1. 18 de Noviembre de 2009
1
EXAMEN DE MATEMÁTICAS - 2º Bachillerato CCSS -
SOLUCIÓN
1. (2 Puntos) Cuestiones: Justifica tu respuesta
a) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
I) Haz una interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos
incógnitas compatible determinado.
RESPUESTA: Las tres ecuaciones son tres rectas en el plano. Al ser el sistema, compatible
determinado, las tres rectas se cortan en un punto.
II) ¿Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas puede ser:
(i) Compatible Determinado?
RESPUESTA: No, se necesitaría al menos otra ecuación.
(ii) Compatible Indeterminado?
RESPUESTA: Sí, siempre que las dos ecuaciones dadas no sean incompatibles.
(iii) Incompatible?
RESPUESTA: Sólo si las dos ecuaciones son incompatibles entre sí, en caso contrario el
sistema sería compatible indeterminado.
b) MATRICES. Calcula 2−
A siendo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
21
10
A
RESPUESTA: ( )212 −−
= AA , por lo que calculamos la matriz inversa, 1−
A y la elevamos al cuadrado.
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
=⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
= −−
12
25
01
12
01
12
01
12 211
AA
c) DETERMINANTES. Si 4=
yx
ba
, halla el valor de:
I) 822
22
22
2
2
22
22
0
=⋅=⋅=
−
−
+=
−
−
yx
ba
yb
xa
bb
aa
yb
xa
byb
axa
II) 92323
1
23
1
3 −=
−
⋅=⋅=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
yx
ba
yx
ba
yx
ba
by
ax
yx
ba
by
ax
yx
ba
by
ax
d) PROGRAMACIÓN LINEAL. Representa el recinto
limitado por:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
<<−
≤+
22
22
2
y
x
yx
e indica todas las soluciones
enteras de este sistema.
RESPUESTA:
);1,1();0,1();1,1();1,0();0,0();1,0();1,1();0,1();1,1( −−−−−−

2. 18 de Noviembre de 2009
2
2. (1’5 Puntos) En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos
sabores: vainilla, chocolate y nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de
chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.
a) Con estos datos ¿se puede saber los helados que se compran semanalmente de vainilla?, ¿y de
chocolate?, ¿y de nata?
RESPUESTA: Sean x los helados de vainilla comprados semanalmente; y , los de chocolate y; z , los de
nata. El sistema que se obtiene es:
⎩
⎨
⎧
=−−
=++
≈
⎩
⎨
⎧
=+
=++
02'1
110
2'1
110
zyx
zyx
xzy
zyx
. Sistema que permite saber el
número de helados de vainilla que se consumen semanalmente, sumando las dos ecuaciones se obtienen
50 helados de vainilla. No puede concretarse el número de helados de chocolate y nata que se consumen.
b) Sabiendo además, que el presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y que el
precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata;
plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales necesario para calcular cuántos helados de
cada sabor se compran a la semana.
RESPUESTA: 40;20
34065
60
540654
02'1
110 50
==⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=−−
=++
⇒
=
zy
zy
zy
zyx
zyx
zyx x
SOLUCIÓN: 50 helados de vainilla, 20 helados de chocolate y 40 de nata
3. (2’5 Puntos) Consideremos el sistema
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−=−−
=−+
123
1
02
aazx
azyax
zyx
, donde a es cualquier número real.
a) Discute la compatibilidad del sistema según los valores de dicho parámetro.
b) Resuelve el sistema para todos los valores de a para los que el sistema es compatible
determinado.
c) Resuelve el sistema para 1=a .
RESPUESTA:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−=−−
=−+
1
1
0
203
11
112
123
1
02
a
a
a
a
aazx
azyax
zyx
Voy a utilizar dos métodos para discutir el sistema. Primero por Gauss, ordenado las columnas
adecuadamente. En el segundo método, utilizaré Cramer.
1er
MÉTODO: Por Gauss:
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
+≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
1
1
0
320
220
211
ª1ª2
1
1
0
320
11
211
1
1
0
203
11
112
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
xzyxzyzyx
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−−
−
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅+−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−+−
−
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
−−
−
×−
≈
222
)1(
1
0
)1()3(00
220
211
12
1
0
3200
220
211
ª2ª3 a
a
aa
a
aa
a
aa
a
a
xzyxzy
Caso I: Si 13 ≠∧−≠ aa , el sistema es compatible determinado.
Caso II: Si 3−=a , el sistema resulta ser incompatible.
Caso III: Si 1=a , el sistema resulta ser compatible indeterminado.

