Principio de los Trabajos Virtuales

1. Principio de los Trabajos Virtuales.
Aplicación del PTV al análisis
estructural

2. Simplificaciones habituales
1. Material homogéneo e isótropo:
◦ mismas propiedades en todos sus puntos
independientemente de la dirección.
2. Comportamiento elástico-lineal del
material:
◦ cumplimiento de la ley de Hooke. Tensiones
proporcionales a deformaciones.
3. Elementos tipo barra:
◦ la dimensión longitudinal predomina.
4. Hipótesis de Bernouilli:
◦ las secciones transversales planas permanecen
planas después de la deformación. No se alabean.
5. Pequeños desplazamientos y
deformaciones:
◦ se puede aplicar teoría de primer orden.
6. Principio de superposición:
◦ el efecto de la suma de dos sistemas de cargas es
igual a la suma de los efectos de los mismos
◦ se cumple al cumplirse las simplificaciones 2 y 5.
P1 P2
A
A’

3. Planteamiento del problema elástico
 Equilibrio:
◦ las fuerzas externas y las fuerzas internas (tensiones o esfuerzos) están en equilibrio.
 Compatibilidad:
◦ los movimientos de la estructura son compatibles con las deformaciones de elementos y
condiciones de apoyo
 Comportamiento:
◦ se cumple la ley de Hooke: deformaciones proporcionales a las tensiones.

4. Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad
 Equilibrio interno
◦ Entre tensiones y fuerzas de
volumen X, Y, Z
 Equilibrio externo
◦ Entre fuerzas superficiales y
tensiones
 Compatibilidad
◦ Se relacionan desplazamientos u, v,
w y deformaciones.
◦ Deben cumplirse condiciones de
integrablidad.

5. Ecuaciones de comportamiento
 La Ley de Hooke generalizada también puede escribirse como las
ecuaciones de Lamé.
 Dependen de:
◦ módulo elástico del material E (Módulo de Young)
◦ coeficiente de Poisson
◦ El módulo de elasticidad transversal G puede obtenerse de E y .

6. Dificultad del problema elástico: uso del PTV
 En muy pocos casos simples es posible plantearlo
◦ En muchos de estos no es posible la resolución del sistema de
ecuaciones diferenciales
 Uso de métodos energéticos: el PTV
◦ Un estado real: que queremos analizar.
◦ Un estado virtual: inventado a nuestra conveniencia para
obtener unos determinados resultados.
◦ Ambos pueden tener:
 Cargas y reacciones externas
 Tensiones o esfuerzos internos
 Deformaciones
 Desplazamientos

7. Real Virtual
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS
VIRTUALES
 El trabajo virtual externo y el trabajo
virtual interno son iguales. Te=Ti
◦ Te= realizado por fuerzas o momentos
externos sobre desplazamientos o
giros.
◦ Ti= realizado por esfuerzos internos o
tensiones sobre deformaciones.
 2 Opciones (PDV y PFV)
◦ Cargas y tensiones reales sobre
desplazamientos y deformaciones
virtuales:
 PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTOS
VIRTUALES
◦ Cargas y tensiones virtuales sobre
desplazamientos y deformaciones
reales:
 PRINCIPIO DE FUERZAS VIRTUALES
∑Te= ∑ Ti

8. Variantes del PTV: PDV y PFV
Principio de los Desplazamientos Virtuales
(PDV):
◦ Se usan desplazamientos y deformaciones
virtuales para obtener cargas (normalmente
reacciones), tensiones o esfuerzos.
Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV):
◦ Se usan fuerzas, esfuerzos y tensiones virtuales
para obtener desplazamientos y deformaciones
reales.

9. Trabajo virtual en barras: trabajo virtual
externo
 Es el producto de fuerzas (F, R, etc.)por desplazamientos ( , ,
etc.) o momentos (M)por giros ( )
 El trabajo es positivo si la fuerza y el desplazamiento tienen el
mismo sentido.
 En un sólido elástico la fuerza que es necesario aplicar para
deformarlo aumenta al aumentar el desplazamiento, sin embargo
cuando hablamos de trabajos virtuales al aplicar el PTV lo que
se hace es multiplicar directamente carga por
desplazamiento.

