Algebra preuniv-ft

1

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO
FACULTAD TÉCNICA
CURSO PREUNIVERSITARIO
(TURNO DIURNO MAÑANA)

MATERIA:

ALGEBRA
DOCENTE:

Ing. Jhonny Freddy Copa Roque

TEMARIO:

TEMA 1: DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.
TEMA 2: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.
TEMA 3: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS.
TEMA 4: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y EXPONENCIACIÓN.
TEMA 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.

EVALUACIÓN:

ASISTENCIA: 10 %
PRÁCTICAS: 20 %
DOS EXAMENES PARCIALES: 30 %
EXAMEN FINAL: 40 %
TOTAL: 100 %

SEMESTRE 1/2011

2

TEMA 1
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
1.1 DEFINICIÓN

La factorización nos ayuda a simplificar fórmulas o expresiones
algebraicas y a resolver ecuaciones.

Existen 11 casos a mencionar los cuales se desglosaran a
continuación:

1.2 CASO I: FACTOR COMÚN

Este caso se presenta cuando en cada término hay un mismo factor
que puede ser numérico o literal.

Ejemplo 1: 6a − 15b

Sacando común numérico resulta 3, siendo este máximo común divisor
de la parte numérica del polinomio.
No se tiene otro común en los términos por lo tanto resulta:

6a − 15b = 3(2a − 5b )

Ejemplo 2: 2 xy + 6 xz

Se tiene otro común en los términos literales que es x, por lo
tanto resulta:
2 xy + 6 xz = 2 x( y + 3 z )

Ejemplo 3: 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3

Se tiene otro común en los términos literales que es , por lo
tanto resulta:

3

9a 2 − 12ab + 15a3b 2 − 24ab3 = 3a 3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b3 
 
 

Ejemplo 4: (a + 3)(a + 1) − 4(a + 1)

Sacando común polinomio resulta (a + 1) , siendo este máximo común
divisor del polinomio.
Entonces se tiene:

(a + 3)(a + 1) − 4(a + 1) = (a + 1)[(a + 3) − 4] = (a + 1)(a − 1)

Ejemplo 5: 5 x a 2 + 1 + ( x + 1) a 2 + 1
   
   

Sacando común polinomio resulta  a +1 , siendo este máximo común
2
 
 
divisor del polinomio.
Entonces se tiene:

5 x a 2 + 1 + ( x + 1) a 2 + 1 =  a 2 + 1[5 x + ( x + 1)] =  a 2 + 1(6 x + 1)
       
       

1.3 CASO II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Ejemplo 6: x2 − a2 + x − a2x

Agrupamos y hallamos el ó los comunes del primer y tercer término
que es x .

Agrupamos y hallamos el ó los comunes del segundo y cuarto término
2
que es a .

Entones se tiene:

x 2 − a 2 + x − a 2 x = x( x + 1) − a 2 (1 + x ) = x( x + 1) − a 2 ( x + 1)

Se tiene aún un común que es ( x + 1) , para finalmente tener:

4

x(x + 1) − a 2 ( x + 1) = ( x + 1) x − a 2 
 
 

Entonces el resultado es:

x 2 − a 2 + x − a 2 x = ( x + 1) x − a 2 
 
 

Ejemplo 7: 5ac − 30ad + 6bc − 36bd

Agrupamos y hallamos el ó los comunes del primer y segundo término
que es 5a .

Agrupamos y hallamos el ó los comunes del tercer y cuarto término
que es 6b .

Entones se tiene:

5ac − 30ad + 6bc − 36bd = 5a(c − 6d ) + 6b(c − 6d )

Se tiene aún un común que es (c − 6d ) , para finalmente tener:

5a(c − 6d ) + 6b(c − 6d ) = (c − 6d )(5a + 6b )


5ac − 30 ad + 6bc − 36bd = (c − 6 d )(5a + 6b )

1.4 CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recordando que el cuadrado de un binomio indica que: “el primer
término del binomio al cuadrado, mas el doble producto del primero
por el segundo términos, más el segundo términos al cuadrado”, que
resulta:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Este caso de la factorización es inverso al mencionado
anteriormente.

5

Ejemplo 8: a 2 − 10a + 25

Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son a
y 5 respectivamente.

Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅ (a ) ⋅ (5) ,
resultando 10a . Si este término resulta ser igual al segundo
término, entonces se escribe las dos raíces halladas separadas por
el signo del segundo término y todo elevado al cuadrado. En resumen
se tiene:

a 2 − 10 a + 25

a ⇒ 2· (a )(5 ) = 10 a
·

⇒ a 2 − 10 a + 25 = (a − 5 )2

Ejemplo 9: 4a 2 − 20ab + 25b 2

Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son 2a 2
y 5b 2 respectivamente.

Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas
2 ⋅  2a 2  ⋅  5b 2  , resultando 20a 2 b 2 . Si este término resulta ser igual
   
   
al segundo término, entonces se escribe las dos raíces halladas
separadas por el signo del segundo término y todo elevado al
cuadrado. En resumen se tiene:

6

4 a 2 + 20 ab + 25 b 2

2a 5b ⇒ 2·(2 a )(5b ) = 20 ab
·

⇒ 4 a 2 + 20 a + 25b 2 = (2 a + 5b )2

a2
Ejemplo 10: − ab + b 2
4
a
Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son
2
y b respectivamente.

a
Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅   ⋅ (b ) ,
2
resultando ab . Si este término resulta ser igual al segundo
el signo del segundo término y todo elevado al cuadrado. En resumen
se tiene:

a2
− ab + b 2
4

 a 
a b ⇒ 2 ·  · (b )= ab
 2 
2
a2 2
a 
⇒ − ab + b 2 =  − b 
2 2 

1.5 CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Recordando que (x + y )( x − y ) , se opera de la siguiente manera:

7

x − y
x + y
x 2 − xy
+ xy − y 2
x2 + 0 − y2 ⇒ x2 − y2

El presente caso es inverso al ejemplo.

Para resolver este caso se sigue la siguiente regla: “Se extrae la
raíz cuadrada de ambos términos y se multiplica la suma de estos
raíces por la diferencia de las mismas.

Ejemplo 11: 16 − n 2

Sacando raíz cuadrada de ambos términos y aplicando el teorema se
tiene:

16 − n 2

4 n ⇒ (4 − n )(4 + n )

Ejemplo 12: 4 x 2 − 25 y 2

tiene:

4 x 2 − 25 y 2

2x 5 y ⇒ (2 x − 5 y )(2 x + 5 y )

8

Ejemplo 13: (x + 1)2 − 16 x 2
tiene:

(x + 1)2 − 16 x 2

( x + 1) 4x ⇒ [(x + 1) − 4 x ][(x + 1) + 4 x ] = (1 − 3 x )(1 + 5 x )
1.6 CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN
Y SUSTRACCIÓN

Ejemplo 14: a 4 + 2a 2 + 9

Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando el
doble producto de ambos se tiene:

a4 + 2a2 + 9

a2 3 ⇒ 2·  a 2 · (3 ) = 6 a 2
 
 
El resultado 6a
2
no es igual al segundo término del trinomio 2a ,
2
para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesario sumarle y
2
restarle 4a .

