1. AN AVERAGE FLOW MODEL OF THE REYNOLDS ROUGHNESS INCLUDING A
MASS-FLOW PRESERVING CAVITATION MODEL
UN MODELO DE FLUJO DE PROMEDIO DE LA RUGOSIDAD DE REYNOLDS, INCLUIDO UN MODELO DE FLUJO DE MASA
PRESERVAR CAVITACIÓN
Resumen
Una ecuación de Reynolds promedio para predecir los efectos de la rugosidad periódico determinista, teniendo JFO masivo
fluyan de preservar de modelo de cavitación en cuenta, es introducido basado en el enfoque de análisis de doble escala.
Esta ecuación de Reynolds promedio puede utilizarse tanto para una cavitación interasperity microscópica y
macroscópicos. La validez de este modelo es verificada por experimentos numéricos para uno dimensional y dos patrones
de rugosidad dimensional.
Introducción
Los efectos de la rugosidad de la superficie en el comportamiento de un flujo de película fina ha sido objeto de estudios
intensivos. Se han introducido diversas formas para estudiar la rugosidad de Reynolds en la búsqueda de una ecuación
promedio con coeficientes suaves. Algunos de los resultados más populares son la fórmula de Christensen [1] de rugosidad
longitudinal y transversal y el modelo de factor de flujo, Patir y Cheng, [2] para un patrón más general de la rugosidad de la
superficie. Dos clases amplia de los resultados pueden ser descritas. En el primero de ellos, que es determinista, una
periódica descripción de las superficies a menudo se asume a ser conocido y vinculado a un proceso específico de la
superficie [3]. Es posible distinguir entre macrovariables y microvariables y utilizar un enfoque de homogeneización
matemática para obtener rigurosamente un promedio de ecuación de Reynolds haciendo que el período de la rugosidad
tienden a cero [4]. Los coeficientes de esta ecuación de Reynolds promedio implícitamente contienen la descripción de la
celda elemental de microroughness. La segunda clase de resultados se ocupa de una descripción estadística de la rugosidad
de la superficie. Siguiendo el enfoque Patir y Cheng, numerosos autores propusieron una ecuación de Reynolds promedio
en que los coeficientes incluyen el conocimiento de las estadísticas de superficies por medio de factores de flujo que
pueden evaluarse por experimentos numéricos. Rigurosamente hablando, este enfoque es menos satisfactorio que el
primero de ellos, suponiendo que, a priori, la existencia de un control de volumen en el que los caudales promedio pueden
expresarse de manera equivalente en términos de factores de flujo. El número y las cantidades (Peklenik media cuadrática
número, combinado rugosidad...) implicadas en la caracterización de la lata de factores de flujo también examinarse.
Además, como la ecuación inicial de Reynolds, la ecuación de Reynolds promedio puede ser expresada en términos de r
(Krp) = fin que Kis una matriz diagonal. Esto parece ser contradictorias con el resultado obtenido por el primer enfoque en
el que es una matriz diagonal no para dos de rugosidad general dimensional de patrón [5]. Hasta ahora, estos promediando
procesos nunca toman cavitación en cuenta. Un procedimiento común es usar la ecuación de promedio en lugar de la
ecuación de Reynolds clásica con condiciones de contorno Gumbel y Swift Steiber o incluirlo en el algoritmo S.O.R.
propuesto por Richardson, logrando la división del dispositivo lubricado en dos áreas. En una primera área, la presión es
mayor que la presión de cavitación y la ecuación de Reynolds promedio es válida; en el área de otro, la presión es igual a la
presión de cavitación. Es bien sabido [6], sin embargo, que ninguno de estos modelos es masa de preservar, especialmente
a través de la zona de cavitación. Jakobsson, Floberg y Olsson (JFO) [9, 10] desarrollaron un conjunto de condiciones para el
límite de cavitación que tarda adecuadamente la conservación de la masa en cuenta en el dispositivo completo. Elrod [11,
12] propuso una formulación ligeramente modificada y un algoritmo específico relacionado. El problema relacionado con
matemático evidencia una función hiperbólica parabólica que hace difícil el estudio teórico y experimentos numéricos [7,
13-15]. Es el objetivo de este documento para desarrollar de forma rigurosa de una ecuación de Reynolds JFO promedio
para el patrón de rugosidad periódico determinista. Hasta la fecha, se han dedicado a un problema tan pocos papeles.
