Modelo de gradiente múltiple

1. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
1
MODELO DE GRADIENTE MÚLTIPLE
Este nivel incorpora menos información detallada acerca de las características internas del
sistema que en el caso de la descripción microscópica. Las formas de las ecuaciones
matemáticas están sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte microscópico,
pero con coeficientes modificados. Estos coeficientes son evidentemente empíricos y
deben determinarse para cada tipo de equipo o unidad de interés, si bien es preciso indicar
que utilizando las correlaciones adecuadas, los coeficientes obtenidos en unas
determinadas circunstancias pueden con frecuencia resultar útiles en otras distintas si el
ingeniero procede con las debidas precauciones. La característica esencial de la descripción
de gradiente múltiple es que son importantes uno o más términos de dispersión, que deben
ser retenidos en el modelo, con o sin los términos convectivos. El modelo de gradiente
múltiple encuentra aplicaciones en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos
muy complicados como el que tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos
en los que no se puede medir ni calcular el campo de velocidad local.
Describiremos brevemente como se pueden desarrollar balances de gradiente múltiple a
partir de balances microscópicos.
Tal como se ha indicado anteriormente, todavía no se ha desarrollado suficientemente la
teoría estadística de la turbulencia como para tener una gran aplicación en los cálculos
ingenieriles. Puesto que en la mayor parte de los procesos industriales interviene el flujo
turbulento, los ingenieros han tratado de encontrar desde hace mucho tiempo métodos
adecuados para el tratamiento de tales procesos. Uno de los métodos aproximados más
útiles se basa en la definición de los llamados coeficientes efectivos de transporte. Para un
fluido con flujo turbulento, cada variable dependiente (concentración, velocidad, presión y
temperatura) se pueden suponer que consta de un valor promediado con el tiempo y una
perturbación con respecto al valor medio temporal, es decir,      
'
, ,
i i i i i i
v x t v x v x t
  ,
siendo  
i i
v x una velocidad promediada para un largo periodo de tiempo comparado con
las fluctuaciones individuales, y '
i
v es la perturbación. Al introducir tales expresiones en las
ecuaciones microscópicas y promediar cada término, se obtienen los términos que

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2
corresponden exactamente a las ecuaciones microscópicas, pero con valores de las
variables dependientes promediados con el tiempo en vez de valores instantáneos
utilizados anteriormente. Además, aparecen ciertos términos nuevos que representan los
productos cruz de las perturbaciones que no desaparecen en los procesos de promediado
con el tiempo. Estos nuevos términos conducen así al concepto de “densidades de flujo” de
materia, cantidad de movimiento y energía, que pueden considerarse análogos a las
habituales densidades de flujo moleculares, y, por tanto, se pueden definir como el
producto de un coeficiente por un gradiente.
Para una dimensión, las densidades de flujo turbulento se pueden, en consecuencia, definir
por:
Materia    
t t i
y y
j D
y
 



 

Cantidad de movimiento    
t t x
yx yx
v
y
 

 

Energía    
t t
y y
T
q k
y

 

Donde el superíndice t indica un coeficiente turbulento o “de remolino” y el guión superior
representa un valor promediado con el tiempo.
Debido a que se han utilizado definiciones análogas para las densidades de flujo molecular
y turbulento, se puede definir una densidad de flujo combinada para cada uno de los tres
balances en función de coeficientes “efectivos”, que se representarán mediante una tilde.
Por ejemplo, para una dimensión se puede escribir el componente del tensor combinado
de esfuerzo yx
 , como combinación de las contribuciones molecular y turbulenta.
 
t
x x
yx
dv dv
dy dy
  
 
  
 
 
 
t x x
dv dv
dy dy
  
 
    
 

3. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
3
En un proceso turbulento la contribución molecular al transporte, lejos de la pared, es
despreciable en comparación con el transporte de remolino, es decir,  
1
t
 