Entonces se tendrá:

a 4 + 2a 2 + 9 + 4a 2 − 4a 2 =  a 4 + 6a 2 + 9  − 4a 2
 
 

9

a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2

a2 3 ⇒ 2·  a 2 · (3 ) = 6 a 2
 
 
2
 a 2 + 3  − 4a 2
⇒ 
 

 a2 + 3
  2a ⇒   a 2 + 3  − 2 a  ⋅   a 2 + 3  + 2 a 
     
       
 a 2 − 2a + 3  ⋅  a 2 + 2a + 3 
   
   

Ejemplo 15: 4 x 2 − 28 xy + 9 y 2


4 x 2 − 28 xy + 9 y 2

2x 3y ⇒ 2· (2 x )(3 y ) = 12 xy
·
El resultado 12 xy no es igual al segundo término del trinomio
28 xy , para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesario
sumarle y restarle 16 xy .


4 x 2 − 28 xy + 9 y 2 + 16 xy − 16 xy =  4 x 2 − 12 xy + 9 y 2  − 16 xy
 
 

1 0

4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 − 16 xy

2x 3y ⇒ 2· (2 x )(3 y ) = 12 xy
·
⇒ (2 x − 3 y )2 − 16 xy

(2x − 3y) 4 xy [ ][
⇒ (2 x − 3 y ) − 4 xy ⋅ (2 x − 3 y ) + 4 xy ]
(2 x − 4 xy − 3 y )⋅ (2 x + 4 xy − 3 y )
Ejemplo 16: 4x8 + y8


4 x8 + + y8

2x4 y4 ⇒ 2  2 x 4 ·  y 4  = 4 x 4 y 4
·  
  
4 4 no existe en el ejemplo por lo que se sumará y
El resultado 4 x y
restará el mismo.


4 x8 + 4 x 4 y 4 + y8 − 4 x 4 y 4

1 1

4 x8 + 4 x 4 y 4 + y 8 − 4 x 4 y 4

2x4 y4 ⇒ 2·  2 x 4 ·  y 4  = 4 x 4 y 4
   
   
2
⇒  2x4 + y4  − 4x4 y4
 
 

 2 2  2 2
2 x 2 y 2 ⇒  2 x + y  − 2 x y  ⋅  2 x + y  + 2 x y 
 2x4 + y4  4 4 4 4
    
       
2x − 2x y + y  ⋅2x + 2x y + y 
 4 2 2 4  4 2 2 4

   

1.7 CASO VI: TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c

Deben cumplir las siguientes condiciones:

- El coeficiente del primer término es 1.
- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero con
exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquier,
positiva o negativa.
- El tercer término es independiente de la letra que aparece en
el primero y segundo términos y es una cantidad cualquiera,
positiva o negativa.

REGLA PRÁCTICA

1. El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo
primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término
del trinomio.
2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del
segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después
de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo
del segundo término del trinomio por el signo del tercer
término del trinomio.
3. Si los dos factores binomios tienen en el medio SIGNOS IGUALES
se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo
término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer

1 2

término. Estos números son los segundos términos de los
binomios.
4. Si los dos factores binomios tienen en el medio SIGNOS
DISTINTOS se buscan dos números cuya diferencia sea el valor
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es
el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo
término del segundo binomio.

Ejemplo 17: x 2 − 5 x − 36

En primer lugar se descompone el tercer término (independiente) en
sus divisores y hallar los correspondientes números que verifican
los coeficientes del segundo y tercer término. En este caso dos
números que multiplicados nos de -36, y que restados nos de -5.


x 2 − 5 x − 36 = ( x − 9 )( x + 4 )
Ejemplo 18: m 2 − 20m − 300

Descomponiendo el tercer término en sus divisores y hallando los
dos números, este caso dos números que multiplicados nos de -300, y
que restados nos de -20.


m 2 − 20m − 300 = (m − 30 )(m + 10 )
Ejemplo 19: x 2 + 10 x + 21

1 3

Descomponiendo el tercer término en sus divisores y hallando dos
números que multiplicados nos de 21, y que restados nos de 10.

x 2 + 10 x − 21 = ( x + 7 )(x + 3)

1.8 CASO VII: TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c

En este caso se transforma el trinomio al caso anterior
multiplicando y dividiendo todo por el coeficiente para no
alterar la expresión.

Ejemplo 20: 2x 2 + 7x + 6

Multiplicando numerador y denominador por 2, y procediendo de
acuerdo al teorema se procede:

2 2 x 2 + 7 x + 6 
  2 2 x 2 + 2(7 x ) + 12 (2 x )2 + 7(2 x ) + 12
 = = =
2 2 2

=
(2 x + 4)(2 x + 3) = 2(x + 2)(2 x + 3) = (x + 2)(2 x + 3)
2 2

Ejemplo 21: 9a 2 + 10a + 1


9 9a 2 + 10a + 1
  9 2 a 2 + 9(10a ) + 9 (9a )2 + 10(9a ) + 9
⇒  = = =
9 9 9

1
4

=
(9a + 9)(9a + 1) = 9(a + 1)(9a + 1) = (a + 1)(9a + 1)
9 9

Ejemplo 22: 15 x 2 − ax − 2a 2


1515 x 2 − ax − 2a 2 
 
 = 15 x − 15(ax ) − 30a = (15 x ) + a (15 x ) − 30a =
2 2 2 2 2
⇒ 
15 15 15

=
(15 x − 6a )(15 x + 5a ) = 3(5 x − 2a ) ⋅ 5(3x + a ) = (5 x − 2a )(3x + a )
15 15

1.9 CASO VIII: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Recordando:

(a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
(a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
El procedimiento es el siguiente:

- Hallamos raíz cúbica de los términos primero y cuarto.
- Posterior hallamos el triplo de la primera raíz al cuadrado
por la cuarta raíz. El resultado debe ser igual al segundo
término del polinomio.
- Se halla el triplo de la primera raíz por la cuarta raíz
elevado al cuadrado. El resultado debe ser igual al tercer
término del polinomio.
- El resultado final es la raíz del primer término mas (+) o
menos (-) la raíz del cuarto término, elevado al cubo.

1
5

Ejemplo 23: 8a 3 − 36a 2 b + 54ab 2 − 27b 3

8 a 3 − 36 a 2 b + 54 ab 2 − 27 b 3

2a 3b
⇒ 3  2a 2 · (3b ) = 36 a 2b
· 
  ⇒ (2 a − 3 b )3
⇒ 3 (2a )(3b )2 = 54 ab 2
· ·
Ejemplo 24: 125 x 3 + 1 + 75 x 2 + 15 x

125 x 3 + 75 x 2 + 15 x + 1

5x 1

⇒ 3· (5 x )2· (1 ) = 75 x 2
⇒ (5 x + 1 )3
⇒ 3· (5 x )(1 )2 = 15 x
·

1.10 CASO IX: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Regla 1:

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.

- La suma de sus raíces cúbicas.
- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos
raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula nos dice:

a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 
 
 
Regla 2:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.

