1. Matemáticas y Arte
por
Francisco Rivero Mendoza

2. Matemáticas - Arte
• La búsqueda de un ideal de belleza.
• Conocimiento del espacio tiempo.
• Búsqueda de patrones que se repiten.
• Métrica.

3. Matemáticas y Poesía.
La guacharaca de Apure
Le dijo al pájaro vaco
Préstame tu candelita
Para encender mi tabaco
Alberto Arvelo Torrealba

4. Relaciones líricas
• En su estructura, la poesía tiene algo de
matemáticas en la periodicidad, tanto de
las sensaciones fonéticas ( rima) como de
acentos ( ritmo).
• La gua cha ra ca dea pu re 00010010
• Le dijo al pá ja ro va co 00010010
• Prés ta me tu can de li ta 10000010
• Pa raen cen der mi ta ba co 00010010

5. El Lilavati ( Baskhara s. XII)
• “Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre una
flor de kadamba(Loto); un tercio sobre una flor de
silindha ( cambur). Tres veces la diferencia entre los dos
números voló a las flores de un kutuja, y quedó una sola
abeja que se alzó por el aire, igualmente atraída por el
perfume de un jazmín y un pandamus. Dime tú ahora,
mujer fascinante, cual era el número de abejas”
• Un matemático no es digno de este
nombre si no es un poco poeta
• Karl Weierstrass

6. Matemáticas y Literatura
• La matemática enseña
también a escribir, si se
quiere que la concisión,
la claridad, y la precisión
sean cualidades de estilo.
• El lenguaje matemático
obliga a una gimnasia
intelectual sumamente
intensa.
• Algunos escritores han
usado elementos
matemáticos en sus
creaciones literarias.

7. Veamos algunos ejemplos
1. Don Quijote: (segunda parte cap LI) La paradoja del
ahorcado
- “ Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un
mismo señorío … digo pues que sobre este río estaba
una puente, y al cabo della una horca y una como casa
de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro
jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río,
de la puente y del señorío…”

8. El Juramento del puente
• Si alguno pasare por
esta puente, de una
parte a otra, ha de
jurar primero adónde
y a qué va; y si jurare
verdad, déjenle
pasar; y si dijere
mentira, muera por
ello ahorcado en la
horca que allí se
muestra....

9. Don Quijote: Un texto que se autorefiere
creando un peligroso descenso al infinito

10. Un libro dentro de un libro
• “Créanme vuesas mercedes- dijo
Sancho- que el Sancho y el Don
Quijote desa historia deben de
ser otros que los que andan en
aquella que compuso Cide
Hamete Benengeli,
• “Por el mismo caso- respondió
Don Quijote- no pondré los pies
en Zaragoza; y así, sacaré a la
plaza del mundo la mentira de
ese historiador moderno y
echarán de ver las gentes cómo
yo no soy el Don Quijote que él
dice”

11. Lewis Carrol: Alicia en el país de
las maravillas
• Un relato fantástico del
matemático Charles
Dogson (1832-1898)
• Nada hacía suponer que
aquel severo personaje
gris de Oxford
consagrado al estricto
orden de las matemáticas
y a la precsión de la
lógica fuera a producir
una de las más célebres
obras en el terreno de lo
irracional y lo absurdo.

12. Una merienda de locos
• Entonces dí lo que
piensas- prosiguió la
liebre.
• Eso es lo que hago- dijo
Alicia precipitadamente-
A lo menos...yo pienso lo
que digo. Es la misma
cosa.
• No es lo mismo- advirtió
el sombrerero- Según tú,
sería lo mismo decir “Veo
lo que como” que “Como
lo que veo”

13. Jorge Luis Borges: La Biblioteca de
Babel
• “...A cada uno de los muros de cada
hexágono corresponden cinco anaqueles;
cada anaquel encierra treinta y dos libros
de formato uniforme; cada libro es de
cuatrocientas diez páginas; cada página
de cuarenta renglones; cada renglón de
unas ochenta letras…”

14. La biblioteca total. Tocando el
infinito
• “La biblioteca es total y en sus anaqueles se
registran todas las posibles combinaciones de
los veintitantos símbolos ortográficos, o sea,
todo lo que es dable expresar”.
• “...Todo: la historia minuciosa del porvenir, las
autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel
de la biblioteca, miles y miles de catálogos
falsos, la demostración de la falacia de esos
catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el
comentario de ese evangelio, el comentario del
comentario, la relación verídica de tu muerte...”

