Este documento presenta una introducción a la geometría fractal y su descubridor, Benoît Mandelbrot. Explica que Mandelbrot descubrió que muchos objetos naturales como nubes, montañas y árboles tienen propiedades fractales y auto-similitud. También destaca que artistas como Hokusai prefiguraron este concepto en sus obras a pesar de no tener conocimiento matemático. Finalmente, argumenta que la naturaleza y el cuerpo humano exhiben patrones fractales que maximizan la complejidad dentro de limit

1. Julián David Cortés
EL GEÓMETRA FRACTAL: SOBRE MANDELBROT Y SUS NUBES.
Intromisión, más que introducción.
Decía Albert Einstein: "Cuando las leyes de las matemáticas se refieren a
la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la
realidad”. Una declaración extraña ¿Un científico dudando de las
aplicaciones fácticas de la ciencia? ¿De su constante labor de
descubrimiento y, en algunos casos, de creación? Es como si Alexandre
Eiffel dudara sobre la perdurabilidad y fortaleza de su torre parisina.
¿Hacerla con el fin de derrumbarla ─o que otro lo haga─ y volverla a
construir? ¿Por qué?, o mejor ¿por qué no?
De esta manera, el desarrollo histórico de la ciencia ha sido, de algún
modo, cíclico, repetitivo. La ciencia se derrumba, se auto-organiza y se
re-hace. En palabras más simples: el espíritu y quehacer científico, como
la misma ciencia, ha sido/es una construcción paulatina, y jamás
inmediata y definitiva. Han ocurrido, reiterando lo dicho, múltiples
revoluciones, rupturas y sumisiones de paradigmas, en el sentido Kuhniano
de la palabra, por los que ha pasado la humanidad1.
Con todo lo anterior, este escrito no pondrá en manto de duda el genio de
A. Einstein o de A. Eiffel, ni tampoco se entrometerá, con un ademán
imprudente, en discusiones epistemológicas de la filosofía de la ciencia.
Es una mención a la vida ─no a la muerte─, de un prominente matemático
polaco; a su obra y sus aplicaciones; al legado de un “sentipensate”:
Benoît Mandelbrot (20 de noviembre, 1924 – 14 de octubre, 2010).
Sobre un ápice de su vida.
Se dice que uno de los factores para tener éxito en la ciencia es,
precisamente, uno de los más complejos de examinar: el papel y la
importancia del azar. Esto puede ser asimilado como “Las circunstancias”
en un lenguaje clásico, o mejor, como diría M. Unamuno: “Somos nosotros
mismos y nuestras circunstancias”.
De esta suerte fue la relación de Mandelbrot consigo mismo, con el
entorno y sus circunstancias, así: durante la ocupación Nazi en Francia,
donde habitaba en su juventud, temía constantemente que fuese a morir,
así que decidió tener grandes sueños, día tras día. En su plano familiar,
1
Aunque estudiar el concepto de paradigma no es el propósito central de este ensayo, si
se considera vital aclarar su noción, ya que será nombrado posteriormente. Thomas Kuhn
(físico y filósofo de ciencia de origen estadounidense) declara que el concepto de
paradigma puede entenderse en dos sentidos; el primer entendimiento se puede dar como un
“conjunto de creencias, técnicas, métodos y valores que constituyen una comunidad
científica”. Y el segundo, como un “modelo, conjunto de reglas extraído de ciertas
soluciones a problemas que se le han planteado a un grupo de científicos y con las cuales
soluciones han generado una mutación, o revolución, en la forma de pensar e interpretar
la ciencia”.

