Ecuaciones diferenciales parciales

Elementos en
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Pongo en el ciberespacio un cursillo que dicté en la Universidad
Nacional de Colombia en 1984, sobre las nociones elementales en
ecuaciones diferenciales parciales y estoy convecido que puede ser
de gran utilidad para aquellas personas que estén estudiando las
carreras de física teórica e ingeniería.
§ 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1.1. . Una ecuación diferencial parcial para una funciónINTRODUCCIÓN
?ÐBß Cß á Ñ ? ß ? ß ? ß ? ß ? ácon derivadas parciales , es una relación deB C BB BC CC
la forma
,J Bß Cß á ß ?ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? á œ ! "a b a bB C BB BC CC
donde es una función de las variables , enJ Bß Cß á ß ?ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? áB C BB BC CC
donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.
Una función es de , si en alguna región del espacio? Bß Cß á ß "a b a bsolución
de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la
ecuación idénticamente en Bß Cß á
Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales
parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de
arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales.
Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias una ecuación
diferencial parcial es de , si las derivadas de mayor orden queorden 8
ocurren en son de orden . Las ecuaciones diferenciales parciales seJ 8
clasifican también según el tipo de función considerada. En particularJ
tenemos la ecuación diferencial parcial si es lineal en la funciónlineal J
incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal
que es más general, si es lineal en al menos una de las derivadas deJ
más alto orden.
Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren frecuentemente y en forma
enteramente natural en problemas de varias ramas de la matemática,
como se presenta en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1. Una condición necesaria y suficiente para que una forma
diferencial
Q Bß C .B  R Bß C .Ca b a b
sea una diferencial exacta, es que cumpla la condición de integrabilidad
siguiente:
`Q `R
`C `Bœ
Esta se puede considerar como una ecuación diferencial parcial en las
variables desconocidas y , y cuya solución general está dada porQ R

Darío Sánchez H. Elementos en "ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES" 2
Q œ ß R œ` `
`B `C
9 9
donde es una función .9 arbitraria
EJEMPLO 2. El problema de hallar un para la ecuaciónfactor integrante
diferencial ordinaria de primer orden
Q Bß C .B  R Bß C .C œ ! #a b a b a b
esto es, una función para la cual sea una forma. . .a bBß C Q.B  R.C
diferencial exacta, conduce a la ecuación
` Q ` R
`C `B
. .
œ $a b
Esta es una ecuación diferencial parcial de primer orden para . El.
problema de hallar la solución de la ecuación diferencial ordinaria es así
reducido al de hallar una solución de la ecuación diferencial parcial .a b$
EJEMPLO 3. Dadas dos funciones y , la función se dice? œ ? Bß C @ œ @ Bß C ?a b a b
fuertemente dependiente de , si existe una función tal que@ L @a b
? Bß C œ L @ Bß Ca b a ba b
siempre y cuando . Dos funciones serán fuertemente@  @ Á !# #
B C
dependientes si su es nulo. Esto es,jacobiano
` ?ß@
` BßC
B C
B C
a b
a b œ œ !
? ?
@ @
º º
Así para dado, esto indica que la ecuación diferencial parcial de primer@
orden para , , tiene una solución general? ? @  @ ? œ !B C B C
@ œ L @ Bß Ca ba b
donde es una función diferenciable arbitraria.L
Por ejemplo, supóngase entonces y la@ Bß C œ B  C ß @ œ #Bß @ œ #Ca b # #
B C
ecuación diferencial parcial
C?  B? œ !B C
tendrá por solución a .? œ L B  Ca b# #
EJEMPLO 4. Dadas dos funciones diferenciables con continuidad y? Bß Ca b
@ Bß Ca b, la condición necesaria y suficiente para que ellas formen las partes
real e imaginaria de una función analítica, son0 Bß C œ ?  3@ œ 0 B  3Ca b a b
las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann
? œ @ ß ? œ  @B C C B
Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales para
las funciones y . Ellas pueden obtenerse formalmente mediante la? @
condición
` ?3@ßB3C
` BßC
a b
a b œ !
esto según el ejemplo 3 y observando que y son funciones reales, se? @
tiene
` ?3@ßB3C
` B3C
B B C C
B C B C
a b
a b œ œ 3 ?  @  @  ? œ !
?  3@ ?  3@
" 3º º a b a b

o, .? œ @ ß ? œ  @B C C B
EJEMPLO 5. . Para hallar la superficie queProblema de Plateau D œ ? Bß Ca b
pase a través de una curva dada en el espacio y cuya área es mínima, está
dada por la ecuación parcial siguiente:
ˆ ‰ a b"  ? ?  #? ? ?  "  ? ? œ ! ÞC B
# #
BB B C BC CC
Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden casi-lineal, la
cual determina a la superficie .D œ ? Bß Ca b
EJEMPLO 6. La ecuación diferencial parcial definida por una superficie
desarrollable; esto es, una superficie que puede ser aplicada preservando
las longitudes en regiones planas, es
.? ?  ? œ !BB CC BC
#
Esta es una ecuación diferencial no lineal para la superficie .D œ ? Bß Ca b
EJEMPLO 7. Una ecuación diferencial parcial importante en física es la del
potencial o ecuación de Laplace
.?? œ ?  ?  ? œ !BB CC DD
Esta es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que se
cumple, por ejemplo para:
+Ñ expresar la velocidad potencial de un fluido,
,Ñ las componentes del campo de fuerzas de la atracción yNewtoniana
-Ñ la distribución de la temperatura de los cuerpos en equilibrio térmico.
EJEMPLO 8. La ecuación de la onda
.?? œ ?  ?  ? œ ? ß - œ -98=>+8>/BB CC DD >>
"
-#
representa la aproximación acústica de la velocidad potencial de un gas
homogéneo politrópico. Esta es una ecuación diferencial parcial de
segundo orden lineal para el potencial .?
EJEMPLO 9. La ecuación diferencial parcial
.?? œ ?  ?  ? œ ?BB CC DD >
"
O
llamada la ecuación del y se cumple para la distribución de lacalor
temperatura en un cuerpo conductor del calor, siempre que la densidad
y el calor específico del material sean constantes. Ësta de nuevo es, una
ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para .?
El problema objeto de la teoría de las ecuaciones diferenciales es hallar
las las cuales, en todos los casos consisten en determinar elsoluciones,
espacio donde ellas se verifican. Así para las ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO) el espacio donde ellas se verifican es un espacio
funcional de dimensión finita y resolver una EDO es hallar un conjunto
fundamental para representar a dicho espacio. En el caso de las

ecuaciones diferenciales parciales (EDP) el espacio de ya nosoluciones
es de dimensión finita, pero de todas maneras el resolver una EDP es
determinar el espacio funcional donde ellas se verifican, el cual resulta
ser un espacio funcional de dimensión infinita; en el caso lineal la
dificultad está en la determinación de un conjunto infinito que permita el
hallazgo de este espacio, el cual por lo general es un espacio de Hilbert,
en los casos más comunes y de utilidad en la física teórica, en esos casos
la determinación del espacio solución se ecuentra en la localización de un
conjunto ortogonal infinito que permita una generalización de los
espacios vectoriales de dimensión finita. Hay muchas teorías conducentes
a dicha generalización, empezando por la de independencia lineal para
el caso de infinitos elementos, pero que sean numerables. En los casos
más elementales se utilizan las series de Fourier, y la teoría de funciones
ortogonales mediante la toría espectral. También se pueden usar técnicas
de geometría diferencial o de analisis vectorial como lo podemos observar
en la siguiente sección.
1.2. ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALES
Las ecuaciones de primer orden, en general, presentan interpretaciones
geométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir la
discusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que la
teoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número de
variables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma
J Bß Cß ?ß ? ß ? œ J Bß Cß ?ß :ß ; œ ! "a b a b a bB C
donde hemos usado las notaciones . Una solución? œ :ß ? œ ; D œ ? Bß CB C a b
cuando la interpretamos como una superficie en el espacio tridimensional,
será llamada una de la ecuación diferencial.superficie integral
Comenzamos con la ecuación diferencial parcial generada por
+ Bß C ?  , Bß C ? œ - Bß C ?  . Bß C #a b a b a b a b a bB C
Notamos que el lado izquierdo de esta igualdad representa la derivada de
? Bß C + Bß C ß , Bß Ca b a ba b a ben la dirección . Por lo tanto consideremos las curvas
en el -plano, cuyas tangentes en cada punto tienen estas direccionesBß C
es decir, la familia a un parámetro de curvas definidas por las ecuaciones
diferenciales ordinarias
, ó,.C .C
.B + BßC .> .>
, BßC .B
œ œ + Bß C ß œ , Bß C $a b
a b a b a b a b
Así, estas curvas tendrán la propiedad de que, a lo largo de ? Bß Ca b
satisfacen las ecuaciones diferenciales ordinarias
, o,.? .?
.B + BßC .>
- BßC ?. BßC
œ œ - Bß C ?  . Bß C %a b a b
a b a b a b a b
La familia a un parámetro de curvas definidas por la ecuación serána b$
llamadas las de la ecuación diferencial.curvas características
Supóngase ahora que a se le asigna un valor inicial en el punto? Bß Ca b
a bB ß C Bß C! ! en el -plano. Por el problema de existencia y unicidad para

ecuaciones diferenciales ordinarias a valores iniciales, las ecuaciones a b$
definirán unívocamente las curvas características, digamos
B œ B B ß C ß > ß C œ C B ß C ß > &a b a b a b! ! ! !
junto con
? œ ? B ß C ß > 'a b a b! !
que será únicamente determinado por la ecuación .a b%
El planteo exacto de este problema, llamado problema de conCauchy
valor inicial, será dado para las ecuaciones casi-lineales más generales,
un poco más adelante.
Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial
B?  C? œ ?B C !
con las condiciones iniciales para . Las curvas características? œ B C œ "9a b
son dadas por la ecuación
.C C
.B Bœ
teniendo por soluciones
C œ -B
A lo largo de tales curvas debe satisfacer la ecuación?
.C C
.B Bœ !
cuya solución es
.? œ 5B!
Como puede ser diferente de una curva característica a otra curva5
característica, es decir, depende de , tenemos la solución general-
? œ 5 - B œ 5 Ba b ˆ ‰! !C
B
donde es una función . Si aplicamos la condición inicial5a b† arbitraria
para , obtenemosC œ "
9a b ˆ ‰B œ 5 B"
B
!
o
5 = œ =a b ˆ ‰9 "
=
!
y por lo tanto la solución requerida será
.? œ C9Š ‹B
C
!
La ecuación general casi-lineal puede ser escrita en la forma
+ Bß Cß ? ?  , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? (a b a b a b a bB C
La solución general define una superficie integral en el? Bß C D œ ? Bß Ca b a b
Bß Cß D-espacio. La normal a la superficie tendrá por direcciones

a b a b? ß ? ß  " (B C ; así que la ecuación se puede interpretar como la condición
mediante la cual la superficie integral, en cada punto, tiene la propiedad
de que el vector es tangente a la superficie.a b+ß ,ß -
Así la ecuación diferencial parcial define un campo de direcciones a b+ß ,ß -
llamadas las direcciones teniendo la siguiente propiedad:características,
la ecuación es una superficie integral si y sólo si en cada puntoD œ ? Bß Ca b
el plano tangente contiene una dirección característica.
Es sugestivo entonces considerar las curvas integrales de este campo
esto es, la familia de curvas del espacio cuyas tangentes coinciden con las
direcciones características. Estas son llamadas las ycurvas características
son dadas por las ecuaciones
.B .D
+ BßCßD , BßCßD - BßCßD
.C
a b a b a bœ œ )a b
Llamando al valor común de estas , podemos tambiénrazones .>
escribirlas en la forma
.B .D
.> .> .>
.C
œ + Bß Cß D ß œ , Bß CD ß œ - Bß Cß Da b a b a b
a b*
Por cada punto pasará una curva característicaa bB ß C ß D! ! !
B œ B B ß C ß D ß > ß C œ C B ß C ß D ß > ß D œ D B ß C ß D ß >a b a b a b! ! ! ! ! ! ! ! !
Una importante propiedad de las curvas características es que: Cada
superficie generada por una familia a un parámetro de curvas
características, es una superficie integral de . Más aún, la inversaa b(
también es verdadera.
En efecto, supongamos que es una superficie integral dada.D œ ? Bß Ca b D
Consideremos la solución del sistema
.B
.> .>
.C
œ + Bß Cß ? Bß C ß œ , Bß Cß ? Bß Ca b a ba b a b
con para . Entonces para las correspondientes curvasB œ B ß C œ C > œ !! !
B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C >a b a b a ba b a b
también de se tienea b(
.D .B
.> .> .>B C B C
.C
œ ?  ? œ + Bß Cß ? ?  , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? œ Bß Cß Da b a b a b a b6
Por esto la curva satisface la condición de las curvas características ya b*
también descansan sobre por definición. Así contiene en cada puntoD D
una curva característica pasando a través del punto. Por lo tanto D
contiene las curvas integrales. Además, si dos superficies integrales se
intersectan en un punto entonces ellas se intersectan a lo largo de la curva
característica a través del punto; y la curva de intersección de dos
superficies integrales debe ser una curva característica.
En este punto la solución del problema de Cauchy con valor inicial, esto
es, el de hallar la solución de satisfaciendo valores iniciales? Bß C (a b a b
dados a lo largo de una curva en el -plano, llega a ser evidente.Bß C
Podemos tomar como solución a la superficie integral formada por la
familia de curvas características a través de cada punto inicial en el
espacio.