Recientemente, se ha estudiado la cavitación interasperity por medio de un enfoque estadístico [16, 17]. El método de
factor de flujo Patir y Cheng se extiende y se propone una ecuación de Reynolds promedio. La ecuación resultante tiene la
misma izquierda que del lado de la ecuación de Patir y Cheng (cavitación no tiene ningún efecto sobre los factores de flujo

2. correspondiente) mientras que el lado derecho de la ecuación se modifica y se introducen nuevos factores de flujo. Por fin,
arpa y Salant [17] propusieron modificar las condiciones de límite por un valor que es una función de la longitud de onda
de la rugosidad. Nuestro enfoque es bastante diferente y explícitamente basándose en la introducción de las variables
rápidas y lentas. La ecuación inicial se reescribe en términos de estas dos variables y se introduce una expansión asintótica
de la presión con respecto a un parámetro pequeño asociado a la longitud de onda de la rugosidad. El objetivo es
encontrar una ecuación satisfecha por los primeros términos de la expansión. Algunas hipótesis acerca de la forma de la
rugosidad parecen ser necesarios para resolver el problema, conduciendo a una nueva ecuación de cavitación promedio de
Reynolds. Esta ecuación tiene numerosas características comunes con la ecuación inicial de Reynolds: también es una
formulación de saturación de la presión de dos incógnitas. Algunos casos particulares - patrones de rugosidad longitudinal,
transversal - se estudiará en detalles.
Ecuaciones básicas
Nuestro modelo de cavitación estudiados, como el algoritmo de Elrod y sus variantes, considera que la película es una
mezcla. No, sin embargo, hacer la Asunción de compresibilidad líquido en el área de la película completa como en [15] y
algunos otros documentos. Como en [18, 19], sólo la mezcla de vapor del líquido en la región de cavitated se asume
compresible. El flujo obedece a la siguiente ecuación de Reynolds "universal" (aquí escrita en un formulario adimensional)
a través de todas las diferencias en el que la cavitación de presión se asume que es cero en el área de cavitación
En este constante estado isoviscous versión de la ecuación, p es la presión, _is la densidad relativa de mezcla, h el espesor de
película, x1is la dirección de la velocidad relativa eficaz del eje, mientras se x2is la dirección transversal. Este sistema de
ecuaciones puede entenderse como sigue (véase [7, 9, 14, 18] para diversos comentarios y el significado de la _variable):
_the conocido Reynolds ecuación sostiene en la región de la película completa, que es p > _ 0and = 1, un flujo de masa
conservando la ecuación _h = x 1 = 0holds en la región cavitated con p0and 0<><1. ></1. > condición de frontera de _A que
también es masa de flujo preservar en la interfaz (desconocida) entre t h3 np + os h (n; x 1) = _h os(n;x1): las dos regiones:
La razón para mantener esta ecuación de cavitación específica es que ha sido objeto de numerosos estudios
matemáticos [7] dando una base fuerte y rigurosa a las manipulaciones siguientes [20]. A tener en cuenta, sin
embargo, que nuestro enfoque puede aplicarse sin dificultad a otros modelos de cavitación como uno en [15].