2. Julián David Cortés
fue científicamente muy influenciado por su tío (Szolem Mandelbrot,
profesor de matemáticas en el Collège de France). Cabe agregar, por
último, que hizo su estancia Post-Doctoral en el Instituto de Estudios
Avanzados de Princeton (IAS, por sus siglas en inglés), cuyo tutor fuera
uno de los matemáticos más prominentes del siglo XX: John von Neumann
(aportador a la arquitectura computacional, teoría de juegos, física
cuántica, entre otras). Y así, continuó divagando en la impredecible
madeja de la ciencia, la academia y la vida misma, en universidades como
Harvard y Yale por nombrar algunas. Éste conjunto de vivencias, así sea
tímidamente expuesto aquí, tuvo una influencia determinante en el camino
a recorrer por Mandelbrot. ¿Él mismo y sus circunstancias?2
Consecuentemente, en el año de 1977, Mandelbrot culmina una etapa de su
labor científica con la publicación del libro: “La geometría fractal de
la naturaleza”, la cual es el punto de partida de la geometría de
fractales3; un extenso volumen que rodea el medio millar de páginas, en
donde se demuestra la estrecha relación, inicialmente, entre la geometría
fractal y la “naturaleza de la naturaleza”, como afirmaría R. Feynman.
Esto se puede hallar puntualmente, o mejor aún, imaginar desbordadamente,
en una frase suya: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos,
las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas,
ni los relámpagos viajan en una línea recta”.
Una y otra vez, así hasta el infinito.
En contraste con la línea de discusión, esta sección no se separa del
hilo inicial, de hecho, se acerca cada vez más a tener una mejor
comprensión sobre la geometría fractal (ciencia compleja, que, como ha
sido evidente, no se ha definido; y en la medida de lo posible, no se
definirá pero sí se ejemplificará).
En este sentido, se planea dar una breve introducción a las analogías que
se realizarán de aquí en adelante, con uno de los elementos más sólidos,
en cuanto a geometría fractal, que se encuentran en la naturaleza: el
romanescu; un híbrido entre el brócoli y la coliflor.
2
Es necesario resaltar, en esta específica parte, que la labor intelectual y científica
de Mandelbrot también fue influenciada por otras grandes mentes, como: G. Leibniz, H.
Poincaré y, quien fue autor de la cita que abre este escrito y también investigador del
IAS –casualmente en un período de tiempo muy cercano-, A. Einstein
3
Es preciso distinguir también el desempeño y los resultados que habían tenido hasta ése
entonces renombrados matemáticos inmiscuidos en la geometría fractal, teoría de
conjuntos, entre otras temáticas: G. Peano, F. Hausdorff, H. von Koch, G. Julia y P.
Fatou.

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Ilustración 14
Como se ve, el romanescu devela naturaleza fractal, pues, en cada
iteración, despliega propiedades de auto similitud; es decir: el todo se
asemeja a la parte y la parte al todo; en otra sencilla interpretación:
mientras el objeto se encoge/acerca sucesivamente hacia el infinito, la
longitud del mismo, se extiende hasta el infinito. Este tipo de
superficie, entre otras, no era posible ser estudiada por la geometría
euclidiana; así que estos estudios necesitaban otro enfoque, otro
holismo.
Es preciso entender que todo el complejo aparato matemático empleado en
la geometría de fractales, no es usado, en rigor, sólo para medir
superficies vegetales y de cualquier tipo. Basta con hacer una pesquisa
en motores de búsqueda de revistas indexadas o las bibliotecas para
intuir la voluminosa aplicación de la geometría de fractales. Entre
ellas, sin asediar al lector, son: medicina, economía, física, finanzas,
geografía, geología, astronomía, telecomunicaciones, procesos cognitivos,
biología, informática, y, una de las más interesantes aplicaciones, la
música y el arte a través del tiempo. Déjenme a continuación ampliar esta
última idea.
Se podría decir, sin miedo alguno, que intelectuales, mujeres y hombres
de ciencia ─entre ellos el mismo Mandelbrot─ y adicionalmente artistas,
están clamando para que los saberes vuelvan a converger; esto es: la
fusión entre el arte y la ciencia. Como solía ser la obra y pensamiento
humano (el ejemplo más diáfano de esta alusión es L. da Vinci) antes de
4
Imagen disponible en:
http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/images
/curiosidades/curios5.jpg. Tomada el 02 de noviembre de 2010.

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que emergiera el reduccionismo-mecanicismo científico ─gestado por el
trinomio Galileo, Newton y Descartes─ y el positivismo lógico de A.
Comte. Esto no significa que se estén desmeritando los anteriores
paradigmas, sino que se insiste en que la humanidad está enfrentando
escenarios de caos, no-linealidad, auto-organización, en fin, escenarios
que exhiben complejidad.
Ahora bien, el carácter predictivo del arte sobre la ciencia se torna
evidente cuando se tiene una visión implícita, más que explícita, de lo
que se observa. Uno de los artistas que comprendía la naturaleza fractal
de la pintura y de la naturaleza sin tener algún contacto con occidente y
sus matemáticas, fue el japonés Katsushika Hokusai (1760 - 1849). Este
símil entre la geometría fractal, la naturaleza y la pintura se puede
encontrar en numerosas obras de éste artista, y de muchos otros también
pero en este caso me gustaría exponer una de sus obras más famosas: La
gran ola Kanagawa.
Ilustración 25
Se puede ver, explícitamente, que es un hermoso escenario que descubre la
potencia del mar y una de sus olas. Implícitamente, la gran ola en su
cima tiene pequeñas olas, y éstas otras más pequeñas, sucesivamente. En
síntesis, esta obra de arte, explícitamente, es una ola, pero si se abre
un nuevo horizonte sobre el panorama existente, implícitamente, es un
fractal6. Adicionalmente, denoto que el análisis de la composición de
5
Imagen disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Great_Wave_off_Kanagawa2.jpg. Tomada el 02 de
noviembre de 2010.
6
Otro estudio sobre Arte y fractales que también me gustaría recomendar, pero por
cuestiones de espacio y tiempo no es conveniente tocar aquí, lo ha realizado Ron Eglash
(etno-matemático estadounidense). Su enfoque son las diferentes aplicaciones matemáticas
y fractales presentes en la arquitectura y cultura africana.

