Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de F´ısica
Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y
Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales
Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez
MSc. Demian Pereira, Tutor
Dr. Miguel Mart´ın, Co Tutor
Caracas, Septiembre 2006

Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y
Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales
Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez
Trabajo especial de grado presentado
ante la ilustre Facultad de Ciencias de la
Universidad Central de Venezuela como
requisito parcial para optar al t´ıtulo de:
Licenciado.
MSc. Demian Pereira, Tutor Fecha
Dr. Miguel Mart´ın, Co Tutor Fecha

Quienes suscriben, miembros de; Jurado que examinó el trabajo
presentado por la Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez titulado Detección de
Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización
Mediante Análisis de Series Temporales para optar al t´ıtulo de Licenciado,
consideramos que dicho trabajo cumple con los requisitos exigidos por los reglamentos
respectivos y por lo tanto lo declaramos APROBADO en nombre de la Universidad
Central de Venezuela.
MSc. Demian Pereira, Tutor Fecha
Dr. Miguel Mart´ın, Co Tutor Fecha
Dr. Humberto Rojas Fecha
Dr. Salvador Somaza Fecha
Caracas 22 de Septiembre de 2006.

iii
A la memoria de mi abuelo,
quien me a tra´ıdoa donde estoy hoy
y llevará siempre de la mano.
A mis padres, quienes han sido
consecuentes con sus pensamientos y acciones
y cuya fervorosa educacióna despertado en mi
el esp´ıritu de la perseverancia y la necesidad
de superación intelectual.

iv
Agradecimientos
A los profesores Demian Pereira y Miguel Mart´ın, por su constante dedicación y
diligente guiatura para llevar a fel´ız termino esta investigación.
Al M.Sc. Alfredo Marcano y al M.Sc. Jesús Dávila, quienes con su experiencia
profesional orientaron este trabajo a fin de obtener los mejores logros en las áreas de
sus especialidades.
A mis seres queridos, por el tiempo y la comprensión invertidos durante la realización
de este Trabajo Especial de Grado.
A mis compañeros de “trabajo” por todo lo que he aprendido de ellos y quienes
con su voluntad, tenacidad y amor por el trabajo contribuyeron en alto grado a la
feliz culminación de esta investigación.
A los pacientes, que son la motivación diaria para este tipo de investigación que
tanto me apasiona y quienes representan la fuente inagotable de conocimiento.
A todos........... Muchas gracias

v
Índice general
Índice de figuras VIII
1. PROBLEMÁTICA DE LAS CARACTERISTICAS DE LAS LE-
SIONES DE LOS TUMORES DEL SISTEMA NERVIOSO 3
1.1. Importancia del problema y propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. PRINCIPIOS BÁSICOS DE IMAGENES POR RESONANCIA MAG-
NÉTICA 9
2.1. Principios F´ısicos de Resonancia Magnética Nuclear . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Fenómeno de Resonancia Magnética Nuclear . . . . . . . . . . 10
2.2. Transformación de la Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Formación de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Selección del plano de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Diferentes Tejidos y Contraste de la Imagen de RMN . . . . . . . . . 26

vi
3. INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMAGE-
NES 30
3.1. Imagen Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Procesamiento de imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Realce de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. Restauración de la Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3. Segmentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4. Establecimiento de umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.5. Análisis de Textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.6. Modelos Deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. DIMENSIÓN FRACTAL 43
4.1. Dimensión Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Tipos de Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Formulación de métodos y algoritmos para el cálculo de Dimen-
sión Fractal y Dimensión de Correlación . . . . . . . . . . . . 47
5. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO 50
5.1. Análisis de las Imagenes de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Procesamiento de las Imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.1. Transformación de niveles de gris . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.2. Segmentación de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.3. Implementación del modelo deformable . . . . . . . . . . . . . 55

vii
6. DISCUSIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS 59
6.1. Análisis de las imagenes de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Procesamiento de las imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3. Presentación de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 73
Bibliograf´ıa 107

viii
Índice de figuras
2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Representación de una imagen digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. (a)Imagen con un rango de niveles de gris con valores comprendidos
entre [0,255], (b)Histograma de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. Imagen del fractal conocido como conjunto de Mandelbrot . . . . . . 43
4.2. Cajas cerradas de tamaño ( 1
2n ) con n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ix
5.1. (a) imagen sin tratamiento, (b) Ley de Potencia (c = 1 y γ =1.62) . . 52
5.2. Establecimiento del umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3. Detector de bordes Canny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4. Conectividad-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5. Extracción y cerrado del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6. Snake en proceso sobre la imagen original . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.7. Snake final sobre contorno extraido de la lesión (contorno rojo) . . . . 57
6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

x
6.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1
Resumen
En la medicina actual, hacer diagnósticos utilizando imagenes es invaluable. El
procesamiento de imagenes de resonancia magnética nuclear, tomograf´ıa computariza-
da, mamograf´ıa digital y otras modalidades, proveen un medio no-invasivo y efectivo
que permite obtener una interpretación tanto de los datos anatómicos de un sujeto
en particular suministrados por la imagen como de la patolog´ıa que éste presenta.
Provee la herramienta más eficaz al momento de planear, implementar y/o realizar el
seguimiento de algún tratamiento.
Los métodos de segmentación de imagenes basados en modelos teóricos, ya han
demostrado su utilidad en aplicaciones de investigación y en éste momento están
ganando popularidad en el estudio de diagnóstico por imagenes. Actualmente no
existe un método de segmentación que alcance resultados aceptables para todo tipo de
imagenes médicas. No existen métodos que sean generales y que puedan ser aplicados
en todo tipo de datos. De cualquier forma, los métodos que son especializados para
aplicaciones particulares pueden obtener mejores resultados.
En éste trabajo se presenta un estudio basado en aplicaciones de procesamiento de
imagenes médicas mediante la implementación de modelos deformables (“Snakes”).
El objetivo de este trabajo de investigación es, determinar y caracterizar lesiones
correspondientes a tumores del sistema nervioso central mediante el análisis del grado
de irregularidad en sus bordes, obtenidos mediante imagenes de resonancia magnética
nuclear. Para ello se emplearan técnicas de procesamiento digital de imagenes, las
cuales comprenden métodos de segmentación de imagenes tales como: realce de ima-
genes, establecimiento de umbrales e implementación del método de Snake como con-

2
torno activo. Éste último, conforma las fronteras de la lesión al minimizar un funcional
de energ´ıa, la cual ha sido representada en una serie temporal. Estudiaremos tanto la
serie generada del funcional de energ´ıa, como el borde correspondiente al Snake una
vez que ha conformado el borde de la lesión, mediante el uso de los conceptos de di-
mensión de correlación y de dimensión fractal respectivamente, los cuales, desde éste
punto de vista, representan la herramienta más eficiente para evaluar caracter´ısticas
de irregularidad en los bordes de las lesiones.
Para la realización del estudio se contó con un universo de 289 imagenes de
resonancia magnética nuclear correspondientes a diversas lesiones del sistema nervioso
central las cuales fueron organizadas y clasificadas, encontrandose sólo 19 imagenes
correspondientes a tumores del sistema nerviosos central. A estas 19 imagenes se les
practicó el procedimiento descrito anteriormente usando el programa Matlab, ima-
genes que ademas presentan las caracteristicas particulares de ser estudios de corte
axial y pesadas en T2.
Se obtuvo como resultado, la separación de las dos clases de tumores deseadas, por
lo que la implementación de este método representa una buena aproximación para
la evaluación de la malignidad en lesiones del sistema nervioso central encontrándose
que las lesiones, tomando en cuenta la irregularidad presente en sus bordes, pueden
ser clasificadas por su valor de dimensión como benignas o malignas. Se encontró que
sólo para la dimensión de correlación es posible dicha clasificación pues los valores
hallados para la dimensión fractal que se obtuvieron directamente de la figura del
Snake no representan diferenciación alguna en el aspecto deseado para ésta clasifi-
cación o al menos para el número de imagenes empleadas en el estudio, no fue posible
apreciar diferencia alguna. Se pudo observar un aumento del valor de la dimensión
de correlación conforme aumenta la variabilidad de los valores de energ´ıa en los gráfi-
cos, lo cual significa un aumento del valor de la dimensión de correlación conforme
aumenta la irregularidad en los bordes de las lesiones.

3
Cap´ıtulo 1
PROBLEM ÁTICA DE LAS
CARACTERISTICAS DE LAS LESIONES DE
LOS TUMORES DEL SISTEMA NERVIOSO
El surgimiento del cáncer se debe al crecimiento descontrolado de las células de
alguna parte del organismo. Aunque existen muchos tipos de cáncer, todos comienzan
debido al crecimiento sin control de “células anormales” o como comúnmente se les
denomina células cancerosas.
Durante los primeros años de vida de un individuo, las células normales se dividen
con más rapidez hasta que éste, alcanza la edad adulta, posteriormente, las células nor-
males de la mayor´ıa de los tejidos sólo se dividen para reemplazar las células dañadas
y/o para reparar lesiones. Las células normales del cuerpo humano, se dividen, se
diferencian y mueren, mientras que las células cancerosas se encuentran en cont´ınua
reproducción, manteniéndose siempre indiferenciadas y en lugar de morir, viven más
tiempo que las células normales. Estas células cancerosas se producen como conse-
cuencia de daños en el ADN (ácido desoxirribonucleico, ver Apéndice A). En las
células normales cuando aparece un daño en el ADN, la célula está preparada para
repararlo, de manera contraria, es decir, si no es capaz de reparar su propio ADN,
la célula muere; en el caso de las células cancerosas no es posible reparar el ADN y
la célula se multiplica con este defecto. Es posible que los individuos hereden parte
de este ADN dañado, lo cual es responsable de los tipos de cáncer hereditarios. Sin
embargo, como consecuencia de alguna exposición ambiental, es posible que algunos

4
individuos tengan predisposición a generar este tipo de daño en el ADN de las células
[1].
Las células cancerosas a menudo se desplazan y alojan en otras partes del cuerpo
donde originan un nuevo crecimiento de células cancerosas reemplazando al tejido
normal, este proceso es llamado metástasis y ocurre a medida que éstas entran al
torrente sangu´ıneo o a los vasos linfáticos del huésped. El cáncer usualmente asume
forma de tumor. Un tumor es una formación o nuevo crecimiento de tejido en el
que la multiplicación de las células no está totalmente controlada por los sistemas
reguladores del organismo y tiene un carácter generalmente progresivo; en este caso
también se le llama neoplasia. No todos los tumores son cancerosos; existen tumores
de tipo benignos, es decir, no cancerosos, los cuales no se propagan y con muy raras
excepciones, constituyen una amenaza para la vida. Los tumores malignos, son aque-
llos que conducen a una serie de fenómenos adversos en el huésped, debido a su
crecimiento masivo, producen invasión de los tejidos vecinos y metástasis.
Dependiendo de la zona en la que se encuentren los tumores, los órganos a riesgo
y/o afectados, la delimitación de sus bordes, el tipo de células que lo componen,
tamaño y la velocidad de su crecimiento entre otros factores; los tumores pueden
comportarse como benignos o malignos, por lo tanto responden, en general, a distintos
tratamientos, por esta razón los individuos que presentan esta enfermedad necesitaran
un tipo de procedimiento cl´ınico dirigido a su tipo de tumor en espec´ıfico.
Para el caso de los tumores del sistema nervioso central se ha encontrado que
representan alrededor del 1 % de las autopsias de hospitales generales, sin considerar
las metástasis, que del total de los tumores del sistema nervioso central representan
alrededor del 30 %. La Sociedad Americana del Cáncer calculó que durante el año 2005
se diagnosticaron 18.820 tumores malignos de cerebro o de médula espinal (10.730
en hombres y 8.090 en mujeres) en los Estados Unidos. Aproximadamente 12.820
personas (7.260 hombres y 5.560 mujeres) morirán debido a estos tumores malignos
de cerebro. Este tipo de cáncer de cerebro representa aproximadamente un 1,3 % de
todos los cánceres y un 2,2 % de todas las muertes relacionadas con cáncer. Estas cifras

