Este documento trata sobre la cristalografía. Explica conceptos como la simetría puntual de los cristales, los 32 grupos puntuales cristalográficos, la clasificación de los sistemas cristalinos según 7 sistemas, la notación de los grupos puntuales, las leyes de observación de los cristales como la ley de la constancia de los ángulos y la ley de Haüy, y los elementos de simetría puntual cristalina como las rotaciones, reflexiones e inversiones. También describe la representación

1. CRISTAL·LOGRAFIA
Simetria d’objectes finits.
Elements de simetria puntual MORFOLOGIA dels
32 Grups puntuals cristal·logràfics. cristalls
Classificació segons 7 Sistemes Cristal·lins
Notació grups puntuals.
Veure doc: taules
Veure doc: full de problemes i pràctiques 3
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

2. CRISTAL·LOGRAFIA
Simetria de la materia cristal·lina
•Simetria externa; puntual: Objecte finit
Grup puntual de simetria:
4/mmm
•Simetria interna; espacial: Objecte infinit
Grup espacial de simetria:
P4/mmm
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

3. CRISTAL·LOGRAFIA
LLEIS D’OBSERVACIÓ (a sobre dels cristalls)
Els cristalls, quan creixen en “llibertat”, en determinades condicions,
desenvolupen formes polièdriques molt perfectes, amb:
(hkl) CARES (planes)
[uvw] ARESTES (rectes) MORFOLOGIA dels cristalls
• LA LLEI DE LA CONSTÀNCIA DELS ANGLES
STENSEN, 1669
ROMÉ DE L’ISLE, 1783
En els cristalls diferents d’una mateixa espècie cristal·lina, la grandària i
la forma de les cares, així com la distància que les separa poden ésser
diferents, però:
ELS ANGLES DIEDRES QUE FORMEN LES CARES
HOMÒLOGUES SÓN IGUALS
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

4. CRISTAL·LOGRAFIA
• LLEI DE HAÜY (índexs racionals simples)
Les cares REALS o POSSIBLES dels cristalls tenen índexs de Miller
que són sencers, primers entre ells i petits. ( REALS o POSSIBLES,
donat que una mateixa espècie cristal·lina dona cares diferents segons
condicions de CREIXEMENT).
Les arestes REALS O POSSIBLES dels cristalls són vectors amb u, v, w
sencers, primers entre ells.
CARES SÓN PLANS RETICULARS DENSOS, (hkl)
LES ARESTES SÓN FILERES RETICULARS DENSES, [uvw].
• LLEI DE SIMETRIA
Els poliedres cristal·lins mostren generalment SIMETRIA FINITA
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

5. 1. CRISTALLS AMB UNA SOLA FORMA CRISTAL·LINA
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

6. 2. CRISTALLS AMB COMBINACIONS DE FORMES
M. AGUILÓ Àrea de Cristal·lografia
AGUILÓ.

7. 3. CRISTALLS AMB COMBINACIONS DE FORMES
M. AGUILÓ Àrea de Cristal·lografia
AGUILÓ.

8. 4. CRISTALLS AMB COMBINACIONS DE FORMES
M. AGUILÓ Àrea de Cristal·lografia
AGUILÓ.

9. REPRESENTACIÓ DE LA MORFOLOGIA D’UN CRISTALL
PROJECCIÓ ESTEREOGRÀFICA
CARES  PUNTS (pols de les cares)
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

10. REPRESENTACIÓ DE LA MORFOLOGIA D’UN CRISTALL
PROJECCIÓ ESTEREOGRÀFICA
Pol Sud
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

11. REPRESENTACIÓ DE LA MORFOLOGIA D’UN CRISTALL
PROJECCIÓ ESTEREOGRÀFICA
Equador
N/S

Pol Sud
P’ 
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

12. PROJECCIÓ ESTEREOGRÀFICA DE CRISTALLS
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

13. LA SIMETRIA ÉS UNA CARACTERÍSTICA DE LA MATÈRIA CRISTAL·LINA
ESTUDI MACROCÒPIC DEL CRISTALL
CRISTALL : OBJECTE FINIT SIMETRIA PUNTUAL
•PROPIETATS FÍSIQUES:
MORFOLOGIA CRISTAL·LINA
DILATACIÓ TÈRMICA
ELASTICITAT
Etc.
•SIMETRIA de l’entorn d’una POSICIÓ,(lloc de coordenades concretes),
(site), en una estructura cristal·lina
•SIMETRIA DE LES MOLECULES
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

