Este documento presenta el modelo de Saint-Venant y el método de volúmenes finitos para resolverlo numéricamente. El modelo de Saint-Venant describe el flujo de aguas someras y consta de ecuaciones que relacionan la profundidad, velocidad y pendiente. El método de volúmenes finitos discretiza espacialmente el dominio en celdas y asume valores constantes dentro de cada celda. Finalmente, se muestran ejemplos de simulaciones numéricas de flujos de agua realizadas con el software GUADFlow-2D.

1. Soluci´n num´rica del modelo de
o e
∗
Saint-Venant v´ vol´ menes finitos
ıa u
Jorge L´pez L´pez †
o o
ırez ‡
Justino Alavez-Ram´
§
Juan L. Hern´ndez L´pez
a o
Universidad Ju´rez Aut´noma de Tabasco, DACB.
a o
Se presentan las ecuaciones de Saint-Venant que modelan el flujo de aguas someras,
y se introducen las ideas b´sicas del m´todo de vol´menes finitos para el tratamiento
a e u
num´rico del modelo. Finalmente se presentan simulaciones num´ricas de flujos de
e e
agua generadas con el paquete comercial GUADFlow-2D, el cual tiene implementados
el modelo y el m´todo num´rico mencionados.
e e
In this paper the Saint-Venant equations are introduced. These equations model the
flow of shallow water. Also, the basic ideas of finite volumen method are introduced to
disctretice in space the model. Finally, numerical simulations of water flows, with the
comercial software GUADFlow-2D are shown. This software implements the model
and the numerical method mentioned.
Palabras clave: Modelo de Saint-Venant, Volumen Finito, Flujo, Aguas someras,
GUADFlow-2D.
Keywords: Saint-Venant model, Finite Volumen, Flow, Shallow Water, GUADFlow-
2D.
1. Introducci´n
o
Un problema que constantemente ha estado afectando una gran parte de las planicies
del planeta es el desborde de r´ exceso de lluvias, y en menor medida la rotura
ıos,
de presas, entre otros, que asociadas a la existencia de zonas urbanas, industriales,
agropecuarias, agr´ıcolas y v´ de comunicaci´n en zonas potencialmente inundables,
ıas o
ha dado como resultado p´rdidas econ´micas y sociales con frecuencia irreversibles,
e o
como fu´ el caso de las inundaciones ocurridas en el estado de Tabasco, M´xico, en
e e
octubre y noviembre de 2007 ([1] y [2]). Una de las formas de encontrar posibles
soluciones para este tipo de problemas es mediante la simulaci´n num´rica de es-
o e
tos escenarios, los cuales son modelados por las ecuaciones de Saint-Venant. Estas
ecuaciones son un sistema hiperb´lico cuasi-lineal para las cuales ya se cuenta con
o
varios esquemas num´ricos para su soluci´n, dentro de los que se destaca el m´todo
e o e
de vol´menes finitos, por su capacidad de capturar caracter´
u ısticas especiales de la
soluci´n como son las posibles discontinuidades ([3, 4, 5, 6]). La implementaci´n
o o
de tales m´todos ha dado lugar a diferentes paquetes comerciales para la simulaci´n
e o
de flujos de aguas, como por ejemplo GUADFlow-2D, los cuales arrojan resultados
bastantes confiables ([7, 8, 9, 10, 11]). En [12] se proporciona una buena revisi´n de
o
∗ Recibido el 3 de agosto de 2009 y aceptado el 28 de septiembre de 2009
† Direcci´n
o postal: Carr. Cunduac´n-Jalpa Km 1, Cunduac´n, Tabasco, M´xico. A.P. 24 C.P.
a a e
86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´nico: jorge.lopez@dacb.ujat.mx
o
‡ Correo electr´nico: justino.alavez@basicas.ujat.mx
o
§ Correo electr´nico: jlopez@mixteco.utm.mx
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, volumen 8 n´ mero 2 (Diciembre 2009) p 34–53
´ u

2. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 35
los requerimientos que un modelo bidimensional de simulaci´n de flujos en r´ debe
o ıos
cumplir: aplicarse a orograf´ complejas, incluir avance sobre lecho seco, incluir con-
ıas
tornos variables, aceptar altos valores de rugosidad, reproducir el flujo estacionario o
transitorio y condiciones subcr´ ıticas o supercr´
ıticas de flujo.
En la Secci´n 2 se presenta el modelo de Saint-Venant y en la Secci´n 3 se describe
o o
brevemente el m´todo de vol´menes finitos, y finalmente en la Secci´n 4 se presentan
e u o
tres ejemplos de flujos simulados con GUADFlow-2D. El m´s relevante, dadas las
a
aplicaciones que implica en nuestro entorno, es el del r´ en ciudad.
ıo
2. El modelo de Saint-Venant o de Reynolds en 2D
El tipo de flujos que estamos interesados en estudiar son los de aguas poco profundas,
es decir, aquellos en los que las medidas horizontales son mucho mayor que las verti-
cales. En este conjunto de flujos est´n los de los r´ en planicies, presas o lagunas y
a ıos
escurrimientos. Para la deducci´n del modelo se utilizan varias hip´tesis que cumplen
o o
estos fluidos, pero tambi´n otros que no son para nada poco profundos. Lo cual es
e
mas bien una ventaja del modelo. En la Figura 1 se muestra la geometr´ del flujo de
ıa
aguas de inter´s, el cual es tambi´n un flujo con superficie libre. Una descripci´n de
e e o
este flujo implica determinar la parte del terreno Ω en donde hay agua y sobre cada
punto de ´ste determinar la altura del agua, as´ como en cada punto del cuerpo del
e ı
fluido determinar su vector velocidad u. Un modelo que considera esta descripci´n es
o
el de Navier-Stokes en 3D para fluidos incompresibles [13]. A partir de este modelo
haciendo un promedio en el tiempo para las variables de inter´s [4], se llega al modelo
e
de Reynolds en 3D al cual a su vez se le aplica un promedio en la vertical para tener
el modelo de Reynolds en 2D o modelo de Saint-Venant ([4, 11, 14, 15]).
z
w u
v u
h
x
Ω
q (x, y, 0)
y
Figura 1. Las velocidades se promedian en la vertical y se desprecia la componente en z.
Algunas de las hip´tesis mas importantes consideradas para la deducci´n del mode-
o o
lo de Saint-Venant son:
i) La pendiente del fondo es peque˜a.
n
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

3. 36 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
ii) El movimiento principal de las part´
ıculas ocurre en planos horizontales.
iii) Las fuerzas de masa que act´an son la gravedad en la direcci´n vertical y la fuerza de
u o
Coriolis en el plano horizontal.
iv) La curvatura de las l´ıneas de corriente es peque˜a, por lo que la distribuci´n de la
n o
presi´n se considera hidrost´tica.
o a
Con esto, el modelo de Saint-Venant es:
∂h ∂ (hu) ∂ (hv)
+ + = 0,
∂t ∂x ∂y
∂ (hu) ∂ 1 ∂ (huv) τsx
+ hu2 + gh2 + = Cvh + + gh(S0x − Sf x ) + St1 ,
∂t ∂x 2 ∂y ρ
∂ (hv) ∂ (huv) ∂ 1 τsy
+ + hv 2 + gh2 = −Cuh + + gh (S0y − Sf y ) + St2 ,
∂t ∂x ∂y 2 ρ
donde h es el calado o la profundidad del fluido, u y v son las componentes del vector
velocidad en las direcciones x y y respectivamente, en cada punto de Ω (ver Figura
1), g es la aceleraci´n de la gravedad, C refleja el efecto de la fuerza de Coriolis, τsx
o
y τsy est´n asociados con el efecto del viento en la superficie del fluido. Los t´rminos
a e
S0x = −∂z/∂x y S0y = −∂z/∂y miden la pendiente del terreno en las direcciones x y
y respectivamente, si z es una funci´n que describe el fondo o terreno. Las expresiones
o
√ √
n2 u u2 + v 2 n2 v u2 + v 2
Sf x = y Sf y = ,
h4/3 h4/3
reflejan el efecto de fricci´n del fluido con el terreno, donde n es el coeficiente de
o
Manning, y
∂ ∂u ∂ ∂v ∂u
St1 = 2νt h + νt h + ,
∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
∂ ∂v ∂u ∂ ∂v
St2 = νt h + + 2νt h ,
∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
representan los efectos turbulentos del flujo, siendo νt la viscocidad turbulenta.
La forma vectorial del modelo de Saint-Venant simplifica mucho la notaci´n para
o
el tratamiento num´rico, as´ que se da enseguida:
e ı
∂U ∂F1 ∂F2
+ + = G, (1)
∂t ∂x ∂y
donde
   
  hu hv
h
1
   
U =  hu  , F1 =  hu2 + gh2  ,
 
F2 = 
 huv ,

hv  2  
1

huv hv 2 + gh2
2
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

4. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 37
y
0
 
 Cvh + τsx + gh(S0x − Sf x ) + St1
 

G =
 ρ .