5
incluyen adultos y niños [2]. Lamentablemente la Sociedad Venezolana de Cáncer no
tiene a disposición este tipo de estadisticas a nivel local.
Los órganos del sistema nervioso (ver Apéndice A) están formados por el tejido
nervioso, el cual consta de dos tipos células. De ellas pueden originarse diferentes
tumores benignos y tumores malignos. El pronóstico y los métodos de tratamiento
contra estos tumores var´ıan.
Con muy pocas excepciones, los tumores del sistema nervioso central se presentan
como tumores de tipo benignos. A menos que sea posible extirpar por completo es-
tos tumores seguirán creciendo y eventualmente causarán la muerte del huésped. La
mayor´ıa de los tumores del sistema nervioso central se originan a partir de las células
gliales que constituyen el tejido de sostén de las neuronas. A continuación algunos de
los más comunes e importantes tipos de tumores del sistema nervioso central:
Meningioma: se originan a partir de las meninges. Son bastante frecuentes y
representan la mayor´ıa de los tumores de la médula espinal. Los meningiomas ocurren
a partir de la mediana edad, aproximadamente entre los 50 a 69 años y ocurren con
una frecuencia proporcional al doble en las mujeres con respecto a los hombres. La
mayor´ıa de los meningiomas son benignos y se pueden curar mediante cirug´ıa. Sin
embargo, algunos meningiomas están situados peligrosamente cerca de estructuras
vitales dentro del cerebro y no pueden ser curados solamente mediante cirug´ıa. Sólo
algunos son malignos y pueden reaparecer muchas veces después de la cirug´ıa o, en
raras ocasiones, incluso propagarse a otras partes del cuerpo.
Astrocitoma: La mayor´ıa de los tumores que aparecen dentro del propio cere-
bro se originan de los astrocitos. La mayor´ıa no pueden ser curados, debido a que
se propagan ampliamente por todo el tejido normal circundante del cerebro. En oca-
siones, los astrocitomas se propagan a lo largo de las v´ıas del l´ıquido cefalorraqu´ıdeo.
No obstante, en raras excepciones, no se propagan fuera del cerebro o de la médu-
la espinal. En general, los astrocitomas se clasifican como de bajo grado, de grado
intermedio o de alto grado, según la rapidez de crecimiento que presenta el tumor.

6
Existen algunos tipos especiales de astrocitomas que tienden a tener un pronóstico
particularmente bueno. Estos se llaman astrocitomas no infiltrantes.
Oligodendrogliomas: Estos tumores se originan en las células cerebrales lla-
madas oligodendrocitos. Se propagan o infiltran de manera similar a los astrocitomas
y en la mayor´ıa de los casos, no pueden extirparse por completo mediante cirug´ıa.
Pueden propagarse a lo largo de las v´ıas del l´ıquido cefalorraqu´ıdeo, pero en contadas
ocasiones se propagan fuera del cerebro o de la médula espinal.
Ependimomas: se originan en las células ependimales que recubren los ventr´ıcu-
los cerebrales. Los ependimomas pueden obstaculizar la salida del l´ıquido cefalorraqu´ı-
deo de los ventr´ıculos, dando lugar al agrandamiento de los mismos. A diferencia de los
astrocitomas y de los oligodendrogliomas, los ependimomas, de manera caracter´ısti-
ca, no se propagan ni se infiltran en el tejido normal del cerebro. Como resultado,
algunos ependimomas, aunque no todos, pueden ser extirpados por completo y cu-
rados mediante cirug´ıa. Los ependimomas de la médula espinal tienen las mayores
probabilidades de curarse mediante cirug´ıa. Pueden propagarse a lo largo de las v´ıas
del l´ıquido cefalorraqu´ıdeo, pero no se propagan fuera del cerebro o de la médula
espinal.
Los astrocitomas, los oligodendrogliomas y los ependimomas están incluidos den-
tro de una categor´ıa general denominada Glioma los cuales representan el tipo más
frecuente de tumor cerebral.
Meduloblastomas: la célula que origina el meduloblastoma ha motivado una de
las discusiones más interesantes de la patolog´ıa moderna, pero sea cual sea su origen,
estos tumores son siempre cerebelosos [3]. Son tumores de rara aparición, presen-
tan un crecimiento rápido, pero pueden ser tratados y a menudo curados, mediante
radioterapia. Los meduloblastomas se presentan más comúnmente en niños y con
frecuencia se propagan por todas las v´ıas del l´ıquido cefalorraqu´ıdeo.

7
Schwannoma (neurilemoma): Los schwannomas se originan en las células de
Schwann por lo general, son tumores benignos que a menudo se forman cerca del
cerebelo.
Linfoma: Los linfomas se originan en los linfocitos (el tipo principal de célula del
sistema inmunológico). Muchos de éstos ocurren en personas infectadas con VIH, el
virus que causa el sida pero debido a los tratamientos nuevos, los linfomas cerebrales
se han vuelto menos comunes en estos pacientes. En el pasado, se consideraba que
los linfomas del cerebro eran altamente malignos y que sol´ıan provocar la muerte del
paciente en un plazo aproximado de un año. No obstante, los avances recientes en
la quimioterapia han cambiado de forma notable el pronóstico de las personas que
padecen de estos tumores.
1.1. Importancia del problema y propuesta
El diagnóstico actual de los tumores ya no depende solo de la estirpe [3] de los
tumores; en realidad, la concepción cl´ınica de la enfermedad y el estudio completo
de sus caracter´ısticas son muy orientadores para el diagnóstico. La meta principal
del estudio de la malignidad de los tumores, es lograr el correcto diagnóstico para el
posterior control de la enfermedad y cuando sea posible, su cura.
Las imagenes médicas de resonancia magnética nuclear proporcionan la herramien-
ta de diagnóstico más eficaz en el caso de tumores del sistema nervioso central; éstas
imagenes de resonancia magnética son utilizadas cotidianamente en la rutina cl´ınica
para establecer un diagnóstico, escoger y/o controlar una acción terapéutica.
Uno de los puntos en los que coinciden tanto médicos especialistas como cient´ıficos
que estudian el tema de los tumores, es que la irregularidad de los bordes de los tu-
mores [4] presentes en imagenes diagnósticas constituyen un elemento importante en
la caracterización y determinación del grado de malignidad del tumor. Esto general-
mente está basado en la experiencia y conocimiento del médico que realiza la presun-
ción diagnostica, a través del análisis de las caracter´ısticas visuales de las estructuras

8
mostradas en la imagen. Algunos autores han demostrado que existe auto-similitud
[5] en la irregularidad existente en los bordes de las células t´ıpicas que conforman un
tumor y la estructura tumoral. En particular y como se mencionó anteriormente, las
lesiones malignas exhiben mayor grado de irregularidad en sus bordes con respecto a
una lesión de tipo benigna. comúnmente solo es posible evaluar éstas irregularidades
de manera cualitativa y es por ésta razón que se hace necesario el planteamiento de
una metodolog´ıa capaz de medir cuantitativamente las irregularidades de estos bordes
en la bósqueda de un mejor procedimiento que sirva de soporte al diagnóstico de la
malignidad de la lesión.
En el presente estudio se propone un método de aproximación para la deter-
minación y caracterización de la malignidad de las lesiones en tumores del sistema
nervioso central mediante el análisis del grado de irregularidad en sus bordes en ima-
genes de resonancia magnética nuclear, empleando para ello técnicas de procesamien-
to digital de imagenes, las cuales comprenden métodos de segmentación de imagenes
tales como: realce de imagenes, establecimiento de umbrales e implementación de un
método de contorno activo (“Snake”). Éste último conforma las fronteras de la lesión
al minimizar un funcional de energ´ıa. Tanto la serie temporal generada a partir del
funcional de energ´ıa, como el borde correspondiente al Snake una vez que ha con-
formado el borde de la lesión, son estudiados mediante el uso de los conceptos de
dimensión fractal y dimensión de correlación, siendo éstas unas de las herramientas
más eficientes para evaluar caracter´ısticas de irregularidad en los bordes de las le-
siones. En este trabajo, este análisis se hizo, por medio del cálculo de la dimensión de
correlación en el caso de la serie temporal correspondiente al funcional de energ´ıa y el
cálculo de la dimensión fractal o de capacidad, en el caso correspondiente a la forma
obtenida del “Snake” al finalizar la conformación del contorno de la lesión objeto de
estudio.

9
Cap´ıtulo 2
PRINCIPIOS B ÁSICOS DE IMAGENES POR
RESONANCIA MAGNÉTICA
2.1. Principios F´ısicos de Resonancia Magnética Nuclear
La Resonancia Magnética Nuclear (RMN) se ocupa solamente de los núcleos
atómicos, sin embargo, es necesario detallar algunas caracter´ısticas de los consti-
tuyentes del átomo.
El átomo está constituido por una especie de nube electrónica distribuida alrededor
del núcleo, descrita usualmente a través de una función de distribución conocida como
función de onda, orbital, etc. Cada uno de los electrones posee una masa, una carga
fundamental negativa y viene dotado de un momento angular intr´ınseco, el esp´ın, de
valor 1
2
. El núcleo se halla a su vez compuesto de protones y neutrones, siendo estas
part´ıculas, las que determinan su estructura y propiedades. Cada protón se encuentra
dotado de una carga fundamental positiva, una masa y un momento angular intr´ınseco
de valor 1
2
. Cada neutrón, carece de carga neta, presenta una masa parecida a la del
protón y también presenta un momento angular intr´ınseco de valor 1
2
.
Debido a la interacción fuerte de corto alcance producida entre los protones y
neutrones la repulsión electrostática es equilibrada, determinándose además, la for-
ma en que se acoplaran sus momentos angulares intr´ınsecos para as´ı determinar el

