Arboles y Redes

1. Árboles y Redes:
Árboles

2. Árboles
• Sea un grafo A, este recibe el nombre de árbol si y solo si:
• A es conexo.
• A no tiene circuitos.

3. • En este contexto árboles y grafos se refiere a
estructuras de datos que permiten organizar y
mantener información en un computador. Esta forma
se inspira una forma de organizar información con
lápiz y papel usando nodos y flechas entre los nodos (a
esas flechas también se les llama arcos, a los nodos
también se les llama vértices). Los grafos y árboles en
papel son apropiados por ejemplo para capturar sólo
una parte de la información de objetos, situaciones y
otros tipos de información

4. • Un grafo conectado que contiene circuitos no
simples se llama árbol. Esta es una herramienta que
se utiliza para determinar todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
• Consta de una serie de pasos, donde cada uno de
estos tiene un número finito de maneras de ser
llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo
y probabilidad.

5. • Un árbol es un grafo ( no dirigido) conexo que
no tiene circuitos, es decir, que existen dos o mas
paseos entre un par de vértices.
• Una colección de arboles disjuntos es llamado
bosque. Un vértice de grado 1 en un vértice se
llama hoja o nodo terminal, y un vértice de
grado mayor que 1 recibe el nombre de un nodo
rama o nodo interno.

6. Construcción de un árbol.
• Se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada
de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de
primera generación.
• En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un
nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda
generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo
representa un posible final del experimentó (nudo final).

7. Representación de arboles.
• El árbol es un grafo no dirigido conectado con circuitos no simples; además,
no contiene arcos múltiples, con la propiedad de que hay un único camino
simple entre cada par de vértices, teniendo el siguiente teorema:
• “Un grafo no dirigido es un árbol si y solo si hay un camino simple único
entre cualesquiera dos de sus vértices”.

8. ¿Cuáles de los grafos de la figura son árboles?

9. • Existen grafos que no tienen conexión y
podría existir confusión el pensar que un
árbol es un grafo conectado que tiene
circuitos no simples, pero es importante
mencionar que existen árboles del tipo
que contienen circuitos no simples que
no necesariamente están conectados, y
esos árboles reciben el nombre de
bosques, cuya característica es que cada
uno de sus componentes conectados es
un árbol.

10. Ejemplo:
• El árbol anterior muestra el número de
encuentros en un torneo de
• eliminación simple con 8 competidores.
• • Se juegan un total 7 encuentros a saber:
• • Cuatro encuentros en la primera ronda.
• • Dos encuentros en la segunda ronda.
• • El encuentro final.
• • En total son 7 encuentros.

11. ÁRBOLES
• Clasificación por altura y numero de nodos
• Arboles con peso

12. ¿QUÉ ES UN ÁRBOL?
El árbol es un grafo no dirigido conectado con circuitos no simples; además, no
contiene arcos múltiples, con la propiedad de que hay un único camino simple
entre cada par de vértices.” Un árbol es un grafo simple en el cual existe un
único camino entre cada par de vértices”.

13. COMPONENTES
• Los vértices de un árbol reciben el nombre de nodos y los lados de
ramas. Un grafo esta compuesto por niveles y el mas alto de la
jerarquía se llama raíz .La raíz tiene un valor de cero. Los vértices
inmediatamente debajo de la raíz tiene un nivel uno y así
sucesivamente.
• Descendientes : Todos aquellos que están debajo de un nodo.

14. PROPIEDADES
• Es un grafo conexo en donde existe un camino entre cualquier para de
vértices(W,X).
• Este grafo no tiene ciclos ni lados paralelos
• Todo árbol con al menos dos vértices tiene al menos una hoja(si se considera
al otro vértice la raíz).

15. CLASIFICACIÓN POR ALTURA (BALANCEADOS Y NO
BALANCEADOS)
• La altura de un árbol se define como el nivel del nodo de mayor nivel. Como
cada nodo de un árbol puede considerarse a su vez como la raíz de un árbol,
también podemos hablar de altura de ramas. La altura o peso de un árbol es
el valor de su nivel mas bajo.(La altura de A=0,B=1….,Es igual al numero de
niveles). Es el largo del mayor camino de la raíz a una hoja.

16. BALANCEADOS
• Se dice que un árbol con altura h esta balanceado si el nivel de cualquier hoja
es h o (h-1).Esto es si hay una diferencia máxima de un nivel entre hojas .Pero
también cada nodo padre debe tener el mismo numero de hijos .cuando
todos sus niveles excepto el ultimo ,están integrados a su máxima capacidad
de nodos.

17. NO BALANCEADOS
• Cada padre ,no tiene la
misma cantidad de hijos .
• Tiene una diferencia de
mas de un nivel entre hojas
• Se ve claramente el
desequilibrio en ambos
lados

18. CLASIFICACIÓN POR NUMERO DE NODOS.
• Nodo: indica un elemento, o ítem, de información.
Características del árbol, en relación al numero de nodos:
• Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de
árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede
apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de
tres, etc.

19. • Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del
árbol.
• Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz,
medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus hijos uno. Así
sucesivamente.

20. EJEMPLOS
• Un hombre que tiene dos hijos, de los cuales uno no tiene hijos y el otro tiene tres
hijos. (hacer árbol)
• Encontrar lo que se pide :
• -Nivel de H
• -Nivel de T
• Nivel de N
• Hijos de D
• Hermanos de J
• -Altura
• Grado del árbol
• Escribe la letra las hojas que hay.
• Escribe los descendientes de D

21. ÁRBOLES CON PESO
• El peso de un árbol en un nodo dado es el número de nodos en el
árbol sin contarse él mismo.

22. PESO DEL ÁRBOL (EJEMPLOS)
Obtener el peso de ambos arboles .

23. ÁRBOL DE PESO MÍNIMO
• un árbol de peso mínimo o expansión minima es un árbol
compuesto por todos los vértices y cuya suma de sus aristas es la
de menor peso. Para poder resolverlo se utiliza el algoritmo de
Kruskal

24. ÁRBOL PESO MÁXIMO
un árbol de peso máximo o expansión máxima es un árbol compuesto por todos los
vértices y cuya suma de sus aristas es la de mayor peso.(Obtener el peso máximo)

25. EJEMPLO PESO MÁXIMO Y MINIMO

26. 6.2.1. Recorrido de un árbol
Objetivo general: Reconocer y utilizar las diferentes formas de
recorrer un árbol.
Objetivos específicos:
• Identificar los diferentes algoritmos de recorrido de un
árbol
• Aplicar los conocimientos previos sobre los componentes
de un árbol
6. Árboles y redes

27. Árbol binario
Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede tener más de dos
subárboles. En un árbol binario cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos
(subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de
la derecha como hijo derecho.

28. Recorrido de un árbol
Recorrido en profundidad-primero
Árbol binario:
•Pre-orden: (raíz, izquierdo, derecho):
1. Visite la raíz
2. Atraviese el sub-árbol izquierdo
3. Atraviese el sub-árbol derecho

29. •In-orden: (izquierdo, raíz, derecho):
1. Atraviese el sub-árbol izquierdo
2. Visite la raíz
3. Atraviese el sub-árbol derecho
•Post-orden: (izquierdo, derecho, raíz);
1. Atraviese el sub-árbol izquierdo
2. Atraviese el sub-árbol derecho
3. Visite la raíz
 •Recorrido en anchura-
primero
 Recorridos en orden por
nivel (de nivel en nivel),
donde visitamos cada
nodo en un nivel antes de
ir a un nivel inferior.

30. Ejempl
o:
Profundidad-primero
● Pre-orden: F, B, A, D, C, E, G, I, H
● In-orden: A, B, C, D, E, F, G, H, I
● Post-orden: A, C, E, D, B, H, I, G, F
Anchura-primero
● Orden por nivel: F, B, G, A, D, I, C, E, H

31. Ejercicios:
Profundidad-primero
● Pre-orden:
● In-orden:
● Post-orden:
Anchura-primero
● Orden por nivel:

32. Profundidad-primero
● Pre-orden:
● In-orden:
● Post-orden:
Anchura-primero
● Orden por nivel:

33. 6.3. Redes
Objetivo general: Conocer las redes, sus usos, y sus
componentes.
Objetivos específicos:
• Conocer qué es una red
• Usos y aplicaciones de redes
• Conocer los conceptos básicos en redes
6. Árboles y redes

34. Análisis de redes
El análisis de redes es el área encargada de analizar las redes mediante la teoría
de redes (conocida más genéricamente como teoría de grafos).
Las redes pueden ser de diversos tipos:
social
transporte
eléctrica
biológica
internet
 Problemas fundamentales:
• Problema del camino más
corto
• Modelos del flujo máximo.
• Planeación, programación y
control de proyecto de
actividades.

35. Conceptos básicos
Gráfica: Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por
unas líneas llamadas ramales o arcos.
Red: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. En
las redes se usa una simbología específica
para denotar su tamaño y elementos que
la constituyen, dicha notación es la (N, A)
donde N representa el número de nodos
que contiene la red y A representa el
número de arcos o ramales.

36. Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de
un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo
1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].
Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el
siguiente caso [1, 4, 7].

37. Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo consigo mismo, en el
siguiente ejemplo el ciclo está compuesto
por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].
Ramal orientado: Un ramal o arco
orientado es aquel que tiene un
sentido determinado, es decir que
posee un nodo fuente y un nodo destino.

38. Gráfica orientada: Una gráfica
orientada
es aquella en la cual todos sus
ramales se
encuentran orientados.
Árbol: Un árbol es una gráfica en la cual
no existen ciclos, como el siguiente
ejemplo.
Árbol de expansión: Un árbol de
expansión es aquel árbol que enlaza todos
los nodos de la red, de igual manera no

39. Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se
encuentran orientados hacia afuera.
Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se
encuentran orientados hacia él.

40. Red de transporte
 Una Red de Transporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y que debe
cumplir las siguientes:
 Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada.
 Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salida

 El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” e un numero
no negativo.