 τsy 
−Cuh + + gh (S0y − Sf y ) + St2
ρ
Son necesarias condiciones iniciales y de contorno para la resoluci´n del sistema
o
de Saint-Venant, aunque en situaciones generales no existen soluciones anal´
ıticas del
problema. Ante esto, una opci´n es recurrir a los m´todos num´ricos. Enseguida
o e e
se bosquejar´ la aplicaci´n de uno de ellos: vol´menes finitos. Para el tratamiento
a o u
con vol´menes finitos no se tendr´n en cuenta los t´rminos de Coriolis y tensi´n del
u a e o
viento, ni el t´rmino turbulento.
e
3. El m´todo de vol´menes finitos
e u
Existen varios tipos de vol´menes finitos que pueden usarse, teniendo cada uno sus
u
ventajas y desventajas. Aqu´ usaremos los de tipo v´rtice por sus ventajas para tratar
ı e
las condiciones de frontera [4]. Dado un dominio Ω y una discretizaci´n por tri´ngulos
o a
de ´ste, se define una nueva discretizaci´n espacial como se muestra en la Figura 2,
e o
uniendo los baricentros de cada tri´ngulo con los puntos medios de sus aristas. Esto
a
d´ un pol´
a ıgono asociado con uno y s´lo uno de los nodos de la malla de tri´ngulos.
o a
A cada uno de estos pol´ ıgonos Ci se le llama un vol´men finito.
u
Γi
Ci
A
M Tij i
Cj
j B
Figura 2. Discretizaci´n de Ω por vol´ menes finitos.
o u
Con cada volumen finito se asocia una funci´n base como la que se muestra en
o
la Figura 3, es decir se supone que las inc´gnitas del modelo son constantes en cada
o
volumen finito.
3.1 Integraci´n y discretizaci´n temporal
o o
Definiendo:
F(U) = (F1 (U), F2 (U)) ,
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

5. 38 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Figura 3. Funci´n base.
o
el modelo de Saint-Venant (1) se puede escribir como:
∂U
+ · F = G.
∂t
Como el dominio del sistema (1) est´ dividido en un conjunto de vol´menes finitos
a u
Ci , se calcula la integral de superficie en cada uno de ellos, y se obtiene:
∂U
dA + · FdA = GdA ,
Ci ∂t Ci Ci
de donde
∂U
dA = F · (−η)dl + GdA .
Ci ∂t Γi Ci
Discretizando la derivada temporal con el m´todo de Euler hacia adelante, se tiene
e
Un+1 − Un
i
i
Ai + F n · ηdl = Gn dA ,
∆t Γi Ci
con Ai el ´rea de la celda Ci , de donde se sigue que
a
Un+1 − Un
i
i
Ai + F n · ηdl = Gn dA . (2)
∆t Γij Tij
j∈Ki j∈Ki
3.2 Discretizaci´n del flujo
o
El producto escalar F · η se llama flujo en 2D a trav´z de un segmento de longitud
e
unidad, y se aproxima en el tiempo n como
(αF1 + βF2 )n + (αF1 + βF2 )n
i j 1
Φn =
ij − (X|Λ|X−1 )UQ (Un − Un ) ,
n
j i (3)
2 2
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

6. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 39
para tener un esquema conservativo descentrado ([4], [16], [17] y [18]). Q es la matriz
Jacobiana del flujo
dF1 dF2
Q=α +β ,
dU dU
y la matriz |Q| se obtiene como |Q| = X |Λ| X−1 , donde |Λ| es la matriz diagonal
de los valores absolutos de los autovalores de Q, X es la matriz cuyas columnas son
los autovectores correspondientes a cada autovalor, y ηij = (α, β) es el vector normal
unitario en la frontera com´n de Ci y Cj , dirigido hacia el exterior de la celda Ci . En
u
el Q-esquema de Van Leer, |Q| se eval´a en el estado intermedio:
u
U n + Un
i j
Un =
Q .
2
3.3 Discretizaci´n del t´rmino fuente
o e
La fuente discreta bidimensional G en cada subcelda Tij en el tiempo n se define
como ([4], [17], [19], [20] y [21]):
Ψn = X(I − |Λ|Λ−1 )X−1 G0 + Gf ,
ij (4)
donde, si H representa la distancia al fondo desde un nivel de referencia fijo, entonces
 