5. Julián David Cortés
esta obra sí que puede abarcar tinta y papel; por cuestiones de espacio
me veo obligado a dejarla, sin antes admitir la inconmensurable
importancia que tiene en el arte oriental.
Pasando a otro camino de analogías, si nos fijamos en un punto de nuestro
cuerpo, como en nuestras manos, no hallaremos un pequeño humano y en él
otro y así sucesivamente. Lo que sí encontraremos serán fracturas
continuas. Y más que esto, en nuestro interior sí que somos fractales.
Nuestros organismos a través de millones de años de evolución, adaptación
y selección natural han desarrollado formas fractales de crecer. Es
decir: ya que un modelo fractal de crecer es tomar el mismo patrón de
instrucciones y replicarlo un número exponencial de veces, es un factor
que implica frondosidad. Lo que es evidente en nuestros bronquios,
pulmones, riñones, la red neuronal, entre otros organismos. Nuestro
sistema circulatorio, por ejemplo, es complejo y tremendamente efectivo,
al lograr alimentar cada célula con nutrientes y recoger sus desechos. A
pesar de esto, ocupa menos del 5% de espacio en el cuerpo humano.
Ahora bien, no sólo el hombre presenta formas fractales de crecer y
expandirnos. Basta pensar en los árboles, sus copas y raíces. También en
un rayo, una pequeña descarga eléctrica o la parte costera de todo un
continente; esto para saber que la geometría fractal ha estado desde
eones en la naturaleza, o mejor dicho: es propio de ella.
Wierzymy, że niewiarygodne
Este ensayo cierra con palabras en polaco, que traducen “creer lo
increíble”, recordando al científico que desbordó las matemáticas al
estudio de múltiples disciplinas de las ciencias naturales, técnicas y
sociales: Benoît Mandelbrot. Su labor, a mi juicio, fue radicada en el
descubrimiento de la geometría fractal, y no tanto en la creación de un
método científico-matemático para estudiar la naturaleza. En otras
palabras, siendo que el hombre es una creación de la naturaleza, a su
vez, es un medio para que ella se conozca a sí misma. También, en una
pregunta: ¿Realmente el hombre estudia la naturaleza?, o es ella quien lo
observa: la creadora contemplando precavidamente su creación.
Finalmente se admite, en un sentido amplio, que el contenido de este
ensayo es difuso ─como las nubes que lo titulan─, pues su enfoque no
está centrado, verdaderamente, en un solo tema, como lo sería la
biografía de Mandelbrot; la geometría fractal en la naturaleza, la
arquitectura o la pintura; o cómo A. Einstein no estaba totalmente en lo
cierto al afirmar que las leyes de la matemática no son de la realidad.
Lo que resta, por último, es confesar la visión que queda al comprender
este escrito en todo su conjunto, y en donde se espera haber contagiado
al lector, así sea, modestamente:

6. Julián David Cortés
“La naturaleza como un todo y nosotros en ella, como un infinito
interno”.
Recursos consultados
 Bibliografía
- Barragán, O. (2008). ¿Por qué Thomas Kuhn escribe una postdata a su
libro 'La Estructura de las Revoluciones Científicas'?. Revista
Colombiana de Filosofía de la Ciencia, IX.
- Guzmán, M. (2010). La generación del cambio climático. Bogotá:
Universidad del Rosario.
- Maldonado, C. (2004). Ciencias de la complejidad: ciencias de los
cambios súbitos. Odeon, II. Bogotá: Universidad Externado de
Colombia.
- ----------------- (2009). El problema y el reto de la
interpretación en ciencia: David Bohm y la física cuántica. En
“Unos cuantos para todo”. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
- Mandelbrot, B. (1997). Geometría fractal de la naturaleza.
Barcelona: Tusquest.
- Norak, M. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related
Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Company.
 Videos
- Información extraída de conferencia realizada por Benoit
Mandelbrot: Fractals and the art of roughness. Portal Web: TED.
Disponible en:
<http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_rou
ghness.htm>.Consultada el 02 de noviembre de 2010.
- Información extraída de conferencia realizada por Ron Eglash:
African fractals. Portal Web: TED. Disponible en:
<http://www.ted.com/talks/ron_eglash_on_african_fractals.html>
Consultada el 02 de noviembre de 2010.
 Imágenes
- Romanescu: Imagen disponible en:
http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/
io2/public_html/images/curiosidades/curios5.jpg. Tomada el 02 de
noviembre de 2010.

7. Julián David Cortés
- Gran ola Kanagawa. Autor: Katsushika Hokusai. Imagen disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Great_Wave_off_Kanagawa2.jpg.
Tomada el 02 de noviembre de 2010.