41. Teorema del flujo Mínimo
 Corte
 Un corte (S, T) correspondiente a una red de flujo G = (V, E) es
una partición de V en S y T = V – S tal que s ∈S y t ∈T es decir,
Un corte precisa una serie de arcos cuya destrucción de la red
causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el
destino.
 Corte Mínimo
 Es un corte cuyo porte es mínimo, es decir, el corte mínimo en
una red corresponde a la capacidad mínima sobre los demás
cortes de la red o si dicha capacidad del corte posee un valor
menor. Los cortes mínimos serán aquellos cortes cuyo valor de
la capacidad coincida con el valor del flujo en este último paso.

42. Ejemplo de uso

43. Ejemplo

44. Teorema del flujo Máximo
 Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia
un único lugar de destino a través de arcos que conectan
nodos intermidarios. Los arcos tienen una capacidad máxima
de flujo y se trata de enviar desde la fuente del origen la mayor
cantidad posible de flujo.

45. Ejemplo

46. Uso del algoritmo de flujo máximo
 El algoritmo se utiliza para reducir los embotellamientos entre
ciertos puntos de partida y destino en una red, Por ejemplo:
 Sistemas de vías publicas
 Transporte de petróleo desde la refinería hasta diversos
centros de almacenamiento.
 Distribución de energía eléctrica a través de una red de
alumbrado publico

47. Matching (Pareo)
 Definición
Dado un grafo, un pareo es un subconjunto de aristas los cuales no tiene vértices en común.
G = {V, E}
Ej. de pareo: AB DF EG HI LM

48. Pareo Maximal
 Un pareo maximal es un pareo que contiene el máximo número de aristas
posibles, minimizando así el número de vértices sin unir. En el mejor de los
casos, el pareo maximal contendrá a lo sumo V/2 aristas.
 En el ej. anterior, el pareo maximal podría ser: AB DF EG HI LM JK
pareo maximal: A J2 B J5 C J3

49. Pareos en grafos bipartidos
 Definición
 Sea un grafo dirigido, bipartido con conjuntos disjuntos de vértices V y W,
en el cual los lados están dirigidos desde los vértices de V a los vértices
de W. (Cualquier vértice de G está en V o en W, pero no en ambos.) Un
pareo para G es un conjunto de lados E los cuales no tienen vértices
comunes. Un pareo maximal para G es un pareo E que contiene el
máximo número de lados. Un pareo completo para G es un pareo E que
tiene la siguiente propiedad: si v  V, entonces (v, w)  E, para algún w 
W.

50. El problema de pareos en un grafo bipartido puede modelarse como un
problema de redes de la sig. forma:
 Se asigna capacidad 1 a todas las aristas.
 Se agrega una fuente (F) y aristas con capacidad 1 que van entre la
fuente F y todos los vértices de un mismo grupo.
 Se agrega tambien un sumidero (S) y aristas con capacidad 1 que
van entre S y todas los vértices del otro grupo.
 Un flujo de la red, proporciona un pareo en G, donde las aristas con
flujo 1 son las pertenecientes al pareo.
 Equivalentemente, un flujo maximal corresponde a un pareo

51. Redes de Petri
Carl Petri creo en 1962, una herramienta matemática para el
estudio de las comunicaciones con los Autómatas. Algunas
de las aplicaciones más importantes de las Redes de Petri
han sido en el modelado y análisis de los protocolos de
comunicación, en el modelado y análisis de los sistemas de
manufactura. En esta área, se han utilizado para representar
líneas de producción, líneas de ensamble automatizadas,
sistema de producción automotriz, sistemas de manufactura
flexible, sistemas just-in-time, etc.
Una Red de Petri es un modelo gráfico, formal y abstracto
para describir y analizar el flujo de información.

52. Las Redes de Petri son grafos bipartidos que consisten de tres tipos de
objetos:
 Lugares
 Transiciones
 Arcos
 Un lugar se puede unir mediante un arco con una transición, y una
transición se puede unir con un lugar también mediante un arco, pero nunca
se podrán unir mediante un arco dos lugares o dos transiciones.
 Regla de evolución. Un lugar P es un lugar de entrada de una transición T
si existe un arco orientado que conecta este lugar a la transición. Un lugar P
es un lugar de salida de una transición T si existe un arco orientado que
conecta esta transición al lugar.
 Cada lugar puede tener una marca (token) que indica cuando la condición
asociada con este lugar es falsa o verdadera. En cualquier instante de
tiempo, la distribución de lugares, llamado marcado de Petri define el estado
del modelo.
 Una transición está activada si están marcados todos sus lugares de
entrada. Una transición activada puede ser disparada si se verifica el evento
asociado a la transición. El disparo de una transición supondrá quitar una
marca de cada uno de sus lugares de entrada y añadir una marca a todos
sus lugares de salida.

54.  Estado: momento o tiempo en que se espera un evento
 Transicion: eventos o acontecimientos del ambiente externo que el Sistema puede
detectar