1 6

- La diferencia de sus raíces cúbicas.
- El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos
raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula nos dice:

a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 
 
 

Ejemplo 25: a 3 + 27

La raíz cúbica de a es
3 a ; la de 27 es 3 .
Según la regla 1 es:

a 3 + 27

a 3 ⇒ (a + 3) a2 − a ⋅ 3 + 32  = (a + 3) a2 − 3a + 9
   
   

Ejemplo 26: a 6 + 125b12
La raíz cúbica de es a6 a2 ; la de 125 b
12 es 5b 4 .

a 6 + 125 b12

 2 2
a2 5 b 4 ⇒  a + 5b   a  −  a 2  5b 4  +  5b 4 
2 4 2
         
  
       


⇒  a 2 + 5 b 4   a 4 − 5 a 2 b 4 + 25 b 8 
 
  


Ejemplo 27: (m − 2)3 + (m − 3)3

La raíz cúbica de (m − 2 ) es
3 (m,−2) ; la de (m − 3)3 es (m − 3) .

1
7

(m − 2 )3 + (m − 3 )3

(m − 2 ) (m − 3 )
⇒ [(m − 2 ) + (m − 3)](m − 2 )2 − (m − 2 )(m − 3) + (m − 3)2 

 

= [m − 2 + m − 3] m 2 − 4m + 4  −  m 2 − 2m − 3m + 6  +  m 2 − 6m + 9 
     

     
= [2m − 5]m 2 − 4m + 4 − m 2 + 5m − 6 + m 2 − 6m + 9

 

= [2m − 5]m 2 − 5m + 7

 

Ejemplo 28: x 6 − 8 y12

La raíz cúbica de x es
6 x 2 ; la de 8 y 12 es 2 y 4 .

x 6 − 8 y 12

 2 2
x2 2 y 4 ⇒  x 2 − 2 y 4   x 2  +  x 2  2 y 4  +  2 y 4  
        
  
       

⇒  x 2 − 2 y 4   x 4 + 2 x 2 y 4 + 4 y8 
 
  


1.11 CASO X: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Se tienen dos condiciones:

Condición 1:

x n − y n = ( x − y ) x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + ... + xy n − 2 + y n − 1 
 
 

Condición 2:

1 8

x n + y n = ( x + y ) x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3 y 2 − ... − xy n − 2 + y n − 1 
 
 

Ejemplo 29: n 5 + 243

5
La raíz quinta de n es n ; la de 243 = 3 es 3 .
5
Según la condición 1 es:

n 5 + 243 = n 5 + 3 5

n 3 ⇒ (n + 3 ) (n )4 − (n )3 (3 ) + (n )2 (3 )2 − (n )(3 )3 + (3 )4 

 


⇒ (n + 3 ) n 4 − 3 n 3 + 9 n 2 − 27 n + 81 

 


Ejemplo 30: 32 − m 5

La raíz quinta de 32 = 2 es
5 2 ; la de m 5 es m .
Según la condición 2 es:

32 − m 5 = 25 − m 5

2 m ⇒ (2 − m ) (2 )4 + (2 )3 (m ) + (2 )2 (m )2 + (2 )(m )3 + (m )4 
 
 

⇒ (2 − m )16 + 8 m + 4 m 2 + 2 m 3 + m 4 

 

1.12 CASO XI: REGLA DE RUFFINI

Ejemplo 31: x 3 + 4 x 2 + 12 x + 27

Se hallan los divisores del término independiente, que son:

27: -1,-3,-9,-27,+1,+3,+9,+27

Se prueban con cada uno de los divisores.

1 9

Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces la
descomposición será:

(x − 3) x 2 + x + 9 
 
 

Ejemplo 32: x 4 − x 3 − 16 x 2 + 4 x + 48


48: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,-48,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24,+48.

descomposición parcial será:

(x − 2) x 3 + x 2 − 14 x − 24 
 
 

Se hallan los divisores nuevamente del término independiente, que
corresponde al segundo paréntesis que son:

24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.

2 0


(x − 2)( x + 2) x 2 + x − 12  = (x − 2)(x + 2)( x − 4)( x + 3)
 
 
El tercer paréntesis es posible descomponer por el caso V:

Ejemplo 33: x 4 − 2 x 3 − 13 x 2 + 14 x + 24


24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.


(x + 1) x 3 − 3x 2 − 10 x + 24 
 
 

Se hallan los divisores nuevamente del término independiente, que
corresponde al segundo paréntesis que son:

24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.

2 1


(x + 1)( x − 2) x 2 − x − 12  = (x + 1)(x − 2)(x − 4)( x + 3)
 
 

El tercer paréntesis es posible descomponer por el caso V:

Ejemplo 34: 2 x 3 − x 2 − 18 x + 9


9: -1,-3,-9,+1,+3,+9.


(x − 3) 2 x 2 + 5 x − 3 
 
 


3: -1,-3,+1,+3.

2 2


(x − 3)( x + 3)(2 x − 1)

RESOLUCIÓN PRÁCTICA #1

Ejercicio 1: 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7 ab 2

De los términos primero y tercero, el término común es 3a . De los
términos segundo y cuarto es 7b 2 realizando las respectivas
operaciones se tiene:

3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a ) = ( x + a ) 3 − 7b 2 
 
 

Ejercicio 2: 9 x 2 − 1 + 16 a 2 − 24 ax = 16 a 2 − 24 ax + 9 x 2 − 1

Después de ordenado los términos podemos indicar que corresponde a
una combinación de los casos III y IV.

Los tres primeros términos se resuelven por el método del trinomio
cuadrado perfecto.
Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que es 4a y
3x respectivamente.
Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅ (4a ) ⋅ (3x ) ,
resultando 24ax . Este término resulta ser igual al segundo
el signo del segundo término y todo elevado al cuadrado (4a − 3 x )2 .

Entonces el ejercicio se planteará de la siguiente manera
(4a − 3x )2 − 1 , y se resolverá como diferencia de cuadrados:

2 3

Se halla la raíz cuadrada del término (4a − 3x )2 que es (4a − 3x ) y del
segundo término 1 que es 1 , aplicando posteriormente la regla.
Hallando como resultado final (4a − 3x + 1)(4a − 3x − 1) . La secuencia es la
siguiente:

16 a 2 − 24 ax + 9 x 2 − 1

4a 3x ⇒ 2 ·(4 a ) ·(3 x ) = 24 ax
⇒ (4 a − 3 x )2 − 1

(4 a − 3 x ) 1
⇒ [(4 a − 3 x ) + 1][(4 a − 3 x ) − 1] = (4 a − 3 x + 1)(4 a − 3 x − 1)

Ejercicio 3: 81m8 + 2m 4 + 1

El ejercicio corresponde al caso V (Trinomio cuadrado perfecto por
adición y sustracción).

81m 8 + 2 m 4 + 1

9m 4 1 ⇒ 2  9m 4 · (1) = 18m 4
· 
 
4
El resultado 18m no es igual al segundo término del trinomio 2m 4 ,
para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesario sumarle y
restarle 16m 4 . Entonces se tendrá:

81 m 8 + 2 m 4 + 1

9m 4 1 ⇒ 2·  9 m 4 · (1) = 18 m 4
 
 
81 m 8 + 2 m 4 + 1 + 16 m 4 − 16 m 4 = 81 m 8 + 18 m 4 + 1 − 16 m 4

2
4


81 m 8 + 18 m 4 + 1 − 16 m 4

9m 4 1 ⇒ 2  9m4  (1) = 18m4
· ·
2  
⇒  9 m 4 + 1  − 16 m 4
 
 
Se forma otra expresión que corresponde a una diferencia de
cuadrados y se resuelve aplicando el procedimiento adecuado.
Hallando las raíces cuadradas de los dos términos y
descomponiéndola en dos paréntesis separados con signos alternos
como se muestra:
2
 9 m 4 + 1 − 16 m 4
 
 

 9m 4 + 1 
  4m 2
 

⇒  9m4 + 1 − 4m2  9m4 + 1 + 4m2  =  9m4 − 4m2 + 1 9m4 + 4m2 + 1



 


  
 





Ejercicio 4: x 2 − 5 x + 36

Corresponde al caso VI. Descomponiendo el tercer término en sus
divisores y hallando dos números que multiplicados nos de 36, y que
restados nos de -5.