10
momento angular total del núcleo, conocido como momento angular intr´ınseco del
núcleo o esp´ın nuclear.
2.1.1. Fenómeno de Resonancia Magnética Nuclear
La Resonancia Magnética (RM) es un fenómeno f´ısico mediante el cual cier-
tas part´ıculas como los electrones, protones y los núcleos atómicos con un número
impar de protones y/o un número impar de neutrones pueden absorber selectiva-
mente energ´ıa de radiofrecuencia (RF) al ser colocados bajo la acción de un campo
magnético.
La Resonancia Magnética Nuclear (RMN) se refiere a la respuesta de los núcleos
atómicos a los campos magnéticos. Muchos núcleos tienen un momento magnético
neto y un momento angular o rotacional. Frente a un campo magnético externo un
núcleo atómico hace precesión alrededor de la dirección de un campo externo. Cuando
estos núcleos magnéticos interactúan con los campos magnéticos externos, se pueden
producir señales medibles. [6]
Se pueden efectuar mediciones de cualquier núcleo que tenga un número impar de
protones o neutrones o ambos, tales como el núcleo de hidrógeno (H1
), carbono (C13
)
y sodio (Na23
); sin embargo, el hidrógeno consta de un protón, es el núcleo más impor-
tante por su abundancia en los tejidos biológicos y su momento magnético genera una
señal potente y es por esta razón que las imagenes de resonancia magnéticas (IRM) de
rutina en cl´ınica están actualmente basadas en el núcleo de hidrógeno aunque existen
otros núcleos en proceso de estudio [5].
Al producirse la absorción de radiofrecuencia caracter´ıstica, es decir, al producirse
el fenómeno de resonancia, los núcleos disipan el exceso energético en el medio ambiente
en forma de calor, lo que denomina relajación, y mediante una liberación de ondas
de radiofrecuencia de la misma frecuencia que la onda original. De ésta liberación
energética se induce una señal eléctrica en una antena receptora con la que final-
mente se puede obtener una imagen de resonancia magnética (IRM). La señal que

11
genera el núcleo de hidrógeno depende del campo magnético que percibe el hidrógeno
en el momento en que libera la energ´ıa y de la oposición en que éste se encuentra para
liberarla. Ello permite discriminar diferentes elementos no tan solo por la cantidad
de núcleos de hidrógeno que contenga, sino también por multitud de factores que
modulan la señal y que suministran información sobre el tipo de molécula de la que
el hidrógeno forma parte, su movilidad, el entorno bioqu´ımico que envuelve al núcleo
y cualquier variación magnética que pueda influir sobre el núcleo de hidrógeno.
2.1.1.1. Polarización
El primer paso para hacer una medición en RMN es alinear núcleos magnéticos
con un campo magnético estático, Bo. Cuando Bo se aplica a un núcleo magnético,
Bo ejerce un momento torsional sobre el núcleo que actúa para alinear el eje del
momento angular nuclear con Bo. Esto trae como consecuencia, dada la presencia
del momento angular en el núcleo; el movimiento del mismo de forma perpendicular
al momento torsional, en un movimiento llamado precesión. Entonces al aplicar un
campo magnético estático Bo a un núcleo magnético, el núcleo precesará alrededor de
Bo. La frecuencia a la que precesa el núcleo es la frecuencia de resonancia, denominada
frecuencia de Larmor (fo) y esta dada por:
fo =
γBo
2π
(2.1)
siendo γ el cociente giromagnético nuclear, que es una medida del magnetismo nuclear
propia de cada núcleo (para el hidrógeno γ
2π
= 42,58 MHz
tesla
). Los valores de la frecuencia
de Larmor sirven para identificar las diversas especies de núcleos.
En la obtención de imagenes médicas de resonancia magnética se aplican gradientes
de campos magnéticos (gradientes lineales, en su mayor parte pulsantes). Como la in-
tensidad del campo magnético depende de la posición, la frecuencia de Larmor se
presentará en función de la posición del núcleo lo que permite la localización comple-
ta en un espacio tridimensional.

12
Según la mecánica cuántica, cuando un protón está en presencia de un campo
magnético externo, el protón es forzado a uno de entre dos estados energéticos rela-
cionados con la alineación del eje de precesión del núcleo con respecto a la dirección del
campo externo (ver figura 2.1). Cuando el eje precesional es paralelo a Bo, el protón
se encuentra en su estado fundamental, esto es, el estado de baja energ´ıa. Cuando el
eje precesional está en posición antiparalela a Bo, el protón está en un estado de alta
energ´ıa. A la dirección de Bo se le designa como la dirección longitudinal.
Figura 2.1:
Cuando un gran número de protones se encuentran precesando alrededor de un
campo externo Bo existirá mayor cantidad de momentos angulares precesando de
manera paralela a Bo que antiparalelos. La diferencia entre el número de protones
alineados paralela y antiparalelamente al campo Bo forman lo que se denomina co-
mo magnetización Mo que provee la señal medida por los dispositivos de resonancia
magnética nuclear.
La magnetización Mo está definida como el momento magnético neto por unidad
de volumen. Para el caso de N núcleos por unidad de volumen, la magnetización
está dada por la ley de Curie de la siguiente forma [6]:
Mo = N
γ2
h2
I(I + 1)
3(4π2)κT
Bo (2.2)

13
donde
κ = constante de Boltzman
T = temperatura absoluta (grados Kelvin)
h = constante de Planck
I = número cuántico de momentos rotacionales del núcleo
Mo es observable y según la ecuación (2.2), es proporcional al número de protones, a
la magnitud Bo del campo magnético aplicado e inversamente proporcional a la tem-
peratura absoluta. Una vez que los protones están alineados en el campo magnético
estático, se dice que están polarizados. La polarización ocurre de manera creciente en
una constante de tiempo, a esto se le denomina tiempo de relajación longitudinal, T1;
esto es:
MZ(t) = Mo 1 − e
− t
T1 (2.3)
donde
t = tiempo de exposición de los protones al campo a lo largo del eje Z
MZ(t) = magnitud de la magnetización en un tiempo t, cuando se toma la dirección
de Bo a lo largo del eje Z
Mo = magnetización final y máxima de un campo magnético dado
T1 es el tiempo necesario para que la magnetización longitudinal se recupere en un
63 % de su magnetización, en la figura 2.2 se ilustran las variaciones para el vector
magnetización longitudinal MZ en función del tiempo t. De esta manera, la constante
de tiempo T1 está asociada entonces con la velocidad de recuperación de la magneti-
zación longitudinal razón por la cual se tiene que para diferentes fluidos se obtendrán
tiempos de relajación diferentes, está constante es entonces caracter´ıstica para un
tejido biológico dado. Los tiempos de relajación T1 son del orden del segundo.

14
Figura 2.2:
2.1.1.2. Decaimiento de Inducción Libre (FID)
El segundo paso para realizar una medición en RMN es el de inclinar la magne-
tización desde la dirección longitudinal hasta un plano transversal, de esta forma se
logra un intercambio de energ´ıa entre B1 y los protones que permite la final medición
de la señal. Esta inclinación se logra aplicando un campo magnético oscilatorio B1
perpendicular a Bo, el campo magnético estático. La frecuencia de B1 debe igualar la
frecuencia de Larmor de los protones en relación a Bo.
Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, los protones absorben energ´ıa
provista por B1 y pasan a un estado de mayor energ´ıa. La aplicación de B1 hace
también que los protones hagan precesión en fase entre s´ı. A este cambio en el es-
tado energético y en la precesión en fase causada por B1 se le denomina resonancia
magnética nuclear.
Desde el punto de vista macroscópico, causa la inclinación de la magnetización,
la cual hace precesión alrededor de Bo a la frecuencia de Larmor. El ángulo al cual
se inclina la magnetización está dado por:
θ = γB1τ (2.4)

15
siendo
θ = ángulo de inclinación (grados)
B1 = amplitud del campo oscilatorio
τ = tiempo durante el que se aplica el campo oscilatorio
La relación entre la inclinación y el ángulo de la ecuación (2.4) se observa en la figura
2.3
Figura 2.3:
En RMN el campo B1 que se utiliza es un campo magnético oscilatorio pulsante;
el ángulo al cual B1 inclina la magnetización está dado en términos de pulsaciones
angulares, tales como pulsación de 180◦
o pulsación π y pulsación de 90◦
o pulsación
π
2
. Al aplicarse en un instrumento de RMN una pulsación B1 a 90◦
a la población de
protones polarizadas por el instrumento, los protones precesarán en fase en planos
transversales a Bo, esto es, macroscópicamente, la magnetización estará inclinada 90◦
y harán precesión en el plano transversal. Cuando se detiene el campo B1, se produce

16
un desfase en la población de protones, lo que significa que las precesiones de los
protones ya no estarán en fase entre s´ı. Al aumentar el desfasaje la magnetización
neta disminuye; en esta situación, la bobina receptora que mide la magnetización en
la dirección transversal detectará una señal de decaimiento (ver figura 2.4), esta señal
es de forma exponencial y se le denomina decaimiento de inducción libre, conocido
por sus siglas en ingles, FID, “Free Induction Decay”, esta curva representa entonces,
la precesión libre de los protones al final del pulso.
Figura 2.4:
Cada uno de los componentes de la magnetización se caracterizan por una constante
de tiempo; T1, la cual representa la magnetización longitudinal y T2 la magnetización
transversal. T1 y T2 se obtienen matemáticamente de las ecuaciones de Bloch [7]; él
constató que la recuperación de una, durante la disminución de la otra, eran indepen-
dientes y que a cada una se le pod´ıa describir por una exponencial de constante de
tiempo (T1 y T2 respectivamente). El FID está causado por heterogeneidades del cam-
po magnético a nivel microscópico, que se deben al gradiente del campo magnético
y a ciertos procesos moleculares que ocurren en el material que se está midiendo.
Debido a las heterogeneidades en el campo de Bo, protones en ubicaciones diferentes
harán precesión con frecuencias de Larmor diferentes, produciendo as´ı este muy rápi-
do decaimiento. Por esta razón la señal observada, es decir, la constante del FID (T2
∗
)
representa T2 mas las heterogeneidades del medio (figura 2.5)

17
Figura 2.5:
2.1.1.3. Detección de Ecos de Momentos Angulares (Eco-Sp´ın)
Para observar el verdadero valor de T2 es necesario revertir el desfasaje causado
por la heterogeneidad del campo magnético estático Bo. Esto se logra colocando nue-
vamente en fase los vectores de magnetización de protones en los planos transversales
al aplicar una pulsación de B1 a 180◦
. Si un vector de magnetización transversal tiene
un ángulo de fase α, entonces la aplicación de una pulsación B1 a 180◦
cambiará el
ángulo de fase a −α, el orden de fase de los vectores de magnetización transversal
se revierte, esto es, los vectores que se desfasan más rápidos estan detrás de los más
lentos, siendo estos últimos alcanzados por los más rápidos, de esta manera se pro-
duce el refasaje y es generada una señal que es detectable en la bobina receptora;
a esta señal se le llama eco-sp´ın. Este método fue propuesto por Hahn en 1995 [8].
Un eco-sp´ın decae muy rápidamente, Carr y Purcell han introducido una variante
que consiste aplicar pulsaciones a 180◦
repetidamente para refasar los componentes
de magnetización y generar una serie de ecos-sp´ın. Es posible entonces, registrar una
serie de ecos-sp´ın, como se ilustra en la figura 2.6. Un eco-sp´ın se forma a mitad del
camino entre cada par de pulsaciones a 180◦
. El espaciamiento entre ecos (TE) es el
tiempo entre dos ecos adyacentes y el número de pulsaciones en el total de la serie
de ecos es NE. Esta secuencia de pulsaciones; una pulsación a 90◦
seguida por una