Por último, tiene que ser mencionado que esta ecuación toma ambos macrocavitation (asociado a la aparición
de una parte divergente de un rodamiento por ejemplo) y cavitación interasperity en cuenta. Las condiciones de
contorno dependen del dispositivo considerado. Sin embargo, los siguientes a menudo se utilizan, por ejemplo
correspondiente a un diario de rodamiento con una ranura de suministro axial. La presión se impone en dos
ubicaciones periféricas y una ubicación axial. La última condición de frontera es una condición de flujo de
entrada en la posición axial correspondiente a la ranura de suministro:
Para valores pequeños de Q, inanición puede ocurrir en las proximidades de la ranura de suministro
Expansión Asintotica
Supongamos que la rugosidad periódicamente se reproduce en el x2directions de dos x1and desde una celda
elemental Y (o "miniatura teniendo" Tonder terminología). Denotamos por "la proporción de la transformación de
homotética pasando desde la celda elemental Y = Y1_Y2to el rodamiento real y por y1 = x 1 =" y y2 = 2 x = "las
variables locales (véase FIG. 1). Ahora consideremos las formas que pueden escribirse como h"(x)=h(x;="). Por
otra parte, suponemos que son descritas como
que permite que tomemos en cuenta o bien transversal o rugosidad longitudinal, pero también más general rugosidad
dimensional dos. Presentar ahora las variables rápido y1and y2, parece ser que la nueva expresión de la brecha
El cálculo combinado en términos de (x 1, x 2) o (y1, y2) es una característica importante del método. Es conveniente
considerar xand primera variables independientes de yas y reemplazar yby próximo x = "(see [4]).

3. 2.1 Formulación de ecuaciones promedio
denotan por el "el inicial diferencial Reynolds operador" [_℄ = 2Xj = 1 h3_x de xj; x "_ x [_j℄!; y también definimos el
operador de derecha B" [_℄ = x1_h_x; x "_ [_℄_: Reynolds la ecuación (1) se convierte en A"(p)=B"(_): 5 la inferior"indica la
importancia de la presión real sobre la microtexture relacionados con la". También definimos los siguientes operadores: A2
[_℄ = jX = 21 AyAj13 [[__℄℄h==3(xjXjX=2=;21y1) y jx [_j ℄!h3+(xjX=;2y1) x jy [_j ℄!h3;(x;y) y [_j℄!; xj h3(x;y) x [_j℄!; y
también BB21ii [[__℄℄ == xyii((hhxx;;yy))[[__℄℄)); ii == 11; 22: si aplica a una función de (x; = "), los operadores se
convierten en A" = _1 = "2A1 + 1 =" A2 + A3_; (7) B "= _1 =" B1 + B12_: (8) nos vamos en busca de una expansión asintótica
de la soluciones p (x) = p0 (x; x ") +"p1_x; x"_ +"2p_x; x"_ +:; (9) _ (x) = 0_x; x" _; (10) cada _0being piand desconocido una
función de (x, y). El problema del límite de las condiciones para ser satisfecha por la piis un poco difícil, pero puede
resumirse como sigue. (i) las condiciones de límite naturales en (p", _") se asignan a p0and una saturación equivalente
vinculado a _0, que será desarrollado en el inciso siguiente. (ii) la función p, i_1, es Yperiodic, es decir, periódico en las dos
variables y1, y2, para cada valor de (x 1, x 2). A tener en cuenta que a diferencia de p, no introducimos una expansión
asintótica para _. Esto puede explicarse mediante la observación de la evolución de y _as "tiende a 0 (véase FIG.2, por
ejemplo). Claramente, las oscilaciones de la presión están disminuyendo y ptends a una función suave (a saber, p0which,
en realidad, no depende de la variable rápida como va ser señaló aún más). Esto no es el caso de _and que no puede ser
considerado un límite suave asintótico. 6 Veremos más adelante que se define las funciones p, i_1, hasta una constante
aditiva. Aplicar la condición (18) a ecuaciones (14), nos deducir que p0does no deppe0n (dxo): y n (19) nos Let Supongamos
ahora que p0is conocido, y darse cuenta que, debido a las condiciones de frontera, (B1_0aA2p0) satisface Equation (18),
existencia de 1is garantizada. Ahora podemos representar p1as función de la p0in de una forma más fácil de usar.
