Objetivo 6 de Matemática II para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo II
Matemática II
Objetivo 6. Efectuar problemas que involucren las operaciones definidas
con matrices o la acción de ciertas matrices 2x2 como transformaciones
geométricas del plano ℝ2 .
Ejercicio 1
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C,
en los tamaños grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías
grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B,
y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16
tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes,
en cualquiera de los tres modelos.
a. Representar esta información en dos matrices.
b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes
necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño
de estantería.
Solución
Justificación: Si las filas de la matriz representan a los tres modelos de
estanterías: A, B y C y las columnas a los tamaños grande y pequeño,
entonces la matriz que representa la información es:
1000 8000
8000 6000
4000 6000
M
 
  =  
 
 
De igual modo, si las filas de la matriz representan a los tamaños grande
y pequeño y las columnas a los tornillos y soportes, entonces la matriz que
representa la información es:
16 6
12 4
N
 
=  
 
La matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada
modelo de estantería es:

2. 1000 8000  1000 . 16 + 8000 . 12 1000 . 6 + 8000
.
4

16 6
= = =
  8000 6000 8000 6000 8000
 
 
  + +   
. . . . . .
16 12 6 4
. .
6000
12 4
4000 6000 4000 6000 4000
16 1 . 6000.
16000 96000 6000 32000
128
2
   
     000 72000 4800
+  =  
  + +      
6 4
P M N
 
 
 

 + + 
+

+

+


112000 38000
0 24000 200000 72000
64000 72000 24000 24000 136000 48000
Respuesta:
a) La representación de la información en 2 matrices es:
1000 8000
 
   16 6
 =  8000 6000  y
=  
   12 4

 
M N
4000 6000
b) La producción diaria de estanterías es:
112000 38000
200000 72000
136000 48000
P
 
  =  
 
 
Ejercicio 2
Dada la matriz
1 1
2 1
A
 - 
=  
 
Hallar x e y , reales, para que se verifique que: A2 = x.A+ y.I ,
siendo I la matriz identidad de orden 2.
Solución
Justificación: En este caso debemos calcular las matrices: A2 , x.A y
y.I , para luego plantear la igualdad, entonces:
( )
( )
2
 -  - - -
-
   -
1 1 1. 1. 1. 1.
 
 
2 2 1 2 1
2
1 1 1 2 1 1
1 2 1 1
2
. .
. . . .
1
1

1 2 1 1 1 2
1 4
2 2 2 1
A A A
A
 
= = =  
 + + 
 - - -  - - 
=  = + - +
  -
 

   
Luego:
1 1 .1 .( 1)
=   =   =  
. .
 -   x x
-   - 
2 1 .2 .1 2
x
x
x x
x A
x x x
     
y
1 0
0 1
0
. .
0
I
y
y
y
y
  
 

= =  
   

3. Ahora sustituimos en la igualdad planteada en la pregunta:
2 .
- - 

 - 
 

1 2 0

1 2
0
.
4
x x
x
x x
y I
y
A A
 y 
= + ® = +
 
 -    
De esta igualdad tenemos:
- 1 - 2
  x + - x
+ 0
 + -
   4 - 1 
2 x x
2
y x y x
= = +   0
+   +
 

y x x y

 
Ahora igualamos los elementos correspondientes de las dos
matrices, así:
- 1
= +
2
- 1 - 2
- -
4 1 2 4
x
=
2
+
1
x y
x
x
y
x x x
x
y
y

       =  ® - +     
- =
+

= -
De lo anterior observamos que obtenemos un sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, por lo tanto:
2 2
4
2
2
1
4
=
2x x
1
x
x
x
x
y
y

-
-
- =
= -
=
=
= +

+
=

Obsérvese como el valor de equis se obtiene de cualquiera de las
2 ecuaciones en la cual despejé equis, por lo tanto ya sabemos que
x = 2
Ahora falta conseguir “ y ”, y esto se logra de la igualdad:
-1 = 2 + yy = -1- 2 = -3
Respuesta:
x = 2 e y = -3
Ejercicio 3
Sea
0 3 4
1 4 5
1 3 4
A
 
