La razón de oro

1. Aplicaciones del rectángulo áureo
Pero… ¿Qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es
como los demás?
Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa
el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... Es
el número de la belleza.
El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea
de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las
creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e
indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima
Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre
tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará
siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase,
más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número
La sorprendente belleza de un número irracional.
El número áureo pertenece al conjunto de los números irracionales, esto es, aquellos que no pueden
expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -
un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En
nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas
instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo
dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor
número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se
encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales.
Aplicaciones
Lo curioso es la de veces que aparece el número áureo en la naturaleza, en la arquitectura, en la
pintura, etc.
Muchas de las apariciones del número de oro tienen que ver con valores arquitectónicos y estéticos.
Desde la antigüedad se consideró que los elementos que guardaran esta proporción presentan una
relación armoniosa.
Cito a continuación algunas estructuras que la presentan.

2. Partenón
El rectángulo mayor ABCD es áureo es decir:
También son áureos:
Pirámides
En la gran pirámide de Keops, el cociente entre la
altura de la pirámide y la mitad de cada uno de los
lados de la base es y la relación entre la altura de
cada triángulo y la mitad de cada uno de los lados de
la base es
Este es el primer uso conocido del número áureo.
Leonardo Da Vinci
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que
estudiaron los griegos y romanos, fueron plasmadas en el
siguiente dibujo de Leonardo da Vinci. Luego fue utilizado
por Luca Pacioli para ilustrar su libro La Divina Proporción
editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las
proporciones de las construcciones artísticas. En particular,
Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones
entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones
áureas. Como tarea puedes dibujar como en la figura, un
círculo con centro en el ombligo y luego el cuadrado
indicado. Una persona armoniosa (según Luca Pacioli)
presentará la relación entre el lado del cuadrado y el radio
del círculo igual a .

3. A mediados del siglo XIX (1850), el alemán Zeisig dedicó 21 años de su vida para medir la evolución
de esta relación en una persona cuyo nombre la historia no registra. Con el seguimiento de este
ombligo observó que esta relación entre la altura total y la distancia entre el ombligo y el pie, se
iniciaba en alrededor de 2 (recién nacido) y se estabilizaba en aproximadamente 1.625. ¡menudo
trabajo! Sin embargo este cálculo podría ser de interés como aplicación de una clase de estadística en
una escuela, aplicado a personas de distintas edades.
Naturaleza: Zoología
La espiral logarítmica (ver propiedad matemática en un párrafo
anterior) gobierna el crecimiento armónico de muchas
especies animales y vegetales, por ejemplo el caracol.
Naturaleza: Botánica
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se
denomina Filotaxia.
Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas a la que llamaremos , hasta
encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la
sucesión de Fibonacci. Además las hojas se distribuyen en forma de espiral. Si mientras contamos
dichas hojas vamos girando el tallo, el numero de vueltas que debemos dar a dicho tallo para
llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión.
Se llama característica del tallo a la fracción . En el olmo es 2/1 (dos hojas en un giro), en el álamo
5/2 (cinco hojas en dos giros), en el sauce llorón 8/3 y en el almendro 13/8. Si representamos por
el término que ocupa el lugar en la sucesión de Fibonacci, en la mayoría de los casos la
característica viene dada por el cociente entre valores consecutivos de la sucesión o entre valores
alternados en dos. Es decir: o . Así, en el caso del sauce llorón es . Por la conexión
entre una sucesión de Fibonacci y el número de oro, podemos decir que la característica tiende al
número de oro.
Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/3, 8/5 o 13/8
(experiméntalo la próxima vez que te encuentres con una), presentando propiedades similares las
hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, etc.