18
serie de pulsaciones de 180◦
, es conocida como CPMG (Carr Purcell Meiboom Gill)
y representa la secuencia “clásica” y fundamental de la RMN, existen también, otros
tipos de secuencia [6,7] como lo son la secuencia de ecos de gradiente y las llamadas
secuencias rápidas, que representan el desarrollo de las secuencias modernas capaces
de lograr imagenes con resoluciones temporales del orden de los milisegundos pero
que, tan sólo pueden lograr señales generando ecos mediante pulsos por emisión de
radiofrecuencia (eco-sp´ın) o generando ecos mediante gradientes magnéticos (ecos de
gradiente). Todas las imagenes de RMN en medicina están formadas por secuencias
de eco-sp´ın.
Figura 2.6:
La constante de tiempo del decaimiento de magnetización transversal se llama
tiempo de relajación transversal, o T2.
La amplitud de la secuencia de ecos-sp´ın en un tiempo t, que es la amplitud de
magnetización transversal MX(t), está dada por:
MX (t) = Moxe
− t
T2 (2.5)
siendo Mox la magnetización transversal en t=0 (tiempo que cesa la pulsación a 90◦
).
En el tiempo T2, un 63 % de la magnetización estará perdida, quedando tan solo, un

19
37 % de la magnetización original, por lo tanto, T1 y T2 var´ıan en sentido inverso. La
recuperación de la magnetización longitudinal T1 es lenta, del orden del segundo. La
disminución de la magnetización transversal T2, es rápida, en los tejidos biológicos es
alrededor de 10 veces más corta que su T1.
Esquemáticamente, en un sólido, el entrelazamiento entre moléculas es cerrado
y los intercambios de energ´ıa muy rápidos, lo que trae como consecuencia que el
desfasaje de los núcleos as´ı como su relajación sea extremadamente corto; tan cortos,
que dependiendo de su valor no se cuenta, materialmente el tiempo para mediar una
señal; es por esta razón que el hueso, por ejemplo no proporciona señal en RMN.
En un l´ıquido como el agua o el l´ıquido cefalorraqu´ıdeo, el entrelazamiento de las
moléculas que los componen es menos cerrado, por lo tanto estas moléculas tendrán
una señal más intensa, lo que se traduce en un tiempo de relajación T2 más largo.
2.1.1.4. Sincronización del tiempo de las mediciones RMN
Durante la secuencia de CPMG, la pulsación a 90◦
reorienta la polarización lon-
gitudinal de los protones y las pulsaciones a 180◦
suprimen la acumulación de más
polarización longitudinal. Por lo tanto, al final de la secuencia CPMG los protones
quedan orientados de manera aleatoria. Si se repite la secuencia de CPMG se ob-
tendrá una señal con una condición inicial diferente. Antes de la aplicación de la
siguiente secuencia, se deberá esperar un intervalo de tiempo que separe una secuen-
cia de la siguiente ya que los protones deben polarizarse nuevamente; al intervalo de
tiempo que separa una secuencia de CPMG de la siguiente se le denomina tiempo de
repetición o TR.
Un diagrama de sincronización de tiempo t´ıpico para mediciones RMN está ilustra-
do en la figura 2.7.

20
Figura 2.7:
La sección superior del diagrama de la figura describe dos secuencias de CPMG,
cada una de las cuales consiste en unas pulsaciones B1 a 90◦
, seguida por una serie de
pulsaciones a 180◦
. La sección inferior representa eventos de polarización (curvas de
relajación T1), e ilustra las secuencias de eco-sp´ın (curvas de relajación T2) asociados
con las dos secuencias de CPMG.
El tiempo de polarización (TR), el espaciamiento entre ecos (TE), y el número de
ecos (NE), se pueden controlar manualmente.
Cuando se cambia el valor de TR, la variación de señal que resulta es depen-
diente del tiempo de relajación T1 del tejido, para TR cortos (∼0,5seg) las señales
que presentan dos tejidos diferentes permiten distinguir diferencias entre ellas. Por
ello a éstas imagenes se les dice “ ponderadas o pesadas en T1” lo que quiere de-
cir “influenciadas” pero no de forma exclusiva. Las imagenes obtenidas con un TR
largo (∼2seg) no estarán influenciadas por T1, puesto que los tejidos han recuperado
completamente su magnetización. Puede decirse que ellas serán más dependientes de
T2 o “ponderadas en T2”. En otros términos, la elección del TE va a influenciar la
diferencia de T2 de dos tejidos.

21
Para determinar la magnitud de Mo, se efectúa una estimación de la amplitud de
las secuencias de eco-sp´ın a t = 0 a partir de las mediciones de secuencias de ecos de
momentos angulares.
Para evitar una subestimación de Mo, se requiere polarización total o casi total
(95 %). Para lograr un 95 % de polarización, TR debe ser igual a 3T1.
A medida que disminuye TE los eco-sp´ın serán generados y detectados más tem-
pranamente y más rápidamente, la relación señal-ruido efectiva se incrementa debido
a una densidad alta de puntos de datos. A medida que aumenta NE, se generan y
detectaran eco-sp´ın por más tiempo, pero se requiere más intensidad de B1.
2.2. Transformación de la Señal
La señal recogida por la antena receptora será amplificada, filtrada y enviada a un
computador. En esta señal se encuentra toda la información mezclada, se debe tener
en cuenta que la frecuencia de resonancia de los protones es espec´ıfica del núcleo, pero
modificada por el medio y que la amplitud es función del número de protones (y de
las propiedades T1 y T2 del tejido).
Usando la Transformada de Fourier como herramienta matemática para expresar
la señal en función de la frecuencia recibida por la antena receptora, se puede pasar,
de la señal inicial a una señal en función de la frecuencia conservando la intensidad. Se
obtendrá una serie de picos, como función final, cada uno espec´ıfico de una categor´ıa
de protones (ver figura 2.8).
2.3. Formación de la imagen
Las señales que se obtienen, corresponden a una información sobre un punto, o
un volumen elemental único. Del tamaño de la escogencia de e’ste volumen elemental
o voxel dependerá la finura de la imagen y la intensidad de la señal. Del compromiso

22
entre estos dos factores, que var´ıan en sentido opuesto, dependerá el resultado final
de la imagen.
En la práctica se busca llevar la imagen un cierto volumen. La primera etapa con-
siste en definir una matriz compuesta por el número de voxels que se quiere estudiar.
Supongamos que se divide cada dirección X, Y, Z, en 256 intervalos con el fin de
lograr la selección del plano de corte.
2.3.1. Selección del plano de corte
La aplicación de un primer gradiente de campo magnético va a definir un cierto
número de puntos a lo largo de un eje, tomando como ejemplo el eje Z. Cada punto
resuena a una frecuencia que le es propia y que es ligeramente diferente a aquellas del
punto vecino. Para cada punto en el eje se puede definir un plano, perpendicular a Z.
Cada plano de corte estará caracterizado por una frecuencia de resonancia particular
y todos los puntos del interior del plano resonarán a la misma frecuencia (ver figura
2.8).
Figura 2.8:
Se puede escoger la dirección Z de tal manera que se obtenga un plano sagital,
frontal o cualquier otra orientación.

23
El gradiente de campo magnético aplicado según el eje Z se escribe GZ y es el apli-
cado al mismo tiempo que el pulso de RF inicial. El espesor del corte está determinado
por el ancho de banda de frecuencia utilizado.
Existe una relación lineal entre la frecuencia y la posición del plano seleccionado.
Si la banda de frecuencia es estrecha el plano seleccionado será fino. Actualmente el
espesor de los cortes varia de 2mm a 2 cm; tomando en cuenta que mientras más fino
sea el corte la señal será de menor intensidad.
Para reconocer la posición de cada voxel de este plano es necesario aplicar dos
gradientes de campo magnético, en la dirección X (GX) y en la dirección Y (GY )
respectivamente. Cada punto de un plano XY tendrá valores caracter´ısticos que per-
mitirán su ubicación precisa (ver figura 2.9)
Figura 2.9:
Se seleccionan una serie de planos perpendiculares en el eje Y. Los dos planos se-
leccionados Z y Y, perpendiculares entre ellos, tienen en común una recta donde todos
los protones resuenan en la misma frecuencia. La aplicación del tercer gradiente de
campo magnético GX según el eje de las X seleccionará el tercer plano perpendicular
a los dos planos precedentes (ver figura 2.10).

24
Figura 2.10:
Estos tres planos se cortan en un solo punto que resuena en una frecuencia carac-
ter´ıstica de ese punto.
Esta es la base de la codificación espacial. Para reconstruir una recta es necesario
hacer 256 medidas para identificar sus 256 voxels. El uso de una transformación de
Fourier permite hacer la imagen de una l´ınea en un tiempo idéntico a aquel que es
necesario para obtener la imagen de un punto.
Este método es conocido como el método planar y permite adquirir suficiente
información para reconstruir un plano o un volumen.
Para llevar una imagen de 256 × 256 × 256 voxels, será necesario 256 × 256
lecturas de señal. En cada lectura la señal viene del conjunto de los puntos del plano
o del volumen. La señal caracter´ıstica de cada punto viene entonces de n medidas.
Esta reconstrucción se efectúa gracias a una codificación espacial por variación de
la fase. Este método es llamado comúnmente 2DFT, su nombre se debe a que requiere
dos Transformaciones de Fourier. En este método se consideran tres etapas.
Se busca obtener una imagen de un plano; en la primera etapa, es para esto que
sirve el primer gradiente llamado gradiente de selección de corte. Teóricamente se

25
puede seleccionar cualquier plano de corte en el espacio, basta con aplicar el primer
gradiente en la dirección perpendicular al plano escogido.
Si el gradiente de selección es establecido en el eje Z que va desde los pies a la
cabeza del paciente y que en la mayor´ıa de los equipos coincide con el eje del campo
principal, se obtendrán cortes transversales. Si el gradiente de selección es escogido
según el eje Y se obtendrán cortes frontales y si se hace según el eje X, cortes sagitales.
A los protones excitados que se encuentran precesando en fase durante esta se-
gunda etapa, se le aplica un gradiente GY llamado gradiente de codificación de fase.
Cuando se detiene el gradiente GY los protones van a volver de nuevo a precesar
todos a la misma frecuencia pero conservando todos sus desfases. El gradiente de
codificación de fase es aplicado al mismo tiempo que el pulso de 180◦
destinado a
obtener el eco de momentos angulares.
En la tercera etapa se aplica un gradiente de campo magnético según el eje X lo que
significa que los voxels de cada l´ınea serán codificados por una frecuencia diferente.
Puede ser decodificado directamente usando la Transformada de Fourier, cualquiera
que sea el número de puntos llevados a la imagen, sólo se recoge una señal.
El gradiente de selección del plano de corte GZ es aplicado al mismo tiempo que
el pulso de 90◦
. Es un gradiente positivo seguido de un gradiente de sentido inverso
y de intensidad más débil que está destinado a la precisión en la selección del plano
de corte y a disminuir la influencia de los protones de los cortes vecinos (disminución
del efecto de borde).
El gradiente de codificación de fase GY varia continuamente sobre 360◦
, cuando
la diferencia de fase entre dos núcleos alcanza 360◦
, ellos estarán nuevamente en fase.
GX es el gradiente de lectura o gradiente de codificación según la frecuencia.
Los gradientes son de potencia variable. Ellos deben ser tanto más fuertes con
el campo magnético principal. La duración de una frecuencia va a depender de, el
tiempo de repetición, del número de l´ıneas que componen el tamaño escogido para la