  =  - - 
-   
. Calcular:
a) A3
b) Demuestre que 3
3 A + I = 0
c) Teniendo en cuenta el apartado anterior, calcule A10

4. Solución
Justificación:
a) Para obtener A3 , procedemos así:
A3 = A2.A
Pero:
A2 = A.A
Así:
0 3 4
1 4 5
1 3 4
A A A
- -
-
( ) ( ) ( )
 0 3 4 0 3 4 0 3 4

  1 0 ( - 4 ) 1 ( - 5
) ( 1 ) 3 ( - ) ( 4 ) ( - ) 3 4 ( - ) ( 
5 ) ( -
)
4

 
 
( ) ( ) ( )
2
2
. .
. . . . .
0 3 4
1 4 5
1 3 4
0 1 1 3 4 .3 .4 . 5 .4
. . . . . . . . .
- - -
. . . . . . .
.
0 1
1 4 5 1 4 5
1 3 4 1 1 3 3 4 4 3 1 4 3 5 4.4
A
   
    = =     =
   
   
+ + + + + +
= + + + + + +
+ + + +
- -
-
- - -
- - -
- - + - +
2
3 4 12 12 15 16 1 0 1
4 5 3 16 15 4 20 20 1 4 4
3 4 3 12 12 4 15 16 1 3 3
A
 - - + - +  - 
    =  - + + - + -  =  
 - - - + - - +  - - -     
Ahora:
1 0 1
1 4 4
1 3 3
   
= . =       .
 - - =
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
  ( ) ( ) ( )


  +  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2
0 3 4
1 4 5
1 3 4
1 . 0 0 . 1 1 . 1 1 . 3 0 . 4 1 . 3 1 . 4 0 . 5 1
.
4
1 . 0 4 . 1 4 . 1 1 . 3 4 . 4 4 . 3 1 . 4 4
. 5 .
4
0 1 1
3
4
1. 3 . 3 . 1. 3 . 4 3 .3 1.4 3 .
A
A A
-
- - -
- -
-

   
   
+ + - + - + + -
- - -
- -
-
- - -
+
= + + + + + +
+ + - + - + - - + - ( ) ( )
3
.
1 3 3 4 4 1 0 0
4 4 3 16 12 4 20 16 0 1 0
3 3 3 12 9 4 15 12
3
0 1
5 4
0
A
 - - + - +   - 
    =  - - + - +  =  - 
- + - + - - + -   -    
-

-
3 A + I = 0
b) Ahora demostraremos que 3
 + + +   
+ = ® + =  + + +  =   3
   
3
-  -
   -  -
 -  -
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0
0 0
0 0
1 0 0
0
A I
 + + +    
 
 
 


 
    
c) Para calcular A10 conociendo los parámetros anteriores procedemos
así:
( )10 9 3 3 A = A .A = A .A

5. A + I3 = 0® A = -I3
pero de 3 3
Entonces:
( ) ( ) 10 9 3 3 3
3 A = A .A = A .A = -I .A = -I.A = -A
Así, se tiene:
10
   - - 
    = - = - - -  = - 
0 3 4 0 3 4
1 4 5 1 4 5
1 3 4 1 3 4
A A
-   - -     
Respuesta:
a) 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
- 
  =  - 
 -   
3
 
  + =  
b) 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A I
 
 
c) 10
0 3 4
1 4 5
1 3 4
A
 - - 
  = - 
 - -   
Ejercicio 4
Hallar una matriz B , sabiendo que su primera fila es (1,0) , y que
verifica:
1 0
.
1 0
A B
 
=  
 
, siendo
1 2 2
2 1 0
A
- 
=  
 
Solución
Justificación: Primero debemos aplicar el requisito fundamental para
poder multiplicar matrices, a saber: el número de columnas de la primera, debe
ser igual al número de filas de la segunda, además, el resultado es una matriza
cuyo orden es del número de filas de la primera y número de columnas de la
segunda, es decir,

