Este documento presenta un programa de entrenamiento internacional que cubre cuatro temas principales: geometría, teoría de números, combinatoria y álgebra. En geometría, se discuten triángulos, círculos, cuadriláteros y sólidos platónicos. La teoría de números incluye divisibilidad, MCD, MCM y congruencias. La combinatoria cubre permutaciones, combinaciones y el binomio de Newton. Finalmente, el álgebra trata identidades, polinomios, desigualdades y técnicas

1. Programa de los Entrenamientos Internacionales
2008
I. Geometr´
ıa.
1. Tri´ngulos.
a
a) Teorema de Tales
b) Congruencia.
c) Semejanza.
d) Teorema de Pit´goras
a
e) Puntos y Rectas distinguidos (mediatriz, bisectriz, mediana, al-
tura, circuncentro, incentro, gravicentro, ortocentro)
f) Tri´ngulos Especiales (rect´ngulos, equil´teros, is´sceles...)
a a a o
g) Teorema de Ceva y Menelao.
h) Teorema de la bisectriz.
i) F´rmulas para el ´rea de un tri´ngulo: base por altura sobre dos,
o a a
semiproducto de dos lados por el seno del ´ngulo comprendido
a
por ellos.
j) Ley de senos y cosenos
2. C´ırculos
´
a) Angulos inscritos, semi-inscritos y centrales.
b) Potencia de un punto.
c) Eje radical.
3. Cuadril´teros
a
a) Cuadril´teros c´
a ıclicos.
4. Lugares geom´tricos b´sicos, como el c´
e a ırculo, la el´
ıpse, par´bola,
a
hip´rbola, circunferencia de Apolonio, rectas.
e
5. Conocimientos de los s´lidos plat´nicos.
o o
6. Desigualdades Geom´tricas (desigualdad del tri´ngulo, desigualdades
e a
entre los lados de un tri´ngulo).
a
7. Trigonometr´ funciones trigonom´tricas e identidades trigonom´tri-
ıa, e e
cas.
8. Construcciones y lugares geom´tricos.
e
II. Teor´ de N´ meros
ıa u
1. Divisibilidad
a) Definici´n.
o
b) Propiedades.
c) N´ meros primos. Teorema de infinidad de primos.
u
1

2. d ) Criterios de divisibilidad.
2. Factorizaci´n en n´ meros primos.
o u
a) Teorema fundamental de la aritm´tica. (Todo n´ mero tiene una
e u
descomposici´n unica en primos)
o ´
b) Lema de Euclides (Si p es un primo y p|ab entonces p|a o p|b.)
c) N´ mero de divisores de un entero.
u
d ) Suma y producto de los divisores de un n´ mero.
u
3. Algoritmo de Euclides
a) Algoritmo de la divisi´n.
o
4. M´ximo Com´ n Divisor
a u
a) Definici´n.
o
b) Propiedades.
c) Primos Relativos.
5. M´
ınimo Com´ n M´ ltiplo
u u
a) Definici´n.
o
b) Propiedades.
6. Congruencias.
a) Propiedades elementales.
b) Congruencias mod n como una relaci´n de equivalencia en Z.
o
c) Sistema completo y reducido de residuos.
d) Teorema chino del residuo.
e) Peque˜ o teorema de Fermat.
n
f) La funci´n φ de Euler.
o
g) Teorema de Euler.
h) Teorema de Wilson.
i) Soluci´n de sistemas de congruencias.
o
III. Combinatoria
1. Ordenaciones (arreglos) con repetici´n (An = nk ).
o k
2. Reglas generales de la combinatoria.
a) Regla de la suma.
b) Regla del producto.
3. F´rmula de inclusiones y exclusiones (caso particular n = 4).
o
n
4. Ordenaciones sin repetici´n (Pk = n(n − 1) . . . (n − k + 1)).
o
5. Permutaciones (Pn = n!).
n n!
6. Combinaciones (Ck = (n−k)!k! ).
7. Teorema del binomio (Tri´ngulo de Pascal).
a
2

3. Pn
8. Permutaciones con repetici´n P (k1 , k2 , ..., kn ) =
o Qn ki ! .
i=1
i=1 ki !
9. T´cnicas de resoluci´n de problemas.
e o
a) Principio de las casillas.
b) Paridad.
c) Coloraciones (n´ meros de Ramsey).
u
d) Principio de invarianza.
e) Contar de dos maneras.
f) Principio extremo.
g) Descenso infinito.
h) Inclusi´n y exclusi´n.
o o
i) Trabajar hacia atr´s.
a
10. Problemas de arreglos de n´ meros (tableros).
u
11. Problemas de juegos y estrategias ganadoras.
12. N´ meros de Fibonacci.
u
IV. Algebra
1. Identidades algebraicas y su factorizaci´n.
o
2. Desigualdades
a) Desigualdad del tri´ngulo.
a
b) x2 ≥ 0.
c) Desigualdad con valor absoluto y valor absoluto.
d) Desigualdades ´rmonica, geom´trica y aritm´tica con dos o tres
a e e
variables.
3. Polinomios.
a) Teor´ de ra´ y coeficientes.
ıa ıces
b) Relaciones de Vieta.
c) Divisi´n de polinomios
o
4. Sumas Finitas
a) Sumas geom´tricas.
e
b) Sumas aritm´ticas
e
c) Telesc´picas.
o
5. Inducci´n (sencilla).
o
6. Identidades algebraicas avanzadas.
a) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
b) Identidad de Lagrange: (a2 +b2 )(c2 +d2 ) = (ac+bd)2 +(ad−bc)2.
c) Identidad de Catal´n: 1 − 1 + 3 − 1 + · · · + 2n−1 − 2n = n+1 +
a 2
1
4
1 1 1
1 1
n+2 + · · · + 2n .
7. T´cnicas algebraicas.
e
3

4. a) Tomar conjugados.
b) Recursi´n.
o
c) Sustituciones trigonom´tricas.
e
d) Fracciones continuas.
e) Coeficientes binomiales.
f) N´ meros triangulares y generalizaciones.
u
g) Suma de cuadrados y cubos.
4