Actividades de repaso. Capítulo 0.

1. Matemáticas 4 ESO
opción B
Biblioteca del profesorado
SOLUCIONARIO
El Solucionario de Matemáticas para 4.º ESO
es una obra colectiva concebida, diseñada
y creada en el departamento de Ediciones
Educativas de Santillana, dirigido
por Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido:
Ana María Gaztelu
Augusto González
EDICIÓN
Angélica Escoredo
Mercedes de Lucas
Carlos Pérez
Rafael Nevado
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
Santillana

2. Presentación
El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de
presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los
contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la
vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la ense-
ñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la rea-
lidad, sino también la actuación sobre ella.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una
materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-
lución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-
no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que
pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-
ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el
libro del alumno.
Polinomios
3 y fracciones algebraicas Un hombre de principios
Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmente
difíciles para Paolo Ruffini.
Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sido
tomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses.
Un golpecito en el hombro y la voz amiga
de Luigi lo devolvieron a la realidad:
POLINOMIOS
–¡Paolo! ¿Qué has hecho? En la universidad
no se comenta otra cosa. El responsable político
ha asegurado que nunca volverás a sentarte
en tu cátedra y que has marcado tu destino;
SUMA, RESTA
POTENCIAS DIVISIÓN se le veía terriblemente enfadado.
Y MULTIPLICACIÓN
–Lo pensé durante mucho tiempo y cuando
comuniqué mi decisión me he sentido aliviado
–argumentó Ruffini, plenamente convencido.
–Pero ¿no has pensado en tu familia o en tu
posición? –Luigi mostró la preocupación
REGLA DE RUFFINI que parecía haber abandonado a Ruffini.
–Luigi, ¿cuánto darías por un puesto
de funcionario? –Estaban llegando al mercado
DIVISORES FACTORIZACIÓN y Ruffini se paró en seco–. Yo no estoy dispuesto
DE UN POLINOMIO DE UN POLINOMIO a pagar tanto por la cátedra; si hiciera
el juramento, habría traicionado mis principios
y mutilado mi alma, mantendría mi cátedra
pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto.
Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico
en los años en que estuvo alejado de la docencia.
VALOR NUMÉRICO
DE UN POLINOMIO En la división de polinomios P(x) : (x − a),
calcula el grado del cociente y del resto.
TEOREMA RAÍCES
DEL RESTO DE UN POLINOMIO
El grado del cociente es un grado menor
que el grado del polinomio P( x), y el grado
del resto es cero, pues es siempre
un número (un número es un polinomio
de grado cero).
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES
Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONARIO 3
80
EN LA VIDA COTIDIANA Disponemos de una superficie
098 Al recoger el correo,
cuadrada de 100 metros de lado. ¿Cómo han hecho las
097 Dentro de los proyectos Podríamos dividir el parque GGG Ana ha recibido la factura cuentas en esta factura?
GGG de conservación de zonas en tres zonas. de su consumo de luz
verdes de un municipio, en los dos últimos meses.
se ha decidido instalar
un parque en el solar
que ocupaba una
antigua fábrica.
Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura
con detalle.
Aparecen varias variables: la potencia, No olvides los precios
El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura, p, contratada, 4,4 kW cada mes; de cada variable
que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo. el consumo, c, 272 kWh. y los impuestos.
Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona
dedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 40 metros.
FACTURACIÓN
Potencia... 158,19 cent.
Consumo..... 8,99 cent.
Alquiler.......... 57 cent.
Impto. electricidad
IVA
Con esta información, escriben un polinomio:
1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z]
siendo x el importe de la potencia al mes, y el importe de la energía consumida
y z el importe mensual del alquiler.
Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 49,84 .
a) ¿Qué expresión nos da el área de la zona para pasear? ¿Y el área de la zona a) Comprueba el importe.
de lectura? b) Deciden bajar la potencia a 3,5 kW y el consumo aumenta a 315 kWh.
b) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, ¿cuáles serán ¿Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próximos meses?
las áreas de cada zona?
a) Importe = 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =
a) A juego = 402 = 1.600 m2 = 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 4,4 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 272) + 2 ⋅ 57] =
A lectura = (100 − x)2 − 402 = 8.400 − 200x + x 2 = 4.984,18 céntimos = 49,84
Apaseo = 1002 − (100 − x)2 = 200x − x 2 b) El importe de la factura de los dos próximos meses es:
b) A juego = 402 = 1.600 m2 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =
A lectura = (100 − 40)2 − 402 = 2.000 m2 = 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 3,5 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 315) + 2 ⋅ 57] =
A paseo = 1002 − 602 = 6.400 m2 = 5.112,93 céntimos = 51,13
112 113
2