26
matriz (corrientemente se utilizan matrices de 128 × 128 o 256 × 256) y del número de
pulsos necesarios para obtener una imagen satisfactoria (esto generalmente depende
del equipo empleado).
2.4. Diferentes Tejidos y Contraste de la Imagen de RMN
La señal es la base de la imagen en RMN, las dependencias de T1 y T2 propor-
cionan propiedades de los tejidos; además de estos parámetros, la señal en imagenes
médicas de RMN, también dependerá de la concentración de hidrógeno y la presen-
cia de un flujo, es decir del l´ıquido circundante a escala microscópica; este último es
habitualmente considerado despreciable en condiciones ordinarias, pero pueden dar
lugar a un tipo de estudio en particular (angioresonancia [8]).
En los tejidos del cuerpo humano, la concentración de hidrógeno no var´ıa más
allá de un 20 %, mientras que las diferencias entre T1 y T2 pueden variar en un 500 %.
En la práctica, la concentración de hidrógeno es un elemento poco importante en el
contraste de la imagen con relación a T1 y T2. Sin embargo, ciertos valores de TR
y TE disminuyen la influencia de T1 y T2 y pueden hacer aparecer como mayor la
concentración de hidrógeno. En el caso de un TR mediano (∼1,5seg) y un tiempo de
eco corto (∼30mseg), estas imagenes son en general poco contrastadas y son llamadas
imagenes en densidad protónica (Dp).
Entonces, el tipo de imagen viene regulada por TE y TR. Por lo tanto toda imagen
obtenida a partir de detección de ecos de momentos angulares, tendrá sus bases en,
la presencia de los tres factores D, T1 y T2, cuanto mayor es el TE, mayor es la
potenciación en T2 y cuanto menor es el TR, mayor es la potenciación en T1.
Como regla general se tiene:
TE corto TE largo
TR corto Imagen en T1 Contraste mixto
TR largo Imagen en Dp Imagen en T2

27
En la figura 2.11 [9] se muestra sobre un mismo corte las tres potenciaciones
básicas obtenidas variando los parámetros TE y TR en la secuencia de detección de
ecos de momentos angulares. El campo utilizado es de 1,5 Tesla.
Figura 2.11:
T1: Imagen potenciada en T1 (TE: 17ms, TR: 600 ms)
D: Imagen potenciada en D de núcleos de H ( TE: 20ms, TR 2200 ms)
T2: Imagen potenciada en T2 (TE: 80ms, TR: 2200 ms). Esta imagen se obtiene como
segundo eco dentro del mismo TR que la imagen en D La imagen T2 tiene menor
señal /ruido pero por lo general posee una mayor resolución de contraste.
Como idea esquemática y en un campo de 0,15 Tesla, se indican en la Figura
2.12 [9] las variaciones relativas de intensidad de señal para diversos tejidos biológicos
utilizando secuencias que potencian en T1, D y T2.

28
Figura 2.12:
La estrategia en imagenes de resonancia magnética consiste en programar las
potenciaciones óptimas en las imagenes para obtener el mejor contraste entre las es-
tructuras a estudiar. Un estudio de resonancia Magnética tiene que contener imagenes
de diferente potenciación a fin de lograr una mayor aproximación diagnóstica.
La resonancia magnética, una herramienta extraordinaria para obtener imagenes
de la anatom´ıa y la estructura del tejido vivo, proporciona, en la actualidad algunos de
los elementos de diagnóstico más eficaces en la práctica de la medicina. Los sistemas

29
imagenológicos tienen la capacidad de generar conjuntos de datos, los cuales represen-
tan información detallada para aplicaciones tanto cl´ınicas como de investigación. Es-
tas imagenes médicas proporcionadas por esta técnica son utilizadas cotidianamente
en la rutina cl´ınica para establecer un diagnóstico, escoger y/o controlar una acción
terapéutica. La importancia de estas imagenes radica en el suministro información
morfológica y fisiológicas de los órganos razón por la cual fueron escogidas para el
presente estudio además de su calidad visual; sin ser éstas, necesesariamente, el único
tipo de imagenes a las que se les pueda aplicar el procesamiento de imagen planteado
en este trabajo de investigación.

30
Cap´ıtulo 3
INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO
DIGITAL DE IMAGENES
3.1. Imagen Digital
Una imagen digital es una función f(x, y) de luminosidad de un objeto que ha
sido discretizada en valores de iluminación y en coordenadas espaciales. Se considera
entonces la imagen digital como una matriz cuyos ´ındices de filas (i) y columnas (j)
identifican un punto en la imagen (P) y los correspondientes valores de los elementos
de la matriz identifican el nivel de gris (p) en el punto. Los elementos de un arreglo
digital son llamados elementos de imagen, pixel, entre otros, siendo este último el
nombre más comúnmente usado (Figura 3.1).
Figura 3.1: Representación de una imagen digital

31
3.2. Procesamiento de imagenes Digitales
El procesamiento de imagenes digitales consiste en realizar una interpretación
cuantitativa o cualitativa de los datos presentes en las imagenes. valiéndose para ello,
de herramientas matemáticas que son empleadas en el mejoramiento y realce de la
calidad de los datos provistos por la imagen, restauración de la imagen, identificación
de las estructuras de interés mediante el uso de técnicas de segmentación, extracción
de la información deseada para el posterior análisis de la imagen, entre otras. A con-
tinuación se presenta una breve descripción de algunas de las técnicas de segmentación
más básicas y más comúnmente usadas en el procesamiento digital de imagenes:
3.2.1. Realce de imagenes
El principal objetivo de la técnica de realce de imagenes es procesar una imagen
dada de forma tal que el resultado sea más conveniente que la imagen original para
una aplicación espec´ıfica. La palabra “espec´ıfica” es de suma importancia porque
dependiendo de la aplicación que resuelva el problema planteado para la obtención
final de información de la imagen, dependerá del establecimiento de la técnica de
realce a emplear.
3.2.2. Restauración de la Imagen
Como en la técnica de realce de imagenes, con la técnica de restauración se busca
mejorar la imagen en algún sentido que sirva para el fin último de la obtención de
la información que permita un adecuado análisis de la imagen. Para el propósito
de diferenciación, se considera la restauración de la imagen como un proceso que
trata de reconstruir o recuperar una imagen que ha sido sometida a un fenómeno
de degradación. As´ı, la técnica de restauración está orientada hacia el modelado de
procesos de degradación y aplicación de sus inversos para recobrar la imagen original.

32
3.2.3. Segmentación
El objetivo fundamental de la segmentación de una imagen es la división o sepa-
ración de la imagen en regiones de atributos similares que conforman la estructura de
interés. Los atributos básicos para la segmentación son la amplitud de luminosidad
para el caso de imagenes monocromáticas y los colores que la componen en el caso
de imagenes a color. Representan también atributos muy usados en la segmentación
de imagenes, los bordes de la misma y su textura [10].
Existen diversos métodos de segmentación de imagenes y es posible que se im-
plementen, en conjunto, múltiples métodos para resolver diferentes problemas de
segmentación. Algunos de éstos métodos comúnmente usados y más conocidos son:
establecimiento de umbrales, detección de bordes, análisis de texturas y modelos de-
formables, entre otros.
3.2.4. Establecimiento de umbrales
El establecimiento de umbrales es un método que busca segmentar imagenes crean-
do una partición binaria de las intensidades de las imagenes, tratando de determinar
un valor de intensidad, llamado umbral, que separa las clases deseadas [11]. La seg-
mentación se logra agrupando todos los pixels con mayor intensidad al umbral en una
clase, y todos los pixels con menor intensidad al umbral en otra.
Si el nivel de intensidad o nivel de gris de un objeto difiere significativamente de
su entorno, origina en la imagen un conjunto de pixels con niveles de intensidad muy
diferentes de los niveles de intensidad de los pixels circundantes. Los subconjuntos
de la imagen que cumplan con ésta caracter´ıstica pueden extraerse de la imagen
estableciendo un umbral para los niveles de intensidad, o bien sea clasificando cada
pixel como “claro” u “oscuro” dependiendo de si su nivel de intensidad es inferior o
superior al umbral predeterminado.

33
En general, será necesario determinar el umbral óptimo para cada imagen indi-
vidual. Si los objetos ocupan una fracción significativa de la escena de la imagen, es
posible realizar la determinación del umbral óptimo analizando el histograma de la
imagen [12] (realizando una “ecualización del histograma” de la imagen es posible
realizar, realce y restauración de una imagen por medio de una redistribución de los
niveles de intensidad en una imagen). Generalmente se observan dos picos en un his-
tograma, uno de los cuales representa el nivel de intensidad predominante en el fondo
de la imagen y un segundo pico que representa el nivel de intensidad predominante en
el objeto. Los niveles de intensidad intermedios deben ser relativamente infrecuentes,
correspondiendo en el histograma a valles entre los picos. Figura 3.2
Figura 3.2: (a)Imagen con un rango de niveles de gris con valores comprendidos entre
[0,255], (b)Histograma de la imagen
El nivel de intensidad más conveniente para fijar como umbral es el más infrecuente
entre los niveles de intensidad de los dos picos, de esta manera se logra que la mayor´ıa
de los pixels del objeto de estudio presentes en la imagen se encuentren incluidos en
el umbral y los pixels correspondientes al fondo sean desechados.
Ésta es una técnica efectiva para obtener la segmentación de imagenes donde es-
tructuras diferentes tienen intensidades contrastantes u otras caracter´ısticas diferen-
ciables. La partición usualmente es generada interactivamente, pero también existen
métodos automáticos [13]. En caso del uso de los métodos interactivos es posible que

34
estos puedan estar basados en la apreciación visual del usuario.
3.2.4.1. Detección de bordes
Usando solamente el método de detección de umbrales no es posible extraer objetos
pequeños fácilmente del fondo de la imagen y esto es debido a que, los picos que estos
objetos producen en el histograma son demasiado pequeños para detectarlos con
confiabilidad. De igual forma sucede si dentro de la imagen a procesar no existe una
homogeneidad en la intensidad de los niveles de gris, en este caso se observa que los
picos respectivos del histograma se superponen. Esto significa que la variación del
nivel de intensidad ocurre gradualmente dentro de cada objeto presente en la imagen
y súbitamente en sus bordes. En tales casos los objetos de la imagen se pueden extraer
utilizando como método de segmentación la detección de los bordes de la imagen; esto
es, detectando los pixels en los cuales se observa la mayor tasa de cambio del nivel de
intensidad, en la imagen.
Los métodos clásicos de detección de bordes en una imagen se basan en apli-
cación del operador gradiente. La implementación del gradiente como una técnica de
segmentación proporcionará la mayor variación de los niveles de intensidad en los
bordes, sin tomar en cuenta las orientaciones del gradiente. Para este fin se han uti-
lizado muchas aproximaciones discretas al gradiente [14], como lo son el operador de
realce de bordes Laplaciano, el operador gradiente de Roberts, el operador detector de
bordes de Sobel, el detector de bordes Canny, entre otros. A continuación se presenta
una breve descripción del cada uno de estos métodos:
3.2.3.2.1 Operador de realce de bordes Laplaciano
El operador de realce de bordes Laplaciano usado para procesamiento de imagenes
está basado en las segundas derivadas parciales de una función matemática cont´ınua,
razón por la cual lleva este nombre. La expresión matemática para el Laplaciano en
dos dimensiones es la siguiente:

35
2
f(x, y) =
∂2
f(x, y)
∂x2
+
∂2
f(x, y)
∂y2
(3.1)
Esta expresión matemática del operador Laplaciano es aproximada de manera
discreta para la aplicación de ésta técnica en el procesamiento de imagenes, éste
actúa detectando los cambios de intensidades entre pares de pixels en las direcciones
x e y. La discretización del operador Laplaciano es de la siguiente manera:
L(i, j) = 2
p(i, j) = ∆x2
p(i, j) + ∆y2
p(i, j) (3.2)
donde
∆x2
= [p(i − 1, j) − p(i, j)] − [p(i, j) − p(i + 1, j)]
∆y2
= [p(i, j + 1) − p(i, j)] − [p(i, j) − p(i, j − 1)]
(3.3)
c
E
i
j
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)

36
El operador de realce de bordes Laplaciano calcula la diferencia entre el nivel de
intensidad del pixel central y el promedio de los niveles de intensidad de los cuatro
pixels adyacentes en la dirección horizontal y vertical. Éste método de detección de
bordes trabaja implementando una máscara de tamaño 3 × 3 pixels, es decir, una
matriz de nueve (9) pixels que “recorre” toda la imagen hasta cubrirla por completo,
en la cual, a medida que se traslada por ella se realizan los cálculos correspondientes.
(Ver figura 3.1).
3.2.3.2.2 Operador gradiente de Roberts
Este operador trabaja con una máscara de 2 × 2 pixels y utiliza las derivadas
diagonales para estimar el gradiente de un punto. La magnitud del operador gradiente
de Roberts es igual a la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias
diagonales. Se puede aproximar, para el caso discreto, utilizando la expresión de la
suma de los valores absolutos de cada diferencia de las diagonales, esto es:
Magnitud del operador = (∆12
+ ∆22
)
1
2
V alor absoluto estimado = (| ∆1 | + | ∆2 |)
(3.4)
donde
∆1 = p(i, j) − p(i + 1, j + 1)
∆2 = p(i + 1, j) − p(i, j + 1)
(3.5)
c
Ei
j

  €€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€
dd
dd

(i, j) (i + 1, j))
  €€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€
dd
dd

(i, j + 1)(i + 1, j + 1)

37
3.2.3.2.3 Operador detector de bordes de Sobel
El operador de bordes de Sobel trabaja con máscaras de 3 × 3 pixels, este operador
es un cálculo no lineal de la magnitud del borde en un punto, pero no se usa el valor
del punto propiamente en su cálculo. El valor del pixel viene dado por:
S = (∆x2
+ ∆y2
)
1
2 (3.6)
donde
∆x = [p(i − 1, j − 1) + 2p(i − 1, j) + p(i − 1, j + 1)] − [p(i + 1, j − 1) + 2p(i + 1, j) + p(i + 1, j + 1)]
∆y = [p(i − 1, j + 1) + 2p(i, j+) + p(i + 1, j + 1)] − [p(i − 1, j − 1) + 2p(i, j − 1) + p(i + 1, j − 1)]
(3.7)
c
E
i
j
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)
3.2.3.2.4 Detector de bordes Canny
Canny es uno de los métodos más eficaces para la detección de bordes. Este método
difiere de los anteriores en la utilización de dos umbrales de niveles de intensidad
diferentes para la localización de los bordes; lo que le permite discriminar en dos
tipos los cambios de intensidad, un umbral inferior que corresponde con lo que se
denomina “bordes débiles” y un umbral superior que se relaciona directamente con lo
que se denomina “bordes fuertes”. Canny muestra los bordes fuertes y solo los bordes
débiles cuando estos están conectados a un borde fuerte, lo que lo hace menos sensible
al ruido que otros detectores de bordes.

38
La debilidad de este método radica en la aproximación de la información que
realiza referente a la imagen en los casos en los cuales la imagen presenta discon-
tinuidad en los bordes y/o aquellos en los que los bordes no aparecen, tomando en
cuenta la distancia entre los pixels del borde según lo encontrado por el detector y
el borde real. Los métodos de detección de bordes basado en la implementación del
operador gradiente están fuertemente afectados por el ruido y esto es debido a los
casos en los cuales los bordes presentes en la imagen no poseen un alto grado de con-
traste, es decir, no existe una diferencia significativa de la intensidad entre los pixels
que componen el borde con respecto a los pixels circundantes. Estos problemas aun
no han sido solventados, sin embargo hasta ahora el método de Canny representa la
mejor aproximación a los bordes reales.
3.2.5. Análisis de Textura
Si la imagen objeto de estudio no presenta una intensidad uniforme, sino que
muestra cierta “trama” no serán de utilidad ninguno de los métodos anteriormente
mencionados para extraer el objeto, ya que los niveles de intensidad que presentan
sus pixels no corresponden con un rango estrecho de niveles de intensidad y presentan
gran cantidad de bordes internos. No obstante, tal objeto puede ser distinguible de
su vecindad basándose en su trama o patrón caracter´ıstico de niveles de intensidad
o lo que se denomina textura visual. Las texturas visuales se pueden caracterizar
por los conjuntos de propiedades locales de sus pixels, es decir, por el hecho de que
en una región con textura, tienden a presentarse ciertos patrones locales de niveles
de intensidad en la vecindad de cada pixel. Cada pixel puede caracterizarse por un
conjunto de números calculando para él, un conjunto de propiedades relacionadas con
la textura [15], para segmentar la imagen en regiones de texturas diferentes. Como las
propiedades asociadas a las texturas son muy variables, se debe primero obtener un
cierto promedio local para hacer más compactos los cúmulos correspondientes a cada
región. Luego y de forma similar, se calculan los valores promedios de las propiedades
locales y se toman sus diferencias de promedios con los que posteriormente se puede

39
calcular un “gradiente de textura” en cada pixel y usarlo para detectar bordes entre
regiones de diferentes texturas.
3.2.6. Modelos Deformables
Una de las técnicas que mayor popularidad ha ganado en los últimos años en la
segmentación de imagenes son los contornos deformables o modelos deformables. Los
modelos deformables también conocidos en la literatura como Snake propuestos por
primera vez con efectividad por los autores Kass y Terzopoulos [16], han tenido un
alto ´ındice de aplicación en el proceso digital de imagenes y ha captado la atención de
los investigadores en diversas áreas de las ciencias. Estos se han insertado en todas las
áreas del proceso digital de imagenes, tales como procesamiento de imagenes médicas,
análisis de imagenes satelitales, etc; particularmente en la delimitación de las fronteras
en los bordes de los objetos.
Los modelos deformables están basados en motivaciones f´ısicas y son utilizados
para delinear bordes de regiones usando curvas o superficies paramétricas cerradas
que se deforman bajo la influencia de fuerzas externas e internas. Para delinear el
borde de un objeto en una imagen, se debe colocar el modelo deformable cerca del
borde deseado, el cual experimentará un proceso iterativo de relajación. Las fuerzas
internas se calculan en el interior de la curva o superficie para mantenerla suave a
lo largo de la deformación. Las fuerzas externas son frecuentemente derivadas de la
imagen para llevar la curva o superficie hacia la caracter´ıstica de interés deseada.
Sin embargo este primer modelo propuesto posee como limitación una pobre con-
vergencia en fronteras con caracter´ısticas cóncavas. Para mejorar la efectividad del
Snake en este aspecto, el autor Xu [17] plantea una fuerza basada en la modificación
del campo de fuerzas externas, como un campo Vectorial del Flujo del Gradiente
(GVF) lo que permite aumentar la zona de interacción alrededor de los bordes de los
objeto en la imagen.

40
Un modelo deformable es una curva elástica o superficie definida en el dominio
de una imagen que se mueve bajo la influencia de fuerzas internas producto del
movimiento de la curva o superficie misma y fuerzas externas propias de la imagen. Las
fuerzas internas y las externas están definidas de forma tal que el modelo deformable
conforme las fronteras de un objeto o figura deseada en la imagen.
3.2.3.4.1 Contorno Activo o Snake
El Snake o contorno activo, también llamado contorno deformable, es una curva
de la forma x(s) = [x(s), y(s)], s ∈ [0, 1], que se mueve a través del dominio espacial
de una imagen hasta minimizar un funcional de energ´ıa[18].
E =
1
0
1
2
α | x (s) |2
+β | x (s) |2
+ Eext x(s) ds (3.8)
donde α y β son parámetros de peso que controlan la tensión del contorno y su
rigidez respectivamente, x (s) y x (s) denotan la primera y segunda derivada de x(s)
con respecto a s. La función Eext es derivada de la imagen y toma sus valores más
pequeños en la zona de la figura de interés, tales como los bordes. Dada una imagen
de niveles de intensidad,I(x,y), vista como función de las variables posición (x,y),
se tiene que la energ´ıa externa varia conforme se aproxima a los bordes de la figura
objeto de estudio, de la siguiente manera:
E
(1)
ext = − | I(x, y)2
|
E
(2)
ext = − | (Gσ ∗ I(x, y)) |
(3.9)
donde Gσ es la función Gaussiana bidimensional con una desviación estánda σ y
es el operador gradiente. Para el caso de imagenes binarias (delineado negro en fondo
blanco), entonces la energ´ıa externa corresponde a:
E
(1)
ext = I(x, y)
E
(2)
ext = Gσ ∗ I(x, y)
(3.10)

41
De las definiciones anteriores se observa que conforme se aumenta el valor de σ las
fronteras del objeto se tornan difusas, sin embargo un alto valor de σ coincidirá con
un incremento en el rango de captura del contorno deformable.
Encontrar la curva parametrizada x(s) que minimiza el valor de E es un problema
variacional. Por lo tanto la curva x(s) que minimiza el valor de E, debe satisfacer la
siguiente ecuación de Euler:
αx (s) − βx (s) − Eext = 0 (3.11)
Se usan condiciones de frontera periódicas, esto es, x(0) = x(1) de manera tal que
se asegure la obtención de un contorno cerrado.
La ecuación anterior puede ser vista como una ecuación de balance de fuerzas de
la forma:
Fint + FP
ext = 0 (3.12)
donde Fint = αx (s)−βx (s) y FP
ext = - Eext. La fuerza interna Fint aplica resistencia
al estiramiento y a los “recodos”, mientras que la fuerza externa F P
ext atrae el Snake
hacia los bordes de la imagen deseada. Para encontrar la solución a la ecuación de
Euler, es necesario que el Snake se tranforme en una curva dinámica, esto se logra,
tratando a x tanto como función del tiempo t como de s, esto es, x(s, t). Se tiene que
la derivada parcial de con respecto al tiempo es igual al lado izquierdo de la ecuación
(3.12), entonces:
xt(s, t) = αx (s, t) − βx (s, t) − Eext (3.13)
Cuando la solución se estabiliza, el término xt(s, t) desaparece y es entonces cuan-
do se alcanza la solución de la Ecuación de Euler.

42
3.2.3.4.2 Contorno Activo GVF
Usando la condición de balance de fuerzas propuesta en la ecuación (3.12), se define
un nuevo campo de fuerza estático Fg
ext = ν(x,y), el cual recibe el nombre de campo
GVF. Para obtener la ecuación correspondiente al contorno activo, se reemplaza la
fuerza potencial − Eext en (3.11) por ν(x,y) la siguiente manera: [17]
xt(s, t) = αx (s, t) − βx (s, t) − ν (3.14)
Para definir el campo GVF, se comienza definiendo un mapa de borde F(x, y)
derivado de la imagen I(x, y) el cual tiene la propiedad de alcanzar un mayor valor
en las cercan´ıas de los bordes de la imagen. Es posible usar cualquier mapa de borde
binario o de nivel de gris definido anteriormente en la literatura del procesamiento de
imagenes, como por ejemplo:
F(x, y) = −E
(i)
ext(x, y) (3.15)
donde E
(i)
ext(x, y), i = 1, 2, 3 o 4, donde la energ´ıa externa está definida en las ecuaciones
(3.9) y (3.10).
Podemos definir el GVF siendo el vector campo ν(x,y) = [u(x,y),ν(x,y)].
Este método aparte de proporcionar información referente a la imagen es muy
empleado en la detección de bordes con el fin de superar las limitaciones presentes
en los otros operadores de búsqueda de bordes como los basados en la aplicación del
operador gradiente e incluso en el método de Canny. Sin embargo, para implementar
un modelo deformable es necesario proporcionarle un contorno inicial que además
deberá ser cerrado para garantizar que el Snake conforme las fronteras reales de la
figura presente en la imagen objeto de estudio.