TEOREMA 1.1 a bT<9,6/7+ ./ G+?-2C Considérese la ecuación diferencial
parcial casi-lineal de primer orden
+ Bß Cß ? ?  , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? "!a b a b a b a bB C
donde a,b,c tiene derivadas parciales continuas con respecto a .Bß Cß ?
Supóngase que a lo largo de la curva inicial los valoresB œ B = ß C œ C =! !a b a b
iniciales están determinados por , siendo funciones? œ ? = B ß C ß ?! ! ! !a b
continuamente diferenciables en . Además supóngase que! Ÿ = Ÿ "
.C
.= .=! ! ! ! ! !
.B! !
+ B = ß C = ß ? =  , B ß C = ß ? = Á ! ""a b a b a ba b a b a b a b a b
Entonces existe una y solamente una solución definida en alguna? Bß Ca b
vecindad de la curva inicial, que satisface la ecuación parcial y lasa b"!
condiciones iniciales
? B = ß C = œ ? = "# Þa b a b a ba b a b! ! !
DEMOSTRACIÓN. Consideremos la ecuación diferencial ordinaria
.B .?
.> .> .>
.C
œ + Bß Cß ? ß œ , Bß Cß ? ß œ - Bß Cß ? "$a b a b a b a b
Por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales
ordinarias, podemos determinar una única familia de ecuaciones
características
B œ B B ß C ß > œ B =ß >a b a b! !
C œ C B ß C ß > œ C =ß > "%a b a b a b! !
? œ ? B ß C ß > œ ? =ß >a b a b! !
cuyas derivadas con respecto a los parámetros son continuas y tales=ß >
que ellas satisfacen las condiciones iniciales
B =ß ! œ B = ß C =ß ! œ C = ß ? =ß ! œ ? =a b a b a b a b a b a b! ! !
Notamos que el Jacobiano
` BßC
` =ß> .= .=>œ!
= > .C
= > >œ!
.Ba b
a b ¹ º º ˆ ‰œ œ ,  + Á !
B B
C C
! !
esto según la condición . Así por el teorema de la función implícita laa b""
ecuación puede resolverse para en términos de en unaa b"% =ß > Bß >
vecindad de la curva inicial , obteniendo de una expresión para la> œ ! "%a b
solución dada por
Fa b a ba b a bBß C œ ? = Bß C ß > Bß C
Fa bBß C claramente satisface las condiciones iniciales; pues
.Fa b a b a b¸Bß C œ ? =ß ! œ ? =>œ! !
Más aún satisface la ecuación diferencial . PuesFa b a bBß C "!
+  , œ + ? =  ? >  , ? =  ? >F FB C = B > B = C > Ca b a b
œ ? +=  ,=  ? +>  ,>= B C > B Ca b a b
œ ? = B  = C  ? > B  > C= B > C > > B > C >a b a b
œ ? † !  ? † " œ -= >
puesto que de las ecuaciones
= œ = Bß C > œ > Bß Ca b a b
tenemos
.= œ ! œ = B  = C ß > œ " œ > B  > C> B > C > C B > C >

Además es única. Pues supóngase que es cualquier otraF Fa b a bBß C Bß C
solución satisfaciendo las condiciones iniciales y un puntoa bB ß Cw w
arbitrario en una vecindad de la curva inicial. Consideremos la curva
característica
B œ B = ß > ß C œ = ß > ß ? œ ? = ß >a b a b a bw w w
donde . En estas curvas estan en ambas superficies puesto= œ = B ß C > œ !w w w
a b
que aquí pasan a través de la curva inicial por el punto
.B = ß ! œ B = ß C = ß ! œ C = ß ? = ß ! œ ? =a b a b a b a b a b a bw w w w w
! ! ! !
Pero si una curva característica tiene un punto común con una superficie
integral ella está colocada totalmente sobre la superficie. Así las curvas
características se encuentran en ambas superficies y en particular para >w
tenemos
.F F Fa b a b a b a ba b a bB ß C œ B = ß > ß C = ß > œ ? = ß > œ B ß Cw w w w w w w w w w w w
Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial parcial
??  ? œ "B C
con la condición inicial para . Notamos queB œ =ß C œ =ß ? œ = ! Ÿ = Ÿ ""
#
la condición se satisface; puesa b""
.C
.= .= #
.B "
+  , œ =  " Á ! :?/= ! Ÿ = Ÿ "
Resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias
.B .?
.> .> .>
.C
œ ?ß œ "ß œ "
con las condiciones iniciales
B =ß ! œ =ß C =ß ! œ =ß ? =ß ! œ =a b a b a b "
#
hallamos la familia de curvas características
B œ >  =>  =" "
# #
#
C œ >  =
? œ >  =
#
Cuando resolvemos a y en términos de y , obtenemos= > B C
= œ ß > œ
B
" "
CB
C#
#
C C
# #
y finalmente la solución será
.? œ
# CB  B
#C
a b Š ‹C#
#
§2. ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN
PARA FUNCIONES EN DOS VARIABLES
Una ecuación diferencial parcial general de primer orden para funciones
de dos variables y sus derivadas , puede ser escrita enD Bß C D œ :ß D œ ;a b B C
la forma
J Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a b

Hemos supuesto que tiene segundas derivadas continuas con respecto aJ
sus variables .Bß Cß Dß :ß ;
Sorprendentemente al resolver una ecuación de primer orden más general
el análisis se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias. La geometía, sin embargo, no necesariamente es
tan simple como para las ecuaciones casi-lineales, donde se hacía
referencia principalmente a las curvas integrales. En el caso general nos
referiremos, como se verá, a objetos gemétricos más complicados,
llamados (o ).fajas tiras
Supóngase ahora que en algún punto en el espacio,a bB ß C ß D! ! !
consideramos una posible superfice integral y las direccionesD œ D Bß Ca b
a b:ß ;ß  " de su plano tangente. La ecuación establece que existe una
relación.
J B ß C ß D ß :ß ; œ !a b! ! !
entre las direcciones y . Esto es, la ecuación diferencial limitará sus: ;
soluciones a aquellas superficies teniendo planos tangentes
pertenecientes a familias a un parámetro.
En general esta familia de planos será la envolvente cónica (ver la gráfica)
llamada el .cono de Monge
Así la ecuación diferencial define un campo de conos teniendo laa b"
propiedad de que una superficie será una superficie integral si y
solamente si es tangente a un cono en cada punto. Notamos que en el
caso casi-lineal el cono degenera en una recta. Consideremos por un
momento que tenemos una familia a un parámetro de superficies
integrales
D œ 0 Bß Cß - #a b a b
donde suponemos que tiene segundas derivadas parciales continuas con0
respecto a sus variables . Como podemos suponer de laBß Cß -
interpretación geométrica de la ecuación diferencial, la envolvente, si
existe, será de nuevo una solución.
Para hallar la envolvente de una familia de superficies consideramos los
puntos de intersección de superficies vecinas
, y ,D œ 0 Bß Cß - D œ 0 Bß Cß -  -a b a b?
Restando y dividiendo por ,?-
! œ 0 BßCß- 0 BßCß- -
-
a b a b?
?
y pasando al límite cuando , tenemos la envolvente dada por las?- !→
dos ecuaciones siguientes:

Š ‹ a b
Dœ0 BßCß-
!œ0 BßCß-
a b
a b-
$
Si podemos resolver para en la segunda y eliminando en la primera,-
tenemos la envolvente expresada como
D œ 1 Bß C œ 0 Bß Cß - Bß Ca b a ba b
La envolvente satisface la ecuación diferencial dada. En efecto suponiendo
0 œ !- , se obtiene
Š ‹ a b
1 œ0 0 - œ0
1 œ0 0 - œ0
B B - B B
C - C CC
%
Esto es, la envolvente tendrá las mismas derivadas que un miembro de la
familia, y la ecuación diferencial es justo una relación entre aquellas
derivadas como se verificará.
Suponemos conocida una familia a dos parámetros de superficies
integrales, digamos
D œ 0 Bß Cß +ß , &a b a b
Entonces podemos hallar soluciones dependiendo de una función
arbitraria. Pues si consideramos
, œ +Fa b
donde es diferenciable, obtenemos la familiaF
D œ 0 Bß Cß +ß +a ba bF
! œ 0  0 ++ ,
w
F a b
será una superficie integral dependiendo de la función .F
Esto sugiere que si damos una familia a dos parámetros de superficies
integrales, podemos seleccionar una familia a un parámetro de aquellas
superficies cuya envolvente contiene una curva dada en el espacio y esto
es, hallar una solución para un problema de valores iniciales. Notemos
que es enteramente razonable expresar la existencia de una familia a dos
parámetros de soluciones. Por supuesto, podemos iniciar con una familia
arbitraria de superficies, digamos
D œ 0 Bß Cß +ß , 'a b a b
Si logramos resolver para los parámetros y en el sistema formado por+ ,
las dos derivadas parciales
: œ D œ 0 Bß Cß +ß ,B Ba b
; œ D œ 0 Bß Cß +ß Þ,C Ca b
y se sustituye y en la ecuación , se obtiene la ecuación diferencial+ , 'a b
parcial
D œ 0 Bß Cß + Bß Cß :ß ; ß , Bß Cß :ß ; œ ! (a b a ba b a b
teniéndose la familia dada como solución. Llamaremos a la familia a dos
parámetros de soluciones, de la ecuación diferencial.solución completa
Supongamos ahora que tenemos la solución completa yD œ 0 Bß Cß +ß ,a b
deseamos hallar una envolvente conteniendo la curva inicial siguiente
B œ B = ß C œ C = ß D œ D =a b a b a b
con tal objeto consideremos las dos ecuaciones
K =ß +ß , œ D =  0 B = ß C = ß +ß , œ ! )=a b a b a b a ba b a b

y
K =ß +ß , œ D =  0 B =  0 C = œ ! *= B C
w w w
a b a b a b a b a b
de donde se obtiene una relación entre digamos en términos del+ß ,ß
parámetro : . La envolvente= + œ + = ß , œ , =a b a b
D œ 0 Bß Cß + = ß , =a ba b a b
! œ 0 + =  0 , =+ ,
w w
a b a b
contendrá la curva inicial. Pues ambas ecuaciones se cumplen
idénticamente en por ; la primera como una consecuencia= B = ß C = ß D =a b a b a b
directa de la ecuación , y la segunda por la derivabilidad de la primeraa b)
D = œ 0 B =  0 C =  0 , =w w w w
B C ,a b a b a b a b
o
! œ 0 + =  0 , =+ ,
w w
a b a b
donde hemos usado la ecuación .a b*
Como un ejemplo, consideremos la familia a dos parámetros del plano
que están a una distancia unitaria del origen, es decir, los planos respecto
a la esfera unitaria. Ellos estan dados por las ecuaciones
D œ B  C + , "
" + , " + , " + ,È È Èa b a b a b# # # # # #
y se puede demostrar que es una solución completa de la ecuación
diferencial parcial
a b a bD  :B  ;C  "  :  ; œ !# # #
si deseamos hallar una supercifie integral conteniendo a la curva inicial,
dada, digamos por el círculo de radio alrededor del eje , de ecuación"
# D
D œ "ß B œ ß C œ ß ! Ÿ Ÿ #" "
# #cos sin) ) ) 1
se obtiene la familia de planos dada por las ecuaciones
K ß +ß , œ "  +  ,    " œ !a b a bÈ) ) )# # + ,
# #cos sin
K ß +ß , œ +  , œ !)a b) ) )sin cos
de donde se concluyen las relaciones
o ,+ ß , œ ß +  , œ% % "'
$ $ #&
# #
cos sin) )
la superficie integral requerida es entonces la envolvente de la familia
D œ  B  C % % &
$ $ $cos sin) )
Todo está bien si ya tenemos una familia a dos parámetros de superficies
integrales. Continuamos por consiguiente con un ataque más sistemático
con el fin de escribir un sistema de ecuaciones ordinarias de soluciones
con las cuales deseamos una solución, de la ecuación diferencial parcial
dada.
Demos una superficie integral teniendo segundas derivadasD œ D Bß Ca b
parciales continuas con respecto a y a . En cada punto la superficie seráB C
tangente a un cono de (ver la figura)Monge