15. Dale Brown: El código da Vinci
• Anagramas
• Códigos secretos.
• Criptografía.
• Proporción dorada.
• Número de oro.
• Geometría sagrada.
• Sucesión de
Fibonacci.

16. Un receso musical...

17. Quatrivium
• La música y la matemática han estado
relacionada durante siglos. En el
curriculum de los estudiantes de la edad
media se incluían las siguientes artes o
disciplinas:
• Aritmética
• Geometría.
• Astronomía
• Música

18. Pitágoras y la música
• Para construir la escala musical
los pitagóricos construyeron un
instrumento formado por una sola
cuerda que se tensaba y que se
podía hacer más larga, o más
corta, moviendo una tabla móvil
( Monocordio)
• Cuando la cuerda medía ½ del
total el sonido se repetía pero más
agudo.
• Cuando el largo de la cuerda es
2/3 del tamaño original se obtiene
otra nota musical ( la quinta)
• Cuando la cuerda es ¾ del largo
de la anterior se obtiene la cuarta.

19. La escala diatónica
• En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de
números enteros.
Frecuencia Razón nota
anterior
Tónica f Do
Segunda 9/8 f 9/8 Re
Tercera 81/64 f 9/8 Mi
Cuarta 4/3 f 256/243 Fa
Quinta 3/2 f 9/8 Sol
Sexta 27/16 f 9/8 La
Séptima 243/128 f 9/8 Si
Octava 2f 256 / 243 Do

20. El Piano Bien Temperado
• El Piano Bien
Temperado, Obra de
Juan Sebastian Bach
compusta de 24 piezas
musicales, en doce
tonalidades usando el
modo mayor y menor.
• Bach afinó su piano en la
escala temperada
dividiendo los tonos en
series dentro de un
espacio definido.
• La escala temperada es
la que se usa hoy en día.

21. La música y las probabilidades
• Algunos músicos
compusieron obras a
partir de reglas y
conceptos matemáticos,
como por ejemplo, las
probabilidades.
• Mozart, a la edad de 21
años, creó un juego para
componer valses de 16
compases, lanzando los
dados.

22. • La obra musical se
titula “ Juegos de
dados musical para
escribir valses con la
ayuda de dos dados
sin ser músico, ni
saber nada de
composición” (K294).
• Los números en la
matriz corresponden a
los 176 compases que
compuso Mozart.
• Hay 2x1114 variaciones
del mismo vals.

23. ¿De que está hecha la música?
• Respuesta: De
funciones
trigonométricas.
• Los sonidos
producidos por la
vibración de
cuerdas y
membranas se
propagan en el
aire mediante
ondas sonoras.

24. Componentes de una onda
• Intensidad = Amplitud
• Tono= frecuencia.
• Timbre = forma particular de la onda.

25. El Análisis de Fourier
• El matemático
Francés Jean
Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830),
descubrió que toda
función periódica
( onda sonora) es una
combinación de
senos y cosenos.

26. El Osciloscopio sonoro
• musica

27. ¿ Y que hay del ritmo y la
melodía?
• En 2002, los trabajos Toussaint, inician
una investigación teórica de ritmos con
herramientas matemáticas, introduciendo
nuevas técnicas geométricas, gráficas y
de combinatoria.
• Esto permite la enseñanza, el análisis, la
visualización y el reconocimiento
automatizado de ritmos. Godfried T. Toussaint : :
Godfried T. Toussaint
“ “A mathematical analysis
A mathematical analysis
of African, Brasilian and
of African, Brasilian and
Cuban clave rithms”
Cuban clave rithms”

28. El ritmo clave son y su análisis
matemático.
• Para los ritmos se usa un sistema sencillo
de notación en base a unidades de
tiempo.

29. • Otra forma de representar los ritmos
consiste en emplear un vector de
intervalos.
• Cada dígito representa el intervalo de
tiempo entre sonidos sucesivos.
• Clave son se representa por: (3 3 4 2 4)
• Ejercicio ¿ cómo se representa el ritmo de
Gaita?

