B
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x
y
C
x
C
B
x
B
A
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e
x
y
Cx
Bx
Ax
e
x
y
x
y
con
i
l
es
si
Cx
Bx
Ax
e
C
Bx
Ax
xe
x
y
s
x
y
con
nte
independie
e
linealment
es
no
pero
C
Bx
Ax
e
x
y
s
C
Bx
Ax
e
x
x
y
e
xe
e
x
x
g
x
x
y
decimos
que
lo
Por
C
B
A
C
C
B
A
B
A
B
B
A
A
A
x
x
C
B
A
x
B
A
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A
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C
Bx
Ax
B
Ax
A
x
x
y
y
y
y
x
y
A
x
y
B
Ax
x
y
C
Bx
Ax
x
y
x
y
con
i
l
es
si
C
Bx
Ax
x
y
s
C
Bx
Ax
x
x
y
x
x
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g
x
g
x
g
x
g
particular
solución
la
Encuentro
e
C
e
C
e
C
x
y
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
y
y
y
aria
complement
solución
la
Encuentro
x
y
x
y
x
y
x
p
x
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p
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p
c
x
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p
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s
p
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x
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p
p
p
p
p
p
p
p
p
c
p
s
p
x
x
x
c
p
c
12
12
6
8
24
36
8
36
8
'
'
'
4
2
4
8
6
4
12
4
'
'
2
2
2
3
2
'
.
.
1
0
5
2
2
1
:
0
4
4
2
1
1
4
4
2
0
4
8
4
4
4
8
2
1
2
4
1
4
2
4
4
2
4
8
4
1
4
2
4
2
4
2
0
1
4
2
4
'
4
'
'
'
'
'
0
'
'
'
2
'
'
2
'
.
.
0
1
4
2
:
2
,
2
,
1
2
2
1
4
1
0
1
4
1
0
4
4
0
4
'
4
'
'
'
'
'
:
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
2
2
1
3
2
1
2
2
2
3
+
+
+
+
+
+
+
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=
+
+
+
+
+
+
+
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→
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+
+
=
→
=
+
+
=
→
+
+
=
=









=
→
+
+
−
=
→
−
=
+
−
−
=
→
+
−
=
→
−
=
+
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→
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−
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p
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e
x
C
B
A
x
B
A
x
A
e
e
xe
e
x
y
y
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
4
10
6
8
30
12
5
2
4
'
4
'
'
'
'
'
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
−
−

79. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 78
( )
( ) x
x
x
x
x
p
e
x
x
e
C
e
C
e
C
x
y
e
x
x
y
C
B
A
C
C
B
A
B
A
B
B
A
A
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2
3
2
2
3
2
2
1
2
3
6
1
2
1
6
1
0
4
10
6
1
1
4
10
6
0
8
30
5
5
8
30
6
1
2
12
2
+
+
+
+
=
=









=
→
−
−
=
→
=
+
+
=
→
−
=
→
=
+
=
→
=
−
3. ( )
x
csc
y'
'
'
y' =
+
( ) ( ) ( )
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( )
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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( )
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
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( ) ( )
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sen
x
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C
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C
C
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y
x
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x
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x
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x
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x
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x
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dx
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x
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x
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x
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x
u
x
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x
x
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x
x
x
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x
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x
x
sen
x
W
y
u
y
u
y
u
x
y
particular
solución
la
Encuentro
x
sen
C
x
C
C
x
y
i
m
i
m
m
m
m
m
m
m
m
y
y
aria
complement
solución
la
Encuentro
x
y
x
y
x
y
p
p
p
c
p
c
−
+














+
+
+
=
−
+














=
−
+
+














=
−
=
−
=
→
−
=
−
−
=
=
−
=
→
−
=
−
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








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



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=
→
=
−
−
−
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→
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=
∫
∫
∫
csc
ln
cos
2
tan
ln
cos
csc
ln
cos
2
tan
ln
cos
csc
ln
1
2
tan
ln
1
csc
1
csc
cos
0
0
0
0
cos
1
'
csc
ln
cos
csc
cos
csc
1
csc
0
cos
0
0
0
1
'
2
tan
ln
csc
1
csc
1
cos
csc
cos
0
cos
0
'
1
cos
1
cos
0
cos
0
cos
1
,
cos
,
1
:
cos
,
,
0
0
1
0
0
'
'
'
'
:
3
2
1
3
3
2
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
2
3
φ
φ

80. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 79
4. ( )
x
xln
'
'
y' =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
x
x
x
x
C
x
C
C
x
y
general
Solución
x
x
x
y
i
l
es
no
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
y
x
dx
x
x
u
x
x
x
x
x
x
x
u
x
x
dx
x
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u
x
x
dx
x
x
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u
x
x
x
x
x
x
x
sen
x
W
y
u
y
u
y
u
x
y
particular
solución
la
Encuentro
x
C
x
C
C
x
y
m
m
m
m
m
m
m
y
aria
complement
solución
la
Encuentro
x
y
x
y
x
y
p
p
p
p
c
p
c
ln
6
ln
2
4
:
ln
6
ln
2
4
.
.
7
ln
6
ln
2
4
2
ln
1
ln
2
1
2
1
ln
2
2
ln
ln
ln
ln
0
0
0
1
0
0
1
'
1
ln
2
ln
2
2
.
ln
2
ln
0
2
0
0
0
1
'
2
1
ln
2
ln
ln
2
0
ln
2
1
0
0
'
2
1
2
0
0
2
1
0
1
,
cos
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1
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0
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0
,
0
0
0
0
'
'
'
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2
2
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
3
2
2
1
1
2
3
2
1
3
2
1
3
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+
+
+
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−
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∴
+
−
=








+
−
−
+

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


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−
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→
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=
−
−
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→
−
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


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→
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+
+
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→
=
=
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=
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=
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→
=
+
=
∫
∫
∫
φ
φ

81. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 80
Ecuación de Euler de orden n
1. 0
18y
dx
dy
6x
dx
y
d
x
dx
y
d
x 2
2
2
3
3
3
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+
−
−
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( )( ) ( )
[ ]
( )( ) ( )
[ ]
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 2
3
3
2
1
2
3
3
2
3
1
3
2
1
2
2
2
3
2
3
3
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
3
3
ln
2
3
3
0
2
3
0
18
'
3
'
'
4
'
'
'
0
2
3
0
18
3
4
0
18
6
1
2
1
:
ln
:
ln
2
3
0
2
3
0
6
3
0
3
6
3
1
0
18
6
1
2
1
0
18
6
1
2
1
0
18
6
1
2
1
:
−
−
−
−
−
−
+
+
=
+
+
=
−
=
=
=
→
=
+
−
=
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
−
−
−
=
→
=
°
+
+
=
−
=
=
=
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
−
−
−
−
−
=
+
−
−
−
−
−
=
+
−
−
−
−
−
=
°
x
C
x
x
C
C
x
y
e
C
te
C
e
C
t
y
m
m
m
m
m
m
t
en
ecuación
y
y
y
y
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
obtiene
se
x
t
e
x
cambio
el
aplicando
Método
2
x
C
x
x
C
C
x
y
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x
r
r
r
r
r
r
x
xrx
x
r
r
x
x
r
r
r
x
:
a
reduce
se
escución
la
entonces
solución
como
x
y
asumo
Método
1
:
métodos
dos
por
os
resolverem
La
t
t
t
t
r
r
r
r
r
r
φ
2. 0
8y
dx
dy
10x
dx
y
d
2x
dx
y
d
x 2
2
2
3
3
3
=
−
−
+
( )( ) ( )
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )( )( )
( ) 2
3
1
2
4
1
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
3
2
1
4
0
2
1
4
0
8
10
0
4
5
2
1
0
8
10
1
2
2
1
0
8
10
1
2
2
1
−
−
−
−
−
+
+
=
−
=
−
=
=
=
+
+
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
+
−
−
=
x
C
x
C
x
C
x
y
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x
r
r
r
r
r
r
x
xrx
x
r
r
x
x
r
r
r
x
:
a
reduce
se
escución
la
entonces
solución
como
x
y
asumo
r
r
r
r
r
r