Las lineas de contacto entre los planos tangentes a la superficie y los
conos definen un campo de direcciones en superficie, llamado el campo
de y las curvas integrales de este campodirecciones características
definen una familia de curvas características.
Con el objeto de describir las curvas características, obtenemos primero
una expresión analítica para el cono de Monge en algún punto .a bB ß C ß D! ! !
Este es la envolvente de una familia a un parámetro de planos
D  D œ : B  B  ; C  C! ! !a b a b
donde y satisfacen: ;
o,J B ÞC ß D ß :ß ; œ !ß ; œ ; B ÞC ß D ß :ß ; ""a b a b a b! ! ! ! ! !
y por lo tanto puede ser dada por las ecuaciones
Œ  a b
DD œ: BB ; B ÞC ßD ß: CC
!œ BB ; CC
! ! ! ! ! !
! !
.;
.:
a b a bˆ ‰
a b a b
"#
De las ecuaciones obtenemosa b""
.J
.: .:: ;
.;
œ J  J œ ! "$a b
así que puede ser eliminada de , y las ecuaciones, definiendo el.;
.: a b"#
cono de Monge, se escriben
Î Ñ
Ï Ò
a b
a b a b a b
J B ÞC ß D ß :ß ; œ !
D  D œ : B  B  ; C  C
œ
"%
! ! !
! ! !
BB
J J
CC!
: ;
!
Notemos que dando y las dos últimas ecuaciones definen la línea: ;
generatriz del cono, es decir, la línea de contacto entre el plano tangente y
el cono. Así en nuestra superficie integral dada, donde cada punto
: œ : B ß C ; œ ; B ß C! ! ! ! ! !a b a by son conocidos, el plano tangente estará dado
por
D  D œ : B  B  ; C  C! ! ! ! !a b a b
juntamente con la ecuación
BB
J J
CC!
: ;
!
œ
determinándose la línea de contorno con el cono de Monge
=BB DD
J J :J ;J
CC! !
: ; : ;
!
œ
o la dirección característica
a bJ ß J ß :J  ;J: ; : ;
Se sigue entonces que las curvas características estan determinadas por el
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
.B .D
J J :J ;J
.C
: ; : ;
œ œ "&a b

o
.B .D
.> .> .>: ; : ;
.C
œ J ß œ J ß œ :J  ;J "'a b
Si la superficie integral es todavía desconocida, es claro que las tres
ecuaciones o no serán todavía suficientes para determinar lasa b a b"& "'
curvas características comprendiendo la superficie. Sin embargo, se puede
obtener mayor información sobre el comportamiento de y a lo largo de: ;
las curvas características
Œ  a b
.:
.> .> .>B C B : C ;
.B .C
.;
.> .> .>B C B : C ;
.B .C
œ: : œ : J : J
œ; ; œ ; J ; J
"(
Retornando a la ecuación y diferenciando primero con respecto a ya b" B
luego con respecto a , tenemosC
J  J :  J :  J ; œ !B D : B ; B
J  J ;  J :  J ; œ !C D : C ; C
Así que las ecuaciones pueden escribirse en la formaa b"(
Œ  a b
.:
.> B D
.;
.> C D
œJ J :
œJ J ;
")
donde hemos usado que .: œ ;C B
Tenemos entonces asociado con la superficie integral dada, unaD œ D Bß Ca b
familia de curvas características en la superficie, tal que las coordenadas
B > ß C > ß D > : > ß ; >a b a b a b a b a b, a lo largo de la curva y los números estan
relacionados mediante el sistema de cinco ecuaciones dadas en y .a b a b"' ")
Estas cinco ecuaciones diferenciales ordinarias son llamadas ecuaciones
características relativas a la ecuación diferencial parcial .a b"
Supóngase ahora que la superficie está aún por determinar. La discusión
previa nos permite considerar la ecuación diferencial parcial junto cona b"
el sistema de ecuaciones características y como un sistema dea b a b"' ")
seis ecuaciones
Œ  a b
J BßCßDß:ß; œ!ß œJ ß œJ J :
œJ ß œ:J ;J ß œJ J ;
a b .C
.> .>; B D
.:
.B .D
.> .> .>: : ; C D
.; "*
para las cinco funciones desconocidas . Este sistemaB > ß C > ß D > ß : > ß ; >a b a b a b a b a b
es sobredeterminado, sin embargo la primera ecuación J Bß Cß Dß :ß ; œ !a b
no es superflua, y no constituye una restricción. Pues, a lo largo de una
solución de las cinco últimas y mediante la regla de la cadena se sigue
.J .B .D
.> .> .> .> .> .>B C D : ;
.C .: .;
œ J  J  J  J  J œ
.œ J J  J J  :J J  J J  J J :  J J  J J ;  ;J J œ !B : C ; D ; : B : D ; C ; D D ;
Siguiéndose que = constituye una de las cinco ecuacionesJ -98=> integral
restantes.
Es claro entonces que si se satisface en un inicial digamosJ œ ! punto
B ß C ß D ß : ß ; > œ !! ! ! ! ! para , las cinco ecuaciones características determinan
una única solución pasando también por el punto yB > ß C > ß D > ß : > ß ; >a b a b a b a b a b
justo con se satisface para todo .J œ ! >

Una solución de puede ser interpretada como una tira (o franja, oa b"*
cinta). Esto es, un espacio de curvas junto con unaB œ B > ß C œ C > ß D œ D >a b a b a b
familia de planos tangentes determinados por las direcciones .a b:ß ;ß  "
Para fijo, los cinco números se determinan definiendo un> B ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! ! !
elemento de la tira, es decir, un punto de la curva y el correspondiente
plano tangente.
Note que ningún conjunto de cinco funciones puede ser determinado
como una tira. En efecto se requiere que los planos sean tangentes a la
curva, lo cual se da por la condición
.D > .B > .C >
.> .> .>
a b a b a b
œ : >  ; > #!a b a b a b
llamada la En nuestro caso la condición de faja secondición de faja.
garantiza por las primeras cinco ecuaciones características.
Llamaremos a las tiras que son solución de y susa b"* tiras características
curvas correspondientes, .curvas características
TEOREMA 2.1. Si las tiras características tienen un elemento enB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !
común con la superficie integral , entonces se hallanD œ ? Bß Ca b
completamente sobre la superficie.
En efecto, dada una solución , considérense las dos ecuaciones?
diferenciales ordinarias
Œ  a b
.B
.> : B C
.C
.> ; B C
œJ BßCß? BßC ß? BßC ß? BßC
œJ BßCß? BßC ß? BßC ß? BßC
a ba b a b a b
a ba b a b a b
#"
para las variables con condiciones iniciales . PorB > ß C > B ! œ B ß C ! œ Ca b a b a b a b! !
los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales
ordinarias ellas serán unívocamente determinadas por las curvas ,B œ B >a b
C œ C >a b junto con la correspondiente curva sobre la superficie integral
B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C > ##a b a b a b a ba b a b
Además se satisfacen las siguientes ecuaciones
.C .C
.> .> .>B C B : C ;
.B
œ ?  ? œ ? J  ? J #$a b
.?
.> BB : BC ;
B
œ ? J  ? J #%a b
y
.?
.> CB ; CC ;
C
œ ? J  ? J #&a b
donde , y , .? ! œ ? B ß C œ D ß ? ! œ ? B ß C œ : ? œ ? B ß C œ ;a b a b a b a b a b! ! ! B B ! ! ! C C ! ! !
Suponiendo por otro lado que
J Bß Cß ? Bß C ß ? Bß C œ ! #'a b a ba b a bB C
y así
J  J ?  J ?  J ? œ !B ? B ?B BB ?C CB

J  J ?  J ?  J ? œ !C ? C ?B BC ?C CC
por lo tanto las ecuaciones y pueden escribirse en la formaa b a b#$ #%
.?
.> B D B
B
œ  J  J ? #(a b
y
.?
.> C D Cœ  J  J ? #)a b
donde se supone que .? œ ?BC CB
Examinemos ahora las cinco funciones ,B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C >a b a b a ba b a b
: œ ? B > ß C > ; œ ? B > ß C >B Ca b a ba b a b a b a b, . Ellas determinan las tiras características
pues satisfacen las cinco ecuaciones características ya b a b a b a b#" ß ## ß #$ ß #( ß
a b a b#) #', además de la ecuación finita . Y ellas determinan una única tira
característica para el elemento inicial . Pero las tirasB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !
deseadas están sobre la superficie por definir, así el teorema está
probado.
Es claro ahora, que con las consideraciones previas, podemos proceder a
resolver el problema de Cauchy con valor inicial y el auxilio de estas tiras
características.
TEOREMA PROBLEMA DE CAUCHY2.2. ( ). Consideremos la ecuación diferencial
parcial
J Bß Cß Dß :ß ; œ ! #*a b a b
donde tiene segundas derivadas parciales con respecto a sus variablesJ
Bß Cß Dß :ß ; B œ B = ß C œ C = ß. Supongamos que junto con la curva inicial ! !a b a b
! Ÿ = Ÿ " D œ D B ß C ß D, los valores iniciales son asignados por teniendo! ! ! !
segundas derivadas continuas. Supóngase aún que las funciones
contínuamente diferenciables han sido definidas satisfaciendo: = ß ; =! !a b a b
las dos ecuaciones
Œ  a b
J B = ßC = ßD = ß: = ß; = œ!
œ :  ;
a ba b a b a b a b a b! ! ! ! !
.D .B .C! ! !
.= .= .=! !
$!
Finalmente, supóngase que las cinco funciones satisfacen laB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !
condición
.B
.=
!
J B ß C ß D ß : ß ;  J B ß C ß D ß : ß ; Á ! $"; ! ! ! ! ! : ! ! ! ! !
.C
.=a b a b a b!
Entonces en alguna vecindad de la curva inicial existirá una y solamente
una solución de conteniendo la faja inicial, es decir tal queD œ ? Bß C #*a b a b
.D B = ß C = œ D = ß D B = ß C = œ : = ß D B = ß C = œ ; =a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b! ! ! B ! ! ! C ! ! !
DEMOSTRACIÓN. Consideremos el sistema de ecuaciones características
Œ  a b
.B
.> .> .>: ; B B
.C .:
.D
.> .>: ; C B
.;
œJ ß œJ ß œJ :J
œ:J ;J ß œJ ;J
$#
con la familia de condiciones iniciales B œ B = ß C œ C = ß D œ D = ß! ! !a b a b a b
: œ : = ß ; œ ; = >  !! !a b a b para . Del teorema de existencia y unicidad, del
problema de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias,
podemos obtener una familia de soluciones dependiendo del parámetro
inicial =

B œ = ß C œ ] = ß D œ ^ = ß : œ T = ß ; œ U = $$a b a b a b a b a b a b
donde y tienen derivadas continuas con respecto a y a ,ß ] ß ^ß T U = >
y además que satisfacen las condiciones iniciales
=ß ! œ B = ß ] =ß ! œ C = ß ^ =ß ! œ D = ß T =ß ! œ : ß U =ß ! œ ; = $%a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b! ! ! ! !
determinándose así las tiras características surgidas de los elementos
iniciales, debemos demostrar que las curvas características de estas
franjas
B œ =ß > ß C œ ] =ß > ß D œ ^ =ß >a b a b a b
necesariamente forman una superficie. En particular si resolvemos las dos
primeras ecuaciones para y en términos de y , y luego sustituyendo= > B C
en la última, se obtiene la superficie
D œ ^ = Bß C ß > Bß C œ D Bß >a b a ba b a b
como una función de las variables y . Esto se puede dar para algunaB C
vecindad alrededor de cada punto en la curva inicial puestoR ß Ð ß Ña b0 ( 0 (
que, a lo largo de la curva inicial el Jacobiano
` ß]
` =ß> .= .=>œ!
= > .C
= >œ!
.B
; :
a b
a b ¹ º º a bœ œ J  J Á ! $&

] ] >
! !
esto por la condición , dada por hipótesis.a b$$
Tenemos entonces definido, en , las ecuacionesR ßa b0 (
Š ‹ a b
=œ= BßC ß >œ> BßC ß Bœ = BßC ß> BßC ß Cœ] = BßC ß> BßC
Dœ^ = BßC ß> BßC ß :œT = BßC ß> BßC ß ;œU = BßC ß> BßC  
a b a b a b a ba b a b a b a b
a b a b a ba b a b a b a b a b a b
$'
Debemos probar que es una solución de la ecuación diferencialD Bß Ca b
parcial , es decir, de la ecuacióna b#*
J Bß Cß D Bß C ß D Bß C ß D Bß C œ !a ba b a b a bB C
Pero se sabe, que para las tiras características se tiene
J Bß Cß Dß :ß ; œ !a b
sólo nos resta probar que
y,: œ D ß ; œ DB C
Con este objeto consideremos la expresión
Y =ß > œ ^  T  U] $(a b a b= = =
Para > œ !
Y =ß ! œ  :  ; œ !a b .D .B
.= .= .=! !
.C! ! !
por la condición de tira, para los elementos iniciales . Mostremos quea b$!
Y œ ! > para todo , lo cual expresa el hecho, de que las tiras características
quedan suavemente juntas. Para hacer esto, consideremos la derivada de
Y >con respecto a .
`Y
`> => > = => =>œ ^  T  T  U]
œ ^  T  U]  T  U ]  U ]  T `
`= > > > = > = > > = > =a b
œ !  J T  J U  J  J T  J  J U ]: = ; = B D = C D =a b a b
donde hemos usado las ecuaciones características . Tenemos ademása b$#
por adición y sustracción de y luego reagrupando términos tenemosJ JD =
`Y
`> B = C = D = : = ; = D = = =œ J  J ]  J ^  J T  J U  J ^  T  U]a b
œ J  J Y œ  J Y= D D

puesto que en y . Ahora para fijo, la función satisface laJ œ ! = > = Y=
ecuación diferencial ordinaria
.Y
.> Dœ  J Y
cuya solución dada por
Y œ Y ! /a b  J .>'
!
>
D
Puesto que para se sigue que para todo es decir> œ !ß Y œ ! >ß
Z= = =œ T  U]
Observemos ahora las cuatro ecuaciones
Z= = = = B = C =œ T  U] ^ œ ^  ^ ]
.^ œ T  U] ^ œ ^  ^ ]> > > B > C >>
La primera se sigue de la discusión previa, la segunda es justo la tercera
ecuación característica, y las últimas dos por diferenciación de las
identidades .a b$'
Las cuatro cantidades pueden ser consideradas como dosTß Uß ^ ß ^B C
soluciones, para dos ecuaciones lineales en dos variables desconocidas.
Sin embargo, puesto que cerca de el determinantea b0 (ß
º º