43
Cap´ıtulo 4
DIMENSIÓN FRACTAL
4.1. Dimensión Fractal
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite indefinidamente
en diferentes escalas. Este término fue propuesto por el matemático polaco Benoˆıt
Mandelbrot en 1975 y lo denominó “fractal”, a partir del significado en lat´ın de esta
palabra; Fractal significa “fracturado, fragmentado o quebrado”.
Figura 4.1: Imagen del fractal conocido como conjunto de Mandelbrot
En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o
iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala
espec´ıfica. En la naturaleza también aparece la geometr´ıa fractal; los rayos, los deltas

44
de los r´ıos, los sistemas de ra´ıces y las l´ıneas costeras, se presentan como algunos de
los muchos ejemplos de formas naturales que presentan estructuras de tipo fractal.
Se encontró que los fractales presentan como caracter´ısticas generales: detalles en
escalas arbitrariamente grandes o pequeñas, irregularidad en sus formas que no pueden
ser descritas en términos geométricos tradicionales; geometr´ıa recursiva, es decir, su
geometr´ıa no varia con los cambios de escalas, se observa siempre la misma geometr´ıa
inicial. A esta caracter´ıstica se le denomina auto-similitud (exacta o estad´ıstica) y
diferencia a los fractales de las formas tradicionales Euclideas.
La auto-similitud estad´ıstica es una cantidad esencial de los fractales en la natu-
raleza éstos pueden ser cuantificados por su valor de dimensión fractal; un número
que está conforme a nuestra noción intuitiva de la dimensión pero cuyo valor no
es necesariamente un entero y su valor de dimensión proporciona el grado de auto-
similitud del fractal [19]. Un objeto que normalmente es considerado uni-dimensional,
un segmento de l´ınea, por ejemplo, puede ser dividido en N partes idénticas de tamaño
caracter´ıstico = 1
N
. Similarmente, un objeto bi-dimensional, tal como un área cuadra-
da correspondiente a un plano, puede ser dividido en N partes auto-similares a él, cada
una de tamaño = 1√
N
. Un objeto tridimensional tal como un cubo sólido, puede ser
dividido en N cubos cada uno de los cuales poseerá un tamaño = 1
3√
N
. A un ob-
jeto auto-similar D-dimensional, se le puede dividir en N copias de él mismo, cada
una reducida en un tamaño = 1
D√
N
o bien N = 1 −D
. De manera inversa; dada la
auto-similitud del objeto con N partes de tamaño , la dimensión fractal está dada
por D = ln N
ln 1 .
El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que no
satisfacen en su totalidad las propiedades anteriores. Por ejemplo, los fractales de la
naturaleza como nubes, montañas, los vasos sangu´ıneos y en el caso especial que se
presenta en este trabajo, los tumores; tienen l´ımites inferiores y superiores en detalle;
no existe un término preciso para definir “demasiado irregular”; existen diferentes
maneras para definir “dimensión” con valores racionales; y no todo fractal es definido

45
recursivamente. Es por esta razón que en el presente estudio, los cálculos de dimen-
sión fractal propuestos representan valores de estimación aproximados, sin embargo
otros estudios han demostrado la efectividad de la utilización de estos métodos en
la clasificación de la malignidad en tumores, incluidos, espec´ıficamente, tumores del
sistema nervioso central [4,5,20,21].
4.1.1. Tipos de Dimensión
Existen varios tipos de dimensión. A continuación se presentaran algunos de los
tipos de dimensión más conocidos: dimensión de capacidado o dimensión fractal,
dimensión de información y dimensión de correlación.
4.1.1.1. Dimensión de Capacidad o Dimensión Fractal
Consiste en cubrir un conjunto A con elementos de diámetro . Sea N( ) el número
m´ınimo de elementos necesarios para cubrir A. Se define la dimensión de capacidad
(Dcap) de la siguiente manera:
Dcap = l´ım
→0
ln N( )
ln 1 (4.1)
donde, la dimensión de capacidad está definida si el l´ımite existe. La Capacidad es
un concepto puramente métrico.
4.1.1.2. Dimensión de Información
Está definida en términos de la frecuencia relativa de una trayectoria t´ıpica. Sea
N( ) el número m´ınimo de elementos necesarios para cubrir un conjunto A con ele-
mentos de diámetro . La dimensión de información está definida por:

46
DI = l´ım
→0
H( )
ln 1 (4.2)
donde
H( ) = −
N( )
i=1
Pi ln Pi (4.3)
H( ) es la entrop´ıa del sistema, Pi es la frecuencia relativa con respecto a una trayec-
toria t´ıpica entre los i-ésimos elementos.
Para suficientemente pequeño la ecuación (4.3) se puede reescribir cómo:
H( ) = κ −DI
(4.4)
donde κ es una constante de proporcionalidad.
4.1.1.3. Dimensión de Correlación
La dimensión de correlación es un tipo de dimensión probabil´ıstica que es carac-
ter´ıstica de los sistemas dinámicos, donde al igual que la dimensión de información y
de capacidad, se cubre un conjunto A con elementos N( ) de diámetro cada uno y
viene definida como:
Dc = l´ım
→0
ln
N( )
i=1
P2
i
ln
(4.5)
donde Pi es la frecuencia relativa con respecto a una trayectoria t´ıpica entre los
i-ésimos elementos. Para interpretar el numerador de la ecuación (4.5) se ha definido
el término de correlación como:
C( ) = l´ım
→0
1
N2
el número de puntos pares (xi, xj) tales que xi − xj (4.6)

47
Si Ni es el número de puntos que se encuentran el i-ésimo elemento, entonces:
Pi = l´ım
N→∞
ni
N
(4.7)
Además, si el elemento tiene diámetro , todos los puntos ni están dentro de cada
y forman pares de puntos n2
i − ni . Se tiene lo siguiente:
C( ) = l´ım
N→∞
1
N2
N( )
i=1
(n2
i − ni)
C( ) =
N( )
i=1
l´ım
N→∞
n2
i
N2
− l´ım
N→∞
ni
N2
C( ) =
N( )
i=1
P2
i − l´ım
N→∞
Pi
N2
C( ) = l´ım
N→∞
Pi
N2
(4.8)
Por lo que la dimensión de correlación se puede escribir de la forma:
Dc = l´ım
→0
ln C( )
ln
(4.9)
4.1.2. Formulación de métodos y algoritmos para el cálculo
de Dimensión Fractal y Dimensión de Correlación
4.1.2.1. Métodos de Box Counting o método de Conteo de Cajas
El algoritmo de Box Counting es una estimación del valor de la dimensión fractal,
el cual consiste en cubrir un conjunto A con cajas de cerradas de tamaño ( 1
2n ), como
se muestra en la figura 4.2 para n = 2.

48
Figura 4.2: Cajas cerradas de tamaño ( 1
2n ) con n = 2
Entonces la dimensión fractal de A vendrá dada por:
Df = l´ım
n→∞
ln Nn(A)
ln(2n)
(4.10)
donde Nn(A) denota el número de cajas con tamaño ( 1
2n ) que cubren el conjunto
A. La ecuación (4.10) proporciona el valor numérico de la dimensión fractal pero
para efectos del cálculo de la misma empleando este algoritmo se deberá realizar un
gráfico de ln Nn(A, ) (donde representa los diversos tamaños de las cajas empleadas)
en función de ln(1
); la pendiente de este gráfico corresponde a la estimación de la
dimensión fractal de A.
4.1.2.2. Métodos de estimación de dimensión de correlación
Partiendo de la ecuación (4.9), para los efectos del algoritmo, la estimación de la
dimensión de correlación se obtiene de la pendiente correspondiente a la parte lineal
del gráfico obtenido al calcular ln C( ) versus ln( ) . Para un dado la estimación de
C( ) se realiza calculando la distancia entre los puntos, ri,j = xi −xj y contando el
número Nr( ) de ri,j para i, j = 1, . . . , N. As´ı, la ecuación (4.6) se puede reescribir
de la forma C( ) = Nr( )
N2 . Donde N( ) se calcula para valores de espaciados geométri-
camente, esto es, para 0, 2
0, . . . , 0 para todo 0 0 y todo entero k 0. Finalmente

49
se obtiene un arreglo entero κ- dimensional N [κ] que cuenta la distancia entre los
puntos que satisfacen κ−1
0 ri,j κ
0 . Entonces se tiene que N( κ
0 ) =
κ
i=1
N [i], donde
κ = 1, ..., k

50
Cap´ıtulo 5
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
5.1. Análisis de las Imagenes de RMN
Se contó con un banco de imagenes de RMN, de corte axial y pesadas en T2.
Estas imagenes fueron adquiridas mediante los procedimientos descritos en el cap´ıtu-
lo 2 y a las cuales, previo al procesamiento de la imagen, les fue eliminado los
datos correspondientes al paciente, método empleado, lugar de realización del estudio
(RMN), fecha, operador encargado, etc., pues estos datos representan una distorsión
(ruido) para el análisis y la calidad de la imagen objeto de nuestro estudio.
Para el análisis de las imagenes de RMN se utilizaron los programas: Osiris versión
4.0 y Matlab versión 7.0. El programa Osiris, permitió transformar todas las imagenes
de resonancia magnética nuclear utilizadas para el presente estudio, 298 en total, del
antiguo formato Dicom, “Papyrus”, en el que se encontraban inicialmente, al nuevo
formato llamado Dicom,(DICOM,Digital Imaging and Communication in Medicine)
siendo este actualmente, el utilizado mundialmente para el intercambio de imagenes
médicas, lo cual nos permitir´ıa a su vez el procesamiento de las mismas mediante el
programa Matlab.
El programa Matlab 7.0 cuenta con una serie de Toolboxes, que además de permitir
el trabajo del procesamiento digital de imagenes médicas, acepta la creación de nuevas
rutinas escritas. En nuestro caso en particular, se logró mediante la adaptación y

51
generación de cuatro (4) nuevos algoritmos, un mejor aprovechamiento del programa
en general en la búsqueda del logro del objetivo central de la investigación.
5.2. Procesamiento de las Imagenes Digitales
Los procedimientos aplicados para procesar la información de las imagenes mediante
el programa Matlab fueron los siguientes:
1. Transformación de niveles de grises.
2. Segmentación de la imagen mediante:
a. Establecimiento del umbral.
b. Detección de bordes.
c. Extracción de la lesión y cerrado del contorno.
3. Implementación del modelo deformable.
a. Snake.
a.1. Cálculo de la dimensión fractal.
b. gráfico de energ´ıa vs “número de pixel”.
b.1. Cálculo de la dimensión de correlación.
5.2.1. Transformación de niveles de gris
Fue necesario realizar una rutina para Matlab que aplicara una transformación
básica de niveles de gris [12], para poder observar las imagenes de estudio en el pro-
grama, pues al hacer el cambio de formato, las imagenes le´ıdas por Matlab presentaban
un corrimiento de la distribución de intensidades hacia el negro. Se escogió para este
propósito, la Ley de Potencia. Esta transformación es de la forma:
S = crγ
(5.1)
donde c y γ son constantes positivas. De ésta ecuación se tiene que para valores de
γ 1 se observa un corrimiento de los valores de intensidad hacia el blanco y para γ