0
 hn + hn Hj − Hi 
 
 g i j
α 
G0 =  2 dij ,

 hn + hn Hj − Hi 
 
i j
g β
2 dij
es decir, tambi´n se descentra este t´rmino. Aqu´ dij es la distancia del nodo i al
e e ı
nodo j (ver Figura 2). Gf aproxima la pendiente de fricci´n en el centro de cada
o
celda:  
0
 
Gf =  ghn (−Sfx )n  .
 i i 
ghn (−Sfy )n
i i
Sustituyendo el flujo discreto (3) y la fuente discreta (4) en (2), se tiene para cada
i y cada n la discretizaci´n del modelo (1):
o
Un+1 − Un
i
i
Ai + ηij Φn =
ij Aij Ψn .
ij
∆t
j∈Ki j∈Ki
donde Aij es el ´rea del tri´ngulo Tij (ver Figura 2). Esta ecuaci´n d´ un algoritmo
a a o a
expl´
ıcito para encontrar el valor de las variables de inter´s en cada volumen finito
e
Ci en cada tiempo n, en donde s´lo falta tener en cuenta si el volumen finito tiene
o
especificada una condici´n de contorno, y definir el tama˜o de paso temporal para
o n
asegurar la estabilidad.
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

7. 40 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
3.4 Paso temporal y algoritmo
El paso temporal corresponde a la condici´n CFL y est´ dado por:
o a
dij
∆t ≤ min √ ,
i, j∈Ki 2 u2 + v 2 + c ij
donde c es la celeridad. En casos de fuerte pendiente se producen inestabilidades, lo
que ha obligado al uso de un coeficiente corrector de 0.8 [4].
4. Simulaciones num´ricas con GUADFlow-2D
e
4.1 Ejemplo 1: Canal con bordo
Este ejemplo tiene como fin ilustrar c´mo influye un obst´culo en el fondo de un canal
o a
y c´mo se alcanza el flujo permanente. Para esto se considera un canal de 25 m de
o
largo por 1 m de ancho con bardas laterales de 0.1 m de ancho y 3 m de altura. El
canal tiene un bordo que inicia a los 8 m y termina a los 12 m, ver Figura 4.
Bordo
Figura 4. Terreno del canal con bordo.
4.1.1 El terreno, la triangulaci´n y condiciones iniciales y de frontera
o
El terreno con el bordo considerado corresponde a tomar el fondo z de acuerdo a la
f´rmula
o
0.2 − 0.05(x − 10)2 , si 8 < x < 12, 0 ≤ y ≤ 1
z(x, y) =
0 en otro caso,
siendo x la longitud sobre el canal a partir del extremo izquierdo. En este caso,
para la triangulaci´n se tom´ un error m´ximo de cota de 0.01 y el lado m´ximo de
o o a a
tri´ngulo 0.25. La malla resultante consta de 6 024 tri´ngulos con 3 277 nodos. En la
a a
Figura 5 se muestra una parte del terreno con la malla triangular.
Como condiciones iniciales se considera un nivel de 2 m y velocidad nula en las
dos direcciones en todo el canal. Para las condiciones de contorno se considera uno
de los tres casos considerados en [4]: Flujo subcr´
ıtico. Se especifica una condici´n de
o
entrada en la parte izquierda del canal fijando un caudal Q de 4.42 m3 /s. En la parte
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

8. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 41
Figura 5. Triangulaci´n de una parte del terreno de canal con bordo.
o
derecha del canal se establece una condici´n de salida de 2 m para el calado. En este
o
caso se consider´ un par´metro de fricci´n constante en todo el terreno de 0.01. El
o a o
tiempo de simulaci´n fue de 120 segundos, registrando datos cada segundo.
o
4.1.2 Resultados
Este es un ejemplo de flujo subcr´ıtico, es decir el nivel del agua est´ determinado por
a
la condici´n de frontera aguas abajo [4]. Tambi´n corresponde a un flujo lento con
o e
disminuci´n del calado sobre el bordo. Esto implica un aumento en la velocidad sobre
o
el bordo. En las Figuras 6, 7 y 8 se muestra la evoluci´n del calado hasta alcanza el
o
r´gimen permanente.
e
Figura 6. Nivel de agua a los 21 segundos a lo largo del canal.
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