(x − 9)(x + 4)

2
5

Ejercicio 5: 4n 2 + n − 33
Corresponde al caso VII. Multiplicando numerador y denominador por
4, y procediendo de acuerdo al teorema se plantea:

4 4n 2 + n − 33 
  4 2 n 2 + n − 132 (4n )2 + 1(4n ) − 132
⇒  = = =
4 4 4
De los términos del numerador se descompone en sus divisores el
término independiente 132

Y con los números hallados se busca dos números que multiplicados
nos de -132 y restados nos de 1. Estos números son 12 y -11
respectivamente. Posterior se realiza una factorización dentro del
primer paréntesis.

⇒
(4n + 12)(4n − 11) = 4(n + 3)(4n − 11) = (n + 3)(4n − 11)
4 4

Ejercicio 6: 3a12 + 1 + 3a 6 + a18 = a18 + 3a12 + 3a 6 + 1

Corresponde al caso VIII, que es cubo perfecto de binomios. En
primer término se ordena en forma descendente respecto a la
variable a , a continuación se hallan las raíces cúbicas de los
términos primero y cuarto que son a 6 y 1 respectivamente. Se
aplica la regla para los términos segundo y tercero. Para el
segundo el triplo de la primera raíz al cuadrado por la segunda
2
raíz 3 a 6  ⋅ (1) = 3a12 , este término es idéntico. Y el triplo de la
 
 
primera raíz por la segunda raíz al cuadrado 3 a 6  ⋅ (1)2 = 3a 6 , también
 
 
es idéntico. Por lo tanto el resultado es las dos raíces halladas
3
separadas por el signo + y elevados al cubo  a 6 + 1 . El  
 
procedimiento es el siguiente:

2 6

a 18 + 3 a 12 + 3 a 6 + 1

a6 1
2
⇒ 3·  a 6  · (1) = 3 a12
  3
  ⇒  a6 + 1
 
 
⇒ 3  a 6 · (1)2 = 3a 6
· 
 
3 3
Ejercicio 7: x 6 − b9 =  x 2  −  b3 
   
   
Corresponde al caso IX que es diferencia de cubos perfectos. Se
hallan las raíces cúbicas de ambos términos y se aplican las reglas
que corresponden a cada una de ellas:
3 3
 x 2  −  b3 
   
   

 2 2
x2 b3 ⇒  x2 − b3  ⋅  x2  + x2b3 +  b3  
     
   
    
⇒  x2 − b3  ⋅  x4 + x2b3 + b6 
  
   

5
Ejercicio 8: x10 + 32 y 5 =  x 2  + (2 y )5
 
 

5
 x 2  + (2 y )5
 
 

x2 2y
 4 3 2 
⇒  x 2 + 2 y   x 2  −  x 2  (2 y ) +  x 2  (2 y )2 −  x 2  (2 y )3 + (2 y )4 
         
   
       


⇒  x 2 + 2 y   x 8 − 2 x 6 y + 4 x 4 y 2 − 8 x 2 y 3 + 16 y 4 
 
  


2
7

Ejercicio 9: x 4 + 6 x 3 + 3 x + 140

140: -1,-2,-4,-5,-7,-10,-14,-35,-70,-140
+1,+2,+4,+5,+7,+10,+14,+35,+70,+140

(x + 4) x 3 + 2 x 2 − 8 x + 35 
 
 

(x + 4)( x + 5) x 2 − 3x + 7 
 
 

Ejercicio 10: 6 x 3 + 23 x 2 + 9 x − 18

18: -1,-2,-3,-6,-9,-18,+1,+2,+3,+6,+9,+18

(x + 3) 6x 2 + 5x − 6
 
 
6 6 x 2 + 5 x − 6 
  (6 x )2 + 5(6 x ) − 36
⇒  =
6 6

2 8

⇒
(6 x + 9)(6 x − 4) = 3(2 x + 3) ⋅ 2(3x − 2) = (2 x + 3)(3x − 2)
6 6

⇒ ( x + 3)(2 x + 3)(3 x − 2 )

2 9

TEMA 2
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
2.1 DEFINICIÓN

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas
llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas.
Las incógnitas se representan por lo general, por las últimas
letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

2.2 REGLA GENERAL

a) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
b) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro
todos los términos que contengan la incógnita y en el otro
miembro todas las cantidades conocidas.
c) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
d) Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros por el
coeficiente de la incógnita.

2.3 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO

Ejemplo 35: 11x + 5 x − 1 = 65 x − 36

Haciendo la transposición de términos se tiene:

− 35
11x + 5 x − 65 x = −36 + 1 ⇒ −49 x = −35 ⇒ x =
− 49

5
⇒x=
7

Verificación:
5 5 5 55 25 325
11  + 5  − 1 = 65  − 36 ⇒ + −1 = − 36
7 7 7 7 7 7

3 0

55 − 25 − 7 325 − 252 73 73
⇒ = ⇒ =
7 7 7 7

2.4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Ejemplo 36: x − [5 + 3 x − {5 x − (6 + x )}] = −3

⇒ x − [5 + 3 x − {5 x − 6 − x}] = −3 ⇒ x − [5 + 3 x − 5 x + 6 + x ] = −3

⇒ x − 5 − 3 x + 5 x − 6 − x = −3 ⇒ x − 3 x + 5 x − x = −3 + 5 + 6

8
⇒ 2x = 8 ⇒ x = ⇒x=4
2

Verificación:

4 − [5 + 3 ⋅ 4 − {5 ⋅ 4 − (6 + 4 )}] = −3 ⇒ 4 − [5 + 12 − {20 − 10}] = −3

⇒ 4 − [5 + 12 − 10] = −3 ⇒ 4 − 7 = −3 ⇒ −3 = −3

2.5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS INDICADOS

Ejemplo 36: (x − 2)2 + x( x − 3) = 3(x + 4)(x − 3) − (x + 2)(x − 1) + 2

⇒ x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 3 x = 3 x 2 − 3 x + 4 x − 12  −  x 2 − x + 2 x − 2  + 2
   
   

⇒ 2 x 2 − 7 x + 4 = 3 x 2 + 3 x − 36 − x 2 − x + 2 + 2

⇒ 2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 32 ⇒ 2 x 2 − 7 x − 2 x 2 − 2 x = −32 − 4

− 36
⇒ −9 x = −36 ⇒ x = ⇒x=4
−9

3 1

Verificación:

⇒ (4 − 2 )2 + 4(4 − 3) = 3(4 + 4 )(4 − 3) − (4 + 2 )(4 − 1) + 2

⇒ 4 + 4 = 24 − 18 + 2 ⇒ 8 = 8

2.6 ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO
CON DENOMINADORES MONOMIOS

x + 2 5x
Ejemplo 38: x− =
12 2

12 x − ( x + 2 ) 5 x 12 x − x − 2 5 x 11x − 2 5 x
= ⇒ = ⇒ =
12 2 12 2 12 2

2(11x − 2 ) = 12(5 x ) ⇒ 22 x − 4 = 60 x ⇒ 22 x − 60 x = 4

4 2
− 38 x = 4 ⇒ x = ⇒x=−
− 38 19

Verificación:

2  2 − 2 + 38 10
+ 2 5 − 
− −
= 
2 19  2
⇒ − − 19 ⇒ − − 19 = 19
19 12 2 19 12 2

36 10
−
2 2 36 10
⇒ − − 19 = 19 ⇒ − − =−
19 12 2 19 19 ⋅ 12 19 ⋅ 2

1 36  1  10 
⇒  − 2 −  =  −  ⇒ −2 − 3 = −5 ⇒ −5 = −5
19  12  19  2 

3 2

2.7 ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO
CON DENOMINADORES COMPUESTOS

3 2 8
Ejemplo 39: = +
x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12

3 2 8 3 2( x − 4 ) + 8
⇒ = + ⇒ =
x − 4 x − 3 ( x − 3)( x − 4 ) x − 4 ( x − 3)( x − 4 )

⇒ 3( x − 3) = 2( x − 4 ) + 8 ⇒ 3 x − 9 = 2 x − 8 + 8

⇒ 3x − 2 x = 9 ⇒ x = 9

Verificación:

3 2 8 3 2 8 3 1 8
= + ⇒ = + ⇒ = +
9 − 4 9 − 3 9 2 − 7 ⋅ 9 + 12 5 6 81 − 63 + 12 5 3 30

3 1 4 3 5+ 4 3 9 3 3
⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
5 3 15 5 15 5 15 5 5

2.8 ECUACIONES LITERALES ENTERAS DE PRIMER GRADO

Ejemplo 40: a( x + b ) + x(b − a ) = 2b(2a − x )

⇒ ax + ab + bx − ax = 4ab − 2bx ⇒ ax + bx − ax + 2bx = 4ab − ab

3ab
⇒ 3bx = 3ab ⇒ x = ⇒x=a
3b

Verificación:

a(a + b ) + a(b − a ) = 2b(2a − a ) ⇒ a 2 + ab + ab − a 2 = 4ab − 2ab

⇒ 2ab = 2ab

3 3

2.9 ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO

x−b x−a
Ejemplo 41: = 2−
a b

x − b 2b − ( x − a ) x − b 2b − x + a
= ⇒ = ⇒ b( x − b ) = a(2b − x + a )
a b a b

⇒ bx − b 2 = 2ab − ax + a 2 ⇒ bx + ax = 2ab + a 2 + b 2

⇒ x(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ⇒ x(a + b ) = (a + b )2 ⇒ x = (a + b )

Verificación:

(a + b ) − b = 2 − (a + b ) − a ⇒ a + b − b = 2 − a + b − a
a b a b
a b
⇒ = 2− ⇒1=1
a b


Ejercicio 2.1: 5 y + 6 y − 81 = 7 y + 102 + 65 y

5 y + 6 y − 7 y − 65 y = 102 + 81 ⇒ 11y − 72 y = 183

183
⇒ −61y = 183 ⇒ y = ⇒ y = −3
− 61

Verificación:

5(− 3) + 6(− 3) − 81 = 7(− 3) + 102 + 65(− 3)

− 15 − 18 − 81 = −21 + 102 − 195 ⇒ −114 = −114

Ejercicio 2.2: 3 x + [− 5 x − ( x + 3)] = 8 x + (− 5 x − 9 )

3
4

3 x + [− 5 x − x − 3] = 8 x − 5 x − 9 ⇒ 3 x − 5 x − x − 3 = 8 x − 5 x − 9

−6
⇒ 3 x − 5 x − x − 8 x + 5 x = −9 + 3 ⇒ −6 x = −6 ⇒ x = ⇒ x =1
−6

Verificación:

⇒ 3 ⋅ 1 + [− 5 ⋅ 1 − (1 + 3)] = 8 ⋅ 1 + (− 5 ⋅ 1 − 9 )

⇒ 3 + [− 5 − 4] = 8 + (− 5 − 9 ) ⇒ 3 − 9 = 8 − 14 ⇒ −6 = −6

Ejercicio 2.3: (x − 2)2 − (3 − x )2 = 1

 x 2 − 4x + 4 −  9 − 6x + x 2  = 1 ⇒ x 2 − 4x + 4 − 9 + 6x − x 2 = 1
   
   
6
⇒ −4 x + 6 x = 1 − 4 + 9 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x = ⇒ x = 3
2

Verificación:
(3 − 2)2 − (3 − 3)2 = 1 ⇒ 1 = 1

5x − 1 3
Ejercicio 2.4: x− = 4x −
3 5

3 x − (5 x − 1) 20 x − 3 3 x − 5 x + 1 20 x − 3 − 2 x + 1 20 x − 3
= ⇒ = ⇒ =
3 5 3 5 3 5

⇒ 5(− 2 x + 1) = 3(20 x − 3) ⇒ −10 x + 5 = 60 x − 9

− 14 1
− 10 x − 60 x = −9 − 5 ⇒ −70 x = −14 ⇒ x = ⇒x=
− 70 5

Verificación:

1
5  − 1
1 3
−  
1 5 1 4 3 1 1
= 4  − ⇒ − 0 = − ⇒ =
5 3 5 5 5 5 5 5 5

3
5

10 x 2 − 5 x + 8
Ejercicio 2.5: =2
5x 2 + 9 x − 19

10 x 2 − 5 x + 8 = 2 5 x 2 + 9 x − 19  ⇒ 10 x 2 − 5 x + 8 = 10 x 2 + 18 x − 38
 
 

− 46
⇒ −5 x − 18 x = −38 − 8 ⇒ −23 x = −46 ⇒ x = ⇒x=2
− 23

Verificación:

10(2 )2 − 5(2 ) + 8 40 − 10 + 8 38
=2⇒ =2⇒ =2⇒2=2
5(2) 2 + 9(2 ) − 19 20 + 18 − 19 19

Ejercicio 2.6: ax − a(a + b ) = − x − (1 + ab )

⇒ ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab ⇒ ax + x = −1 + a 2

⇒ x(a + 1) = a 2 − 1 ⇒ x =
(a + 1)(a − 1) ⇒ x = a − 1
(a + 1)
Verificación:

a(a − 1) − a(a + b ) = −(a − 1) − (1 + ab )

⇒ a 2 − a − a 2 − ab = −a + 1 − 1 − ab ⇒ −a(1 + b ) = −a(1 + b )

x − 3a 2a − x 1
Ejercicio 2.7: − =−
a2 ab a

b( x − 3a ) − a(2a − x ) 1 bx − 3ab − 2a 2 + ax 1
=− ⇒ =−
a 2b a a 2b a

⇒ a bx − 3ab − 2a 2 + ax  = − a 2 b ⇒ abx − 3a 2 b − 2a 3 + a 2 x = −a 2 b
 
 

3 6

⇒ abx + a 2 x = − a 2 b + 3a 2 b + 2a 3 ⇒ xa (a + b ) = 2 a 2 b + 2a 3

2 (a + b ) ⇒ x = 2a (a + b ) ⇒ x = 2a
2
⇒ xa(a + b ) = 2a
a (a + b )

