03 principio de_los_trabajos_virtuales (1)

3
Principio de los trabajos
virtuales
Cálculo plástico de estructuras
Guillermo Rus Carlborg

Enunciado Demostración Uso
Índice
 Enunciado
 Demostración
 Uso para determinar esfuerzos y deformadas

Conocimientos previos
 Plasticidad unidimensional:
 Tensión + Esfuerzo + Deformación + Desplazamiento
 Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad
 Rótula plástica
 Momento plástico
 Resistencia de materiales – Vigas
 Cálculo de pórticos (e.g. matricial):
 Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada
 Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas

Enunciado
 Si un cuerpo sometido a un estado de equilibrio
se asocia a otro estado de deformaciones, el
trabajo virtual producto de ambos es nulo,
 pues se compensa la componente producida por las
acciones y desplazamientos externos, con la
componente debida a los esfuerzos y deformaciones
internos.

Enunciado
Particularización a pórtico plástico
 Estructuras de nudos rígidos en mecanismo:
 deformaciones elásticas despreciables
 Estados:
 desplazamientos y deformaciones
 fuerzas y esfuerzos
 PTV:
 Enunciado:
 Si compatible y en equilibrio → PTV

Demostración
 Para un punto material
 Para una barra
 Para una estructura = n nudos + b barras
 Para un pórtico plástico = estructura en
mecanismo, donde prevalece la deformación en
las rótulas sobre la elástica

Demostración
Para un punto material
 Punto i
 Estado de fuerzas y esfuerzos
 Estado de desplazamientos

Demostración
Para un punto material
 Trabajo virtual:
 Equilibrio:
 Enunciado del PTV:

Demostración
Para una barra
 Barra i-j
Estado de fuerzas/esf. Estado de deform./despl.

Demostración
Para una barra
 Estado de deform./despl. → compatible:

Demostración
Para una barra
 Estado de fuerzas/esf. → equilibrio:
 El comportamiento longitudinal está desacoplado del
transversal:
 → calculamos (1) PTV longitudinal; (2) PTV transversal
Equilibrio longitudinal:
Equilibrio Transversal:

Demostración
Para una barra
 PTV longitudinal:
 Equilibrio:
 T.V. en una sección:
 T.V. en toda la barra:
 Integración por partes:

Demostración
Para una barra
 PTV transversal:
 Equilibrio:
 T.V. en toda la barra:
 Integración por partes:

Demostración
Para una barra
 PTV longitudinal + PTV transversal:

Demostración
Para una estructura
 Estructura = suma de b barras
 Combinamos los resultados previos para:
 Denotamos las fuerzas del conjunto de barras ik
que confluyen al nudo

Demostración
Para una estructura
 Barra k=ij:
 Equilibrio nudo-barra:
 Compatibilidad nudo-barra:
 Se obtiene:

Demostración
Para un pórtico plástico
 Pórtico plástico = estructura en mecanismo
 Deformación elástica << deformación en las rótulas
 Suponiendo px=0=py

Práctica 2
determinación de deformadas
Δ  θ2

Práctica 3
determinación de esfuerzos
P  Mp

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