] ]
Á != >
= >
en virtud de la ecuación las dos soluciones son necesariamentea b$&
idénticas, es decir;
T =ß > œ ^ B =ß > ß C =ß >a b a ba b a bB
U =ß > œ ^ B =ß > ß C =ß >a b a ba b a bC
0
Š ‹ a b
: BßC œ^ BßC
; BßC œ^ BßC
a b a b
a b a b
B
C
$)
como queríamos demostrar.
Las soluciones contienen la tira inicial. Pues^ œ ^ Bß Ca b
^ B ß C œ ^ B =ß ! ß C =ß ! œ ^ =ß ! œ ^ =a b a b a b a ba b a b! ! !
^ B ß C œ : B ß C œ : B =ß ! ß C =ß ! œ : =ß ! œ : =B ! ! ! ! !a b a b a b a b a ba b a b
^ B ß C œ ; B ß C œ ; B =ß ! ß C =ß ! œ ; =ß ! œ ; =C ! ! ! ! !a b a b a b a b a ba b a b
esto en virtud de las ecuaciones y . Para demostrar quea b a b a b$% ß $' $)
^ œ ^ Bß Ca b así determinado, es única, supongamos que existe otra
solución definida en y contenida en una tira inicial.^ œ ^ Bß C RÐ ß Ñw
a b 0 (
Escojamos un punto arbitrario en y resolviendo para ya bB ß C RÐ ß Ñ = >w w w w
0 (
en las ecuaciones asociadas se tiene
= œ = B ß C > œ > B ß Cw w w w w w
a b a b
Consideremos ahora los elementos iniciales .B = ß C = ß D = ß : = ß ; =! ! ! !
w w w w w
!a b a b a b a b a b
Por lo que se ha supuesto estos elementos están todos colocados sobre la
superficie integral. Así la unicidad de la tira característica determinada,
brinda para estos elementos las ecuaciones
B œ = ß > ß C œ ] = ß > ß D œ ^ = ß > ß : œ T = ß > ß ; œ U = ß >a b a b a b a b a bw w w w w

y es preciso también considerarlas en ambas superficies. Esto es
^ = ß > ß ] = ß > œ ^ = ß > œ ^ = ß > ß ] = ß >w w w w w w
a b a b a ba b a b a b a b
y en particular para tenemos>w
^ B ß C œ ^ = ß > ß ] = ß > œ ^ = ß >w w w w w w w w w w
a b a b a ba b a b
.^ = ß > ß ] = ß > œ ^ B ß Ca b a ba b a bw w w w w w
Note que tan sólo tenemos una única solución construida en una vecindad
RÐ ß Ñ Ð ß Ñ0 ( 0 (alrededor de un punto en la curva inicial.
Debemos tener la solución extendida para incluir la curva completa. Esto
puede darse mediante un recubrimiento apropiado de la curva inicial
formado por vecindades en donde vale la unicidad.RÐ ß Ñ0 (
Supongamos entonces que la región próxima a la curva inicial es aplicada
homeomórficamente sobre alguna de un -plano tal que la curva inicial?ß @
quede aplicada en una porción de la línea . El sistema de> ? œ !
vecindades que tiene por restricción propia, el tamaño deR ?ß @ RÐ ß Ña b 0 (
suponiéndolas circulares. Consideremos ahora un recubrimiento finito W
de por . Esto se puede tener, dado que la curva inicial y también> R ?ß @a b
su imagen son compactas. Las intersecciones de este cubrimiento>
tendrán un diámetro mínimo, digamos . (ver la figura). Supongamos<
ahora cubierta con un segundo recubrimiento de vecindades> X R ?ß @a b
teniendo diámetro máximo de <
# Þ
Este recubrimiento tendrá entonces la propiedad de que lasX
intersecciones de cualquiera de sus vecindades estará completamente
dentro de al menos una de las vecindades del recubrimiento .W
Se consideran las soluciones que han sido construidas por las^ Bß CX a b
vecindades del cubrimiento . Es claro que ellas definirán una soluciónX
del problema de Cauchy para la curva completa. Todo lo que tenemos que
mostrar es que los concuerdan a lo largo de las intersecciones de sus^X
respectivas vecindades. Pero esto es claro por la prueba de unicidad para
las vecindades del primer recubrimiento . Hemos visto anteriormenteW
que podemos resolver el problema de Cauchy con auxilio de una integral
completa. Existe sin embargo otro tipo de soluciones que es también
conveniente para este propósito. A saber, en cada punto en ela bB ß C ß D! ! !
espacio, existe una familia a un parámetro de elementos
B ß C ß D ß : = ß ; =! ! ! ! !a b a b por medio de cada una de las cuales podemos pasar a
las tiras características. Esta familia, a un parámetro de tiras, formará en

general, cierta superficie cónica con una singularidad en el punto
a bB ß C ß D! ! ! , para más detalles ver [2].
§3. METODO DE SOLUCIONES DE LA ECUACION .B .D
T U V
.C
œ œ
3.1. METODO DE LAS PROPORCIONES
Las curvas integrales del conjunto de soluciones de las ecuaciones
diferenciales de la forma
.B .D
T U V
.C
œ œ "a b
donde son funciones definidas en un conjunto abierto ,Tß Uß V § dH $
continuas y diferenciables , dan origen a una familia dea bTß Uß V À Ä dH
curvas a dos parámetros en el espacio tridimensional. Si podemos
obtener de la ecuación dos relaciones de la formaa b"
? Bß Cß D œ - à ? Bß Cß D œ - #" " # #a b a b a b
involucrando dos constantes arbitrarias, entonces variando estas dos
constantes obtenemos una familia a dos parámetros cumpliendo la
ecuación .a b"
En particular, para hallar las funciones y se observa que para? ?" #
cualquier dirección tangencial a través del punto a la superficiea bBß Cß D
? Bß Cß D œ -" "a b se satisface la relación
`? `? `?
`B `C `D
" " "
.B  .C  .D œ !
Si es un adecuado sistema de superficies a un parámetro, la? œ -" "
dirección tangencial a la curva integral a través de cualquier punto a bBß Cß D
es también una dirección tangencial a esta superficie. Por lo tanto
T  U  V œ !`? `? `?
`B `C `D
" " "
Para hallar (y, análogamente experimentamos con un buen número? ? Ñ" #
de funciones y , de tal manera que se cumplaT ß U ß Vw w w
TT  UU  VV œ ! $w w w
a b
y tales que exista una función con la propiedad?"
T œ ß U œ ß V œ %w w w`? `? `?
`B `C `D
" " "
a b
es decir, tal que
T .B  U .C  V .D &w w w
a b
sea una forma diferencial exacta ..?"
EJEMPLO. Hallar las curvas integrales de las ecuaciones
.B .D
C BC +D B BC +D D BC
.C
a b a b a bœ œ 'a b
En este caso tenemos, en la notación anterior
T œ C B  C  +Dß U œ B B  C  +Dß V œ D B  Ca b a b a b
Si por tanteo tomamos
T œ ß U œ ß V œ w w w" "
D D D
BC
#

Entonces la condición es evidentemente verificada y la función de laa b$ ?"
ecuación tomará la formaa b%
? œ"
BC
D
Análogamente si tomamos
T œ Bß U œ  Cß V œ  +w w w
de nuevo la condición se cumple, y la función correspondiente esa b$
? œ B  C  +D#
"
#
# #
a b
Por lo tanto las curvas integrales de la ecuación diferencial son los
miembros de la familia a dos parámetros
B  C œ - Dß B  C  #+D œ - (" #
# #
a b
Otro camino para obtener estas ecuaciones, es haciendo uso de las
propiedades de las razones aritméticas, así la ecuación puedea b'
escribirse en la forma
.B.C
BC
.D
D BCa b a b# œ
Esta es una ecuación diferencial ordinaria en la variables y cuyaB  C D
solución es
B  C œ - D )" a b
Análogamente se pueden hacer combinaciones como ésta
B.BC.C
+ BC D D BC
.D
a b a bœ
la cual es equivalente a
B.B  C.C  +.D œ !
de donde sale de la derivación implicita, que
. B  C  +D œ !ˆ ‰" "
# #
# #
obteniéndose la otra solución
B  C  #+D œ - *# #
# a b
Las ecuaciones y son justamente las mismas de .a b a b a b) * (
3.2 FORMA Y ECUACIONES DE PFAFFIAN
La expresión
! a b
3œ"
8
3 " # 8 3J B ß B ß á ß B .B
donde los son funciones de algunas o todas lasJ 3 œ "ß #ß á ß 8 83 a b
indeterminadas , es llamada .B ß B ß á B" # 8 forma diferencial de Pfaffian
Análogamente la relación
! a b
3œ"
8
3 " # 8 3J B ß B ß á ß B .B œ !
es llamada .ecuación diferencial de Pfaffian
Para el caso de dos variables se tiene, el estudio de las ecuaciones
diferenciones exactas y se conoce el siguiente resultado.

TEOREMA. Una ecuación diferencial de Pfaffian en dos variables siempre
posee un factor integrante.
Los siguientes lemas son de gran utilidad y las pruebas son rutinarias y
fáciles de hacer.
LEMA 1. Una condición necesaria y suficiente para que exista entre dos
funciones y una relación de la forma no? Bß C @ Bß C J ?ß @ œ !a b a b a b
conteniendo explícitamente a o, a es queB C
.` ?ß@
` BßC
B C
B C
a b
a b œ œ !
? ?
@ @º º
LEMA 2. Si es un vector tal que y es una función arbitraria † <9> œ ! .
de entonces .Bß Cß D † <9> œ !a b a b. .
Note que aquí y es el rotacional de . − d <9> $
TEOREMA FUNDAMENTAL. Sea un dominio abierto, una condiciónH § d
8
necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial
! a b
3œ"
8
3 " # 8 3J B ß B ß á ß B .B œ † .< œ !
sea integrable es que . † <9> œ !
Siendo , y , . œ J ß J ß á ß J .< œ .B ß .B ß á ß .B ß J − G Ð Ña b a b" # 8 " # 8 3
"
H
La demostración la hacemos para el caso de tres variables . SeBß Cß D
desprende de esta demostración un método para calcular la solución de
una ecuación diferencial de Pfaffian en tres variables.
BREVES DE LA DEMOSTRACIÓN. La condición necesaria se obtiene de los lemas
anteriores. Para la condición suficiente, considérese constante, en eseD
caso obtenemos la ecuación diferencial
T Bß Cß D .B  U Bß Cß D .C œ !a b a b
que es una ecuación diferencial en dos variables la cual por el teorema de
existencia siempre tiene solución, que será de la forma
? Bß Cß D œ -a b "
donde es una constante dependiente posiblemente de . Así debe- D"
existir una función tal que.
`? `?
`B `Cœ Tß œ U. .
teniéndose estonces que
`? `? `? `?
`B `C `D `D.B  .C  .D  V  .D œ !ˆ ‰.
la cual podemos escribir en la forma
.?  O.D œ !
siendo
O œ V . `?
`D