Verificación:

2a − 3a 2a − 2a 1 a 1 1 1
− =− ⇒− =− ⇒− =−
a2 ab a a2 a a a

EXAMEN PRIMER PARCIAL

Pregunta 1: 16a − 4 − 15a 2

1515a 2 − 16a + 4 
 
 = − (15a ) − 16(15a ) + 60
2
15a 2 − 16a + 4  = − 
⇒ − 
  15 15

⇒−
(15a − 10)(15a − 6) = − 5(3a − 2) ⋅ 3(5a − 2)
15 5⋅3

⇒ −(3a − 2 )(5a − 2 ) = (2 − 3a )(5a − 2 )

Pregunta 2: 2 x 4 + x 3 − 16 x 2 + 3 x + 18

2 1 -16 3 18

-1 -2 1 15 -18
2 -1 -15 18 0

⇒ ( x + 1) 2 x 3 − x 2 − 15 x + 18 
 
 

3
7

⇒ ( x + 1)( x + 3) 2 x 2 − 7 x + 6 
 
 
2 2 x 2 − 7 x + 6 
  (2 x )2 − 7(2 x ) + 12 (2 x − 4 )(2 x − 3) 2( x − 2 )(2 x − 3)
 = = =
2 2 2 2

⇒ ( x + 1)( x + 3)( x − 2)(2 x − 3)

5 1
Pregunta 3: =
x2 −1 x −1

5( x − 1) = x 2 − 1 ⇒ 5( x − 1) = ( x + 1)( x − 1) ⇒ 5 = x + 1

⇒ x = 5 −1 ⇒ x = 4

Verificación:

5 1 5 1 5 1 1 1
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
4 2 − 1 4 − 1 16 − 1 3 15 3 3 3

Pregunta 4: ( x + a )(x − b ) − (x + b )( x − 2a ) = b(a − 2) + 3a

x 2 + ax − bx − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a

⇒ 3ax − 2bx = −2b + 3a ⇒ x(3a − 2b ) = 3a − 2b

3a − 2b
⇒x= ⇒ x =1
3a − 2b

3 8

Verificación:

(1 + a )(1 − b ) − (1 + b )(1 − 2a ) = b(a − 2) + 3a

1 − b + a − ab − 1 + 2a − b + 2ab = ab − 2b + 3a

ab − 2b + 3a = ab − 2b + 3a

3 9

TEMA 3
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCOGNITAS
3.1 SISTEMA DE ECUACIONES
Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. La
solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las
incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.

3.2 RESOLUCIÓN

Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las
dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta
operación se llama eliminación.

3.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN

7x − 4 y = 5 (1)
Ejemplo 42:
9 x + 8 y = 13 (2)
Despejando de (1) x.

5 + 4y
x= (3)
7


13 − 8 y
x= (4)
9

Igualando segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4).

5 + 4 y 13 − 8 y
⇒ = ⇒ 9(5 + 4 y ) = 7(13 − 8 y ) ⇒ 45 + 36 y = 91 − 56 y
7 9
46 1
⇒ 36 y + 56 y = 91 − 45 ⇒ 92 y = 46 ⇒ y = ⇒y=
92 2

Reemplazando y en (3).

0
4

1
5 + 4 
⇒x= 2 = 5+ 2 = 7 ⇒ x =1
7 7 7

Verificación en (1).

1
7(1) − 4  = 5 ⇒ 7 − 2 = 5 ⇒ 5 = 5
2


1
9(1) + 8  = 13 ⇒ 9 + 4 = 13 ⇒ 13 = 13
2

3.4 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN

x − 5y = 8 (1)
Ejemplo 43:
− 7 x + 8 y = 25 (2)

x = 8 + 5y (3)
Reemplazando (3) en (2).

− 7(8 + 5 y ) + 8 y = 25 ⇒ −56 − 35 y + 8 y = 25 ⇒ −35 y + 8 y = 25 + 56

81
⇒ −27 y = 81 ⇒ y = ⇒ y = −3
− 27


x = 8 + 5(− 3) ⇒ x = 8 − 15 ⇒ x = −7


− 7 − 5(− 3) = 8 ⇒ −7 + 15 = 8 ⇒ 8 = 8

1
4


− 7(− 7 ) + 8(− 3) = 25 ⇒ 49 − 24 = 25 ⇒ 25 = 25

3.5 MÉTODO DE REDUCCIÓN

3x − 4 y = 41 (1)
Ejemplo 44:
11x + 6 y = 47 (2)
Multiplicando la ecuación (1) por 3, y la ecuación (2) por 2.

9 x − 12 y = 123
3 x − 4 y = 41 ( x 3) 22 x + 12 y = 94
⇒
11x + 6 y = 47 (x2) 31x 0 = 217

217
⇒x= ⇒x=7
31

Reemplazando x en (1).

20
3(7 ) − 4 y = 11 ⇒ −4 y = 41 − 21 ⇒ y = ⇒ y = −5
−4


3(7 ) − 4(− 5) = 41 ⇒ 21 + 20 = 41 ⇒ 41 = 41


11(7 ) + 6(− 5) = 47 ⇒ 77 − 30 = 47 ⇒ 47 = 47

3.6 MÉTODO DE LAS DETERMINANTES

Sea el sistema:
a x+b y = c
1 1 1
(1)
a x+b y = c
2 2 2
(2)

2
4

Resolviendo por el método de eliminación por igualación:


c −b y
x= 1 1 (3)
a
1


c −b y
x= 2 2 (4)
a
2


c −b y c −b y
⇒ 1 1 = 2
a a 2 1 1
( 1 2 2
) (
2 ⇒ a c −b y = a c −b y )
1 2

⇒ a c −a b y = a c −a b y ⇒ a b y−a b y = a c −a c
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

a c −a c
( 1 2 2 1
)
⇒ y a b −a b =a c −a c ⇒ y = 1 2
1 2 2 1
2 1
a b −a b
1 2 2 1

2 1 2 1 2 2 1
(
a c −a c  c a b −a b −b a c −a c
c −b  1 2 2 1 2
) (
2 1
)
2 2 a b −a b  a b −a b
⇒x=  1 2 2 1 = 1 2 2 1
a a
2 2

( ) (
c a b −a b −b a c −a c )
a c b −a c b −a c b +a c b
( ) ( )
= 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 = 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2
a a b −a b a a b −a b
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

(
a c b −c b ) c b −c b
⇒x= 2 1 2
( )
2 1 ⇒x= 1 2 2 1
a a b −a b a b −a b
2 1 2 2 1 1 2 2 1

3
4

Generalizando:

c b a c
1 1 1 1
c b c b −c b a c a c −a c
x= 2 2 = 1 2 2 1 ⇒ y= 2 2 = 1 2 2 1
a b a b −a b a b a b −a b
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1
a b a b
2 2 2 2

3 x − 4 y = 13 (1)
Ejemplo 45:
8 x − 5 y = −5 (2)

13 −4

x=
−5 −5
=
(− 65) − (20) = − 65 − 20 = − 85 = −5 ⇒ x = −5
3 −4 (− 15) − (− 32) − 15 + 32 17
8 −5

3 13
8 − 5 (− 15) − (104 ) − 15 − 104 − 119
x= = = = = −7 ⇒ y = −7
3 − 4 (− 15) − (− 32) − 15 + 32 17
8 −5