52
1 se tiene exactamente el efecto contrario; si γ = 1 entonces se obtiene la imagen
original. Se escogió esta transformación de niveles de gris ya que esta técnica nos
permite acceder a todos los posibles valores de niveles de intensidad en la imagen.
Los valores de las constantes c y γ fueron escogidos por ensayo y error y permitieron
ajustar el valor óptimo de nivel de intensidad para cada imagen en particular, hecho
que influye de manera directa y garantiza o no la correcta ubicación de la lesión y
posterior aplicación de los pasos de segmentación de la imagen en estudio, tal y como
podemos observar en la figura 5.1
Figura 5.1: (a) imagen sin tratamiento, (b) Ley de Potencia (c = 1 y γ =1.62)
5.2.2. Segmentación de la imagen
5.2.2.1. Establecimiento del umbral
Matlab representa las imagenes en términos de matrices y vectores, lo cual nos
permite observar el rango de niveles de grises de toda la imagen e identificar una región
en particular de ésta o el valor de intensidad en un punto dado. Siguiendo las pautas de
la técnica de busqueda de umbral presentada en el cap´ıtulo 3, se logra la segmentación
de la imagen en estudio ubicando el nivel de gris apropiado, es decir, aquel que mejor
logra la separación de la lesión del resto de las estructuras, este procedimiento se

53
realiza de manera interactiva. Éste método de segmentación de imagenes toma el
valor encontrado como valor umbral para la binarización de la imagen, tal como se
observa en la figura 5.2.
Figura 5.2: Establecimiento del umbral
5.2.2.2. Detección de Bordes
Para la búsqueda de bordes de la imagen se preparó una rutina empleando los
siguientes métodos de detección de bordes: operador de Sobel, operador Laplaciano
y operador de Roberts (Apéndice C). Aunque Matlab presenta como toolboxes para
el cálculo de detección de bordes estos operadores anteriormente mencionados, se
deseaba hacer una comparación con el fin de encontrar diferencias entre las rutinas
realizadas y los toolboxes de Matlab, tomando como premisa, la sospecha de que
Matlab podr´ıa hacer ciertos redondeos referentes a las imagenes. Luego de efectuado
el procedimiento discutido se llegó a la conclusión de que no existen diferencias signi-
ficativas entre la rutina con diferentes métodos de detección de bordes y la efectuada
por el programa Matlab 7.0. Tomando en cuenta esto, se decidió usar los detectores
de bordes que Matlab proporciona como herramientas de extracción de bordes, en-
contrándose el método de detección de bordes de Canny explicado en el cap´ıtulo 3,
como el más adecuado para éste propósito por representar la mejor aproximación a

54
los bordes verdaderos y ser el menos sensible al ruido (Figura 5.3).
Figura 5.3: Detector de bordes Canny
5.2.2.3. Extracción de la lesión y cerrado del contorno
La escogencia del contorno se realiza de forma supervisada, seleccionándose un
pixel del contorno deseado con el “mouse”. Se extrae el contorno de la lesión, con el
fin de separar el contorno en estudio del resto de la imagen. Tambien se hace necesario
el cerrado del contorno para la posterior activación del contorno deformable.
Tanto la extracción como el cerrado del contorno objeto de estudio se realizaron
aplicando el algoritmo del “bug following” [22]. Este algoritmo procede a una búsque-
da de contorno recorriendo la imagen en sentido de las agujas del reloj, comenzando
en el pixel correspondiente a la esquina inferior izquierda del contorno seleccionado;
el algoritmo trabaja revisando los valores de los cuatro (4) pixels inmediatos a él, lo
que se denomina conectividad-cuatro, como se observa en la figura 5.4.
Los movimientos se realizan alrededor del pixel central (P) hacia la derecha si
existe una transición de un pixel blanco a un pixel negro o hacia al izquierda si la
transición es de un pixel negro a un pixel blanco. Los ejes correspondientes a las
direcciones de conectividad-4 estarán alineados según los ejes del movimiento del

55
Figura 5.4: Conectividad-4
pixel principal, es en ésta forma en la que los movimientos de izquierda o derecha
serán definidos. La traza del contorno termina cuando el pixel central es igual al pixel
inicial, entonces el contorno será cerrado. Figura 5.5
Figura 5.5: Extracción y cerrado del contorno
5.2.3. Implementación del modelo deformable
Atendiendo a las caracter´ısticas del grado de irregularidad en los bordes de las
lesiones en las imagenes de resonancia magnética nuclear del sistema nervioso central
y los objetivos trazados en este estudio, se decidió emplear para la segmentación de
nuestra región de interés un Snake al cual se le añadió como fuerza externa el Vector
de Flujo del Gradiente (GVF), propuesta por los autores Xu y Prince [18].

56
Para la implementación del Snake como contorno deformable se agregó a Matlab
la librer´ıa del Snake desarrollada por el autor Chenyang Xu [23].
Se implementó el contorno deformable o Snake sobre la imagen obtenida de la ex-
tracción de la lesión, con el propósito de hacer el cálculo de minimización del funcional
de energ´ıa pixel a pixel.
A modo de comparación también se realizaron las variaciones de energ´ıa (número
de iteraciones) del Snake en proceso sobre la imagen en estudio a fin de corroborar
que el contorno extra´ıdo de la lesión es equivalente con el contorno de la lesión real
(figura 5.6).
Figura 5.6: Snake en proceso sobre la imagen original
Se obtuvieron y guardaron, por cada pixel, como archivos de texto, para los cal-
culos de dimensión fractal que se realizaran a continuación, los valores de la energ´ıa
del Snake final (figura 5.7), es decir, el que corresponde a la curva de m´ınima energ´ıa
o bien, al Snake una vez que se encuentra sobre el borde extra´ıdo de la lesión; y se
gráficaron vs la etiqueta o número correspondiente al pixel o par (x,y).
Se calculó la dimensión de correlación de ésta gráfica empleando el método descrito
en el cap´ıtulo 4. Mientras que para la figura final del Snake (ver figura 5.7) se cal-

57
Figura 5.7: Snake final sobre contorno extraido de la lesión (contorno rojo)
culó su dimensión fractal utilizando el algoritmo de “Box Counting” (cap´ıtulo 4).
En ambos casos el valor de la dimensión está representado por la pendiente de una
gráfica resultante de la aplicación del algoritmo correspondiente para el cálculo de
la dimensión respectiva, ambos algoritmos se encuentran explicados en el cap´ıtulo
4, en la sección 4.1.2 y plasmados en el Apéndice B, el método utilizado en ambos
algoritmos para el cálculo final de la dimensión (pendiente), fue el ajuste de puntos
mediante el método de “M´ınimos Cuadrados” descrito a continuación:
El objetivo del algoritmo de ajuste por “M´ınimos Cuadrados” es encontrar el
valor, de los puntos ajustados en una l´ınea, para los factores “a” y “b” en la siguiente
ecuación:
y(x) = (ax) + b

58
∆ = (n x2
) − (( x)2
)
a =
( x y) − (n xy)
∆
b =
( x2
y) − ( x xy)
∆
donde
∆ = literal auxiliar para calcular “a” y “b”.
a = valor de la pendiente en la ecuación de la recta.
b = punto de corte en la ecuación de la recta.
x= componentes en el eje “x” de los puntos a ajustar.
y= componentes en el eje “y” de los puntos a ajustar.
n= número de puntos a ajustar.

59
Cap´ıtulo 6
DISCUSIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS
RESULTADOS
6.1. Análisis de las imagenes de RMN
El objetivo de este trabajo de investigación es determinar y caracterizar lesiones
correspondientes a tumores del sistema nervioso central mediante el análisis del grado
de irregularidad en sus bordes en imagenes de resonancia magnética nuclear.
Del total de las 298 imagenes inicialmente estudiadas, se escogieron y analizaron,
dadas sus caracter´ısticas particulares diecinueve (19) imagenes de RMN, a las cuales
se les practicó el procedimiento descrito en el cap´ıtulo 5. Todas las imagenes fueron
evaluadas previamente por un médico especialista radiólogo quien presentó su diag-
nóstico ( Dx) de la lesión en cada caso. Este diagnóstico médico, será la referencia para
su posterior comparación con los resultados obtenidos como producto de la aplicación
del método descrito en el cap´ıtulo anterior.
6.2. Procesamiento de las imagenes Digitales
Mediante la aplicación del procesamiento digital de imagenes descrito en el cap´ıtu-
lo 5 se encontraron como resultados significativos los siguientes:

60
En las lesiones benignas se observa un rango estrecho de los niveles de intensi-
dad lo cual facilita su separación del resto de las estructuras presentes en la imagen
con respecto a la segmentación de las lesiones malignas ya que éstas presentan poca
uniformidad en los niveles de grises que la componen. Sin embargo, se realizaron
pruebas a una misma imagen de resonancia magnética nuclear empleando diversos
umbrales, (vease Apéndice D), con el fin de descartar que la apreciación visual del
usuario pueda afectar la confiabilidad del estudio, de ésta prueba se encontraron re-
sultados positivos que afirman la fidelidad del método empleado en la investigación;
éstas pruebas no mostraron cambios significativos en el cálculo de la dimensión fractal
ni de la dimensión de correlación.
Mediante la extracción de los bordes de las lesiones objeto de estudio se observó,
una diferencia evidente en las irregularidades presentes en los contornos de las lesiones
tanto malignas como benignas; presentando mayor grado de irregularidad las lesiones
malignas.
De la aplicación del Snake como modelo deformable, se apreció que, representa
una buena aproximación en cuanto a la conformación de las fronteras o bordes reales
de las lesiones. Una vez que el Snake se encuentra sobre el borde extra´ıdo de la
lesión, se obtuvieron como resultados los valores de la dimensión fractal ( Df ) y de
los resultados obtenidos del cálculo de la dimensión de correlación ( Dc) obtenidos
de los gráficos correspondientes a los valores de energ´ıa del Snake en cada pixel, los
cuales se presentan en el cuadro 6.1. Se encontró un comportamiento desigual de
estos gráficos, referentes al contorno de la lesión, en cuanto a la irregularidad de los
patrones presentes en las estructuras malignas, éstos además, presentan mayor “grado
de complejidad”, mientras que en las lesiones benignas se observa un comportamiento
muy similar en los patrones de sus gráficos de energ´ıa, lo que confirma la importancia
de la forma geométrica en los bordes de las lesiones para su posterior diagnóstico. De
éstas gráficas se obtuvieron los valores de la dimensión de correlación ( Dc) en cada
caso mostrándose los valores encontrados de manera creciente en el cuadro 6.1.
La aplicación de este método permite separar las clases de tumores deseadas,

Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales

Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales

Similar a Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales (20)

Último

Último (20)

Detección de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterización Mediante Análisis de Series Temporales