10. Trabajo virtual en barras: trabajo virtual
interno
 Integral de los esfuerzos (N, V, M, Mt) por los diferenciales de
desplazamientos o giros internos.
 Es positivo si el esfuerzo y el desplazamiento tienen igual sentido.
 El axil realiza trabajo sobre el desplazamiento longitudinal.
 El cortante realiza trabajo sobre el desplazamiento transversal.
 Los momentos realizan trabajo sobre los giros (por flexión o por torsión).
E=módulo elástico
A=área
G=módulo elasticidad
transversal
A =área de cortante
I=momento de inercia
Kt=momento de
inercia polar (cilindros)
Rigidece
s
PDV: Esfuerzos reales sobre desplazamientos virtuales
PFV: Esfuerzos virtuales sobre desplazamientos reales

11. Aplicación del PTV al análisis estructural
Tipo de P.T.V. Estructuras Método Se obtienen
P.F.V. (Fuerzas Virtuales) Isostáticas De la carga unitaria Desplazamientos
Hiperestáticas De las Fuerzas Ecs. de compatibilidad
P.D.V. (Despl. Virtuales) Isostáticas De despl. virtuales Esfuerzos y reacciones
Hiperestáticas De los Ángulos de Giro Ecs. de equilibrio
Si se aplica como Principio de las Fuerzas Virtuales:
 Sistema virtual de fuerzas y esfuerzos
 Equivale a Ecuación de Compatibilidad para el sistema real de
desplazamientos y deformaciones.
Si se aplica como Principio de los Desplazamientos Virtuales:
 Sistema virtual de desplazamientos y deformaciones
 Equivale a Ecuación de Equilibrio para el sistema real de fuerzas
externas e internas.

12. Método de la carga unitaria: sistema virtual
 Usa un sistema virtual inventado que cumpla las siguientes
condiciones:
◦ Encontrarse en equilibrio.
◦ Las fuerzas virtuales se aplicarán en una estructura formada por
una parte o toda la estructura inicial.
 Estable
 Que contenga los puntos en los que se quiere calcular el despl. o giro
 Se aplicará una fuerza unitaria, con la localización, dirección y
naturaleza acorde con el desplazamiento buscado.
◦ El PFV dará lugar a una ecuación, en la que el desplazamiento
buscado será la única incógnita.
SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

13. Método de la carga unitaria: trabajos
virtuales
Trabajo externo =carga virtual (1)x desplazamiento real
( B)
Trabajo interno= momento virtual·d + cortante virtual·dλ
SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL
P
B
L
B
B
PL
(+)
P P
A
A
A ¿ B?
M
V

14. Método de la carga unitaria: PTV
1x B= L momento virtual·d + L cortante virtual·dλ
 Recordemos:
 Como las deformaciones por cortante suelen ser despreciables
respecto a las debidas a momento flector:
∑Te= ∑ Ti
3 3
1. 3 3
B
B
L L
e i
T T
PL PL PL
M V
M dx V dx EI GA EI
EI GA
Este término puede considerarse 0 (como si
GA = )
¿Cómo se calculan fácilmente las
integrales de los productos de
diagramas?
*B=1/EI·
*

15. Cálculo de reacciones y esfuerzos con PDV
 Sistema virtual con un desplazamiento (o giro) inventado que:
◦ Si se permitiese el despl. libremente sería un mecanismo
◦ Debe ser compatible con las condiciones de contorno
◦ Debe corresponderse con la fuerza, esfuerzo o momento buscado.
 Los giros se corresponden con momentos (flectores o de empotramiento)
 Los desplazamientos con fuerzas o esfuerzos de tracción o cortantes.
◦ Ojo: si ese “desplazamiento” virtual es un giro (que utilizamos para
obtener algún momento) eso implica introducir una rótula.
SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL
¿RA
?

16. Cálculo de reacciones con PDV: PTV
 Trabajo externo =Reacción (RA) x despl. virtual ( )+Carga (P) x despl.
virtual ( /2)
 Trabajo interno=0
◦ No incluimos ningún esfuerzo interno en el sistema real.
∑Te= ∑ Ti
A A A
e i
e
i
T T
P
T R P R P 0 R
2 2 2
T 0
Se obtiene por geometría (semejanza de triángulos)
en el sistema virtual de desplazamientos/2

17. Cálculo de esfuerzos con PDV
 Trabajo externo = Carga (P) x despl. virtual ( )
 Trabajo interno= Momento flector (MC) x giro virtual ( )
SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL
BA
P
L/2 L/2
C
El desplazamiento virtual en el centro de la viga se obtiene partiendo de la
suposición, válida en el caso de ángulos pequeños, de que el valor de un ángulo
en radianes es igual a su seno y a su tangente