De la hipótesis se tiene que , así tenemos que † <9> œ !a b
a b a b. . † <9> œ !
Ahora
=. . . . Tß Uß V œ ß ß  O œ f?  !ß !ß Oa b a bŠ ‹`? `? `?
`B `C `D
Por lo tanto
. . † <9> œ ß ß  O † ß  ß ! œ a b Š ‹ Š ‹`? `? `? Ò Ò `? Ò `? Ò
`B `C `D `C `B `B `C `C `B
así se obtiene que
` ?ß5
` BßC
a b
a b œ !
Del lema 1, se sigue que existe una relación entre y independiente de? O
B C D Oy pero no de . En otras palabras, puede ser expresada como una
función de y solamente y de tal forma queO ?ß D ? Da b
`?
`D  O ?ß D œ !a b
es una ecuación diferencial de variable separable cuya solución es dada
por
Fa b?ß D œ -
con constante. Como es función de y tenemos que la solución será- ? B C
J Bß Cß D œ -a b
demostrándose que la ecuación es integrable.T.B  U.C  V.D œ !
EJEMPLO. Verifiquemos que la ecución diferencial
a b a b a bC  CD .B  BD  D .C  C  BC .D œ !# # #
es integrable y halle la solución.
1. :Integrabilidad
<9> C  CDß BD  D ß C  BC œ #C  #B  #Dß #Cß  #Ca b a b# # #
y
a b a bC  CDß BD  D ß C  BC † #C  #B  #Dß #Cß  #C œ !# # #
2. :Cálculo de la solución Si mantenemos constante tenemosD
C C  D .B  D B  D .C œ !a b a b
donde
si y sólo si,.B D .B
BD C CD BD C CD
.C .C
 .C œ !ß   œ !a b
de donde
si y sólo si,P8 B  D  P8 œ P8Gß œ ? Bß C œ -a b a bŠ ‹C
CD CD
C BD
"
a b
Así existe tal que.
implica que, =`? " `? " "
`B T `B C CD CD
C
CD
œ T œ œ. . # #
a b
se sigue entonces que
O œ V  œ   œ !. `?
`D CD
C BC C
CD CD
C BD#
# #
a b a b
a b
luego y como se sigue que o sea donde laO œ ! .?  O.D œ ! .? œ ! ? œ -
solución será
si y sólo si,C BD
CD
a b
œ -ß C B  D œ - C  Da b a b
donde es una constante.-

3.3 METODO DE CHARPIT. Para resolver la ecuación diferencial parcial
0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a b
donde como siempre y , Charpit introduce una segunda: œ ; œ`D `D
`B `C
ecuación diferencial parcial de primer orden
1 Bß Cß Dß :ß ;ß + œ ! #a b a b
la cual contiene una constante arbitraria y tal que,+
a b a b a b+ " #Las ecuaciones y pueden resolverse para dar
: œ : Bß Cß Dß + ß ; œ ; Bß Cß Dß +a b a b
a b, La ecuación
.D œ : Bß Cß Dß + .B  ; Bß Cß Dß + .C $a b a b a b
es integrable.
Cuando tal función ha sido determinada, la solución de la ecuación1 $a b
J Bß Cß Dß +ß , œ !a b
conteniendo dos funciones arbitrarias será la solución de la ecuación+ß ,
a b" . El principal problema entonces es la determinación de la segunda
ecuación , para esto veamos el siguiente lema.a b#
Pero antes se dice que dos ecuaciones diferenciales y0 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b
1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b son cuando toda solución decomparables
0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bes también solución de .
LEMA. Sea y dos ecuaciones diferenciales0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b
de primer orden tales que . Una condición para queN œ Á ! ` 0ß1
` :ß;
a b
a b
0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ ! Ò0ß 1Ó œ !a b a by sean compatibles es que donde
Ò0ß 1Ó œ  :   ; Þ ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1
` Bß: ` Dß: ` Cß; ` Cß;
a b a b a b a b
a b a b a b a b
PRUEBA: Como podemos resolver las ecuacionesN Á !
y0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b
para obtener expresiones explicitas para y dadas por (en una variable): ;
: œ Bß Cß D ; œ Bß Cß D %9 <a b a b a b
Así la compatibilidad de y se reduce a la0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b
solución completa del sistema . En este caso la ecuacióna b%
9 <.B  .C  .D œ !
será integrable. Esta es una ecuación de que es integrable asíPfaffian
a b a b9 < 9 <ß ß  " † <9> ß ß  " œ !
de donde
9 < < 9 < 9a b a b a b    œ !D D B C
que es equivalente a
< 9< 9 <9B D C D œ  &a b
Sustituyendo las ecuaciones en y diferenciandoa b a b% 0 Bß Cß Dß :ß ; œ !
respectivamente con y con obtenemos las ecuacionesB D
0  0  0 œ !B : B ; B9 <
0  0  0 œ !D : D ; D9 <

de las cuales en realidad se deduce
0  0  0   0  œ !B D : B D ; B D9 9 99 < 9<a b a b
Por analogía se puede decir de la ecuación que1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b
1  1  1   1  œ !B D : B D ; B D9 9 99 < 9<a b a b
Resolviendo estas ecuaciones, hallamos que
< 9< 9B D
"
N ` Bß: ` Dß:
` 0ß1 ` 0ß1
 œ  'š › a ba b a b
a b a b
Si hubieramos diferenciado las ecuaciones dadas con respecto a y aC D
habríamos obtenido
9 <9 <C D
"
N ` Cß; ` Dß;
` 0<ß1 ` 0ß1
 œ  (š › a ba b a b
a b a b
así, restando las ecuaciones y usando la ecuación ya b a b a b' ( ß &
reemplazando por , respectivamente se obtiene la condición9 <ß :ß ;
Ò0ß 1Ó œ !
donde
Ò0ß 1Ó œ  :   ; ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1
` Bß: ` Dß: ` Cß: ` Dß;
a b a b a b a b
a b a b a b a b
teniéndose que la condición para que y0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b
sean compatibles es que .Ò0ß 1Ó œ !
Regresando al método de Charpit para hallar la solución de
1 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 0 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bla cual debe ser compatible con y como
Ò0ß 1Ó œ ! N Á !, siempre y cuando , entonces obtenemos la ecuación
diferencial
0  0  :0  ;0  0  :0  0  ;0 œ !: ; : ; B D C D
`1 `1 `1 `1 `1
`B `C `D `: `;a b a b a b
para la determinación de . Nuestro problema entonces es hallar una1
solución de esta ecuación, tan simple como sea posible, envolviendo una
constante arbitraria , y ésta se hace hallando la integral de las ecuaciones+
características de Cauchy (ver § )#
.B .D
0 0 :0 ;0  0 :0  0 ;0
.C .: .;
: ; : ; B D C D
œ œ œ œ )a b a b a b
Sin embargo las ecuaciones son conocidas como las ecuaciones dea b)
Charpit o ecuaciones auxiliares.
Una vez la integral está determinada, el problema se reduce a1 Bß Cß Dß :ß ;a b
resolver para y las ecuaciones: ;
: œ : Bß Cß Dß + ß ; œ ; Bß Cß Dß +a b a b
y luego integrando se obtiene la solución deseada.
EJEMPLO: Hallar la integral de la ecuación
: B  ; C œ D *# #
a b
Las ecuaciones auxiliares son
.B .D
#:B #;C # : B; C  0 :0  0 ;0
.C .: .;
œ œ œ œa b a b a b# #
B D C D
que por métodos elementales de proporciones se reduce a
: .B#:B.:
: B ; C
; .C#;C.;#
# #
#
œ
que por la teoría de ecuaciones ordinarias nos da

si y sólo si ,P8 : B œ P8 +; Cß : B œ +; C "!a b a b# # # #
donde es una constante. Resolviendo y para y se obtiene+ * "! : ;a b a b
: œ ß ; œš › š ›+D D
"+ B "+ Ca b a b
" "
# #
así la ecuación llega a ser en este caso.D œ : Bß Cß Dß + .B  ; Bß Cß Dß + .Ca b a b
ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹"+ + "
D B C
"
#
"
#
.D œ .B  .C
cuya solución es
{ }a b a b"  + D œ +B  C  ,
" "
# #
"
#
la cual es la solución completa del problema.
3.4. MÉTODO DE JACOBI.
Para resolver la ecuación diferencial parcial
J Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a b
donde y dependiendo del hecho de que si es: œ ; œ ? Bß Cß D œ !`D `D
`B `C a b
una relación entre y entoncesBß Cß ß D
: œ  ß ; œ  #? ?
? ?
" #
$ $
a b
donde,
denota? 3 œ "ß # $3
`?
`B3
a b a b
Si sustituímos las ecuaciones en obtenemos una ecuacióna b a b# "
diferencial parcial del tipo
0 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ ! %a b a b" # $
en la cual la nueva variable dependiente no aparece.?
La idea fundamental del método de Jacobi es la introducción de dos
ecuaciones diferenciales de primer orden
1 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? ß + œ !ß 2 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? ß , œ ! &a b a b a b" # $ " # $
involucrando dos constantes y de tal manera que+ ,
a b a b a b+ % & ? ß ? ß ?Las ecuaciones y pueden resolverse para " $#
a b, La ecuación
.? œ ? .B  ? .C  ? .D '" # $ a b
obtenida para estos valores , sea integrable.? ß ? ß ?" # $
Cuando estas funciones pueden ser determinadas, la solución de la
ecuación contiene tres constantes arbitrarias y será la solucióna b'
completa de .a b%
Como en el método de Charpit, la dificultad radica en la determinación de
las ecuaciones auxiliares . Tenemos, en efecto, que hallar dosa b&
ecuaciones que sean compatibles con . Es un ejercicio muy fácil peroa b%
laborioso mostrar que y0 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ ! 1 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ !a b a b" # $ " # $
son compatibles si
` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1
` Bß? ` Cß? ` Dß?
a b a b a b
a b a b a b" # $
  œ !
Ahora y tendrán su solución dada por la ecuación diferencial parcial1 2
siguiente:

0  0  0  0  0  0 œ ! (? ? ? B C D
`1 `1 `1 `1 `1 `1
`B `C `D `? `? `?" # $ " # $
a b
que tiene por ecuaciones características de Cauchy a
.B .D
0 0 0 0 0 0
.C .? .? .?
? ? ? B C D" # $
" # $
œ œ œ œ œ )a b
Se procede entonces como en el método de Charpit.
EJEMPLO: Para ilustrar el método consideremos el siguiente problema.
Determinar una solución para la ecuación diferencial parcial del tipo
0 Bß ß œ 1 Cß ßˆ ‰ Š ‹`? `? `? `?
`B `D `C `D
y aplicar el método para hallar la integral completa de la ecuación
#B C œ B  #C# #`? `? `? `?
`B `D `C `B
# #
ˆ ‰ ˆ ‰
Sea y, y tenemos por otra parte`? `? `?
`B `C `D" # $œ ? ß œ ? ß œ ?
0 Bß ? ß ? œ 1 Cß ? ß ?a b a b" $ # $
esto nos conduce a
0 Bß ? ß ?  1 Cß ? ß ? œ J Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ !a b a b a b" $ # $ " # $
según el método de Jacobi se tiene
.B .D
J J J J J J J
.C .? .? .? .?
? ? ? B C C D" # $
" # $ $
œ œ œ œ œ œ
Pero
.J œ 0 ß J œ  1 ß J œ 0  1 ß J œ 0 ß J œ  1 ß J œ !? ? ? ? ? ? ? B B C C D" " # # $ $ $
Por lo tanto la solución general saldría de resolver las siguientes
ecuaciones características
.B .D
0 1 0 1 0 1
.C .? .?
? ? ? ? B C" # $ $
" #
œ œ œ œ
Ahora para el caso particular se tendría
#B C? ?  #C? œ B ?# # # #
" "$ #
o en forma equivalente
, si y sólo si ,#B ? ?  #? œ B #? ?  œ# # # # #
" " "$ $
? ?
C B C
"# #
#
˜ ™
aquí
y0 Bß ? ß ? œ #? ?  1 Cß ? ß ? œa b a b˜ ™" $ $ # $"
# "
B C
?
#
#
así la solución saldría de considerar la ecuación a b)
.B .D
%? ? B C C ?
.C
#? ! %? B
.? .?
" $ #
# " #
" "
# #
" #
$e f œ œ œ œ
De la segunda y de la última tenemos
, si y sólo si ,C.C œ œC .? .C
? C ?
.?#
#
# #
#
de donde ; ahora tomando la primera y la cuarta se tiene+C œ ?#
, si y sólo si ,.B .B
%? ? B ? B ? B
.? .?
%? B" $ $ "
# $ $
" "
"
# $a b œ œ *a b
por otra parte de la ecuación dada, tendremos
, si y sólo si ,#? ?  B œ + ?  B œ"
# # #
$ $
+
#?
e f
"
#
por consiguiente sustituyendo en obtenemosa b*
, si y sólo si,
#? .B
+ ? + B
B .? .?# .B
?
" " "
# $
"
$
"
$œ  œ !
integrando obtenemos de donde sale que B  ? œ  ," "
+ #
# # "
"