3. Índice
Unidad 0 Repaso 4-11
Unidad 1 Números reales 12-47
Unidad 2 Potencias y radicales 48-79
Unidad 3 Polinomios y fracciones
algebraicas 80-113
Unidad 4 Ecuaciones e inecuaciones 114-149
Unidad 5 Sistemas de ecuaciones 150-185
Unidad 6 Semejanza 186-209
Unidad 7 Trigonometría 210-243
Unidad 8 Vectores y rectas 244-273
Unidad 9 Funciones 274-299
Unidad 10 Funciones polinómicas
y racionales 300-345
Unidad 11 Funciones exponenciales
y logarítmicas 346-377
Unidad 12 Estadística 378-405
Unidad 13 Combinatoria 406-429
Unidad 14 Probabilidad 430-455
3

4. 0 Repaso
NÚMEROS
001 Expresa en forma decimal estas fracciones. ¿Qué tipo de decimal obtienes?
7 17
a) c)
8 90
11 4
b) d)
6 330
7
a) = 0,875  Decimal exacto
→
8
11
b) = 1,83333… → Decimal periódico mixto
6
17
c) = 0,18888…  Decimal periódico mixto
→
90
4
d) = 0,0121212… → Decimal periódico mixto
330
002 Calcula.
3
2 3 7 
− 1 6 3 7 2 6 2 1
a) ⋅ −
 
 b) − : + c) −  :
 
2
5  10 
 4 7 4 10 5 7 3

  9
2 3 7  1
− 2 8 1 16 1 8 1
a) ⋅ −

 
 = ⋅ − = − = − =
5 2 10  4 5 10 4 50 4 25 4
32 − 25 7
= =
100 100
6 3 7 2 6 30 2 120 − 150 + 56 26 13
b) − : + = − + = = =
7 4 10 5 7 28 5 140 140 70
3
6 2 1 6 8 1 6 72 162 − 504
c) −  :
  = − : = − = =
 
7 3 9 7 27 9 7 27 189
342 38
=− =−
189 21
003 Opera y simplifica, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.
3 4  4 3
a)  −  ⋅ 

6
 
  − 


   12
5 6

−2 1  7 1 
b) + ⋅ − − (−2) ⋅  − 3
 

3 3  3 4
 

4 1 2  4  1
c) 2 − ⋅  +  −  + 2 ⋅
  
  

3 2  3
5  5

4

5. SOLUCIONARIO 0
3 4  4 3 15 − 24 4 − 6 −9 −2 18 1
a)  −  ⋅ 

  
  − =

 ⋅ = ⋅ = =
6 5   12 6  30 12 30 12 360 20
−2 1  7 1 
b) + ⋅ − − (−2) ⋅  − 3 =

 

3 3  3 4 
−2 1  7  −11 
 −2 1  7 11 
= + ⋅ − − (−2) ⋅     
 4  = 3 + 3 ⋅ − 3 − 2  =
3 3  3  
=
−2
+
1  −14
⋅ −
33 
=
−2
+ ⋅
  = −2 +  −47  =
1  −47 
 
 

   18 

3 3  6 6  3 3  6  3 
−12 47 −59
= − =
18 18 18
4 1 2 4  1 4 5+4 4+6 1
c) 2 − ⋅  +  −  + 2 ⋅

  
  
 = 2− ⋅ − ⋅ =
3 2 5  3  5 3 10 3 5
4 9 10 1 36 10 4 2
= 2− ⋅ − ⋅ = 2− − = =
3 10 3 5 30 15 30 15
004 Indica a qué conjunto numérico pertenece cada número.
a) 18,6777… c) 18,6777 e) 0,246810… g) −1,333…
b) 63 d) −4 f) −2,25 h) π
a) 18,6777…  Decimal periódico mixto
→
b) 63  → Natural

c) 18,6777  Decimal exacto
→
d) −4 → Entero
e) 0,246810… → Irracional
f) −2,25  Decimal exacto
→
g) −1,333… → Decimal periódico puro
h) π  Irracional
→
005 Escribe tres números decimales periódicos puros y otros tres periódicos mixtos,
y trúncalos a las milésimas.
Periódicos puros: 1,3; 21,27; 3,142  Truncamiento: 1,333; 21,272; 3,142
→
Periódicos mixtos: 1,13; 4,051; 2,106 → Truncamiento: 1,133; 4,051; 2,106
006 Redondea y trunca los siguientes números irracionales a las décimas
y a las milésimas.
a) π = 3,141592… b) e = 2,718281… c) Φ = 1,618033…
Aproximación a las décimas Aproximación a las milésimas
Número
Redondeo Truncamiento Redondeo Truncamiento
π = 3,141592… 3,1 3,1 3,142 3,141
e = 2,718281… 2,7 2,7 2,718 2,718
φ = 1,618033… 1,6 1,6 1,618 1,618
5