3. 18 de Noviembre de 2009
3
2º MÉTODO: Por Cramer, ya que el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
Consideramos la matriz de los coeficientes:
130)1()3(2642
203
11
112
2
=∧−=⇔=→−⋅+⋅=−+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
= ⇒ aaAaaaaA
a
aA
Sarrus
Caso I: Si 13 ≠∧−≠ aa , el sistema es compatible determinado.
SOLUCIÓN:
3
1
)1()3(2
)1(2
)1()3(2
201
111
110
2
+
−
=
−⋅+⋅
−⋅
=
−⋅+⋅
−−
−−−
−
==
a
a
aa
a
aa
aa
a
A
A
x
x
)3(2
)1(5
)1()3(2
)1(5
)1()3(2
213
11
102
2
+
−⋅−
=
−⋅+⋅
−⋅−
=
−⋅+⋅
−−
−−
−
==
a
a
aa
a
aa
aa
aa
A
A
y
y
)3(2
)1(
)1()3(2
)1(
)1()3(2
103
11
012
2
+⋅
−−
=
−⋅+⋅
−−
=
−⋅+⋅
−
−−
==
a
a
aa
a
aa
a
aa
A
A
z
z
Caso II: Si 3−=a , el sistema resulta ser incompatible, como vemos:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
+
×+×
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
≈
16
8
0
000
510
112
ª2ª38
8
0
510
510
112
ª2ª3
3ª12ª2
4
4
0
603
113
112 Gauss
Caso III: Si 1=a , el sistema resulta ser compatible indeterminado:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
+
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
×+
−×
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
0
0
0
000
130
112
ª2ª30
0
0
130
130
112
3ª2ª3
ª12ª2
0
0
0
203
111
112 Gauss
SOLUCIÓN: ( ) R∈∀−− αααα 3,,2
4. (2 Puntos) Dadas las matrices ( )111 −=A , ( )012 −=B y
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
211
120
011
C , encuentra la matriz
X que verifica la ecuación CAXBX t
=−2 .
RESPUESTA: X tiene que ser una matriz cuadrada de orden 3. Despejamos La matriz incógnita X en
CXABICAXBX tt
=−⇒=− )2(2 . Multiplicando por la matriz inversa de la matriz ABI t
−2 , a la
izquierda y ambos lados de la igualdad, obtenemos: CABIX t
⋅−= −1
)2( . Calculamos
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=−=
200
131
220
000
111
222
200
020
002
111
0
1
2
100
010
001
22 ABIM t

4. 18 de Noviembre de 2009
4
Calculamos 1
04
200
131
220
−
∃⇒≠=−
−
= MM . Hallamos
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
224
004
026
)(Madj . Por lo tanto:
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⋅
=−
200
202
446
4
1
)(
11 t
Madj
A
M . Finalmente calculamos:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=⋅= −
12/12/1
110
12/12/1
422
440
422
4
1
211
120
011
200
202
446
4
11
CMX
5. (2 Puntos) Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A
contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos
del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del
primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos,
respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B.
a) ¿Puede eliminarse alguna restricción?
RESPUESTA: Resumimos los
datos:
Las restricciones son:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥≥
≤
≤+≈
⎭
⎬
⎫
≤+
≤+
≥+≈≥+
0;0
2
5
2022
5
421648
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
b) Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para
que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de
B 10 euros. Calcula el coste mínimo.
RESPUESTA: La función que nos da el coste es: ( ) yxyxC 102),( +=
Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones escritas.
Dibujamos el recinto correspondiente. Sustituyendo los vértices de la
región en la función objetivo, obtenemos que el mínimo se alcanza en
el punto )5/4,5/8(A . Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A y 0,8
de B. El coste en este caso será de ( ) €2'11)5/4,5/8( =C
c) Para las cantidades de A y B obtenidas en el apartado anterior, calcula los gramos sin utilizar de
cada uno de los tres elementos.
RESPUESTA: 1er
ELEMENTO: 8x + 4y=16 gr. Se utilizan todos los gramos
2º ELEMENTO: x + y=12/5=2’4 gr. Sobran 2’6 g
3er
ELEMENTO: 2x + 2y=4’8 gr. Sobran 15’2 gr.
La línea que separa los sueños de la realidad es delgada. Cuando nací, mi
padre le regaló un colgante a mi madre. Tenía forma de ancla. Muchos
años después, perdí ese colgante. Me lo había quitado del cuello durante
un partido de baloncesto y alguien lo robó del banquillo. Estaba furiosa
conmigo misma por haber perdido el objeto que simbolizaba mi nacimiento
de una forma tan patética. Aquello fue una señal de lo que estaba por
venir. No dejaría de perder las cosas que amaba.
“Beirut, I love you”. Zena el Khalil. Editorial Siruela
KILOS 1
er
ELEMENTO 2º ELEMENTO 3
er
ELEMENTO COSTE
x de A 8x gramos x gramos 2x gramos 2x €
y de B 4y gramos y gramos 2y gramos 10y €
TOTAL 8x + 4y x + y 2x + 2y 2x + 10y €