Preguntas y respuestas del examne de estadist8ica (1)

Unidad 7
Estimación de medias,
proporciones y varianzas

393
Introducción
E
n las unidades anteriores se ha venido desarrollando el significado y la utilidad de las
medidas de tendencia central; éstas son medidas descriptivas que señalan hacia dónde
tienden a concentrarse los valores contenidos en un conjunto de datos. Se dijo que
el resultado de las medidas de tendencia central proporciona un valor que debe ser típico o
representativo delamuestrao delapoblación queseestéexaminando, el cual esutilizado para
describir o analizar un fenómeno.
El propósito deestaunidad consisteen presentar lastécnicasdelaestadísticainferencial
queson utilizadasparaestimar losparámetrosdeunapoblación. Específicamenteseexpondrán
lastécnicasparainferir el valor delamediapoblacional, el valor deunaproporción poblacional,
ladiferenciaentrelasproporcionesdedospoblacionesdistintas, así como el valor delavarianza
poblacional utilizando tanto estimadorespuntualescomo intervalosdeconfianza.
Para esto sehará uso de losconceptosdel teorema central del límite y de la distribución
muestral que,juntocon losintervalosdeconfianza,hacen posiblelainferenciadeestosparámetros
poblacionalescon cierto nivel deconfianza.
7.1. Estimación puntual y estimación por intervalos
La estimación es un procedimiento que forma parte de la vida cotidiana en un sinnúmero de
lugares y en los distintos campos del conocimiento, por ejemplo, en la administración de las
empresas, en lasfinanzas, en laeconomía, en lascienciasdelacomunicación, en lacontabilidad,
en lamercadotecniao en laadministración delainformación.
La estimación es un procedimiento de la estadística inferencial mediante el cual se realizan
cálculos con los datos de una muestra para obtener valores o resultados que describan las
características de la población.
Laestimación tieneel objetivo deobtener estadísticos, esdecir, fórmulasmatemáticasque
permitan conocer, a partir de ellosy de manera resumida, lascaracterísticasmásrelevantesde

394 ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
una población, utilizando la información contenida en una muestra. Al estadístico también se le
conocecon el nombredeestimador.
Recuerdaquelainferenciaestadísticaesel proceso medianteel cual unamuestraesanalizada
y, con base en su información, se infiere, se deduce o se concluye sobre lo que está sucediendo en
unapoblación. El propósito dela estimación esproveer losestimadoreso expresionesmatemáticas
queproporcionen un valor o un conjunto devaloresquereflejen el valor del parámetro poblacional.
Una buena estimación proporcionará técnicas correctas para encontrar los verdaderos parámetros
poblacionales.
Los siguientes son algunos ejemplos donde se utiliza en forma frecuente la estimación de la
mediapoblacional :
deproducción en un periodo detiempo paraestablecer planesy métodosqueprovean de
mayor seguridad alostrabajadores.
promedio de las familias de una ciudad para determinar qué tan factible resultará abrir
unanuevasucursal, yaquedependiendo del nivel deingreso seráel nivel deconsumo en
artículosdiversos.
en unaciudad determinada, esto lesirvedeindicador paraestablecer quétan conveniente
leresultaráintroducir al mercado un nuevo seguro, así como estimar el costo delapóliza.
que son inducidos cada mesa comprar un producto debido al impacto producido por la
presenciadeun nuevo comercial.
queson producidosdiariamente, con el fin deproporcionar un mejor servicio al cliente.
En todos y cada uno de los casos anteriores lo que interesa es conocer la me
dida prome
dio
poblacional quefacilitelatomadedecisiones, por lo quelaestimación esunaherramientaimportante
queproporcionaunaseriedemétodosyprocedimientosparalograr estafinalidad.
Esnecesario denotar queexisteunadiferenciasignificativaentreun estimador y un estimado.
El estimador es una fórmula o representación matemática que conduce aobtener un resultado y el
estimado esel resultado que seobtiene al emplear datosdeunamuestra en la fórmula o expresión
matemáticadefinidapor el estimador queseemplea.
Frecuentemente el problema de la estimación suele abordarse a través de dos enfoques: la
es
timaciónpuntual ylaes
timaciónpor intervalos
.
7.1.1. Estimación puntual
La estimación puntual es un procedimiento de la estadística inferencial mediante el cual se realizan
cálculos con los datos de una muestra cuyo resultado es un valor numérico único empleado para estimar
el valor de un parámetro poblacional.
En lasunidadesprecedentessehan tratado algunosestimadorespuntuales, como esel caso de
lamediamuestral, la varianza muestral y ladesviación estándar muestral para datosno agrupados,
dichosestimadoresrepresentan lacolumnavertebral delainferenciaestadística.