? œ"
+, B
# +B ,
É È #
Por otra parte de la ecuación dada despejamon obteniendo?$
? œ$
+B #?
#B ?
# #
"
# #
"
Pero también sabemos que , si y sólo si , esto" " " +
#? +B , ,
+B #?
#? B"
#
# #
"
"
# # œ œ
significa que .? œ$
+
,
Por la ecuación del método de Jacobi se sabe quea b,
.? œ  +C.C  .DÉ+, B.B +
# ,+B ,È #
integrando ordenadamente obtenemos: .É a b, + +
#+ , ,
# #
+B  ,  C  D  - œ ?
"
#
La ventaja del método de Jacobi es que puede generalizarse. Si tenemos
una ecuación del tipo
0 B ß B ß á ß B ß ? ß á ß ? œ !" " # 8 " 8a b
donde denota entonces hallamos funciones? 3 œ "ß #ß á ß 8 8  "3
`?
`B3
a b
auxiliares con ecuaciones subsidiarias0 ß 0 ß á ß 0# $ 8
.B .B .? .?
0 0 0 0 0 0
.B .?" # " #
? ? ? B B B" # " #
8 8
8 8
œ œ â œ œ œ œ â œ
envolviendo constantes arbitrarias. Resolviendo éstas para8  "
? ß ? ß á ß ? ?" # 8 determinamos por integración de la ecuación de Pfaffian
.? œ ? .B!
3œ"
_
3 3
la solución así obtenida contiene constantes arbitrarias.8
§ .4 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
En los parágrafos anteriores consideramos la solución de una ecuación
diferencial parcial de primer orden. Ahora procedemos a discutir las
ecuaciones deferenciales parciales de segundo orden.
4.1. EL ORIGEN DE LA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN.
Supóngase que la función está dada por una expresión del tipoD
D œ 0 ?  1 @  A "a b a b a b
donde y son funciones arbitrarias de y , respectivamente, y , , y0 1 ? @ ? @ A
son funciones respectivamente de y de . Entonces escribiendoB C
: œ ß ; œ ß < œ ß = œ ß > œ #`D `D ` D ` D ` D
`B `C `B `B`C `C
# # #
# # a b
diferenciando ambos lados de con respecto a y a , hallamos quea b" B C
: œ 0 ? ?  1 @ @  Aw w
B B Ba b a b
; œ 0 ? ?  1 @ @  Aw w
C C Ca b a b
y de aquí se sigue que
< œ 0 ? ?  1 @ @  0 ? ?  1 @ @  Aww # ww # w w
B B BB BB BBa b a b a b a b

= œ 0 ? ? ?  1 @ @ @  0 ? ?  1 @ @  Aww ww w w
B C B C BC BC BCa b a b a b a b
> œ 0 ? ?  1 @ @  0 ? ?  1 @ @  Aww # ww # w w
C C CC CC CCa b a b a b a b
Ahora tenemos cinco ecuaciones involucrando cuatro funciones
arbitrarias, . Si eliminamos estas cuatro cantidades de las cinco0 ß 0 ß 1 ß 1w ww w ww
ecuaciones obtenemos
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
a b
:  A ? @ ! !
;  A ? @ ! !
<  A ? @ ? @
=  A ? @ ? ? @ @
>  A ? @ ? @
œ ! $
B B B
C C C
BB BB B B
# #
BC BC BC B C B C
CC CC CC C C
# #
BB
la cual envuelve solamente las derivadas y funciones:ß ;ß <ß =ß >
dependientes de e . Es por lo tanto una ecuación diferencial parcial deB C
segundo orden. Además si expandemos el determinante en el lado
izquierdo de la ecuación en términos de la primera columna,a b$
obtenemos una ecuación de la forma
V<  W=  X>  T:  U; œ [ %a b
donde son funciones conocidas de e . Por lo tanto laVß Wß Xß Tß Uß [ B C
relación es solución de la ecuación diferencial parcial lineal de segundoa b"
orden . Notamos que la ecuación es de un tipo particular: La variablea b a b% %
D no interviene en ella. Como ejemplo del procedimiento del último
parágrafo, suponemos que
D œ 0 B  +C  1 B  +C &a b a b a b
donde y son funciones arbitrarias y es una constante.0 1 +
Si diferenciamos dos veces con respecto a obtenemos la relacióna b& B
< œ 0  1ww ww
mientras que si derivamos dos veces con respecto a , obtenemos laC
relación
> œ + 0  + 1# ww # ww
así que las funciones las cuales pueden ser expresadas en la formaD &a b
deben satisfacer la ecuación diferencial parcial
> œ + < '#
a b
Métodos análogos se aplican en el caso de ecuaciones de mayor orden. Es
fácilmente demostrable que cualquier relación del tipo
D œ 0 @ (! a b a b
<œ"
8
< <
donde las funciones son arbitrarias y las funciones son conocidas, y0 @< <
conduce a una ecuación diferencial parcial lineal de orden . Las8
ecuaciones diferenciales parciales que consideramos en esta sección son
ecuaciones lineales.
4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES
CON COEFICIENTES CONSTANTES:

Consideremos ahora la solución de un tipo especial de ecuación
diferencial parcial lineal con coeficientes constantes. Para tales ecuaciones
utilizamos la siguiente notación
J Hß H D œ 0 Bß C "a b a b a bw
donde denota un operador diferencial del tipoJ Hß Ha bw
J Hß H œ - H H #a b a b a b!!w < w
< =
<=
=
en donde las cantidades son constantes y .- H œ ß H œ<=
` `
`B `C
w
La solución más general, es decir, conteniendo el número correcto de
elementos arbitrarios, de la correspondiente ecuación diferencial
homogénea
J Hß H D œ ! $a b a bw
es llamada de la ecuación , justo como en lala función complementaria a b"
teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Análogamente alguna
solución de la ecuación es llamada . Como en laa b" solución particular
teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias el siguiente resultado es
básico.
TEOREMA 4.1. Si es la función complementaria y una integral particular? D"
de la ecuación diferencial parcial , entonces es la solución generala b" ?  D"
de la ecuación .a b"
La demostración de este teorema es obvia, puesto que las ecuaciones ya b"
a b$ ?  Dson de la misma clase, así la solución contendrá el número"
correcto de elementos arbitrarios. También
J Hß H ? œ !ß J Hß H D œ 0 Bß Ca b a b a bw w
"
Así que
J Hß H ?  J Hß H D œ J Hß H ?  D œ 0 Bß Ca b a b a ba b a bw w w
" "
demostrando que es en efecto, una solución de la ecuación . Esto?  D "" a b
completa la demostración.
Otro resultado que es usado intensamente en la solución de estas
ecuaciones es el siguiente:
TEOREMA 4.2. Si son soluciones de la ecuación diferencial? ß ? ß á ß ?" # 8
parcial homogénea , entonces donde es unaJ Hß H œ ! - ? ?a b !w
<œ"
8
< < <
constante arbitraria para todo , es también solución< œ "ß #ß á ß 8 .
La demostración de este teorema es inmediata puesto que
J Hß H - @ œ - J Hß H @a ba b a bw w
< < < <
y
J Hß H @ œ J Hß H @a b a b! !w w
<œ" <œ"
8 8
< <
para cualquier conjunto de funciones . Además@<
J Hß H - @ œ J Hß H - @ œ - J Hß H @ œ !a b a ba b a b! ! !w w w
<œ" <œ" <œ"
8 8 8
< < < < < <

Clasificamos el operador diferencial lineal en dos tipos especialesJ Hß Ha bw
que trataremos separadamente. Decimos que:
a b a b+ J Hß Hw
es reducible si no puede escribirse como el producto de
factores lineales de la forma , donde son constantesH  +H  , +ß ,w
a b a b a b, J Hß H +w
es irreducible si no puede escribirse en la forma dada en .
Por ejemplo el operador puede ser escrito en laH  H œ # w # ` `
`B `Ca b
# #
# #
forma y se dice que es , mientras quea ba bH  H H  Hw w
reducible
H  H œ # w # ` `
`B `Ca b
# #
# # no puede ser descompuesto en factores y en ese
caso se dice .irreducible
a b+ : El punto de partida de la teoría de ecuacionesECUACIONES REDUCIBLES
reducibles es el siguiente resultado:
TEOREMA 4.3. Si el operador es reducible, el orden en que losJ Hß Ha bw
factores lineales ocurren no es importante (conmutatividad)
PRUEBA: Basta con mostrar que
a ba b a ba b! " # ! " # ! " # ! " #< < < = = = = = = < < <
w w w w
H  H  H  H  œ H  H  H  H  a b%
œ ! ! ! " ! " " " # ! # ! # " # " # #< = = < < = < = = < < = = < < = < =
# w w w#
H   HH  H   H   H a b a b a b a b
Así cualquier operador reducible puede escribirse en la forma
J Hß H œa bw
<œ"
8
# a b a b! " #< < <
w
H  H  &
TEOREMA 4.4. Si ! " # 9 0< < < <
w w
H  H  J Hß Hes un factor de y es unaa b a b
función arbitraria de la variable simple entonces si0 !< Á !
? œ /B:  B  C< < < <
B
Š ‹ a b#
!
<
<
9 " !
es solución de la ecuación .J Hß H œ !a bw
PRUEBA: Por diferenciación directa tenemos
H? œ  ?  /B:  B  C< < < < <
B w# #
! !
< <
< <
" 9 " !Š ‹ a b
a b a bŠ ‹H ? œ  /B:  B  Cw w
< < < <
B
! 9 " !#
!
<
<
así que
a b a b! " #< < < <
w
H  H  ? œ ! '
Ahora por el teorema 4.3
J Hß H ? œ H  H  H  H  ? (a b a b a b a bœ 
w w w
< = = = < < < <
=œ"
8
# ! " # ! " #
El factor que sigue al producto correspondiente al , que está omitido= œ <
en el producto de se obtiene que es cero, obteniendo el resultado.à ' (a b a b
Usando el mismo método se puede demostrar el siguiente resultado
TEOREMA 4.5. Si es un factor de y es una función" # 9 0< < <
w w
H  J Hß Ha b a b
arbitraria del simple valor , entonces0 "< Á !
? œ /B:  B< < <
C
Š ‹ a b#
"
<
<
9 "

es una solución de la ecuación .J Hß H D œ !a bw
En la descomposición de en factores lineales podemos obtenerJ Hß Ha bw
factores con multiplicidad del tipo
a b a b! " #< < <
w 8
H  H  )
La solución correspondiente a este factor puede ser obtenida por la
aplicación repetida de los teoremas 4.4 y 4.5. Por ejemplo, si 8 œ #
debemos hallar soluciones de la ecuación
a b! " #< < <
w #
H  H  D œ !
Si hacemos = , entonces< ! " #a b< < <
w
H  H  D
a b! " # << < <
w
H  H  œ !
de acuerdo con el teorema 4.4 tenemos por solución, si !< Á !
.< 9 " !œ /B:  B  CŠ ‹ a b#
!
<
<
B
< < <
Para hallar la solución correspondiente a tenemos por lo tanto queD
resolver la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden siguiente:
! " # 9 " !< < < < < <
`D `D
`B `C
 BÎ
  D œ / B  C# !< <
a b a b*
usando los métodos del §3 vemos que las ecuaciones características son
.B .D.C
 D/ B C! " # 9 " !< < < < < <
 BÎ< <
œ œ # ! a b
con solución para las dos primeras dada por
" !< < "B  C œ -
Sustituyendo tenemos
.B .D
 D/ -! # 9< < < "
 BÎ< <
œ # ! a b
que es una ecuación lineal de primer orden con solución
D œ - B  - /"
< " #
 BÎ
!
# !
<
< <
e fa b9
La ecuación , y también la ecuación tiene por solucióna b a b* )
D œ B B  C  B  C /e fa b a b9 " ! < " !< < < < < <
 BÎ# !< <
donde las funciones son arbitrarias.9 << <ß
Este resultado es en realidad generalizado por
TEOREMA 4.6. Si es un factor de y si lasa b a b a b! " #< < <
w
H  H  8
<
w
! Á ! J Hß H
funciones son arbitrarias; entonces9 9 9< < <" # 8
ß ß á ß
/B:  B B  CŠ ‹! a b#
!
<
<
B
=œ"
8
="
<= < <9 " !
es una solución de .J Hß H œ !a bw
Una generalización del teorema 4.5 es dada en el siguiente resultado:
TEOREMA 4.7. Si es un factor de y si las funcionesa b a b" #< <
w w7
H  J Hß H
9 9 9<" <# <7ß ß á ß son funciones arbitrarias entonces
/B:  B BŠ ‹! a b#
"
<
<
C
=œ"
7
="
<= <=9 "
es una solución de .J Hß H D œ !a bw