9. 42 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Figura 7. Nivel de agua a los 30 segundos a lo largo del canal.
Figura 8. Nivel de agua a los 80 segundos a lo largo del canal cuando se ha alcanzado el
r´gimen permanente.
e
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

10. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 43
4.2 Ejemplo 2: Compuerta con abertura
Al estudiar este ejemplo se quiere ver en qu´ medida los datos arrojados por la simu-
e
laci´n satisfacen la conservaci´n de masa, que se puede resumir como: el volumen
o o
que entra debe ser igual al que sale m´s el que permanece.
a
4.2.1 El Terreno, la triangulaci´n y condiciones iniciales y de frontera
o
El terreno corresponde al etiquetado como Ejemplo 3 que se encuentra disponible en
http://www.inclam.com/, pero con una peque˜a modificaci´n: se elimin´ un pedazo
n o o
de barda cerca de la esquina inferior izquierda para establecer all´ una condici´n de
ı o
flujo de entrada. El pedazo eliminado fue de 11 cm de largo por 50 cm de profundidad
desde el nivel de la barda, ver Figura 9. B´sicamente es un terreno bardeado de 2.74 m
a
por 2.80 m y casi partido horizontalmente a la mitad por una barda interior que no
es continua sino que permite comunicaci´n de flujo entre las dos mitades del terreno.
o
La barda tiene una altura de 2 m y todo lo dem´s es plano con una altura de 1 m, as´
a ı
que para llenar este espacio, se requiere aproximadamente 7 m3 de agua.
La triangulaci´n se genera de manera autom´tica tomando en cuenta d´nde est´n
o a o a
situadas las condiciones de frontera y las variaciones del terreno. En la Figura 9 se
muestra una triangulaci´n del terreno tomando error m´ximo de cota igual a 0.1 y
o a
lado m´ximo de tri´ngulo igual a 1.0 . Como condici´n inicial se toma terreno seco.
a a o
Se consideran dos condiciones de frontera, una de entrada y otra de salida. En la
de entrada se establece un caudal de 0.02 m3 /s durante los primeros 10 segundos,
el cual se hace descender linealmente hasta 0 durante los siguientes 10 segundos. A
partir de los 20 segundos y hasta los 120 segundos que tarda la simulaci´n, el flujo
o
de entrada es nulo en esta condici´n. La condici´n de salida se establece en la misma
o o
barda izquierda pero m´s arriba como se muestra en la Figura 9, de tal manera que
a
el flujo salga de la mitad superior del terreno. En esta condici´n se establece un flujo
o
fijo nulo al nivel de la barda. Esta condici´n mas bien tiene fines operativos pues el
o
ejemplo original en el que se estaba interesado no consideraba salida, y sin embargo
el paquete necesita al menos una de entrada y una de salida. As´ que se estableci´
ı o
all´ fijando el flujo en 0 m3 /s.
ı
Se consider´ un par´metro de fricci´n constante en todo el terreno de 0.1 . El
o a o
tiempo de simulaci´n fue de 120 segundos, registrando datos cada segundo. Este
o
dato no corresponde al tama˜o de paso usado para avanzar en el tiempo, el cual es
n
mucho mas peque˜o y se establece mediante criterios internos tomando en cuenta la
n
estabilidad del m´todo usado.
e
4.2.2 Resultados
Como ya se mencion´, con este ejemplo se desea estudiar qu´ tanto se satisface la
o e
conservaci´n de masa al aproximar num´ricamente las ecuaciones de Saint-Venant.
o e
De acuerdo al flujo de entrada durante la simulaci´n lo que permanece m´s lo que sale
o a
debe ser igual a 0.3 m3 . Las simulaciones muestran que la cantidad de agua acumulada
durante la simulaci´n fue de 0.3014 m3 , ya que el agua alcanz´ aproximadamente una
o o
altura de 0.044 m como se observa en la Figura 10, que corresponde a la secci´n que
o
va de la esquina inferior derecha hasta la barda superior pasando por la abertura que
comunica las dos mitades. En la Figura 11 se ilustra el avance global del agua y el
m´dulo de la velocidad en todo el terreno a los 11 segundos.
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