30. La Trilogía Sagrada:
Matemáticas, Arte y Naturaleza
• La belleza de las
proporciones
• El rectángulo dorado
• El Número de Oro
• La sucesión de
Fibonacci
• La espiral
• Las simetrías
• Las teselaciones

31. Las proporciones
• Un radio es una comparación de dos
cantidades, tamaños, cualidades o ideas
diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b.
• Una proporción es una relación de equivalencia
entre dos radios. Si las cantidades que
intervienen son a, b , c y d, entonces la
proporción se escribe
• a: b::c: d.
• Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.

32. La proporción dorada
a b
¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa?
a + b : b :: b : a
La suma de las dos partes es a la parte mayor como la
parte mayor es a la menor.
Esta proporción la llamamos proporción dorada

33. Construcción del segmento áureo

34. La belleza de las formas en la
naturaleza
• “Las formas supremas de lo bello son la
conformidad con las leyes, la simetría y la
determinación ( el orden), y son
precisamente estas formas las que se
encuentran en las matemáticas, y puesto
que estas formas parecen ser la causa de
muchos objetos, las matemáticas se
refieren en cierta medida a una causa que
es la belleza”
• Aristóteles.

35. La belleza de las proporciones
• “Lo bello es lo que
nos deleita, haciendo
de medianeros, oídos
y vista” – Platón.
• La altura total dividida
entre la altura hasta
el ombligo debe ser
iguala la proporción
dorada ϕ = 1.618…

36. El rectángulo dorado
1 x
1
(X + 1) : x = x : 1
X=(1+√5)/2
x
ϕ ≈ 1.56

37. Número de oro en el arte del
renacimiento italiano
• El rectángulo dorado
sirve de división armónica
entre los espacios.
• Para que un espacio
dividido en partes iguales
resulte agradable y
estético, deberá haber
entre la parte más
pequeña y la mayor, la
misma relación que entre
ésta y la menor.
• Euclides

38. Ley de la sección dorada

39. El numero de oro generalizado:
¿Qué hay entre un rectángulo dorado y
un cuadrado?
Un rectángulo verde

40. Una familia de números de oro
Números de oro generalizados
• Si para cada número natural n, consideramos la
ecuación
n x 2 – x- n = 0
La solución de la misma es el n-número de oro
ϕn = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n
• En particular se tiene que
ϕ1 = ϕ

41. Los números de oro generalizados:
(1 + √ 5) /2 1.61803399
ϕ1
ϕ2 ( 1 + √17) / 4 1.28077641
ϕ3 ( 1 + √ 37) / 6 1.18046042
ϕ4 ( 1 + √ 65) / 8 1.13278222
ϕ5 ( 1 + √ 101) / 10 1.10498756
ϕ6 ( 1 + √ 145) / 12 1.07397635

42. La sucesión de Fibonacci
• Una sucesión de
números naturales
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
……
• Una sucesión de
proporciones racionales
• 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5,
13/8, …
• Que tienden hacia la
Proporción Áurea
• → ϕ

43. La Espiral
• La espiral aparece en
la naturaleza
organizando el
crecimiento de las
formas.
• Cada Angulo central,
de una espiral
logarítmica, origina
arcos similares

44. Las espirales del girasol
• Hay 55 espirales ( en
el sentido de las
agujas del reloj).
• Hay 89 espirales en
sentido contario a las
agujas del reloj.
• La relación 55,89 se
conoce como la
phyllotaxis de la
planta.

45. La Espiral generadora del
movimiento en el arte del
cuatrocientos florentino.

47. Simetrías

48. Simetría bilateral
• El hombre y los
animales superiores
poseen simetría de
reflexión o bilateral
• Los espejos cambian
nuestro lado derecho
por el izquierdo y
viceversa.
• ¿Por qué los espejos
no cambian los pies
por la cabeza?

49. La simetría rotatoria abunda en la
naturaleza

50. La simetría en el arte de la
decoración

51. Los grupos miden las simetrías
• Los artesanos y decoradores de templos
alfombras y vasijas de todas las épocas y
culturas, jamás imaginaron que estaban
empleando en sus creaciones una de las
herramientas más moderna, abstracta y
sofisticada de toda la matemática: la
Teoría de Grupos

52. Los 17 grupos de simetría en el
plano
• Toda decoración simétrica del plano
consiste de una celda básica o patrón
que se repite infinitamente.
• En este proceso solo intervienen 4 tipos
de movimientos:
1. Traslaciones
2. Reflexiones
3. Rotaciones
4. Deslizamientos

54. Grupo p1: Sin rotaciones
• Grupo p1, contiene
sólo traslaciones en
dos direcciones
diferentes.

55. Grupo pg:No hay rotaciones
• Contiene
deslizamientos en
direcciones paralelas.

56. Grupo cm: sin rotaciones
• Grupo cm, contiene
una reflexión sobre
un eje vertical.
• Contiene un
deslizamiento sobre
un eje paralelo.