  
  , de
forma que la contribución molecular se puede ignorar, mientras que cerca de la pared
ocurre lo contrario.
Aunque los coeficientes moleculares son posiblemente funciones exclusivas de las
propiedades del fluido, los coeficientes efectivos dependen de la situación de flujo y son
funciones del grado de turbulencia y mezcla. En consecuencia varían de acuerdo con su
posición en el sistema y pueden tener valores distintos en diferentes direcciones
(anisotropía), debido a las complicadas situaciones de flujo que se presentan
habitualmente. Existen varias teorías aproximadas que tienden a justificar una descripción
de este tipo (teoría de la longitud de mezcla, etcétera), pero nuestro objetivo consiste
solamente en obtener fórmulas de trabajo para la construcción de modelos matemáticos,
y, por tanto no se consideran aquí, remitiendo a Hinze al lector interesado.
Si las ecuaciones microscopicas de la Tabla 1.2.1 se han de modificar para la descripción de
gradiente múltiple, los valores de las variables dependientes , , ,
i ij
v T C y p
 tienen que
ser interpretadas como valores promediados con el tiempo (para un periodo apropiado).
Puesto que los coeficientes efectivos de las densidades de flujos globales t
j
, ij
 y i
q no
tienen por qué ser necesariamente iguales en cada una de las direcciones coordenadas, los
coeficientes se definen individualmente en una dirección coordenada por ecuaciones de la
siguiente forma (para coordenadas rectangulares):
i
y y
d
j D
dy




 
x
yx yx
dv
dy
 
 
y y
dT
q k
dy
 

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4
Cuando las ecuaciones anteriores (primera y tercera) se expresan en una forma general son
tensores de primer orden (vectores) mientras que la segunda es un tensor de segundo
orden. Debido a su naturaleza matemática, los coeficientes de transporte turbulento han
de ser escalares o bien tensores de segundo orden (posiblemente tensores de cuarto orden
en el caso de viscosidad). Pero la descripción de gradiente múltiple, particularmente con
flujo simétrico, generalmente se determina solamente un coeficiente efectivo en la
dirección de flujo y otro coeficiente efectivo perpendicular a la dirección de flujo. Además,
como la ecuación de cantidad de movimiento es de manejo muy difícil desde el punto de
vista matemático, generalmente se admitirá un perfil constante de velocidad en los otros
dos balances, o bien se utilizará una relación sencilla, probablemente empírica, para el perfil
de velocidad. En la práctica solamente se utilizan coeficientes de dispersión de materia y
energía, y generalmente no más de dos para cada uno de ellos. El término de reacción, R ,
de la ecuación de continuidad, puede resultar muy complicado para reacciones distintas de
las de primer orden y no se tratará en esta sección.
El resultado de este tipo de tratamiento de los balances básicos se muestra en la Tabla 1.3.1
para coordenadas rectangulares. (Recuérdese que en esta tablas, y en las que se
presentarán más adelante, no se emplea una notación especial para los valores
promediados con el tiempo). Para los demás sistemas de coordenadas se pueden efectuar
adaptaciones similares, como ocurre en la Tabla 1.3.2 para coordenadas cilíndricas. La única
justificación para utilizar esta ecuaciones es que resultan relativamente fáciles de aplicar y
parecen conducir a predicciones suficientemente exactas en la práctica, especialmente para
tubos de pared mojada y lechos de relleno.
Hemos tratado muy brevemente la descripción de gradiente múltiple debido a que nuestro
objetivo fundamental es mostrar la utilización real, de las ecuaciones que se han tabulado,
en el análisis y simulación de procesos.

5. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
5
TABLA 1.3-1. BALANCES DE GRADIENTE MÚLTIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES
Balance de materia para la especie 
Transportea través delasuperficie
debido al flujo global
Transporte a través de la superficie por
( ) ( ) ( )
x y z
Acumu
lación
x y z
c
v c v c v c
t x y z
c c c
D D D
x x y y z z

  
  
  
  
  

   
  
   
 
   
     
  
 
   
     
   
  Genera-
ción
dispersión
R

Balance de cantidad de movimiento (dirección x)
Acumulación Transporte a través de la superficie
debido al flujo global
Transporte a través de la sup
x x x x
x y z
x x x
xx yx zx
v v v v
v v v
t x y z
v v v
p
x x x y y z z

  
 
 
   
 
  
   
 
 
 