6. Repaso
007 Juan quiere instalar un cable eléctrico a lo largo de las cuatro paredes
de una habitación cuadrada de 25 m2. Calcula la longitud, en cm,
y el coste, en , del cable, si cada centímetro del cable cuesta 0,30 .
Como la habitación es cuadrada y tiene 25 m2 de área, el lado de cada pared
mide 5 m de longitud.
Longitud del cable = 5 ⋅ 4 = 20 m = 2.000 cm
Coste del cable = 2.000 ⋅ 0,30 = 600
ECUACIONES
008 Escribe cuatro expresiones algebraicas.
2x + 4 −2 + 5y − 3z 3x − y + 1 −3z − 10
009 Expresa los enunciados en lenguaje algebraico.
a) El doble de un número.
b) Un número al cuadrado.
c) La mitad de un número menos 3.
d) Un número menos el doble de otro.
e) El cubo de un número menos el triple de su cuarta parte.
f) El cuádruple de un número.
g) La suma de dos números.
h) El cuadrado de la diferencia de dos números.
i) La quinta parte de un número más su triple.
a) 2x d) x − 2y g) x + y
3y
b) x 2 e) x 3 − h) (x − y )2
4
x x
c) −3 f) 4x i) + 3x
2 5
010 Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.
a) 5(2x − 4) = 4(2x − 1) + 2x − 16
b) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8
c) 2x − 8 = 3x + 6 − x + 2
d) 4(x − 3) = 3(x + 4)
e) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x
f) (x + 2)2 − x 2 − 4x = 4
a) Identidad d) Ecuación
b) Identidad e) Ecuación
c) Ecuación f) Identidad
6

7. SOLUCIONARIO 0
011 Indica los miembros y términos de estas ecuaciones señalando su coeficiente
y su incógnita.
a) 2x + 3 = 5
b) −x + 11x − 7 = 5x + x − 9x
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x
a) Miembros Términos Coeficientes Incógnita
2x 2
2x + 3
3 3 x
5 5 5
b) Miembros Términos Coeficientes Incógnita
−x −1
−x + 11x − 7 11x 11
−7 −7
x
5x 5
5x + x − 9x x 1
−9x −9
c) Miembros Términos Coeficientes Incógnita
4x 4
6 6
4x + 6 − x − 3x
−x −1
−3x −3 x
5 5
2x 2
5 + 2x − 3 − 2x
−3 −3
−2x −2
012 Resuelve estas ecuaciones.
x −5 3(1 − x )
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) c) − = x +1
6 8
 x
b) 2(7 x + 1) = 32 − 




 5
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) → 24x − 6 = 16x + 8 → 8x = 14
14 7
→ x = =
8 4
 x 3x
b) 2(7x + 1) = 32 −  → 14x + 2 = 6 −

 
 → 70x + 10 = 30 − 3x
 5 5
20
→ 73x = 20 → x =
73
x −5 3(1 − x ) x −5 3 − 3x 
 = 24(x + 1)
c) − = x + 1 → 24
 6 −
 

6 8  8 
53
→ 4x − 20 − 9 + 9x = 24x + 24 → −11x = 53 → x = −
11
7

8. Repaso
013 Dentro de 5 años la edad de Paloma será el triple de la que tenía hace 9 años.
¿Qué edad tiene Paloma?
x → edad actual de Paloma
x + 5 → edad de Paloma dentro de 5 años
x − 9 → edad de Paloma hace 9 años
x + 5 = 3 ⋅ (x − 9) → x + 5 = 3x − 27 → −2x = −32 → x = 16
Paloma tiene 16 años.
014 Cristina iba a pagar 7.800 por los 150 menús de los invitados a su boda.
a) Si al final asistieron 40 invitados más, ¿cuánto pagó en total?
b) Si el coste del banquete hubiera sido de 8.736 , ¿cuántos invitados más
asistieron respecto de los 150 iniciales?
a) Menús Coste-( )
150 → 7.800   150 7.800
 → = → 150 ⋅ x = 7.800 ⋅ 190
190 → x  
 190 x
1.482.000
→ x = = 9.880
150
Si asistieron 40 invitados más, pagó 9.880 .
b) Menús Coste-( )
150 → 7.800   150 7.800
 → = → 150 ⋅ 8.736 = 7.800 ⋅ x
x → 8.736  
 x 8.736
1.310.400
→ x = = 168
7.800
Al banquete asistieron 18 invitados más.
015 En una peña quinielística de 120 socios, cada uno aporta 3 a la semana.
a) En el caso de que fueran 60 socios más, ¿cuánto aportaría cada socio?
b) Si quisieran jugar 540 a la semana, ¿cuánto tendría que aportar cada uno?
a) Socios Aportación-( )
120 → 3   120 x 360
 → = → 120 ⋅ 3 = 180 ⋅ x → x = =2
180 → x  
 180 3 180
Si fueran 60 socios más, cada socio aportaría 2 .
b) Apuesta-( ) Aportación-( )
360 → 3   360 3
 → = → 360 ⋅ x = 540 ⋅ 3
540 → x  
 540 x
1.620
→ x = = 4, 5
360
Si quisieran jugar 540 a la semana, cada uno de los socios tendría
que aportar 4,50 .
8