57. Grupo pm: sin rotaciones
• Contiene una
reflexión.

58. Grupo p2: rotacion de orden 2
• No contiene
reflexiones ni
deslizamientos

59. Grupo p2mg: Rotación de orden
2.
• Contiene un reflexión
sobre un eje paralelo
a la traslación.
• Contiene
deslizamientos sobre
líneas perpendiculres
a los ejes de
reflexión.

60. Grupo p2mm : rotación de
orden 2
• Contiene reflexiones
sobre ejes
perpendiculares

61. Grupo p2gg: Rotación de orden
2.
• Contiene
deslizamientos con
ejes que se cruzan
perpendicularmente

62. Grupo c2mm: Rotación de
orden 2
• Contiene dos
reflexiones sobre ejes
perpendiculares.
• Contiene una rotación
de orden dos

63. Grupo p3: Rotación de orden 3
• No contiene
reflexiones

64. Grupo p3m1: Rotación de orden
3.
• Contiene reflexiones
• La celda básica se
obtiene al unir 4
centros de rotación
cercanos.
• Los ejes de reflexión
están sobre la
diagonal mayor de la
celda básica.

65. Grupo p31m: Rotación de orden
3.
• Contiene reflexiones
sobre tres direcciones
distintas que se
intersectan en los centros
de rotación.
• Si se unen 4 centros
De rotación cercanos se
obtiene la celda básica
que es un paralelogramo.
En la diagonal menor del
mismo hay un areflexión.

66. Grupo p4: Rotación de orden 4
• No contiene
reflexiones ni
deslizamientos.

67. Grupo p4mm: Rotación de
orden 4
• Contiene reflexones
sobre ejes
perpendiculares que
se cortan en el centro
de la celda básica.

68. Grupo p4gm: Rotación de orden
4
• Contiene centros de
rotación de orden 4 y
de orden 2.
• Contiene reflexiones
con ejes que pasan
por los centros de
rotación de orden 2.

69. Grupo p6: rotación de orden 6
• No tiene reflexiones
• Posee centros de
rotación de orden 3.

70. Grupo p6mm: Rotación de
orden 6
• Posee reflexiones
• Posee centros de
rotación de orden 2.

71. Un método más interacativo
• Programa en Java
Kali, Creado por Nina
Armenta en 1995.
• Kali

72. Teselaciones

73. El proceso de construcción

74. Teselaciones regulares
• Se puede teselar el
plano ( en forma
periódica) con
polígonos regulares
del mismo tipo.
• Los únicos permitidos
son el triángulo, el
cuadrado y el
hexágono
( teselaciones
regulares)

75. Teselaiones irregulares
• Se puede teselar el plano usando dos tipos
de polígonos regulres.
• Sólo existen ocho posibilidades. Son las
llamadas ( teselaciones irregulares)

77. El Mundo maravilloso de M. Escher
• También es posible
teselar el plano en
forma artística con
figuras que
representan seres
vivos.

78. Las teselaciones pentagonales
• Se han descubierto 14
tipos de teselaciones
pentagonales con
pentágonos irregulares
• La Sra. Marjorie Rice
descubrió cuatro de ellas.
• Ella no es un matemático
profesional, sino, tan
sólo, un ama de casa que
hace unas colchas muy
bonitas.

79. Una teselación misteriosa:
Pentágonos de Durero

80. Fractal de Durero

81. Teselaciones no periódicas:
Diagramas de Penrose

82. Universos de Penrose: Un modelo
matemático para los cuasicrsitales.
• Cada Universo de
penrose en no periódico.
• El número posible de
arreglos es infinito no
enumerable.
• La Teoría de grupos es
insuficiente para entender
este orden: Para
comprender su estructura
se utiliza el Algebra de
Lie.

83. •Muchas gracias

84. Algunas referencias
• https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico
• Mosaicos y teselaciones.
• http://webs.advance.com.ar/simetriadelespacio
.
• Intriguing Tessellations
• Math Forum: Tessellation Tutorials by Suzann
.
• http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/m