3(− 5) − 4(− 7 ) = 13 ⇒ −15 + 28 = 13 ⇒ 13 = 13


8(− 5) − 5(− 7 ) = −5 ⇒ −40 + 35 = −5 ⇒ −5 = −5


3x + 5 y = 7 (1)
Ejercicio 3.1
2 x − y = −4 (2)

4 4

7 − 5y
x= (3)
3


y−4
x= (4)
2


7 − 5y y − 4
⇒ = ⇒ 2(7 − 5 y ) = 3( y − 4 ) ⇒ 14 − 10 y = 3 y − 12
3 2
− 26
⇒ −10 y − 3 y = −12 − 14 ⇒ −13 y = −26 ⇒ y = ⇒ y=2
− 13

7 − 5(2 ) 7 − 10 − 3
⇒x= = = ⇒ x = −1
3 3 3


3(− 1) + 5(2 ) = 7 ⇒ −3 + 10 = 7 ⇒ 7 = 7


2(− 1) − 2 = −4 ⇒ −2 − 2 = −4 ⇒ −4 = −4

4 y + 3x = 8 (1)
Ejercicio 3.2:
8 x − 9 y = −77 (2)
Ordenando:
3x + 4 y = 8 (1)
8 x − 9 y = −77 (2)

8 − 4y
x= (3)
3

4 5

Reemplazando (3) en (2).

8 − 4y   64 − 32 y  64 − 32 y − 27 y
8  − 9 y = −77 ⇒   − 9 y = −77 ⇒ = −77
 3   3  3

⇒ 64 − 32 y − 27 y = 3(− 77 ) ⇒ −32 y − 27 y = −231 − 64
− 295
⇒ −59 y = −295 ⇒ y = ⇒ y=5
− 59


8 − 4(5) 8 − 20 − 12
x= ⇒x= ⇒x= ⇒ x = −4
3 3 3


4(5) + 3(− 4 ) = 8 ⇒ 20 − 12 = 8 ⇒ 8 = 8


8(− 4 ) − 9(5) = −77 ⇒ −32 − 45 = −77 ⇒ −77 = −77

7 x − 15 y = 1 (1)
Ejercicio 3.3:
− x − 6y = 8 (2)
Multiplicando la ecuación (1) por 1, y la ecuación (2) por 7.

7 x − 15 y = 1
7 x − 15 y = 1 ( x1) − 7 x − 42 y = 56
⇒
− x − 6y = 8 (x7 ) 0 − 57 y = 57

57
⇒y= ⇒ y = −1
− 57

1 − 15 − 14
7 x − 15(− 1) = 1 ⇒ 7 x + 15 = 1 ⇒ x = ⇒x= ⇒ x = −2
7 7

6
4


7(− 2 ) − 15(− 1) = 1 ⇒ −14 + 15 = 1 ⇒ 1 = 1


− (− 2 ) − 6(− 1) = 8 ⇒ 2 + 6 = 8 ⇒ 8 = 8

10 x + 18 y = −11 (1)
Ejercicio 3.4:
16 x − 9 y = −5 (2)

− 11 18

x=
−5 −9
=
(99) − (− 90) = 99 + 90 = 189 = 1 ⇒ x = − 1
10 18 (− 90) − (288) − 90 − 288 − 378 − 2 2
16 −9
10 − 11
16 − 5 (− 50 ) − (− 176 ) − 50 + 176 126 1 1
y= = = = = ⇒ y=−
10 18 (− 90) − (288) − 90 − 288 − 378 − 3 3
16 − 9


 1  1
10 −  + 18 −  = −11 ⇒ −5 − 6 = −11 ⇒ −11 = −11
 2  3


 1   1
16 −  − 9 −  = −5 ⇒ −8 + 3 = −5 ⇒ −5 = −5
 2  3

4 7

TEMA 4
POTENCIACIÓN, RADICACIÓN
Y EXPONENCIACIÓN
4.1 POTENCIA

Es la misma expresión o el resultado de tomarlos como factor dos o
más veces. La primera potencia de una expresión es la misma.

Así: (2a )1 = 2a
La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de
tomarlo como factor dos veces.

Así: (2a )2 = 2a ⋅ 2a = 4a 2
El cubo de una expresión es el resultado de tomarlo como factor
tres veces.

Así: (2a )3 = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a = 8a 3

En general: (2a )n = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a........................n veces

4.1.1 Binomio de NEWTON
En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes:

a) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente.
b) El exponente de a en el primer término de desarrollo es igual
al exponente del binomio, y en cada término posterior al
primero, disminuye 1.
c) El exponente b en el segundo término del desarrollo es 1, y
en cada término posterior a este, aumenta 1.
d) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el
coeficiente del segundo es igual al exponente de a en el
primer término del desarrollo.
e) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando
el coeficiente del término anterior por el exponente de a en
dicho término anterior y dividiendo este producto por el
exponente de b en ese mismo término aumentado en 1.
f) El último término del desarrollo es b elevado al exponente
del binomio.

8
4

(a + b )n = a n + n a n − 1b + n(n − 1) a n − 2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n − 3b 3 +
1! 2! 3!
n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) n − 4 4
+ a b + ............ + b n
4!

(a − b )n = a n − n a n − 1b + n(n − 1) a n − 2b 2 − n(n − 1)(n − 2) a n − 3b 3 +
1! 2! 3!
n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) n − 4 4
+ a b + ............ +  − b n 
 
4!  

Ejemplo 46: (x − 2 )4

(x − 2)4 = x 4 − 4  x 4 − 1 (2) + 4(4 − 1)  x 4 − 2  2 2  − 4(4 − 1)(4 − 2)  x 4 − 3  23 
       
1  1⋅ 2    1⋅ 2 ⋅ 3   
4(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)  4 − 4  4 
+ x  2 
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4   

(x − 2)4 = x 4 − 8x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16

6

Ejemplo 47:  x 3 + 1
 
 

6 6 6 −1 6(6 − 1)  3  6 − 2 2 6(6 − 1)(6 − 2 )  3  6 − 3 3
 x 3 + 1 =  x 3  + 6  x 3 
    ⋅1 + x  ⋅1 + x  ⋅1 +
   
  1  1⋅ 2   1⋅ 2 ⋅ 3  
6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)  3  6 − 4 4 6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)(6 − 4 )  3  6 − 5 5
+ x  ⋅1 + x  ⋅1 +
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4   1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5  
6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5)  3  6 − 6 6
+ x  ⋅1
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6  

6
 x 3 + 1 = x18 + 6 x15 + 15 x12 + 20 x 9 + 15 x 6 + 6 x 3 + 1
 
 

9
4

4.1.2 TRIÁNGULO DE PASCAL
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1
4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

6
Ejemplo 48:  x2 + y3 
 
 

6 6 6 −1 1 6−2 2 6−3 3
 x 2 + y 3  =  x 2  + 6 x 2 
      ⋅  y 3  + 15 x 2 
    ⋅  y 3  + 20 x 2 
    ⋅ y3  +
 
               
6−4 4 6−5 5 6
+ 15 x 2 
  ⋅  y 3  + 6 x 2 
    ⋅ y3  +  y3 
   
         

6
 x 2 + y 3  = x12 + 6 x10 y 3 + 15 x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15 x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y18
 
 

7
Ejemplo 49: 3 − y7 
 
 

7 1 2 3
 3 − y 7  = (3)7 − 7(3)7 − 1 ⋅  y 7  + 21(3)7 − 2 ⋅  y 7  − 35(3)7 − 3 ⋅  y 7  +
       
       
4 5 6 7
+ 35(3)7 − 4 ⋅  y 7  − 21(3)7 − 5 ⋅  y 7  + 7(3)7 − 6  y 7  −  y 7 
       
       

7
 3 − y 7  = 2187 − 5103 y 7 + 5103 y14 − 2835 y 21 + 945 y 28 − 189 y 35 + 21 y 42 − y 49
 
 

4.2 RADICACIÓN

La raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica
que elevado a una potencia reproduce la expresión dada.