  
 
   
   
   
 
   
      
   
  Genera-
ción
erficie por dispersión
x
g

 
  
 
 
 
Balance de energía
Acumulación Transporte a través de la superficie Transporte a través de la superficie por di
debido al flujo global
x y z
p x y z
T T T T T T T
C v v v k k k
t x y z x x y y z z

 
   
         
   
 
     
 
   
         
     
 
 
 
Genera-
ción
spersión
R
S

TABLA 1.3-2 BALANCES DE GRADIENTE MÚLTIPLE EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
Balance de materia para la especie α
Transportea través delasuperficie
debido al flujo global
2
Transporte a través de la superficie
p
1 1
( ) ( ) ( )
1 1
r z
Acumu
lación
R
c
rv c v c v c
t r r r z
c c
D r D
r r r r

   
 
 

 
   

   
  
   
   
   
   
 
   
   
   
   
   
or dispersión
Genera-
ción
az
c
D R
z z




 
 
 
 
 
 
   
 

6. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
6
Balance de cantidad de movimiento (dirección z)
Acumulación Transporte a través de la superficie
debido al flujo global
2
Transporte a través de la superficie
1 1
z z z z
r z
z z
zr z
v
v v v v
v v
t r r z
v v
p
r
z r r r r




 
 
 
 
   
  
 
   
 
 
 
  
  
   
  
    
    
   
 Genera-
ción
por dispersión
z
zz z
v
g
z z
 
 
  
 

 
 
 
Balance de energía
2
Acumu- Transporte a través de la superficie Transporte a través de la superfic
lacion debido al flujo global
1 1
R z
p r z
v
T T T T T T T
C v v k r k k
t r r z r r r z z
r



  
 
 
         
     
     
       
         
     
 
 
 
Genera-
ción
ie
por dispersión
R
S

PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA 1.- Se desea obtener la distribución de temperatura para estado estacionario
en un lecho cilíndrico de radio R. Supóngase que el perfil de velocidad es uniforme a lo largo
de todo el tubo. La notación de este ejemplo se representa en la figura.
SOLUCIÓN:
El análisis se realiza hasta el planteamiento de las ecuaciones diferenciales básicas.
Solamente es preciso considerar el balance de energía, puesto que la distribución de
velocidad está dada y el fluido consta solamente de un componente.
2
1 1
R z
p r z A rxn
v
T T T T T T T
C v v k r k k R H
t r r z r r r z z
r



  
         
       
       
     
 
         
     
 
Obsérvese que el término de generación se ha expresado como el producto de una
velocidad de reacción [un término inherentemente negativo, cuyas unidades son

7. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
7
moles/(tiempo)(volumen)] por un término de calor de reacción (que para una reacción
exotérmica es negativo y tiene las unidades de energía/mol).
Se pueden efectuar simplificaciones de la siguiente forma:
1.- El perfil de velocidad es uniforme ( 0
r
v v
  ); es decir, el perfil de velocidad es constante
a través de la sección transversal del conducto.
2. Estado estacionario ( 0
T t
   ).
3. Las propiedades físicas son independientes de la temperatura y son constantes para todo el lecho
( i
k se puede sacar de los operadores de derivadas parciales).
4. La distribución de temperatura es simétrica alrededor del eje del tubo (
2 2
0
T T
 
     
).
5. El transporte axial de energía por dispersión es despreciable en comparación con el
correspondiente al flujo global (se desprecia
2 2
T z
  ).
Al introducir las simplificaciones se obtiene:
2
2
1
R
p A rxn
T T T
C v k R H
z r r
r

 
  
   
 
 

 
Las condiciones límite son:
0
0 0
0
0 0 ,
s
z r T T
z r R T T
z r T es finita T r es cero
  
  
   
PROBLEMA 2.- Mediante los datos que se facilitan a continuación, hágase una estimación
preliminar del diámetro de tubos a instalar en un reactor catalítico de lecho fijo para la
síntesis de cloruro de vinilo a partir de acetileno y cloruro de hidrogeno. En los tubos ha de
situarse el catalizador, consistente en cloruro mercúrico depositado sobre partículas de
carbón de 2,5 mm y el calor de reacción se va a emplear en la generación de vapor a
121,1ºC, que será utilizado en el resto del proceso. Para conseguir esto, la temperatura de
la superficie interna de los tubos debe mantenerse constante en 148,9ºC.
Conductividad térmica efectiva del lecho: ke = 5,952 kcal/m2ºC/m
Densidad global del lecho: ρ = 288 kg/m3.

8. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
8
La velocidad de reacción es una función de la temperatura, de la concentración y de los
diversos coeficientes de absorción, pero para la estimación preliminar supóngase que la
velocidad de reacción puede ser expresada por la ecuación:
rA = ro(1+ AT) mol-kg/h.kg catalizador.
Siendo ro = 0,12, A = 0,0432 y T es la temperatura en grados centígrados por encima de la
de referencia, 93,3ºC.
La máxima temperatura aceptable para el catalizador, si se quiere asegurar una duración
satisfactoria del mismo, es de 251,6ºC (es decir T= 158,3).
SOLUCION.-
El modelo adecuado para el caso es un modelo de gradiente múltiple:
Consideramos un balance de energía en coordenadas cilíndricas, así tenemos:
2 2
2 2 2
1 1
p r z R
v
T T T T T T T
C v v k r S
t r r z r r r r z


 
 
       
   
      
 
 
 
       
 
   
(1)
Realizamos las siguientes simplificaciones:
1. Consideramos estado estacionario: 0
T
t



2. Tanto el flujo como la distribución de temperatura son simétricas con respecto a la
coordenada  (
2
2
0
T T
 
 
 
 
).
3. El transporte de energía por difusión en la dirección z es mucho menor que el
transporte de energía debido al flujo global.(se desprecia
2
2
T
z


= 0 ).
Teniendo en cuenta estas simplificaciones, el balance de energía queda:
p z R
T k T
C v r S
z r r r

  
 
 
 
  
 
(2)
4. Si suponemos que a una distancia z se alcanza la máxima temperatura, entonces
0
T
z
 

(al mismo radio).
La ecuación (2) queda reducida a:

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9
0
R
k d dT
r S
r dr dr
 
 
 
 
(3)
Así:
2
2
1
0 ,
A
rxn A A
R
d T dT
H R r
r dr k
dr

    
La ecuación la preparamos para resolver:
rA = ro ( 1 + AT) , ro = 0,12 , A = 0,0432 , TR = 93,3ºC.
2
2
1
0
o
A
r
r
d T dT
H
r dr k
dr

    (4)
Donde, rA = ro (1 + AT), hacemos el cambio, Y = 1 + AT.
1
Y
T
A

 , derivando:
2 2
2 2
1 1
;
dT dY d T d Y
dr A dr A
dr dr
 
Sustituyendo en la ecuación (4), se tiene:
2
2
1
0
o
o
R
r A
d Y dY
H Y
r dr k
dr

    (5)
En esta ecuación hacemos:
o
o
R
r A H
p
k
 
 , (constante), se tiene:
2
2
0
d Y dY
r prY
dr
dr
   (6)
De la misma manera, hacemos el cambio: x r p
 , entonces:
   
2
2
1 1 1
;
dY dY dp d Y d dY d dY
dx dr dx dr dr
dx
p p p
d r p d r p
   
   
   
   
   
Así;
2 2
2 2
1 1
;
dY dY d Y d Y
dx dr p
dx dr
p
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación (6), se tiene:
2
2
0
x d Y dY x
p p pY
dx
dx
p p
   , por lo tanto:
2
2
0
d Y dY
x xY
dx
dx
  
o

10. ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS Ing. Dr. PASCUAL VICTOR GUEVARA YANQUI
10
2
2 2
2
0
d Y dY
x x x Y
dx
dx
  
Ecuación de BESSEL de orden cero. (n=0).
2
2
0
( ) ( 1) ( 0)
2 . ! ( 1)
n k
k
n n k
k
x
J x n
k n k
 


  
  

Para n=0, se tiene:
2 4 6 8
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 1
2 2 .4 2 .4 .6 2 .4 .6 .8
x x x x
J x      