4. ¿Qué es centro de masa?
¿Qué es centro de gravedad?
¿De qué factores depende el centro de masa?
5. ¿Cómo futuro ingeniero, necesito conocer el
centro de masa de un edificio o sistema? ¿Por
qué?
6. Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de centro de
masa, utilizando las ecuaciones de centro de masa para sistemas
discretos, en base a una representación correcta de la forma en que
se distribuyen las masas dentro de un sistema de referencia, y
presenta sus resultados siguiendo una secuencia lógica.
Objetivos
9. El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo
está en un campo gravitatorio uniforme.
Centro de masa y de gravedad
10. El centro de masa de un sistema discreto se obtiene usando las siguientes
relaciones es:
𝑋𝑐𝑚 =
𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑚𝑖
𝑌𝑐𝑚 =
𝑚𝑖y𝑖
𝑚𝑖
𝑍𝑐𝑚 =
𝑚𝑖z𝑖
𝑚𝑖
11. Cuando se trabaja con sistemas cuya geometría es regular,
entonces el centro de masa coincide con su centro geométrico.
Centro de masa
12. Ejemplo: Considere la siguiente distribución de masas: 5,00 Kg en (0,0), 3,00 Kg en
(0,0; 4,00) , 4,00 Kg en (3,00; 0,0) y 8,00 Kg en (3,00; 4,00). Las coordenadas de
posición están en metros. Determinar en donde se encuentra el CM .
5,00
Kg
3,0
kg
4,00
Kg
(8,00 Kg
El centro de masa se encuentra en la
posición r = (1.8,2.2) m
13. Ejercicio: Determine el centro de gravedad de un péndulo físico, el cual consiste
en una varilla soldada a un disco. La varilla tiene 2,00 m de longitud y una masa de
10,0 kg, el disco tiene un radio de 25,0 cm y una masa de 20,0 kg; el centro del disco.
14. En las ecuaciones para determinar el centro de masa, para sistemas
discretos, también se utiliza en términos de las áreas en lugar de las masas.
En el caso de sistemas continuos se utiliza la densidad del sistema en lugar de
la masa.
Centro de masa
15. Ejercicio: La figura muestra una escuadra de carpintero en forma de L,
localice su centro de gravedad.
16. Ejemplo: Una pieza uniforma de lámina de acero tiene la forma
mostrada en la figura.. Calcule las coordenadas x e y del centro
de masa de la pieza
Resp: CM = (11,7 i + 13,3 j) cm
17. Ejercicio: La masa de la Tierra es de 5,98 x 1024 kg , y la masa de
la luna es de 7,36 x 1022 kg . La distancia de separación medida
entre sus centros es de 3,84 x 108 m. Localice el CM del sistema
Tierra – Luna medido desde el centro de la Tierra.
18. Torque de una fuerza
Es la propiedad de la fuerza para
hacer girar al cuerpo se mide
con una magnitud física que
llamamos torque o momento de
la fuerza.
19. El torque es la medida cuantitativa
de la tendencia de una fuerza para
causar o alterar la rotación de un
cuerpo.
Se define torque de una fuerza F
respecto del punto O como:
Cuya magnitud está dada por:
La dirección del torque está dada
por la regla de la mano derecha. La
unidad del torque es el Newton (N)
𝜏𝑂
= 𝑟𝑥𝐹
𝜏𝑂
= 𝑟𝑥𝐹
𝜏𝑂
= 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜙
20. Podemos definir el torque como el producto de la fuerza por su
brazo de palanca.
21. Producto de la distancia por la com-
ponente perpendicular de la fuerza.
Producto de la fuerza por la componente
perpendicular de la distancia.
23. Ejercicio: Una placa metálica cuadrada de 0,108 m por lado, pivotea sobre un eje que
pasa por el punto O en su centro y es perpendicular a la placa (vea la figura). Calcule el
momento de torsión neto alrededor de este eje debido a las tres fuerzas mostradas en la
figura. Si sus magnitudes son F1 = 18,0 N , F2 = 26,0 N y F 3 = 14,0 N (la placa y todas
las fuerzas se encuentran en el plano).
24. Por sencillez, limitaremos nuestra
atención a situaciones en las que
podamos tratar a todas las fuerzas como
si actúan en un solo plano, que
llamaremos xy. Para que un cuerpo esté
en equilibrio se deben cumplir dos
condiciones:
La suma vectorial de las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo debe ser cero.
La suma vectorial de momentos de
torsión respecto a cualquier punto debe
ser cero.
𝐹𝑋
= 0
𝐹𝑌
= 0
𝜏0
= 0
Ejercicio: Se quiere hallar el equilibrio con
dos peces de madera en un lado de una
varilla ligera (desprecie el peso de la
varilla) y un contrapeso en el otro. ¿Qué
masa m deberá tener el contrapeso para
que la varilla colgada del techo esté en
equilibrio?
25. Ejercicio: Calcule la tensión T en cada cable
y la magnitud y dirección de la fuerza
ejercida sobre el puntal por el pivote en los
sistemas de la figura. En cada caso, sea w el
peso de la caja suspendida y el puntal, que
es uniforme, también pesa w.
Ejercicio: La viga horizontal de la figura
pesa 150 N y su centro de gravedad está
en su centro geométrico. Calcule: a) la
tensión en el cable, b) las componentes
horizontales y vertical de la fuerza ejercida
por la pared sobre la viga.
26. Ejercicio: Una puerta de 1,00 m de ancho y
2,00 m de alto pesa 280 N y se apoya en dos
bisagras, una a 0,50 m debajo de la parte
superior y otra a 0,50 m arriba de la inferior.
Cada bisagra soporta la mitad del peso de la
puerta. Suponiendo que el centro de
gravedad
de la puerta está en su centro, calcule las
componentes de fuerza horizontales ejercidas
sobre la puerta por cada bisagra.
Ejercicio: Una viga no uniforme de 4,50
m de longitud que pesa 1,00 kN y forma
un ángulo de 25,0° sobre la horizontal
está sostenida por un pivote sin fricción
en su extremo superior derecho y un
cable a 3 m de distancia, perpendicular
a la viga. El centro de gravedad de la
viga está a 2 m del pivote. Una lámpara
ejerce una fuerza de 5,00 kN hacia
abajo sobre el extremo inferior izquierdo
de la viga. Calcule la tensión T en el
cable y las componentes de la fuerza
ejercida sobre la viga por el pivote.
27. Ejercicio: calcule la masa m que se necesita para suspender una pierna como
se indica en la figura. La pierna (con yeso) tiene una masa de 15, kg y su CG
está a 5, cm de la articulación de la cadera: el cabestrillo está a 80, 5 cm de la
articulación de la cadera.
28. Ejercicio: suponga que el punto de inserción del bíceps en el antebrazo
mostrado en el ejercicio 1 está a 6,0 cm en lugar de 5,0 cm . ¿Cuánta masa
podría sostener la persona con un músculo que ejerce 400 N?
29. Ejercicio: Aproximadamente que magnitud de fuerza, FM
debe ejercer el músculo extensor del brazo sobre el
antebrazo para sostener un peso de 7,3 kg . El antebrazo
tiene una masa de,8 kg y su CG está a 12 cm del pivote
de la articulación del codo.