11. 44 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Salida
Entrada
Figura 9. Triangulaci´n y condiciones de entrada y salida del Ejemplo 2.
o
Figura 10. Nivel en una secci´n a los 119 segundos para el ejemplo de la compuerta.
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

12. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 45
Figura 11. Avance global del agua y m´dulo de velocidad en todo el terreno a los 11 segundos.
o
4.3 Ejemplo 3: R´ ciudad
ıo
Con este ejemplo se pretende conocer c´mo se desborda un r´ sobre una ciudad o
o ıo
sobre sus m´rgenes. En la Figura 12 se tiene una vista del r´ con la ciudad. Los
a ıo
datos de este terreno son cortes´ del INCLAM, S. A. En estos casos es importante
ıa
saber qu´ tanto se desborda y en qu´ tiempo se lleva a cabo esa afectaci´n.
e e o
4.3.1 El terreno, la triangulaci´n y condiciones iniciales y de frontera
o
El terreno que se muestra en la Figura 12 tiene una inclinaci´n de la esquina superior
o
derecha a la esquina inferior izquierda, de tal manera que el r´ corre siguiendo esta
ıo
inclinaci´n. Entre el r´ y la ciudad hay un bordo de contenci´n, y en la parte
o ıo o
intermedia del r´ se muestra los pilotes de un puente. La triangulaci´n tambi´n se
ıo o e
genera de manera autom´tica tomando en cuenta d´nde est´n situadas las condiciones
a o a
de frontera y las variaciones del terreno. En la Figura 13 se muestra una parte del
terreno que incluye el puente con su respectiva triangulaci´n, tomando error m´ximo
o a
de cota igual a 0.1 y lado m´ximo de tri´ngulo igual a 10.0. Estos par´metros
a a a
generaron en todo el terreno un total de 219 265 nodos y 435 819 tri´ngulos.
a
Las condiciones iniciales se obtuvieron de una corrida previa iniciada en seco, y
son las que se muestran en la Tabla 1 y en la Figura 14. La condici´n de entrada se
o
mantuvo constante en el tiempo con 20 m3 /s, y la condici´n de salida se mantuvo
o
constante en el tiempo con 0 m3 /s (compuerta cerrada).
Se consider´ un par´metro de fricci´n constante en todo el terreno de 0.20 . El
o a o
tiempo de simulaci´n fue de 7 200 segundos (dos horas), registrando datos cada 40
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

13. 46 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
' Pilotes
R´
ıo
Figura 12. Terreno con r´
ıo.
Figura 13. Parte del terreno del Ejemplo 3 con su triangulaci´n.
o
segundos.
4.3.2 Resultados
Media hora despu´s de iniciada la simulaci´n se alcanza aproximadamente el nivel
e o
m´ximo del r´ en la parte final, como se muestra en la Figura 15. Despu´s comienza
a ıo e
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

14. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 47
Longitud Nivel de terreno Nivel de agua Velocidad u Velocidad v
m m m m/s m/s
0 417.870 420.212 −0.271 −0.260
200 416.369 420.020 −0.171 −0.227
400 416.824 419.875 −0.163 −0.288
600 417.457 419.700 −0.141 −0.315
800 417.555 419.235 −0.200 −0.252
1000 417.045 418.796 −0.188 −0.283
1200 416.570 418.118 −0.213 −0.048
1330 415.800 417.918 −0.283 0.081
1400 415.841 417.834 −0.260 0.200
1600 415.911 417.594 −0.222 0.250
1850 415.299 417.052 −0.356 0.009
2150 414.239 416.828 −0.662 −0.067
2350 414.049 416.786 −0.030 −0.123
2660 413.833 416.770 −0.006 −0.006
Tabla 1. Condici´n inicial. La longitud del r´ se mide a partir del extremo superior derecho.
o ıo
Figura 14. Condiciones iniciales.
el desborde del cual se muestran dos momento que corresponden a una hora despu´s
e
de iniciada la simulaci´n (Figura 16), y a dos horas despu´s (Figura 17). Estos
o e
mismos momentos de la simulaci´n se muestran en las Figuras 19, 20, 21 y 22, pero
o
correspondiendo a la secci´n que se muestra en la Figura 18.
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

