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EXAMEN DE MATEMÁTICAS - 2º Bachillerato CCSS -
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  1. 1. 18 de Noviembre de 2009 1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS - 2º Bachillerato CCSS - SOLUCIÓN 1. (2 Puntos) Cuestiones: Justifica tu respuesta a) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: I) Haz una interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas compatible determinado. RESPUESTA: Las tres ecuaciones son tres rectas en el plano. Al ser el sistema, compatible determinado, las tres rectas se cortan en un punto. II) ¿Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas puede ser: (i) Compatible Determinado? RESPUESTA: No, se necesitaría al menos otra ecuación. (ii) Compatible Indeterminado? RESPUESTA: Sí, siempre que las dos ecuaciones dadas no sean incompatibles. (iii) Incompatible? RESPUESTA: Sólo si las dos ecuaciones son incompatibles entre sí, en caso contrario el sistema sería compatible indeterminado. b) MATRICES. Calcula 2− A siendo ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 21 10 A RESPUESTA: ( )212 −− = AA , por lo que calculamos la matriz inversa, 1− A y la elevamos al cuadrado. ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− =⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = −− 12 25 01 12 01 12 01 12 211 AA c) DETERMINANTES. Si 4= yx ba , halla el valor de: I) 822 22 22 2 2 22 22 0 =⋅=⋅= − − += − − yx ba yb xa bb aa yb xa byb axa II) 92323 1 23 1 3 −= − ⋅=⋅= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ yx ba yx ba yx ba by ax yx ba by ax yx ba by ax d) PROGRAMACIÓN LINEAL. Representa el recinto limitado por: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<− <<− ≤+ 22 22 2 y x yx e indica todas las soluciones enteras de este sistema. RESPUESTA: );1,1();0,1();1,1();1,0();0,0();1,0();1,1();0,1();1,1( −−−−−−
  2. 2. 18 de Noviembre de 2009 2 2. (1’5 Puntos) En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla. a) Con estos datos ¿se puede saber los helados que se compran semanalmente de vainilla?, ¿y de chocolate?, ¿y de nata? RESPUESTA: Sean x los helados de vainilla comprados semanalmente; y , los de chocolate y; z , los de nata. El sistema que se obtiene es: ⎩ ⎨ ⎧ =−− =++ ≈ ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++ 02'1 110 2'1 110 zyx zyx xzy zyx . Sistema que permite saber el número de helados de vainilla que se consumen semanalmente, sumando las dos ecuaciones se obtienen 50 helados de vainilla. No puede concretarse el número de helados de chocolate y nata que se consumen. b) Sabiendo además, que el presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y que el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata; plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales necesario para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana. RESPUESTA: 40;20 34065 60 540654 02'1 110 50 ==⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−− =++ ⇒ = zy zy zy zyx zyx zyx x SOLUCIÓN: 50 helados de vainilla, 20 helados de chocolate y 40 de nata 3. (2’5 Puntos) Consideremos el sistema ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =−+ 123 1 02 aazx azyax zyx , donde a es cualquier número real. a) Discute la compatibilidad del sistema según los valores de dicho parámetro. b) Resuelve el sistema para todos los valores de a para los que el sistema es compatible determinado. c) Resuelve el sistema para 1=a . RESPUESTA: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − ≈ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =−+ 1 1 0 203 11 112 123 1 02 a a a a aazx azyax zyx Voy a utilizar dos métodos para discutir el sistema. Primero por Gauss, ordenado las columnas adecuadamente. En el segundo método, utilizaré Cramer. 1er MÉTODO: Por Gauss: ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − +≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − 1 1 0 320 220 211 ª1ª2 1 1 0 320 11 211 1 1 0 203 11 112 a a a a a a a a a a a a xzyxzyzyx ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −− − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅+− −− − ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −+− − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++− −− − ×− ≈ 222 )1( 1 0 )1()3(00 220 211 12 1 0 3200 220 211 ª2ª3 a a aa a aa a aa a a xzyxzy Caso I: Si 13 ≠∧−≠ aa , el sistema es compatible determinado. Caso II: Si 3−=a , el sistema resulta ser incompatible. Caso III: Si 1=a , el sistema resulta ser compatible indeterminado.