14. LA SIMETRIA ÉS UNA CARACTERÍSTICA DE LA MATÈRIA CRISTAL·LINA
ESTUDI MICROCÒPIC DEL CRISTALL
CRISTALL: OBJ. INFINIT SIMETRIA ESPACIAL
DISTRIBUCIÓ D’ÀTOMS EN LA CEL·LA
(Implicarà l’aplicació del concepte ELEMENTS DE SIMETRIA
de la Periodicitat (traslació)). amb traslació
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

15. SIMETRIA PUNTUAL CRISTAL·LINA
LA SIMETRIA PUNTUAL DE CADA CRISTALL
Està representada pel conjunt de tots els moviments que deixen el
POLIEDRE CRISTAL·LÍ idèntic a ell mateix
OPERACIÓ DE SIMETRIA PUNTUAL
Cada un d’aquests moviments  OPERACIÓ DE SIMETRIA que deixa
immòbil UN PUNT DEL CRISTALL COM A MÍNIM
GRUP DE SIMETRIA PUNTUAL
Un cristall pot presentar una, dues o més (o.p.s.) operacions de simetria
puntual (Elements del grup)
- OPERACIÓ Matemàtica: “Producte de dues operacions de simetria
puntual és una llei interna ”
- PROPIETATS: Interna, associativa, element invers, identitat
- ORDRE
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

16. OPERACIÓ DE SIMETRIA PUNTUAL
-MOVIMENT operació de simetria
-TRANSFORMACIÓ és una aplicació entre dos espais vectorials
 x'    x
-CADA O.S.P. Li correspon una matriu  '   
y   OSP   y 
 z'    z
    
 x'   11 12 13   x 
    
 y '     21  22  23   y 
    
 z '    31  32  33   z 
a) Conserva les distàncies. Si A i B són dos punts de l’espai i
A’ i B’ els seus equivalents
d(A,B) = d(A’,B’)
b) Deixa invariant un punt com a mínim
c) Manté els angles
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

17. • OPERACIONS DE SIMETRIA PUNTUAL CRISTAL·LINES
Són aquelles operaciones compatibles amb la teoria reticular
a) Rotacions
b) Reflexió
c) Inversió
d) Rotació amb reflexió
e) Rotacions amb inversió
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

18. ELEMENTS DE SIMETRIA PUNTUAL CRISTAL·LINA
C1 1 Eix monari
C2 2 Eix rotació d’ordre dos (binari)
C3 3  Eix ternari
C4 4  Eix quaternari
C6 6  Eix senari
 m reflexió
iS2 1 Inversió
S1 m Eix binari d’inversió
2
S6 Eix ternari d’inversió
3
S4 Eix quaternari d’inversió
4
S3 Eix senari d’inversió
6
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

19. Rotacions amb reflexió Rotacions amb inversió

Sn  m (  n ) n
1 n  n
Sn n
s1  m 1 111
s2  m2 1 2  2
s3  m3 1 3 3
s4  m4 1 4  4
s6  m6 1 6  6
1
2 m
3 1 3
6  m 3
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

20. ROTACIONS:GIR D’ANGLE θ, al voltant d’ EIX DE GIR // c
MATRIU (SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
GIR D’ANGLE θ
A(x,y,z) A’(x’,y’,z’)
Notació matricial
y y’ b  x'   cos  sin 0 x 
    
 y '    sin cos 0 y 
 z'   0 1 z 
x’ θ A’    0  
x
A Coordenades punts equiv.
a
x'  cos  x  sin  y  0 z
y'  sin  x  cos  y  0 z
z '  0 x  0y  1 z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

21. ROTACION: GIR D’ANGLE 180°. EIX DE GIR binari (2) // c
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
GIR D’ANGLE 180
(x,y,z) (-x,-y, z) Notació matricial
Fz  x'   cos180  sin180 0   x 
    
 y '    sin180 cos180 0   y 
-x  z'   0
   0 1 z 
 
 x'    1 0 0   x 
-y y     
 y'    0  1 0   y 
b  z'   0 0 1   z 
    
Coordenades punts equiv.
θ x'   x x' '  x
x y' '  y
Fz y'   y
a z'  z z' '  z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

22. ROTACION: GIR D’ANGLE 180°. EIX DE GIR binari (2) // a
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
GIR D’ANGLE 180
(x,y,z) (x,-y,-z) Notació matricial
 x'   1 0 0   x 
    
-y y  y'    0  1 0   y 
b  z '   0 0  1  z 
    
Coordenades punts equiv. a (x,y,z)
x'  x
-z
x x Fz y'   y
a//2 z'   z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

23. ROTACION: GIR D’ANGLE 180°. EIX DE GIR binari (2) // b
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
GIR D’ANGLE 180
(x,y,z) (-x, y,-z) Notació matricial
-z
 x'    1 0 0   x 
    
 y'    0 1 0   y 
y
b  z '   0 0  1  z 
    
Coordenades punts equivalents (x,y,z)
x'   x
x
Fz y'  y
a z'   z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