Definimos wiand _0(i=;2) como las soluciones de Yperiodic (hasta una constante aditiva) de los siguientes problemas
locales: A1wi = hy3i; I = 1; 2(20) A1_i0 = _y0ih; I = 1; 2: 7 (21) la solución de ecuaciones (15) reduce p1(x;y) = _01 (xt; oy) l
xp01 (x) w1(x;y) x xp02(x)w2(x;y): (22) el mismo procedimiento puede utilizarse para garantizar la existencia de p2, pero en
ese paso, la condición correspondiente (18) aplicada a las ecuaciones (16) se convierte en dy ZY (B12_0eA2p1AA3p0) = 0:
(23) Then la idea principal es poner Equation (22) en la ecuación (23), por lo que la únicas incógnitas restantes son p0and
_0. Por analogía con el marco probabilístico, denotamos por uY la media local de cualquier Yperiodic función u: uY (x) =
[Y1℄ZYu(x;y) dy: por intercambio de la integral y los símbolos de derivación y después de algunos cálculos, ecuaciones (23)
se convierte en XI; j xi AI? j xp0j! = Bx110 + Bx220!; (24) donde (I; j = 1; 2y j6 = I) AAi? I? j == hs 3hY33 wyhij3Y w = yiiY ;
wyjiY h3 = Aj? i; y también BB2100 == _0hYw yhh33 __yy120101YY:; Equation (24) se ocupa de cualquier patrón de
rugosidad periódico. A tener en cuenta es el hecho de que el operador diferencial no es más del tipo Reynolds desde
términos adicionales 2P 0 = xi xjappear. La derecha también contiene un término aditivo en la x2direction. Sin embargo, el
vínculo entre _0is de p0and no tan claro. Se trata de un importante obstáculo que impide obtener una ecuación tratable.
Sin embargo, se permiten 6 de Asunción
Por otra parte, desde las ecuaciones (12) y (13), inmediatamente tenemos: 0__ _1 (x); p0(x) (32) (1P_ (x) = 0; (33) 11 por lo
que las ecuaciones homogeneizadas parecen ser 2 X I = 1 xi AI? px0i! = _xB11?; p0 (36), p0_0 (34); 0___1 (35) (1q_) = 0;
(37) donde A? 1, A? 2y B? 1are, respectivamente, dada por las ecuaciones (25), (26) y (30). Además, el vínculo entre un
nuevo _and de saturación "macroscópico" (suave) dada por la ecuación (31) de _0is de saturación "microscópico"
(oscilante). Como una característica importante, _is no la media de la _0 de saturación microscópicos.
2,2 Condición de frontera de promedio
de cuando se impone la presión, la condición de frontera promedio correspondiente está asignada a p0. Cuando
se da un flujo de entrada de una línea de suministro, la condición de caudal promedio se obtiene siguiendo el
método de expansión asintótica. Teniendo en cuenta los patrones de rugosidad, se convierte en editor de
ecuaciones (5): _ h_x (x); x xp1 _ "_e h3_x; x" (x) = Q: ecuaciones de entrenamiento (38) (9) y (10) en la
ecuación (38), uno puede escribir por un procedimiento de identificación: _0(x;y)h(x;y)e h3(x;y) xp01(x) + py11
(x; y)! = Q: cómo Equation (22) en ella da _0h( h3 _y101! h h3 h3 wy11! xp01 + h3 wy12! xp02 = Q: promedio
sobre Ygives la condición de frontera relativas p0and _at el surco de suministro: B10s A1? xp01AA1? xp02 2 =
Q; y desde A? 12 = 0and B01 = _B? 1, uno obtiene: _B1? QA1? xp01 = Q: (39) el siguiente subsección se ocupa
de dos casos particulares principales: rugosidad longitudinal o transversal.