  3. 3. 18 de Noviembre de 2009 3 2º MÉTODO: Por Cramer, ya que el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Consideramos la matriz de los coeficientes: 130)1()3(2642 203 11 112 2 =∧−=⇔=→−⋅+⋅=−+= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = ⇒ aaAaaaaA a aA Sarrus Caso I: Si 13 ≠∧−≠ aa , el sistema es compatible determinado. SOLUCIÓN: 3 1 )1()3(2 )1(2 )1()3(2 201 111 110 2 + − = −⋅+⋅ −⋅ = −⋅+⋅ −− −−− − == a a aa a aa aa a A A x x )3(2 )1(5 )1()3(2 )1(5 )1()3(2 213 11 102 2 + −⋅− = −⋅+⋅ −⋅− = −⋅+⋅ −− −− − == a a aa a aa aa aa A A y y )3(2 )1( )1()3(2 )1( )1()3(2 103 11 012 2 +⋅ −− = −⋅+⋅ −− = −⋅+⋅ − −− == a a aa a aa a aa A A z z Caso II: Si 3−=a , el sistema resulta ser incompatible, como vemos: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + ×+× ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − ≈ 16 8 0 000 510 112 ª2ª38 8 0 510 510 112 ª2ª3 3ª12ª2 4 4 0 603 113 112 Gauss Caso III: Si 1=a , el sistema resulta ser compatible indeterminado: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − + ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − ×+ −× ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − ≈ 0 0 0 000 130 112 ª2ª30 0 0 130 130 112 3ª2ª3 ª12ª2 0 0 0 203 111 112 Gauss SOLUCIÓN: ( ) R∈∀−− αααα 3,,2 4. (2 Puntos) Dadas las matrices ( )111 −=A , ( )012 −=B y ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 211 120 011 C , encuentra la matriz X que verifica la ecuación CAXBX t =−2 . RESPUESTA: X tiene que ser una matriz cuadrada de orden 3. Despejamos La matriz incógnita X en CXABICAXBX tt =−⇒=− )2(2 . Multiplicando por la matriz inversa de la matriz ABI t −2 , a la izquierda y ambos lados de la igualdad, obtenemos: CABIX t ⋅−= −1 )2( . Calculamos ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =−⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅=−= 200 131 220 000 111 222 200 020 002 111 0 1 2 100 010 001 22 ABIM t
  4. 4. 18 de Noviembre de 2009 4 Calculamos 1 04 200 131 220 − ∃⇒≠=− − = MM . Hallamos ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 224 004 026 )(Madj . Por lo tanto: ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⋅ =− 200 202 446 4 1 )( 11 t Madj A M . Finalmente calculamos: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =⋅= − 12/12/1 110 12/12/1 422 440 422 4 1 211 120 011 200 202 446 4 11 CMX 5. (2 Puntos) Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. a) ¿Puede eliminarse alguna restricción? RESPUESTA: Resumimos los datos: Las restricciones son: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥≥ ≤ ≤+≈ ⎭ ⎬ ⎫ ≤+ ≤+ ≥+≈≥+ 0;0 2 5 2022 5 421648 yx yx yx yx yx yxyx b) Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros. Calcula el coste mínimo. RESPUESTA: La función que nos da el coste es: ( ) yxyxC 102),( += Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones escritas. Dibujamos el recinto correspondiente. Sustituyendo los vértices de la región en la función objetivo, obtenemos que el mínimo se alcanza en el punto )5/4,5/8(A . Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A y 0,8 de B. El coste en este caso será de ( ) €2'11)5/4,5/8( =C c) Para las cantidades de A y B obtenidas en el apartado anterior, calcula los gramos sin utilizar de cada uno de los tres elementos. RESPUESTA: 1er ELEMENTO: 8x + 4y=16 gr. Se utilizan todos los gramos 2º ELEMENTO: x + y=12/5=2’4 gr. Sobran 2’6 g 3er ELEMENTO: 2x + 2y=4’8 gr. Sobran 15’2 gr. La línea que separa los sueños de la realidad es delgada. Cuando nací, mi padre le regaló un colgante a mi madre. Tenía forma de ancla. Muchos años después, perdí ese colgante. Me lo había quitado del cuello durante un partido de baloncesto y alguien lo robó del banquillo. Estaba furiosa conmigo misma por haber perdido el objeto que simbolizaba mi nacimiento de una forma tan patética. Aquello fue una señal de lo que estaba por venir. No dejaría de perder las cosas que amaba. “Beirut, I love you”. Zena el Khalil. Editorial Siruela KILOS 1 er ELEMENTO 2º ELEMENTO 3 er ELEMENTO COSTE x de A 8x gramos x gramos 2x gramos 2x € y de B 4y gramos y gramos 2y gramos 10y € TOTAL 8x + 4y x + y 2x + 2y 2x + 10y €

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