6. Del esquema anterior (que siempre se cumple para la multiplicación de
matrices) se deduce claramente que en número de filas de la matriz B es 3,
mientras que su número de columnas es 2, por lo tanto la matriz B tiene
dimensión 3x2 , por lo tanto la matriz B tiene la estructura:
c d
 
  =  
 
 
B x y
z w
Pero ya nos indican su primera fila, en el enunciado del problema, por lo
tanto:
1 0
 
  =  
 
 
B x y
z w
Solo falta conseguir los valores de x, y, z y w, para ello efectuamos el
producto dado, es decir:
 
 
 

-
1 0 1 0
1 2 2
2 1 0

 

 
 
 1 + 2
+ + +  - + + +   
=  + + + +  =  +
 =    1 0
   
=  ® =  
   
. .
B x y
1 0 1 0
z w
A
. 1 . x 2 . z 1 . 0
2 . y 2
. w
1 2 x 2 z 2 y 2 w
1 0
. 1 . x .
z
0
x
2 1 0 2. 1. y 0. w 2 y
1 0
   
-

-
Como se conoce el resultado de dicho producto, de la igualdad de las
últimas 2 matrices, se tiene:

7. 1 2 2 1 (1)
+ + =
1 2
2 1 2 1
2 2 0 2 2 0 (2
1 )
y y w
+ +
= 
x 0
( )
0
(4)
2
3
x z
x z w
y x
y

       =  ®
- + + =
- + +
   
=
Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas muy sencillo
de resolver, así:
De (4) se tiene directamente que y = 0, sustituyendo éste valor en la
ecuación (2) se obtiene:
2y + 2w = 0®2(0) + 2w = 0®2w = 0w = 0
De la ecuación (3) se tiene:
2 + x =1® x =1- 2 = -1
Y finalmente de la ecuación (1) se obtiene:
1 2 2 1 1 2( 1) 2 1 1 2 2 1
- + x + z = ®- + - + z = ®- - + z
=
®- 3 + 2 = 1 ® 2 = 1 + 3 ® = = 4
2 4 =
2
2
z z z z
Por lo tanto la matriz B buscada, que cumple con las condiciones
dadas, es:
Respuesta:
1 0
 
  =  

2
0
0
B 1

-


Ejercicio 5
Verifica que la siguiente matriz es invertible:
2 3 1
3 2 3
0 2 2
A
 
  =  
 
 
Solución
Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y
suficiente que se cumpla lo siguiente:
EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE
CERO.
Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de
la matriz dada y verificar que es diferente de cero.

8. Para conseguir el determinante de una matriz puedes hacer uso de la
regla de Sarrus, del método de la lluvia o del método de los mínimos
cuadrados, yo conseguiré el valor del determinante por esos tres caminos y tu
amiga y amigo estudiante seleccionas el que más se ajuste a ti, es decir, el que
sea más sencillo para ti.
Para denotar el determinante de la matriz dada se usan dos rectas, en
este caso las destaque en azul, así:
Regla de Sarrus

9. Como el determinante de la matriz no tiene como resultado cero, sino
-16 , se concluye que la matriz dada ES INVERTIBLE.
Método de la lluvia
Método de los mínimos cuadrados
Este método consiste en reducir el determinante de 3x3 a 2x2, para ello,
se procede de la siguiente manera:
PASO 1: Se selecciona una fila o una columna, la que usted desee, por
lo general se toma aquella que tenga ceros y unos, o números pequeños, ya
que con estos valores los cálculos serán más sencillos, por ejemplo en nuestro
caso tomaré la fila 3 porque contiene el cero, la destacaré en rojo:
2 3 1
det 3
2 3
2 2
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por cero el primer mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 1, porque allí esta el cero, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:

10. 3 1
2 3
Al calcular este determinante se obtiene:
3 1
3.3 2.1 9 2 7
2 3
= - = - =
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por -1 elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el cero, en este caso la fila 3
y columna 1, es decir:
( ) ( ) 3 1 4 7. 1 7. 1 7.1 7 + - = - = =
Finalmente se multiplica por cero este mínimo obtenido, es decir:
1 Valor = 7.0 = 0
PASO 2: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé
la fila 3, que destaqué en rojo:
2 3 1
det 3
2 3
2 2
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 2, porque allí esta el dos, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:
2 1
3 3
Al calcular este determinante se obtiene:
2 1
3.2 3.1 6 3 3
3 3
= - = - =
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por -1 elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y
columna 2, es decir:

11. 3.( 1)3 2 3.( 1)5 3.( 1) 3 + - = - = - = -
Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:
2 Valor = -3.2 = -6
PASO 3: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé
la fila 3, que destaqué en rojo:
2 3 1
det 3
2 3
2 2
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 3, porque allí esta el dos, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:
2 3
3 2
Al calcular este determinante se obtiene:
2 3
2.2 3.3 4 9 5
3 2
= - = - = -
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por -1 elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y
columna 3, es decir:
( ) ( ) ( ) 3 3 6 5. 1 5. 1 5. 1 5 + - - = - - = - = -
Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:
3 Valor = -5.2 = -10
Ahora el valor del determinante original dado, es la suma de los tres
valores obtenidos, es decir:

12. A = = valor + valor + valor = - - = -
1 2 3
2 3 1
det 3 2 3 0 6 10 1
2
6
0 2
Respuesta: La matriz es invertible porque su determinante no es nulo.
Ejercicio 6
Verifica que la siguiente matriz es invertible:
1 1
1
3 2
1 1 3
3 2 2
1
0 2
2
A
 
 
 
=    
 
 
 
Solución
Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y
suficiente que se cumpla lo siguiente:
EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE
CERO.
Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de
la matriz dada y verificar que es diferente de cero.
Puedes usar cualquier método dado en el ejercicio anterior sobre cálculo
de determinante, yo utilizaré el método de Sarros, pero en forma directa, ya
que en el ejercicio anterior lo explique detalladamente. Te invito a que
desarrolles este ejercicio con el mismo detalle y con los 3 métodos
anteriores, para que practiques y te identifiques más con alguno de ellos.
1 1
1
3 2
1 1 3
A = = 1
det 2
3 2 2
1
0 2
2
.
2
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
.1 . .0 . . 0. . 1. . 2. .
2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3
1 3 2 1 3 2
det 1 0 0 1
12 4 9 12 4 9
A
+ + - - -
= + + - - - = + - -
Calculando el mínimo común denominador, que no es más que el
mínimo común múltiplo de los denominadores, se tiene:

13. . . mc m(12, 4,9) = 2.2.3.3 = 4.9 = 36 , por lo tanto:
A
= + - - = + - - = - = = =
1 3 2 36 3 27 8 39 35 4 2 1
det 1
12 4 9 36 36 36 18 9
Respuesta: Se verifica que la matriz dada es invertible, porque su
determinante es diferente de cero.
Ejercicio 7
Determina, si es posible, una matriz
a b c
A
 
=  
 x y z

tal que:
1 1 0 1 2
1 0 1 0 1
   
  A
=    -  
Solución
Justificación: En este caso sustituimos en la multiplicación planteada la matriz
A , así:
1 1 0 1 2
     
  .
  =        - 
a b c
x y z
1 0 1 0 1
Ahora procedemos a efectuar la multiplicación:
 1 1
  a b c   a + x b + y c + z

  .
  =  
 1 0
  x y z   a b c

Ahora igualamos este resultado, con el dado en el enunciado:
 a + x b + y c + z
  0 1 2

  =    a b c
 - 1 0 1

Finalmente igualamos cada componente correspondientemente y
resolvemos el sistema de ecuaciones, así:

14. (1)
(2)
+ 
a x
b y
=
 +     + =   =  ®
  
2 2
c z c
1 0
1
0
(3)
(4)
(5)
(
1
1
1
6)
0
0
1
a x b
a b c
a
y
b
z
c
+ =
+
=

=

+
- = -
Este sistema de ecuaciones es sencillo, de hecho las últimas 3
ecuaciones (4), (5) y (6) tienen resultados directos, es decir:
a = -1, b = 0 y c =1
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (1), (2) y (3), se obtiene:
- 1
+
+ =

0
x
=
0 y
1
1
z
2

+ =
Resolviendo este sistema, se tiene:
- + ® =
1 x 0
x
1
0 1 1
1 2 2
1
1
y y
z
z

+
+ =
® =
= ® = - =

=
Por lo tanto la matriz buscada es:
 a b c
 - 1 0 1

=   =  
   1 1 1

A
x y z
Respuesta: La matriz es:
1 0 1
1 1 1
A
- 
=  
 
Ejercicio 8
Dadas las matrices:
1 2
3 4
5 6
A
 
  =  
 
 
3 2
1 5
4 3
B
- - 
  =  - 
 
 
Hallar:
p q
 
  =  
 
 
D r s
t u
De manera que A+ B - D sea la matriz nula.
Solución
Justificación: En este caso nos plantean que A+ B - D = 0 , es decir:

15. 1 2 0
3 4
5 6
0
 
  +
- = 0 ® + - =0 0
  0 0


3 2
1 5
4 3
p q
D r s
t u
A B
- -   
 
 

 
 
 
 

   - 
 
 



Se observa que se pueden efectuar las sumas y restas, ya que todas las
matrices son del mismo orden ó de la misma dimensión, así:
- -  - -
   -  + -
  +
  - -
   - -
2 1 2
3 2 3 2
1 5 1 5
4 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
1
p q p q
r s r s
t u t u
     
      + - =  ®  =  ®
 
 
 
3 4 3 4
5 6 5
  - -  
     
     
 +
0 0 0 0
2 0

 

2 0 0
4 1 0 0
9 9
0 0
6 3
p p
p q
r s Igualando
t u
- - = = -
- - -   
     - - -  =  ®

- -     
 
 
2
0 0
q q
r r
s s
t t
u u
4 0 4
1 0 1
9 0 9
9 0 9

- = = 
- = = 
- - = = - 
- = =

- = = 
Por lo tanto la Matriz D , buscada es:
Respuesta:
2 0
4 1
9 9
D
- 
  =  - 
 
 
Ejercicio 9
Resolver la siguiente ecuación matricial:
1 2 4 2
3
0 1 1 10
X
 -   - 
+   =  
   
Solución
Justificación: Para poder sumar y restar matrices, todas deben tener el
mismo tamaño, es decir, la misma dimensión u orden, por lo tanto la matriz
incógnita será de la forma:
a b
X
 
=  
 c d

Sustituyendo en nuestra ecuación matricial, se tendría:
   1 - 2   4 - 2   3 3     4 - 2

  +   =  ®  +   =  ®
3
1 2
0 1
a b a b
c d c d
0 1 1 10 3 3 1 10
+
-
3 a 1 3 b 2 4 2 3 a 1 3 b
2
4 2
3 c 0 3 d 1 1
10 3 c 3 d
1 1 10
-
           
 + -
  -     - 
 = ®= ®
 + +
   
   +    


16. Igualando las últimas matrices, se tiene:
3
 + = = - = = = 
3 1 4 3 4 1 3 1
3
0
 + -   -   - = - = - = = =    =  ®  +     = = 
3 2 2 3 2 2 0 0
3 1 3 2 4 2 3
3 3 1 1 10 1
3 1
3
9
+ = = - = = = 
3 1 10 3 10 1 9 3
3
a a a
b b b
a b
c d
c c
d d d
Por lo tanto la matriz incógnita es:
Respuesta:
1 0
1
3
3
a b
X
c d
 