4. Tributo de San Pedro (Masaccio).
En los frescos de Masaccio(1401-1428), de tan honda religiosidad, el personaje principal ocupa el
lugar de honor que marca la cesura. Así, en El Tributo de San Pedro se sitúa en los 4/9 del ancho total.
Nótese que Masaccio utilizaba estas proporciones para guiar sus cuadros treinta años antes de que
Alberti escribiera su tratado
Venus y el Organista ( Tiziano).
De Tiziano destacamos, además de las obras
ya señaladas anteriormente, Venus y el
organista construida sobre la relación 4/6/9,
una de las más comunes en este artista. Esta
Venus derivan todas de las de Giorgione y
siguen la misma composición: el semicírculo
sobre el que se apoya Venus está en el
centro de la división 4 partiendo de la
derecha.
Pintura Barroca española

5. La figura de Velázquez (1599-1660), de las más grandes de toda la pintura española, es en la que nos
detendremos en este apartado. Desde sus primeras obras supo representar la realidad tal como la
veía y tuvo la virtud de saber comunicar al espectador la noción de espacio, mediante un genial uso
de luces y sombras y una pincelada segurísima. Se ha dicho a veces que el realismo de Velázquez es
"espiritualizado" de tal manera que, siendo barroco, parece un clásico de la época de Pericles; y su
pintura se ha mantenido -como el arte griego en un plano elevado de armonía, elegancia y
profundidad que solo son reflejo de la autentica belleza. Dos de sus grandes obras: Las Hilanderas y
Las Meninas, que el autor pintó al término de su carrera, son ejemplo del sentido espacial que poseía
este español y podemos pensar que detrás de estos trazos geniales se esconde la proporción áurea.
En la trama de Las Meninas se esconde una espiral áurea de aquellas de Fibonacci como vemos en el
detalle de la figura:
La Parada(Seurat).
Movimientos Impresionistas: En este periodo lo que más preocupa es la unión entre arte y ciencia,
destacaremos a dos artistas cuyo pensamiento
está en sintonía con la búsqueda de las leyes de
la naturaleza que rigen el arte y son las mismas
del espíritu humano. Georges Seurat (1859-
1891), neo impresionista y admirador de Piero
della Francesca, Ingres, Poussin, etc. Para Seurat
el arte es armonía, y podemos ver esta en
cuadros como La Parada cuya característica es
un corte ortogonal entre la línea superior de la
rampa y el bastidor vertical de la derecha; la
horizontal está muy próxima a la sección áurea.
Otras relaciones áureas que se han encontrado
en el cuadro se muestran en la figura:

6. En nuestra vida diaria
El hombre ha utilizado los rectángulos áureos para diseñar las tarjetas de crédito, el carnet de
identidad, los paquetes de cigarrillos, etc. Si su escéptico mide alguno de estos rectángulos y halla sus
proporciones.
También se usan para diseñar dimensiones de libros, cuadros, tarjetas postales, estampillas, ventanas,
camas, ubicación del título en el lomo de un libro, etc.
Existen muchísimas otras propiedades y aplicaciones referentes al número de oro , en.la música , la
pintura, la naturaleza, etc. La idea de esta nota es presentártelo y luego tu curiosidad hará el resto. Si
buscas, vas a encontrar muchas propiedades o aplicaciones interesantes. Cuando las encuentres, sería
muy bueno que las compartieras con todos nosotros.
La proporción áurea en la Música
Esta mágica razón intrigó a muchos compositores, como
Sebastián Bach, Mozart, Beethoven, Debussy y Bartok. En la
música, la razón áurea influye en el lugar en el que aparecen
las culminaciones. La forma de los ritmos, intervalos y
armonías a la manera de un código secreto para iniciados.
Instrumentos musicales tales como violines, violas,
violonchelos y contrabajo fueron diseñados siguiente las
directrices de la proporción dorada.
Casi todas las obras de Bach siguen la sucesión de Fibonacci.
Asimismo muchas obras renacentistas. Bàrtok, en su
construcción formal, está estrechamente ligado a las leyes del Número Áureo. A este respecto cabe
citar su obra “Música para percusiones y celesta”. También en las Sinfonías de Mahler subyace la
misma influencia.

7. La influencia del número áureo en el mundo que nos rodea
La sucesión de Fibonacci, la proporción áurea y sus derivados (como la espiral de Fibonacci) están
presentes en la naturaleza y son considerados estándares de belleza, singularidad e inteligencia.
Se puede ver, por ejemplo, en:
Las galaxias y los agujeros negros.
Los edificios.

8. Flores como las rosas o los girasoles.
En animales como los moluscos.
En los huracanes.

9. En el arte y en los seres humanos.
En logotipos.