15. 48 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Figura 15. Nivel del r´ 30 minutos despu´s de iniciada la simulaci´n.
ıo e o
Figura 16. Nivel del agua una hora despu´s de iniciada la simulaci´n.
e o
5. Conclusiones
El modelo de Saint-Venant es un sistema hiperb´lico de tres ecuaciones con tres
o
inc´gnitas. Para su deducci´n se hace uso de m´ltiples hip´tesis que cumplen las
o o u o
aguas someras o poco profundas, pero el conjunto de flujos de agua que cumple estas
hip´tesis es m´s amplio, y entonces se espera que Saint-Venant modele bien no solo
o a
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

16. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 49
Figura 17. Nivel del agua dos horas despu´s de iniciada la simulaci´n.
e o
Secci´n observada
o
Figura 18. Secci´n observada.
o
las aguas poco profundas sino flujos en este conjunto mas amplio.
El software GUAD-2D y en particular el tratamiento num´rico del modelo con el
e
esquema de vol´menes finitos, es un m´todo exitoso para la simulaci´n num´rica de
u e o e
flujos de agua como los canales o r´ pues los ejemplos num´ricos muestran buenos
ıos, e
resultados en cuanto a la conservaci´n de la masa, y en cuanto al tratamiento de
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

17. 50 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Figura 19. Nivel inicial del agua en la secci´n observada.
o
Figura 20. Nivel del agua en la secci´n observada media hora despu´s.
o e
flujos con valores peque˜os como es el caso del ejemplo de la compuerta con abertura;
n
tambi´n en cuanto al manejo de cambios de r´gimen como se muestra en el ejemplo
e e
del canal con bordo. As´ ımismo muestra un comportamiento aceptable al simular con
terrenos reales como el de la ciudad con r´ en donde se ha usado un terreno extenso
ıo,
y una malla muy fina. Por el hecho de ser el m´todo de volumenes finitos un m´todo
e e
expl´ıcito y con las capacidades de c´mputo actuales, las simulaciones son en tiempo
o
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

18. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 51
Figura 21. Nivel del agua en la secci´n observada una hora despu´s.
o e
Figura 22. Nivel del agua en la secci´n observada dos horas despu´s.
o e
real si los per´
ıodos de observaci´n de inter´s no son exageradamente peque˜os.
o e n
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

19. 52 J. L´pez L´pez, J. Alavez-Ram´
o o ırez, J. L. Hern´ndez L´pez
a o
Agradecimientos
Los autores agradecemos el apoyo recibido del Fondo Mixto CONACYT–Gobierno
del Estado de Tabasco, a trav´s del sub–proyecto TAB-2007-C10-82422/04. Tambi´n
e e
agradecemos a Don Alfonso Andr´s Urrutia, representante de la empresa INCLAM, S.
e
A., por habernos facilitado el uso gratuito de su software acad´mico GUADGUI− 0.4.0.0,
e
as´ como habernos facilitado el archivo.txt que contiene los datos de un r´ que cruza
ı ıo
sobre una zona urbana.
Referencias
[1] M. J. Mac´ M. (Coordinador general), “Reporte de Investigaci´n: Inundaciones de
ıas o
Villahermosa, Tabasco, Octubre-Noviembre 2007”, Centro de Investigaciones y Estu-
dios Superiores en Antropolog´ Social - M´xico, 2008.
ıa e
[2] J. L. Luege Tamargo, “Plan H´
ıdrico Integral de Tabasco”, CONAGUA-Instituto de
Ingenier´ de la UNAM, M´xico, 2008.
ıa e
http://www.conagua.gob.mx/CONAGUA07/Temas/PlanHidricoIntegralTabasco.pdf
[3] J. Murillo, P. Brufau, P. Garc´ ıa-Navarro, M. Rodr´ ıguez, A. Andr´s, “Aplicaci´n
e o
del modelo bidimensional GUAD-2D para la determinaci´n de zonas inundables
o
en el T. M. de Fraga (Huesca)”, Universidad de Zaragoza e INCLAM, S. A.
http://www.ciccp.es/biblio− digital/Icitema− III/congreso/pdf/030302.pdf, 2008.
[4] J. M. Fe Marqu´s, “Aplicaci´n del m´todo de vol´menes finitos a la resoluci´n num´rica
e o e u o e
de las ecuaciones de aguas someras con incorporaci´n de los esfuerzos debidos a la
o
turbulencia”, Tesis Doctoral, Universidade da Coru˜a, Espa˜a, 2005.
n n
[5] J. M. P´rez, A. L´pez, A. Hidalgo, C. Conde, “Comparaci´n de algunos esquemas de
e o o
vol´menes finitos y de elementos finitos”, Revista Internacional de M´todos Num´ricos
u e e
para C´lculo y Dise˜o en Ingenier´ 14(3), 365–382, 1998.
a n ıa,
[6] Y. Ni˜o C., “M´todo de los Vol´menes Finitos”, Departamento de Ingenier´ Civil,
n e u ıa
Universidad de Chile, 2002.
https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2008/2/CI61M/1/material− docente/objeto/200974.
[7] A. Andr´s Urrutia, L. Garrote de Marcos, “Memoria: Investigaci´n de alternativas de
e o
modelizaci´n bidimensional de planas inundables”, Universidad Polit´cnica de Madrid
o e
e INCLAM S. A., 2007.
[8] Manual de instalaci´n y uso de GUAD2D, INCLAM, S. A.
o
[9] Manual de usuario de GUAD/Creator, INCLAM, S. A.
[10] Manual de usuario de GUAD/View, INCLAM, S. A.
[11] J. L. Hern´ndez L´pez, “Simulaci´n Num´rica de las Ecuaciones de Saint-Venant con
a o o e
el Software GUAD-2D”, Tesis de Maestr´ Universidad Ju´rez Aut´noma de Tabasco,
ıa, a o
2009.
[12] D. H. Zhao, H. W. Shen, G. Q. Tabios III, J. S. Lai and W. Y. Tan, “Finite-Volume
Two-Dimensional Unsteady-Flow Model for River Basins”, Journal of Hydraulic Engi-
neering, 120(7), 863–883, 1994.
[13] A. J. Chorin and J. E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics,
Third Edition, Springer, 1993.
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´