9. SOLUCIONARIO 0
016 Pedro compró 2 m de tubería de cobre por 5,20 . Si tiene que comprar 5 m
de la misma tubería, ¿cuánto le costará?
Tubería (m) Coste ( )
2  5,20 
→  → 2 = 5, 20 → x = 5, 20 ⋅ 5 = 13

5  → x  
 5 x 2
Los 5 metros de tubería le costarán 13 .
017 Un tren que circula a 80 km/h tarda 3 horas en llegar a una ciudad.
¿Cuánto tardará circulando a 60 km/h?
Velocidad (km/h) Tiempo (h)
80 → 3   → 60 = 3 → x = 80 ⋅ 3 = 4

60 → x  
 80 x 60
Circulando a 60 km/h, el tren tardará 4 horas.
018 En una escalada llevan agua para 5 excursionistas durante 8 horas. Si pasadas
2 horas se marchan 2 excursionistas, ¿para cuántas horas tendrán agua?
Pasadas 2 horas, a los 5 excursionistas les quedaría agua para 6 horas.
Personas Tiempo (h)
5 → 6   3 6 30
 → = → x = = 10
3 → x  
 5 x 3
Tendrán agua para 10 horas después de marcharse los 2 excursionistas.
GEOMETRÍA
019 Determina gráficamente el vector v de la traslación que transforma F en F',
y el vector w de la traslación que transforma F' en F.
F'
v
F
w
9

10. Repaso
020 Determina la figura simétrica de F respecto del eje e.
e
F F'
021 Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo −135°. (Los ángulos negativos
van en el sentido de las agujas del reloj.)
F
5°
13
F'
O
022 Obtén la figura simétrica de F respecto del punto O.
F
O
F'
FUNCIONES
023 Razona si las siguientes relaciones son funciones.
a) El peso de una persona y su edad.
b) El diámetro de una esfera y su volumen.
c) El número de DNI de una persona y la letra de su NIF.
d) El número de teléfono de una persona y su número de DNI.
a) No, por ejemplo, una persona puede pesar lo mismo en dos años distintos.
b) Sí, el volumen de una esfera depende de su radio.
c) No, pues solo se consideran funciones las relaciones entre variables
numéricas.
d) Sí, a cada teléfono le corresponde un único número de DNI.
10

11. SOLUCIONARIO 0
024 Expresa algebraicamente, mediante una tabla y una gráfica, la función que:
a) Asocia a un número su mitad más 4 unidades.
b) Relaciona la cantidad de peras compradas en kilogramos y su precio
(1 kg cuesta 2,25 ).
a) Y
x
x y = +4
2
0 4
1 9/2
1
2 5
1 X
4 6
b) x y = 2,25x Y
0 0
1 2,25
2 4,5
1
4 9
1 X
025 Describe, mediante un enunciado, las siguientes funciones.
x
a) y = x 3 − 1 c) y = +2 e) y = 9x − 2
5
b) y = (x − 1)3 d) y = x (x + 1) f) y = x 2 + x
a) El cubo de un número menos 1.
b) El número anterior a un número al cubo.
c) La quinta parte de un número más 2.
d) El producto de un número por el siguiente número.
e) Un número multiplicado por 9 menos 2.
f) Un número más su cuadrado.
026 Expresa, mediante una fórmula,
la función que relaciona
el número de CD y su precio.
Después, construye una tabla
de valores y representa
los puntos que obtienes.
¿Puedes unirlos?
Y
50 CD Cada CD cuesta: 32,80 : 4 = 8,20
30 1 8,20 La función es: y = 8,2x
2 16,40
10
3 24,60 Los puntos no se pueden unir porque
1 2 3 4 X 4 32,80 no podemos comprar fracciones de CD.
11