Estamos ahora en posición de expresar la función complementaria de la
ecuación cuando el operador es reducible. Como un resultadoa b a b" J Hß Hw
de los teoremas 4.4 y 4.6 vemos que
J Hß H œ H  H  "!a b a b a bw w
<œ"
8
< < <
7# ! " # <
y si ninguno de los es cero, entonces la correspondiente función!<
complementaria es
? œ  B B  C ""! !Š ‹ a b a b
<œ" =œ"
=
B
7
="
<= < <exp #
!
<
<
<
9 " !
donde las funciones son arbitrarias. Si9<= <a b= œ "ß á ß 8 à < œ "ß #ß á ß 8
algunos de los son ceros, la modificación de la expresión puede ser! a b""
por medio de los teoremas 4.5 y 4.7. De la ecuación vemos que ela b"!
orden de la ecuación es puesto que la solución dea b a b$ 7 ß 7 ß á ß 7 """ # 8
tiene el mismo número de funciones complementarias. Para ilustrar el
procedimiento consideremos un caso particular.
EJEMPLO: Resolver la ecuación
` D ` D ` D
`B `C `B `C
% % %
% % # # œ #
En la notación de esta sección, esta ecuación puede ser escrita en la forma
a b a bH  H H  H D œ !w w# #
Así que por la ecuación la solución esa b""
.D œ B B  C  B  C  B B  C  B  C9 9 < <" # " #a b a b a b a b
Habiendo hallado la función complementaria de necesitamosa b"
solamente hallar una solución particular para la solución completa. Esto es
hallar por un método similar al que empleamos en la demostración del
teorema 4.6 si escribimos
D œ H  H  D "#" < < <
<œ#
8
w#a b a b! " #
entonces la ecuación es equivalente a la ecuación lineal de primera b"
orden
! " #" " " "
`D `D
`B `C
" "
  D œ 0 Bß Ca b
una integral particular, de esta ecuación, podemos calcularla fácilmente
por el método de Lagrange. Sustituyendo valores particulares de enD"
a b"# 8  ", obtenemos una ecuación casi homogénea de orden . Repitiendo
el proceso, fácilmente llegamos a una ecuación de primer orden para .D
Para ilustrar el proceso consideremos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO: Hallar la solución de la ecuación
` D ` D
`B `C
# #
# # œ B  C
Esta ecuación puede ser escrita en la forma
a ba bH  H H  H D œ B  Cw w
aquí la función complementaria es

9 9" #a b a bB  C  B  C
donde y son arbitrarias. Para determinar una integral particular9 9" #
escribimos
D œ H  H D "$"
w
a b a b
entonces la ecuación para esD"
a bH  H D œ B  Cw
"
que es una ecuación de primer orden con solución
D œ B  C  0 B  C"
"
%
#
a b a b
donde es arbitraria. Puesto que estamos buscando solamente una0
integral particular, podemos tomar . Sustituyendo estos valores de0 œ ! D "
en hallamos que la solución de la integral particular esa b"$
`D `D "
`B `C %
#
 œ B  Ca b
que tiene por solución en la cual es arbitraria.D œ B B  C  0 B  C 0"
%
#
a b a b
Tomando obtenemos la integral particular0 œ !
D œ B B  C"
%
#
a b
Aquí la solución general de la ecuación puede ser escrita en la forma
D œ B B  C  B  C  B  C"
%
#
" #a b a b a b9 9
donde las funciones y son funciones arbitrarias.9 9" #
a b a b, J Hß H. Cuando el operador es irreducible noECUACIONES IRREDUCIBLES w
siempre es posible hallar una solución con el número completo de
funciones arbitrarias, pero es posible construir una solución con algún
número de constantes como deseamos. El método para obtener tales
soluciones depende de un teorema que vamos a probar en seguida. Este
teorema es verdadero tanto para operadores reducibles como operadores
irreducibles, pero es en el caso de irreducibilidad que lo utilizamos.
TEOREMA 4.8. J Hß H / œ J +ß , /a b a bw +B,C +B,C
DEMOSTRACIÓN. La demostración de este teorema se sigue del hecho que
J Hß H - H Ha b a bw < w
<=
=
puede ser descompuesto en términos de la forma y
,H / œ + / H / œ , /< +B,C < +B,C w +B,C = +B,C=ˆ ‰ ˆ ‰a b
así que
a ba b ˆ ‰- H H / œ - + , /<= <=
< w +B,C < = +B,C=
Un resultado análogo que es usado en la determinación de la integral
particular es:
TEOREMA 4.9. J Hß H / Bß C œ / J H  +ß H  , Bß Ca b a b a b a ba b ˜ ™w +B,C +B,C w
9 9
DEMOSTRACIÓN. Se hace directamente utilizando el torema de Leibnitz para
la -ésima derivada de un producto<
H / œ - H / H< +B < +B <
œ!
<
a b a ba b!9 9
3
3
3 3

œ / - + H œ / H  ++B < < +B
œ!
<
<
 
! a b
3
3
3 3
9 9
Para determinar la función complementaria de una ecuación del tipo
J Hß H D œ 0 Bß C J Hß Ha b a b a bw w
dividimos el operador en factores. Los factores
reducibles son tratados por el método dado en . Los factoresa b+
irreducibles son tratados como sigue: Por el teorema 4.8 vemos que /+B,C
es una solución de la ecuación
J Hß H D œ ! "%a b a bw
probando que así queJ +ß , œ !a b
D œ - + B  , C "&! a b a b
<
< < <exp
en donde son todas constantes, es también una solución teniendo+ ß , ß -< < <
cuidado de que estén conectados por la relación+ ß ,< <
J + ß , œ ! "'a b a b< <
En esta forma podemos construir una solución de la ecuación
homogénea , conteniendo tantas constantes arbitrarias comoa b"%
necesarias. La serie no necesariamente es finita, pero si se tiene esto,a b"&
es una solución de . La discusión de la convergencia de tal serie esa b"%
una dificultad, envolviendo como constante a las parejas y los- + ß ,< < <a b
valores de las variables e .B C
EJEMPLO. Demostrar que la ecuación
` D " `D
`B 5 `>
#
# œ
posee soluciones de la forma
! a b
8œ"
_
8 8
58 >
- 8B  /cos %
#
Esto se sigue inmediatamente del hecho que es una solución/+B,C
solamente si y esta relación se satisface si tomamos+ œ ,Î5#
.+ œ „ 38ß , œ  58#
Para hallar la integral particular de la ecuación J Hß H D œ 0 Bß Ca b a bw
escribimos simbólicamente como
D œ 0 Bß C "("
J HßHa bw a b a b
Podemos a menudo expandir el operador por medio del teorema delJ"
binomio y entonces interpretar el operador como integrales.H ß H" w "
a b
EJEMPLO. Hallar una integral particular de la ecuación a bH  H D œ #C  B# w #
PRUEBA. Ponemos la ecuación en la forma .D œ #C  B"
H H
#
# w a b
Ahora podemos escribir
" H " " H H
H H H H H
"
H H
# w w w w
# # %
w # $wœ  "  œ     âŠ ‹ a b ˆ ‰
D œ  #C  B  #C  B œ  C  BC  # œ B C" " "
H H
# # # #
Hw ww #a b a b a ba b a b
Cuando es hecha en términos de la forma obtenemos0 Bß C +B  ,Ca b a bexp

una integral particular de la forma excepto si se tiene"
J +ß,a b expa b+B  ,C
J +ß , œ !a b .
EJEMPLO. Hallar la solución particular de la ecuación
` D `D
`B `C
#BC#
#  œ /
SOLUCIÓN. En este caso , y así queJ Hß H œ H  H + œ #ß , œ "ß J +ß , œ $a b a bw # w
y la integral particular es
."
#
#BC
/
En el caso cuando es frecuente aplicar el teorema 4.9. Si seJ +ß , œ !a b
tiene que resolver
J Hß H D œ -/a bw +B,C
donde es una constante, conjeturamos que la solución es-
D œ A/+B,B
entonces por el teorema 4.9 tenemos
J H  +ß H  , A œ - ")a b a bw
y es con frecuencia posible obtener una integral particular de esta
ecuación
EJEMPLO. Hallemos una integral particular para la ecuación
a bH  H D œ /# w BC
SOLUCIÓN. En este caso y DeJ Hß H œ H  H ß + œ "ß , œ " J +ß , œ !Þa b a bw # w
cualquier forma
J H  +ß H  , œ H  "  H  " œ H  #H  Ha b a b a bw w w#
y de la ecuación se recibe quea b")
a bH  #H  H A œ "# w
de donde se tiene que las integrales particulares son y . Así"
# B  C
"
#
BC BC
B/  C/y son las soluciones particulares de la ecuación original.
Cuando la función es de la forma de una función trigonométrica es posible
hacer uso de al menos dos métodos, expresándola como una combinación
de funciones exponenciales con exponenciales imaginarias, pero es con
frecuencia más simple, usando el método de los coeficientes
indeterminados.
EJEMPLO. Hallar una integral particular de la ecuación
a b a bH  H D œ E 6B  7C# w
cos
donde son constantes.Eß 6ß 7
SOLUCIÓN: Para hallar una integral particular, conjeturamos que es de la
forma
D œ - 6B  7C  - 6B  7C" #cos sina b a b
y sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuación original e igualando los
coeficientes se obtiene el sistema
7-  6 - œ !" #
#

 6 -  7- œ E#
" #
para la determinación de y se sigue que- -" #
- œ œ ß - œ œ" #
! 6
E 7 6 E
7 6
6 7
E6 7E
7 6 7 6 7 6
7 !
º º º º
º º
#
#
#
#
# % # % # %
#
En esta forma la integral principal será
D œ 7 6B  7  6 6B  7CE
7 6
#
# % c da b a bsin cos
§5. APLICACIONES A LA FÍSICA
5.1. ECUACION DE PRIMER ORDEN.
Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, tienen su
aplicación en física matemática, en la ecuación de Hamilton-Jacobi
`W `W `W `W
`> `; `; `;" # 8œ L ; ß ; ß á ß ; ß ß ß âß œ ! "Š ‹ a b" # 8
asignada al Hamiltoniano de un sistemaL ; ß ; ß á ß ; : ß : ß á ß :a b" # 8à " # 8
dinámico de generalizadas y el momento conjugado8 ; ß ; ß á ß ;" # 8
: ß : ß á ß : W" # 8. Esta es una ecuación en la cual la variable que depende de
está ausente, vemos que las ecuaciones características están dadas por
.>
" `LÎ`: `LÎ`:  `LÎ`;  `LÎ`;
.; .; .: .:
œ œ â œ œ œ â œ #" 8 " 8
" 8 " 8a b a b a b
es decir, ellas son equivalentes a las ecuaciones Hamiltonianas del
movimiento
.; .:
.> `: .> `;
`L `L3 3
3 3
œ ß œ  3 œ "ß #ß á ß 8 $a b
Una forma modificada de la ecuación se obtiene escribiendoa b"
W œ  [>  W"
entonces hallamos que
L ; ß ; ß á ß ; à ß á ß œ [ %Š ‹ a b" # 8
`W `W
`; `;
" "
" 8
Suponiendo, por ejemplo, que un sistema con segundo orden de libertad,
tiene Hamiltoniano
L œ  &
T : U;
# ] ]

# #
B C
a b
0 (
a b
donde , , son funciones de solamente son funcionesT Bß Cà Uß ] ß0 (
solamente de . Entonces la ecuación llega a serC %a b
"
# B Ca b a b a bT:  U;    [  ] œ !0 (
Entonces una de las ecuaciones características toma la forma
.B
T :
.:
T :  [B
B
"
#
w w w
B
 œ !0
tiene por solución
: œ # [   +B e fa b0
"
#
donde es una constante arbitraria. Análogamente podemos demostrar+
que
; œ # []   ,C e fa b(
"
#

donde es una constante arbitraria, teniendo la misma propiedad. Así,
puesto que es una función de solamente, y es función de: B ; CB C
solamente, tenemos
W œ  [>  # [   + .B  # []   , .C' 'e f e fa b a b0 (
" "
# #
demostrando que una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi puede
ser algunas veces determinada de un Hamiltoniano de la forma .a b&
Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden también surgen
frecuentemente en la teoría de procesos de probabilidad. Una tal ecuación
es la ecuación de Fokker-Planck dada por
`T ` ` T
`> `B `Bœ TB  H '" a b a b
#
#
en el caso particular se tiene la ecuación diferencial parcial;H œ !ß
`T `T
`> `Bœ B  T" "
La interpretación física de las variables en esta ecuación; la probabilidadT
de que una variable casual tome el valor en el tiempo . Por ejemploB > T
puede ser la distribución de probabilidad de la posición de una partícula
en el movimiento Browniano limitado armónicamente (o armónico limitado
) o la distribución de probabilidad de retención del sonido de una señalB
eléctrica en un tiempo . Observamos que la ecuación es válida> 'a b
solamente si la ventaja del proceso tiene una distribución Gaussiana y es
un proceso de Markoff. Probablemente la más importante ocurrencia de
las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, es en la teoría de
nacimientos y procesos de muerte conectada con bacterias. Supóngase,
por ejemplo, que en un tiempo hay exactamente bacterias vivas y que> 8
a b a b+ >ß >  > >La probabilidad de bacterias moribundas en un tiempo es$ . $8
a b a b, >ß >  > >La probabilidad de reprodución bacterial en un tiempo es$ - $8
a b- La probabilidad de número de bacterias permaneciendo constantes en
un tiempo esa b a b>ß >  > "  >  >$ - $ . $8 8
a b. La probabilidad de que algunas nazcan o mueran ocurriendo en el
tiempo es cero.a b>ß >  >$
Si suponemos que es la probabilidad de que se tengan bacterias enT > 88a b
un tiempo , entonces esta suposición nos lleva a la ecuación>
T >  > œ T > >  T > >  "  >  > T >8 8" 8" 8" 8" 8 8 8a b a b a b e f a b$ - $ . $ - $ . $
la cual es equivalente a
`T
`> 8" 8" 8" 8" 8 8 8
8
œ T >  T >   T > )- . - .a b a b a b a b a b
En el caso general dependerán de y ; si suponemos que la- .8 8ß 8 >
posibilidad de la natalidad bacteriológica es proporcional al número
presente, escribimos
- - . .8 8œ 8 ß œ 8 *a b
donde y son constantes y la ecuación se reduce a- . a b)
`T
`> 8" 8 8"
8
œ 8  " T >   8T >  8  " T >- - . .a b a b a b a b a b a b
y si inducimos una función generada definida por la relaciónFa bDß >
Fa b a b!Dß > œ T > D
8œ!
_
8
8