20. Soluci´n num´rica del modelo de Saint-Venant v´ vol´menes finitos
o e ıa u 53
[14] F. Marche, “Derivation of a new two-dimensional viscous shallow water model with
varying topographic, bottom friction and capillary effects”, European Journal of Me-
chanics B/Fluids, 26, 49–63, 2007.
[15] J.-F. Gerbeau, B. Perthame, “Derivation of viscous Saint-Venant system for laminar
shallow water; numerical validation”, Rapport de recherche No. 4084, ISSN 0249-6399,
Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, France, 2000.
[16] A. Berm´dez, M. E. V´zquez Cend´n, “Extensi´n de algunos esquemas descentrados
u a o o
a las leyes de conservaci´n”, Actas del XII Congreso de Ecuaciones Diferenciales y
o
Aplicaciones y II Congreso de Matem´tica Aplicada, Septiembre de 1991, ISBN 84-
a
7468-736-5, 387–392, 1991.
[17] A. Berm´dez, A. Dervieux, J. A. D´sid´ri and M. E. V´zquez Cend´n, “Upwind
u e e a o
schemes for the two-dimensional shallow water equations with variable depth using
unstructured meshes”, Rapport de recherche No. 2738, ISSN 0249-6399, Institut Na-
tional de Recherche en Informatique et en Automatique, France, 1995.
[18] F. Alcrudo and Garc´ ıa-Navarro, “A high-resolution Godunov-type schemes in finite vol-
umes for the 2D shallow-water equations”, International Journal for Numerical Meth-
ods in Fluids, 16, 489–505, 1993.
[19] M. E. V´zquez Cend´n, “Extensi´n de los q-esquemas para el tratamiento de los
a o o
t´rminos fuente en las ecuaciones de flujos en canales”, XV Congreso de Ecuaciones
e
Diferenciales y Aplicaciones, V Congreso de Matem´tica Aplicada, Vigo, 23-26 de Sep-
a
tiembre de 1997, Vol. 2, ISBN 84-8158-097-X, 1007–1012, 1998.
[20] M. E. V´zquez Cend´n, “Estudio de esquemas descentrados para su aplicaci´n a las
a o o
leyes de conservaci´n con t´rminos fuente”, PhD Thesis, Departamento de Matem´tica
o e a
Aplicada, Universidad de Santiago de Compostela, Espa˜a, 1994.
n
[21] A. Berm´dez and M. E. V´zquez Cend´n, “Upwind methods for hyperbolic conserva-
u a o
tion laws with source terms”, Computers and Fluids, 23, 1049–1071, 1994.
Revista de Ciencias Basicas UJAT, 8(2)Diciembre 2009 p 34–53
´