24. ROTACION: GIR D’ANGLE 90°. EIX DE GIR quaternari (4) // c
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
(x,y,z) G90(-y,x,z) G90(-x,-y,z) G90 (y,-x,z) G90 (x,y,z)
Notació matricial
 x'   cos90  sin90 0   x 
    
 y '    sin90 cos90 0   y 
Fz
   1 z 
 z'   0 0  
 x'   0  1 0   x 
    
Fz
 y'    1 0 0   y 
b  z'   0 0 1   z 
y     
Fz
Coordenades punts equivalents (x,y,z)
x x'   y x'   x x'  y
Fz y'  x y'   y y'   x
z'  z z'  z z'  z
a
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

25. ROTACION: GIR D’ANGLE 120°. EIX DE GIR ternari (3) // c
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
 x'   cos120  sin120 0   x 
    
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)  y '    sin120 cos120 0   y 
 z'   0 1 z 
   0  
(x,y,z) G120(-y,x-y,z) G120(-x+y,-x,z) G120 (x,y,z)
(El sistema no es ortogonal)
Notació matricial
 x'   0  1 0   x 
    
Fz  y'    1  1 0   y 
 z'   0 0 1   z 
    
Fz
b
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
Fz x'   y x' '   x  y
y'  x  y y' '   x
z'  z z' '  z
a
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

26. ROTACION: GIR D’ANGLE 60°. EIX DE GIR senari (6) // c
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
 x'   cos60  sin60 0   x 
    
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)  y '    sin60 cos60 0   y 
 z'   0 1 z 
   0  
(x,y,z)G60(x-y,x,z) G60(-y,x-y,z) G60(-x,-y,z) G60(-x+y,-x,z) G60(y,-x+y,z) G60(x, y,z)
(El sistema no es ortogonal)
Notació matricial
 x'   1  1 0   x 
    
Fz Fz  y'    1 0 0   y 
 z'   0 0 1   z 
    
Fz
b
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
Fz
x'  y
z
F
F
x' '  x  y x'   y x'   x x' '   x  y
z
y' '  x y'  x  y y'   y y' '   x y'   x  y
z' '  z z'  z z'  z z' '  z z'  z
a
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

27. REFLEXIÓ: PLA m  a
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
Pla m  a
(x,y,z) (-x, y,z) Notació matricial
z  x'    1 0 0   x 
    
 y'    0 1 0   y 
 z'   0 0 1   z 
    
y
b
Coordenades punts equivalents (x,y,z)
x'   x
x
Fz y'  y
a z'  z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

28. REFLEXIÓ: PLA m  b
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
Pla m  b
(x,y,z) (x,-y,z) Notació matricial
 x'   1 0 0   x 
    
 y'    0  1 0   y 
 z'   0 0 1   z 
    
-y y
b
Coordenades punts equivalents (x,y,z)
x'  x
z
x x Fz y'   y
a z'  z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

29. REFLEXIÓ: PLA m  c
MATRIU(SI EL SISTEMA DE COORDENADES ES ORTONORMAL)
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
Pla m  c
(x,y,z) (x,y,-z) Notació matricial
 x'   1 0 0   x 
    
 y'    0 1 0   y 
 z '   0 0  1  z 
    
y
b
Coordenades punts equivalents (x,y,z)
x'  x
x Fz -z y'  y
a z'   z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

30. INVERSIÓ: (CENTRE D’INVERSIÓ) 1
MATRIU
Coordenades punts equivalents a (x,y,z)
(x,y,z) 1 (-x,-y,-z) Notació matricial
Fz-
-x
 x'    1 0 0   x 
    
 y'    0  1 0   y 
-y y  z '   0 0  1  z 
b     
Coordenades punts equiv. a (x,y,z)
θ x'   x x' '  x
x y' '  y
Fz y'   y
a z'   z z' '  z
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

31. CRISTAL·LOGRAFIA
32 Grups puntuals cristal·logràfics.
Classificació segons 7 Sistemes Cristal·lins.
Notació grups puntuals.
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

32. CRISTAL·LOGRAFIA
32 Grups puntuals cristal·logràfics.
Classificació segons 7 Sistemes Cristal·lins.
Notació grups puntuals.
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

33. CRISTAL·LOGRAFIA
32 Grups puntuals cristal·logràfics.
Classificació segons 7 Sistemes Cristal·lins.
Notació grups puntuals.
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia

34. CRISTAL·LOGRAFIA
32 Grups puntuals cristal·logràfics.
Classificació segons 7 Sistemes Cristal·lins.
Notació grups puntuals.
M. AGUILÓ. Àrea de Cristal·lografia