Vemos que esta última ecuación es equivalente a la ecuación lineal de
primer orden
` `
> `D
F F
F œ D  " D a ba b- .
cuya solución es demostrada por el lector y se tiene
F œ 0 / "!Š ‹ a b. - - . D
"D
  >a b
de donde se sigue que
0 œa b Š ‹0 . 0
- 0


7
Por consiguiente en el tiempo >
F œ š ›
. - .
. - -
ˆ ‰ ˆ ‰
a b
"/ D  /
 /  D "/
a b a b
a b a b
- . - .
- . - .
 >  >
 >  >
T > D8
8
a b es el coeficiente de en la expansión en serie de potencias de esta
función. Si entonces cuando , así que la probabilidad de- . F Ä " > Ä _
la última expresión es única.
5.2. .ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN EN FíSICA
Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden surgen
frecuentemente en física. En efecto es por esta razón que el estudio de
tales ecuaciones son de gran valor práctico. Por el momento nos
limitaremos a mostrar estas ecuaciones cuando surgen considerando que
el flujo es unidimensional así que la corriente y el voltaje en cualquier3 I
punto en el cable puede ser completamente determinada por una
coordenada espacial y un tiempo variable . Si consideramos la caída deB >
potencial en un elemento lineal de longitud situado en el punto ,$B B
hallamos que
-$ $ $I œ 3V B  P B "`3
`> a b
donde es la serie de resistencias por unidad de longitud y es laV P
inductancia por unidad de longitud. Si hay una capacitancia a tierra de G
por unidad de longitud y una conductancia por unidad de longitudK
entonces
 3 œ KI B  G B #$ $ $ Ì
`> a b
Las relaciones y son equivalentes al par de ecuaciones diferencialesa b a b" #
parciales
Ì `3
`B `> V3  P œ ! $a b
`3 Ì
`B `> KI  G œ ! %a b
Diferenciando con respecto a , obtenemosa b$ B
` I `3 ` 3
`B `B `B`>
# #
#  V  P œ ! &a b
y análogamente diferenciando con respecto a , obtenemosa b% >
` 3 Ì ` I
`B`> `> `>
# #
# K  G œ ! 'a b
Eliminando y de y se tiene`3 ` 3
`B `B`>
#
a b a b a b% ß & '
P  PK  PG œ !` 3 Ì ` I
`B`> `> `>
# #
#
y
P œ   V` 3 ` I `3
`B`> `B `B
# #
#

así
- + y ,` I `3 `V ` I `3 Ì
`B `B `> `> `B `>
# #
# # V  PK PG œ !ß  œ IK  G
por lo tanto
-` I `V Ì ` I
`B `> `> `>
# #
# # VKI  VG  PK  PG œ !
lo cual es equivalente a
Ì ` I ` I
`> `> `Be fVG  PK  PG  VKI œ
# #
# #
Hemos así hallado que satisface la ecuación diferencial parcial deI
segundo orden
` ` `
`B `> `>
# #
# #
F F F
œ PG  VG  PK  VK (a b a bF
Análogamente si diferenciamos con respecto a , con respecto a ya b a b$ > % B
eliminamos
y` I Ì
`B`> `B
#
de la ecuación restante y hallamos que es también una solución de laa b$ 3
ecuación a b(
La ecuación , es llamada la y otros. Sia b( ecuación telegráfica de Poincaré
la corriente que sale de tierra es pequeña, se sigue que y puedenK P
tomarse como cero y la ecuación toma la forma reducidaa b(
` " `
`B O `>
#
#
F F
œ )a b
donde es una constante. Esta ecuación es llamadaO œ VGa b"
ecuación
telegráfica; nos referimos a ella como a la ecuación uno dimensional de
difusión.
Si miramos a las ecuaciones y , esto es equivalente a tomar ya b a b$ % K V
como cero en las ecuaciones en cuyo caso ésta se reduce aa b(
` " `
`B - `>
# #
# # #
F F
œ *a b
donde . Esta ecuación es al mismo tiempo referida, en este- œ PGa b"
#
contexto, a la ecuación del radio; referiéndonos al caso de la ecuación de
onda en una dimensión.
Una ecuación diferencial parcial de segundo orden, diferente en caracter
de cualquiera de las ecuaciones o , surgidas en electrostática tienea b a b) *
por solución el modelo de los operadores de Fourier conocido
ampliamente en los cursos de ingenieria y de física (lo mostraremos en
§6). Por las leyes de Gauss de electrotécnia conocemos al flujo del vector
electricidad fuera de una superficie limitada a un volumen y esI W Z %1
veces la carga contenida en . Así si es la densidad de la carga eléctrica,Z 3
tenemos
' '
W Z
I.= œ % .1 3 7
Usando el teorema de Green en la forma
' '
W Z
I.= œ .3@I.7
y recordando que el volumen es arbitrario, vemos que la ley de Gauss esZ
equivalente a la ecuación
.3@I œ % "!13 a b

Ahora es probable demostrar que el campo electrónico es caracterizado
por el hecho de que es derivable de una función potencial por laI F
ecuación
I œ  1<+.F
a b""
eliminando entre las ecuaciones y , hallamos que satisface laI "! ""a b a b F
ecuación
f  % œ ! "##
F 13 a b
donde hemos escrito para el operador que en ecuacionesf .3@ 1<+. †#
a b
rectangulares cartesianas toma la forma
` ` `
`B `C `D
# # #
# # #  "$a b
La ecuación es conocida como ecuación de Poisson. En ausencia dea b"#
carga, es cero, y la ecuación se reduce a la forma simple3 a b"#
f œ ! "%#
F a b
Esta ecuación es conocida como ecuación de Laplace o la ecuación
armónica.
Si tratamos con un problema en cual la función potencial no varía con ,F D
hallamos que es reemplazado porf#
f œ  "&#
"
` `
`B `C
# #
# # a b
y la ecuación de llega a serLAPLACE
f œ ! "'#
"F a b
de la cual surge una ecuación armónica de segundo orden. El operador de
Laplace ocurre frecuentemente en física matemática, y en granf œ#
?
cantidad de problemas es útil transformar coordenadas cartesianas aBß Cß D
otro sistema curvilíneo ortogonal dado por las ecuaciones
? œ ? Bß Cß D ß ? œ ? Bß Cß D ß ? œ ? Bß Cß D" " # # $ $a b a b a b
a b"(
La transformación Laplaciana en estas circunstancias se efectúa mejor
con ayuda del cálculo vectorial que demuestra que en el sistema ? ß ? ß ?" # $
?Z œ   ")" ` `Z ` `Z ` `Z
2 2 2 `? 2 `? `? 2 `? `? 2 `?
2 2 2 2 2 2
" # $ " " " # # # $ $ $
# $ $ " " #
š ›Š ‹ Š ‹ Š ‹ a b
donde
2 œ   3 œ "ß # "*3
# `B `D
`? `? `?
# # #
`C
Š ‹ Š ‹ Š ‹ a b3 3 3
§6. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EN INGENIERIA
6.1. CONCEPTOS BASICOS:
Una ecuación diferencial parcial (EDP) para una función con? Bß Cß áa b
derivadas parciales , , , , es una relación de la forma? ? ? ? áB C BB CC
J Bß Cß á ß ?ß ? ß ? ß ? ß á œ ! "a b a bB BC CC

donde es una función de las variables yJ Bß Cß á ß ?ß ? ß ? ß á ß ? ß ? ß ? ßB C BB BC CC
además solamente ocurre un número finito de derivadas.
NOTACION : , ,? œ ? œ áB BC
`? ` ?
`B `B`C
#
Una función es una de , si en alguna región del? Bß Cß á "a b a bsolución
espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas
satisfacen la ecuación idénticamente en Bß Cß á
Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales
parciales; en este caso se consideran varias expresiones, como las de
arriba, conteniendo una o más funciones desconocidas y sus derivadas
parciales. Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias
una ecuación diferencial parcial (EDP) es de orden , si las derivadas de8
mayor orden que ocurren en son de orden . En esta forma las EDPJ 8
pueden ser de primer orden, de segundo orden y de orden superior.
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se clasifican según el tipo de
función considerada. En particular tenemos EDP lineales si es linealJ J
en la función incógnita y sus derivadas.
Las EDP ocurren frecuentemente y en forma enteramente natural en
problemas de varias ramas de la matemática.
El problema objeto de las EDP es el estudio de las soluciones. Por
solución de una EDP indicamos a una función teniendo todas las
derivadas parciales que ocurren en la EDP y que cuando se sustituye en la
ecuación la reducen a una identidad en todas las variables.
Por ejemplo la EDP de primer orden donde e son las? œ $B  (C B CB
# &
variables independientes y es la función incógnita tiene a?
? Bß C œ B  (BC  J C J Ca b a b a b$ &
por solución donde es cualquier función
diferenciable en . Así tenemos queC ? Bß C œ B (BC  / ßa b $ & C
? Bß C œ B  (BC #Ca b $ & $Î#
+ son soluciones. En esta forma vemos que las
soluciones se pueden clasificar en soluciones generales y soluciones
particulares.
Para la determinación de las soluciones particulares se requiere de
condiciones auxiliares las cuales constituyen las llamadas las
condiciones iniciales y las condiciones de frontera. En esta forma
el problema de las EDP consiste en hallar las soluciones bajo condiciones
auxiliares, iniciales y/o en la frontera; obteniendo así los llamados
problemas de frontera o problemas de valores iniciales.
En el estudio de las soluciones de una EDP, se tienen tres preguntas
básicas:
". ¿ Existen las soluciones ?
#. ¿ Es la solución única ?
$. ¿ Es la solución estable ?
Para la determinación de una solución particular se usan condiciones
especiales llamadas como ya lo dijimos las condiciones iniciales y/o
las condiciones de frontera.

6.2. TIPOS DE CONDICIONES. Se pueden catalogar en cuatro tipos :
1.- : Se desean soluciones donde las funcionesCONDICIONES DE CAUCHY
desconocidas y posiblemente sus derivadas , donde son? ! Ÿ >  _>
predeterminadas en la frontera cuando . Este tipo de condiciones son> œ !
catalogadas como condiciones iniciales.
2.- : La función incógnita es especificada en cadaCONDICIONES DE DIRICHLET
punto en la frontera de la región de interes. Es pues un problema
de frontera.
3.- CONDICIONES DE NEUMANN : Los valores de la derivada normal y de la
función incógnita son predeterminadas en cada punto en la frontera de
la región de interes .
4.- CONDICIONES DE ROBIN : Valores de la suma de la función incógnita y?
de sus derivadas normales son predeterminadas en cada punto de la
frontera de la región de interés.
Un ejemplo típico ilustrando algunas de estas condiciones es dado por
, < < , >? œ ? ! B : > !BB >>
: , , >GJ ? !ß > œ X ? :ß > œ ! > !a b a bB
: , ,GM ? Bß ! œ 0 B ? Bß ! œ 1 B !  B  :a b a b a b a b>
Condiciones de Dirichlet son dadas por cuando y condiciones deGJ B œ !
Neumann ocurren en cuando y condiciones de Cauchy se tienenGJ B œ :
en cuando .GM > œ !
La ecuación
E Bß C ?  F Bß C ?  G Bß C ?  H Bß C ?  I Bß C ?  J Bß C ? œ K Bß Ca b a b a b a b a b a b a bBB BC CC B C
es llamada ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden
en dos variables
Cuando , la ecuación es llamada EDP lineal homogénea deK Bß C œ !a b
segundo orden.
6.3. CLASIFICACION DE LAS E.D.P LINEALES DE SEGUNDO ORDEN EN DOS VARIABLES.-
Una ecuación diferencial parcial lineal homogénea de segundo orden en
dos variables tiene la forma
E Bß C ?  F Bß C ?  G Bß C ?  H Bß C ?  I Bß C ?  L Bß C ? œ !a b a b a b a b a b a bBB BC CC B C
a b#
donde , , , , , y son los coeficientes de la ecuaciónE F G H I L
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE SOLUCIONES : La ecuación tiene laa b#
propiedad de que si y son soluciones de , es solución? ? # - ?  - ?" # " " # #a b
también de . Más general si , , es una sucesión de soluciones dea b# ? ? á" #
a b a b!# - ? #entonces es también solución de . Esta propiedad puede aún
3œ"
_
3 3

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