12 2.3 Casos particulares _

4. Transverse rugosidad: cuando la rugosidad no dependen de y2, tenemos la ecuación homogeneizada,
fácilmente deducir de ecuaciones (2 5 x) 1 – (3h1f ) 13Y xp01! + x 2 de h3Y xp02! = x 1 0_hh) 23YY1A; con _
= h= 12Y h_02! Y y la condición de frontera en la ranura de suministro, deducida de ecuaciones (39), deben
leerse como: _ _hhl e 23YY2 hh 13Y xp01 = Q: rugosidad longitudinal: cuando la rugosidad no dependen de y1,
obtenemos x 1 h3Y xp01! + x 2 de ho 13Y xp02! = x1__hY_; con _ = _h0hYY, y la condición de frontera en la
ranura de suministro debe leerse como:
3 Rugosidad oblicuo
nos Let considerar las brechas que pueden escribirse como:
que permite que tomemos en cuenta oblicuo rugosidad (con la instancia de h2_1for). La idea es introducir un cambio de
coordenadas para que la Asunción de la sección B.2 en el formulario de rugosidad en el nuevo sistema de coordenadas es
válida. El primer paso es volver a escribir la ecuación (1) en el Xcoordinates:
Trabajan ahora en el Xcoordinates y utilizando los operadores definidos en la sección B.2 (hasta la escritura en las
coordenadas X), aplicamos la técnica de expansión asintótica a la ecuación anterior. Con la expansión asintótica formal
usada en la sección B.2, tenemos en el (X; y) las coordenadas (y = X = "):
Como en la sección B.2, p0only depende de la Xvariable. Ecuación (41) nos permite determinar p1:
A continuación, poniendo la expresión anterior en ecuaciones (42) da
donde los coeficientes, que fácilmente se calculan como en la sección B.2, son dadas por
Por último, como en la sección B.2, definir las cantidades
one has , with and .
b0i=_ib? p0(1 ( _i)=0 0__i_1
Por último, que se remonta a la xcoordinates inicial, uno obtiene la siguiente homogeneizada XI; j xi AI? j xp0j! = Bx110 +
Bx220!; el problema:
con los coeficientes de lado izquierdo:
y el miembro del lado derecho:
the coefficients , ( ) being given by Equation (43)1 and Equation (47)
1
a?i b? i=1;2
in the coordinates. The link
x
between the “microscopic saturation” and the two “macroscopic saturations” ( ) is given by Equation
_0 _ i=1;2
(48)
1
.
A primera vista, el editor de ecuaciones (49) es muy similar a (24). Sin embargo, una diferencia importante es el aspecto
anisotrópico de la saturación con dos _(i=1;2) de funciones de saturación, uno para cada dirección. ¿Desde un punto de
vista matemático, no está claro si el sistema de ecuaciones (49)–(52) es una cerrada o no: es una ecuación complementaria
necesaria para obtener un problema well-posed o no? No obstante, puede demostrarse que _1 = _2is una opción posible
para una solución del sistema. Con esta hipótesis, es posible resolver ecuaciones (49)–(52) utilizando el tipo de algoritmos
como las usadas para resolver ecuaciones (1)–(4). La única diferencia radica en los coeficientes modificados y el hecho de
que la dirección del flujo ya no es el x1axis, pero uno oblicuo.
Los resultados numéricos
como las ecuaciones (1) y (24) tienen la misma función matemática, varios algoritmos (véase [6, 7, 11, 13, 15, 18, 21])
utilizados para calcular las soluciones de ecuaciones (1)–(4) puede ser dirigida para la solución de ecuaciones (24). En este
documento, proponemos que el método de características adaptado a los problemas de estado estable para hacer frente a
término de convección no lineales combinados con elementos finitos. Por otra parte, el modelo de Elrod-Adams no lineal

5. para cavitación es tratado por un método de dualidad. La combinación de estas técnicas numéricas se ha explicado y
aplicado con éxito por Bayyada, Chambat y Vázquez en [22].