Sesión: Los números complejos

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Sesión: Los números complejos

  1. 1. SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 1 I. DATOS GENERALES a. Institución educativa : Colegio Anexo al IPNM b. Área : Matemática c. Nivel : Secundaria d. Ciclo : VII e. Grado : 4to f. Unidad de aprendizaje Nº 1 : “Conocemos los números complejos y sus funciones” g. Tema : Los números complejos h. Duración : 90 minutos i. Fecha : 24 de marzo del 2011 j. Profesora : Beatriz Elizabeth Diaz Garcia k. Asesor (a) : María Isabel Carrión Prudencio II. TEMA TRANSVERSAL : Ética y valores en la escuelaIII. ORGANIZACIÓN DE APRENDIZAJES CAPACIDADES Y CONOCIMIENTOS ACTITUDES DEL APRENDIZAJES ESPERADOS / ACTITUDES BÁSICOS ÁREA - Define un número imaginario y un número complejo. Razonamiento y - Resuelve operaciones de adición, sustracción, Demostración multiplicación, división y potenciación de números  Números imaginarios imaginarios Comunicación - Establece la relación entre números complejos y reales. - Potencias de i Matemática - Representa de forma cartesiana un número complejo. - Muestra responsabilidad y perseverancia al resolver  Números ejercicios y comunica los resultados. complejos - Demuestra disciplina favoreciendo el ambiente de - Forma binómica Actitudes trabajo. y cartesiana - Manifiesta respeto por las ideas expresadas por sus compañeros.IV. DESARROLLO DE LA SESIÓN Recursos Situaciones de aprendizaje / Estrategias de Aprendizaje Tiempo didácticos INICIO: - La profesora ingresa al aula y saluda a los alumnos. - A continuación coloca una imagen en la pizarra: Imagen en 15’ cartulina
  2. 2. - Y reparte a algunos alumnos cartillas de números para que las ubiquen en la imagen: 65 2 -9 6,59 -15 π ɸ 5 -27La imagen quedara así:- La profesora pregunta: ¿Cuáles son las fichas que faltan colocar?PR: , , ¿Y en qué conjunto creen que las podemos ubicar?PR: en ninguno de ellos. ¿Y estas raíces, tienen solución en los números reales?PR: no, no tiene solución porque son raíces con índice par y subradicalnegativo. Bien chicos, los números que faltan colocar pertenecen a un nuevo conjunto y para poder ubicarlos vamos a ampliar el conjunto de los números reales.- La profesora amplía la imagen:Como ven, estos números no pertenecen al conjunto de los reales, pues no existe ningún número real que elevado al exponente par nos de cómo resultado un número negativo. Antes esta dificultad, losmatemáticos crearon una nueva clase de número: los imaginarios, cuya
  3. 3. característica es que cuando son elevados al cuadrado dan como resultado un número negativo, por ejemplo: ¿Qué resultado obtenemos si elevamos al cuadrado?PR: -8 Por ello decimos que es un número imaginario. Los números imaginarios, al mismo tiempo son la base del conjunto de los números complejos. Y estos tres números que faltan colocar pertenecen a este último conjunto, al que estudiaremos el día de hoy, pero para entenderlos primero estudiaremos a los números imaginarios.PROCESO:- La profesora reparte la ficha de trabajo. (Anexo 1)- La profesora inicia la explicación mientras va escribiendo en la pizarra:El nombre de número imaginario se debe a que los matemáticos que los crearon en el siglo XVI, los consideraron como algo irreal. ¿Por qué? Todo partió de una ecuación cuadrática que ustedes deben intentar resolver: ¿Cómo podemos resolver esta ecuación?- La profesora pide la participación de un alumno.PR:Muy bien, como hemos dicho, esta ecuación, aparentemente simple, no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Por lo Ficha de trabajotanto diremos que es un número imaginario. Al resultado de la ecuación Papelógrafo que hemos resuelto se le conoce como unidad imaginaria quien se 60’ Plumones simboliza por , y se define como: Pizarra Mota es decir Ahora, si a la unidad imaginaria la multiplicamos por un factor real, excepto el cero; damos como origen a un imaginario puro, que se simboliza por: ; ¿Podrían dar ejemplos de números imaginarios puros?PR: Bien, ahora vamos a expresar las siguientes raíces cuadradas de números negativos como números imaginarios puros:- La profesora presenta los siguientes ejercicios en papelógrafo:- Resuelve el primer ejercicio y pide la participación de los alumnos:
  4. 4. - Continúa: También es posible sumar, restar, multiplicar o dividir números imaginarios entre sí o con número reales, como vemos en los ejemplos siguientes:- La profesora pide que lo alumnos resuelvan la primera parte de la ficha de trabajo (actividades en clase-ejercicios 1, 2 y 3) en el cuaderno.- Luego de 10 minutos la profesora escribe en la pizarra y pide la participación de los alumnos:Hallar el valor de: 1Como podemos observar, las cuatro primeras potencias, desde hasta , son todas distintas, pero luego, éstas se repiten en cuanto un exponente con otro tienen una diferencia de cuatro unidades, ( lo que se denomina “módulo de 4”. Así laspotencias se llaman potencias básicas o potencias canónicas de .- Completan la ficha de trabajo y resuelven las actividades en clase – ejercicio 4.- A continuación la profesora coloca el siguiente ejercicio:PR: 8 Como podemos ver, tenemos dos sumandos: un número imaginario más un número real. A la suma de ambos números se le conoce como número complejo y su definición es la siguiente:Ejemplo: Si designamos por z al número complejo , es decir, entonces el real “a” se llama parte real de z, Re(z), y el real “b”, que es el coeficiente de , parte imaginaria de z, Im(z).
  5. 5. - Escribe:a= Re(z)b= Im(z) Por lo tanto en el ejemplo anterior “ ¿cuál es la parte real?PR: 5 ¿Y la parte imaginaria?PR: 3 Muy bien chicos.La profesora pregunta: ¿5 es un número complejo?PR: no A ver, hemos designado a los complejos como , si lo igualamos a 5, entonces: Si “a” es la parte real, ¿cuál es su valor?PR: 5 ¿Y cuál es el valor de la parte imaginaria?PR: cero Muy bien, entonces como podemos observar todo real es un complejo pero la parte imaginaria es cero.- Completan la ficha de trabajo.- Continúa: Todo número complejo también se puede expresar en la forma cartesiana como un par ordenado (a, b) de números reales, donde la segunda componente del par corresponde al coeficiente de la unidad imaginaria. Representemos el siguiente número complejo en el plano cartesiano:- La profesora coloca una imagen en papelógrafo que desarrollará con ayuda de los alumnos. En el eje de las abscisas, colocamos la componente real del número complejo, ¿Cuál es la componente real en el ejemplo?PR: 5En el eje de las ordenadas, colocamos la componente imaginaria, ¿Cuál es la componente imaginaria en el ejemplo?PR: 4 Finalmente tenemos:Completan la separata y resuelven los ejercicios finales.SALIDA:- Para finalizar la profesora reparte una pequeña ficha práctica para 15’ Ficha práctica. que los alumnos resuelvan en silencio y de manera individual.
  6. 6. - Al finalizar la profesora les comunica que deben resolver los ejercicios de actividades para la casa en su cuaderno para la siguiente clase. Su cumplimiento será evaluado en la escala de evaluación. V. MODELO METODOLÓGICO. - Motivación - Recojo de conocimiento previos - Complementación con el nuevo tema - Resolución de ejercicios - Elaboración de conclusiones por los alumnos - Desarrollo de una práctica.VI. EVALUACIÓN CRITERIOS INDICADORES INSTRUMENTOS - Define con sus propias palabras un número imaginario y un número complejo. Razonamiento y - Resuelve operaciones de adición, sustracción, Demostración multiplicación, división y potenciación de números imaginarios en la ficha de trabajo. - Establece la relación de inclusión entre números Comunicación complejos y reales mencionado ejemplos. Escala de evaluación. Matemática - Representa de forma cartesiana un número complejo al Ficha de evaluación. ubicarlo en un plano cartesiano. - Muestra responsabilidad y perseverancia al resolver ejercicios y comunica los resultados. - Demuestra disciplina favoreciendo el ambiente de Actitudes trabajo. - Manifiesta respeto por las ideas expresadas por sus compañeros.VII. REFERENCIAS Del profesor Bibliográficas - Santillana 4, Manual del Docente - Santillana - Compendio de Álgebra – Editorial Lumbreras De la web - www.todomates.com Del alumno Bibliográficas - Símbolos 4 - Colección Santillana. - Manuel Coveñas 5 – Editorial Santillana. De la web - www.vitutor.com.pe - www.profesorenlinea.cl

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