0
5

Así: 2a es raíz cuadrada de 4a
2 porque (2a )2 = 4a 2

4.2.1 RAIZ CUADRADA DE POLINOMIOS

EJEMPLO 50: x 4 + 6x 2 − 4x3 − 4x + 1

x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2x + 1
− x4
0 − 4 x3 + 6 x2
(2 x 2
)
− 2 x (− 2 x ) = − 4 x 3 + 4 x 2

4 x3 − 4 x2 (2 x 2
)
− 4 x + 1 (1 ) = 2 x 2 − 4 x + 1
0 2x − 4x + 1
2

− 2x 2 + 4x −1
0

a 4 30 9
EJEMPLO 51: − − 5a 2 + 28 +
4 a2 a4

Ordenando:

a4 30 9 a2 3
− 5 a 2 + 28 − 2 + 4 −5+ 2
4 a a 2 a
a4
−  a2 
4 
2  ( )
 = a 2 − 5 (− 5) = −5a 2 + 25
0 − 5a 2 + 28  2 
5a 2 − 25
 a2   3  3 
0 30 9 2 − 5 =  a2 − 10 + 2  2 
 
3− + 4 2   a  a 
a2 a
30 9
30
−3+ 2 − 4
9 = 3− 2 + 4
a a a a
0

1
5

EJEMPLO 52: 9 − 6 x 3 + 2 x 9 − 5 x 6 + x12

Ordenando:

x 12 + 2 x 9 − 5 x 6 − 6 x 3 + 9 x6 + x3 − 3
− x 12
0 2x9 − 5x6
( ) ( )( )
2 x6 = 2x6 + x3 x3 = 2x9 + x6

− 2x9 − x6 2(x + x ) = (2x + 2x − 3)(− 3)
6 3 6 3

0 − 6x6 − 6x3 + 9 = −6x 6 − 6x 3 + 9
6x6 + 6x3 − 9
0

1 6 5 4 2 3 32 8
EJEMPLO 53: x + x + x − x5 − x 2 + x + 4
4 3 3 9 3

Ordenando:

1 6 5 2 32 2 8 1 3 2
x − x5 + x4 + x3 − x + x+4 x − x2 + x + 2
4 3 3 9 3 2 3
1 6
− x
4
1 
( )( )
2 x 3  = x 3 − x 2 − x 2 = − x 5 + x 4
5 2 
0 − x5 + x4
3 1   2  2 
x − x4
5 2 x3 − x 2  =  x3 − 2x 2 + x  x 
2   3  3 
2 4 2 3 32 2
0 x + x − x 2 4 4
3 3 9 = x 4 − x3 + x 2
3 3 9
2 4 4
− x 4 + x3 − x 2
1 2   4 
2 x 3 − x 2 + x  =  x 3 − 2x 2 + x + 2(2)
3 3 9
8 2 3   3 
0 2x3 − 4x2 + x + 4
3 8
= 2x 3 − 4 x 2 + x + 4
8 3
− 2x3 + 4x2 − x − 4
3
0

2
5

4.3 EXPONENCIACIÓN

a) EXPONENTE CERO

a2
= a2 ⋅ a− 2 = a0 = 1
a2
b) EXPONENTE FRACCIONARIO
1 2
3 2
a = a2 o a = a3
c) EXPONENTE NEGATIVO.

a− n =
1
an

Ejemplo 54: Hallar el valor numérico de:
1 1
−
3x 2 + x 2 y − 3 + x 0 y 3 para x = 4, y =1
1
3 x2 3 x2 3 3 42 3 3
= + + y3 = + + y= + + 1 = + 16 + 1
1 y3 x y3 4 13 2
x2
3 3 + 34 37 1
= + 17 = = = 18
2 2 2 2

Ejemplo 55: Hallar el valor numérico de:

2 1
x0 x− 2
+ x3 − y5 + + y0 para x = 8, y = 32
3 y0 y− 1

1 3 2 5 y 1 32
= + x − y + 2 + 1 = + 3 8 2 − 5 32 + 2 + 1
3 x 3 8

1 3 3 3 5 5 25 1 1
= + 2 ⋅ 2 − 2 + 6 +1 = + 4 − 2 + +1
3 2 3 2

1 1 2 + 18 + 3 23 5
= +3+ = = =3
3 2 6 6 6

3
5

4.3.1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES
NEGATIVOS O FRACCIONARIOS

EJEMPLO 56: Multiplicar:

2 2 2 4
− − −
a 3 − 2 + 2a 3 por 3 + a 3 − 4a 3

2 2
−
a − 2 + 2a
3 3

2 4
− −
3+a 3
− 4a 3

2 2
−
3a − 6 + 6 a
3 3

2 4
− −
1 − 2a 3
+ 2a 3

2 4
− −
− 4a 3
+ 8a 3
− 8a − 2
2 4 2 4
− −
−2
3a − 5
3
0 + 10 a 3
− 8a ⇒ 3a − 5 + 10 a
3 3
− 8a − 2

4.3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES
NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS

EJEMPLO 57: Dividir:

2 4 2 4
− − −
3m 3 − 5 + 10m 3 − 8m − 2 entre 3 + m 3 − 4m 3

5 4

2 4 2 4
− − −
3m 3
−5 + 10 m 3
− 8m −2
3 + m 3
− 4m 3

2 2 2 2
− −
− 3m 3
− 1 + 4m 3
m 3
− 2 + 2m 3

−
2
−
4  2  −
4
 −
2

0 − 6 + 4m 3
+ 10 m 3 m 3  − 4 m 3  = −4m 3
  
−
2
−
4   
+ 6 + 2m 3
− 8m 3
 2  − 2 
m 3  m 3  = m0 = 1
  
−
2
−
4
  
0 6m 3
+ 2m 3
− 8m −2
 2  2
−
2
−
4 m 3  (3 ) = 3 m 3
− 6m 3
− 2m 3
+ 8m −2  
 
 −
4
 −
4
0 (− 2 ) − 4 m

3  = 8m 3

 
 −2  −
2
(− 2 )
 m 3  = −2m 3

 
(− 2 )(3 ) = − 6
 −
2
 −
4

 2m 3  − 4 m 3  = − 8 m −2
  
  
 −
2
 − 3 2
−
4
 2m 3  m  = 2m 3
  
  
 −
2
 −
2
 2m 3  (3 ) = 6 m 3
 
 

4.3.3 RAICES DE POLINOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS O
FRACCIONARIOS

a) RAÍZ CUADRADA

4 3 2 1
EJEMPLO 58: a 5 − 8a 5 + 10a 5 + 24a 5 + 9

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