    =   =      
 
Ejercicio 10


2 1 0
Dadas  
A y

 

-
-
=
1 0 3
1 4 0 1

  
B 2 1 3 1
. Suponga que c i ,
j 

  

- -
-
-
=
4 0 2 0
representa el elemento de la i ésima fila y la j ésima columna de la matriz
producto ( ) , . i j A B = c . Hallar 2 , 3 c y 1 , 4 c .
Solución
Justificación: En este caso nos presentan el producto de la fila por la
columna que debemos obtener, es decir, cuando nos piden 2 , 3 c , debemos
multiplicar la segunda fila de la primera matriz ( A ) por la tercera columna de la
segunda matriz ( B ), así:
0
 
  = ´ = - ´  = ´ + ´ + - ´ - = + + =
( ) ( ) ( 0 3 ) 3 1 0 0 3
( 3 ) ( 2 ) 0 0 6 6
2 , 3 2 3 2
c F A C B 1
-   
Con el mismo razonamiento, obtenemos:
1
 
  = ´ = ´  = + + ´ = + + =
( - ) - ´ ( - ) ´ ( -
) 1 , 4 1 4
c F A C B 2 1 1 2 1 1 1
( ) ( ) 0 0 0 2 1 0 3
 
 0

Respuesta:
2 , 3 c = 6 y 1 , 4 c = 3

17. A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Determina el valor de a para que la matriz
1
 
=    3 + 2

C
a
a
sea invertible y
exhibe un ejemplo de tales matrices.
Ejercicio 2
Sea AÎM (2´2) ℝ , la matriz definida por
1 0
0 2
A
- 
=  
 
y considere los siguientes
vectores:
x
0
u
 
=  
 
;
0
v
 
=  
 y

y
x
w
 
=  
 y

. Determine el efecto geométrico que
ejerce la matriz A sobre los vectores u, v y w respectivamente.
Ejercicio 3
Hallar un vector de ℝ3 de la forma (x,1, z) de longitud 2 y que forme un
 
 » 
 
ángulo de 58,052º ( ) 7
cos 58,052º
5
con el vector (-1,3,2). Dar todas las
soluciones posibles. NOTA: Tomar 3 decimales.
Ejercicio 4

18. Calcula x, y, z y t para que se cumpla:
 2 - 1   x y
  5 1

    =  
 0 1   z t
  0 2

.
Ejercicio 5
Hallar un vector (a,b) tal que sea unitario y forme un ángulo de 60º con el
vector (- 3,1). Dar las 2 soluciones posibles.
Ejercicio 6
Sean a,b y c números reales y consideremos las matrices:
1 2
0 8
a
A
 
=  -   b

0
c
1 2
0 1
B
 
  = - 
 
 
2
0 4
c a
C
 
=  
 - 
3 c
5 4
6 0
D
 - 
=  
 
Determine si existen números reales a,b y c , tales que se verifique la igualdad
A.B = C - D.
Ejercicio 7
Dadas
2 1
1 0
3 4
A
 - 
  =  
-   
y
1 2 5
3 4 0
B
 - - 
=  
 
. Efectuar A.B y B.A .
Ejercicio 8
Dadas
1 0 1
1 2 0
3 2 1
A
 
  = - 
 -   
y
0 1 1
2 1 0
0 2 2
B
 
  = - 
 -   
. Compruebe si es verdad que
( . ) . A B t = Bt At , es decir, que la transpuesta de A por B es igual al producto de
la transpuesta de B por la transpuesta de A .
Ejercicio 9
Sea
1 2
3 1
A
 
=  
 
2 A - 2A+ 5I = 0 y determine explícitamente una
. Verifique que 2
matriz B tal que 2 A.B = I .
Ejercicio 10
Sea
1 0 1
1 2 0
3 2 1
A
 
  = - 
 -   
. Verifica que A 2 - 2A = A ( A- 2I
)
3