395
UNIDAD 7. ESTIMACIÓN DE MEDIAS
Estimador puntual Parámetro poblacional quesedeseaestimar
X
Xi
n
Xi
N
(mediapoblacional)
S
n
2
2
1
( )
X X 2
2
( )
X
N
(varianzapoblacional)
S
n
( )
X X 2
1
( )
X 2
N
(desviación estándar poblacional)
Recuerdaqueel resultadoqueseobtieneen estostrestiposdeestimadoresesun valor numérico
único que es utilizado para describir la información contenida en una muestra, pero que también
puedeser utilizado parainferir sobrelainformación contenidaen unapoblación.
Losestimadorespuntualesseutilizan con frecuenciaen muchoscasosprácticos, por ejemplo:
se desea conocer la talla estándar exacta de lospantalones para los estudiantesde una secundaria;
una empresa que produce detergente desea saber el peso promedio preciso que deben contener las
bolsas de detergente; la Secretaría de Salud de una entidad federativa necesita conocer la estatura
promedioexactadeloshabitantesdeunaregión pararealizar un balancesobrenutrición;unaempresa
productoradecervezanecesita determinar el promedio exacto debotesdecerveza quelapoblación
consumeen su presentación de355 ml.
Noobs
tantes
uutilidad,loses
timadorespuntualestienenalgunasdesventajasolimitaciones
;porejemplo,
cuando lainformación utilizadaen el estimador fuecolectadadeunamuestraqueno esrepresentativa,
el resultado delaestimación seráequivocado o sesgado del verdadero parámetro poblacional.
Sin embargo, la principal limitación de un estimador puntual es que su resultado varía de
muestraen muestra, apesar dequeéstassí sean representativasdelapoblación. Recuerdaquedeuna
población esposibleobtener variasmuestrasy cadaunadeéstastieneunamediadeterminadaqueno
necesariamentetienequeser delamismamagnitud quelasdemásyalapoblacional.
Además,loses
timadorespuntualesnoproporcionan unamedidadereferenciaoun nivel deconfianza
quepermitaconocer cuánto lepodemoscreer o tener confianzaal resultado obtenido delaestimación.
En otras palabras, la limitante más importante que presenta la estimación puntual es que el
resultado obtenido sólo representaráun punto y no se puede apreciar si existe un posible rango de
valoresquepuedatomar el parámetro poblacional con un determinado nivel deconfianza.
7.1.2. Estimación por intervalos
Ante las limitaciones que presenta la estimación puntual se puede hacer uso de otro método de
estimación, la es
timación por intervalos
, éste es un procedimiento alternativo cuando la estimación
puntual no escapazdeproporcionar información eficienteparadescribir el comportamiento deuna
característicadelapoblación.
La estimación por intervalos es un procedimiento de la estadística inferencial mediante el cual se realizan
intervalo o conjunto numérico que servirá para estimar el parámetro poblacional.

Existeunagamadefenómenosdondelaestimación puntual cuentacon ciertosinconvenientes,
por lo queespreferibleutilizar intervalospararealizar unaestimación apropiadadelosparámetros.
En el caso delaestimación por intervalosdelamediapoblacional seutilizalainformación contenida
en unamuestradelaqueseobtienen dosvaloresnuméricosquedefinen un rangodondeseencuentra
lamediapoblacional.
Por ejemplo, si se desea estimar el promedio de edad de la población estudiantil de una
universidad yparaello elegimosunamuestra, utilizando laestimación por intervalosseobtienen dos
valores, por ejemplo 22.5 y 24.5, lo quequieredecir queel verdadero valor del promedio deedad de
esapoblación estudiantil seencontrarádentro del rango de22.5 a24.5 añosdeedad, aunquenunca
se sabrá con exactitud su verdadero valor. Una manera de expresar formalmente este resultado es
utilizando corchetes: [22.5, 24.5].
Laestimación por intervalostienevariasventajas; unaesqueno ofreceun valor único, sino un
rango dondeesmuyposibleo muy probablequeel parámetro poblacional seencuentreincluido. De
estamanerasesuperalalimitación delosestimadorespuntualesdequesu resultado único varíade
muestraen muestra; esdecir, con laestimación por intervalostenemosmásprobabilidad deacertar
al verdadero valor poblacional.
La principal ventaja de la estimación por intervalos es que su resultado ofrece un nivel de
confianzaquepermiteconocer en cuánto lepodemoscreer o tenerleconfianzaal resultado obtenido
delaestimación. Por estarazón, laestimación por intervalostambién esconocidacomo estimación
por intervalosdeconfianza, puessu nivel deconfianzaseñalaquétan posibleo quétan probableesque
el parámetro poblacional seencuentreincluido dentro del rango definido.
El concepto de nivel deconfianza seencuentramuy relacionado con el deprobabilidad, pero
en lugar de estimar la posibilidad de que un evento suceda, el nivel de confianza señala qué tanta
confianzalepodemostener o lepodemoscreer aun resultado obtenido deun intervalo.
Un nivel deconfianzageneralmentesemideen porcentajesytieneun rango entre0% y100%
deconfianza. Un nivel alto deconfianza, por ejemplo, 95% implicaquesetienemuchaconfianzaen
el resultado del intervalo; mientrasqueun nivel bajo deconfianza, por ejemplo 40%, implicaquese
tienepocaconfianzaen el resultado proporcionado por el intervalo.
Loss
iguientesson algunosejemplosdondelae
s
timaciónpor inte
rvalossueles
er demuchautilidad:
ejemplo: el valor promedio que el tipo de cambio tendrá para el siguiente mes con el
propósitodeestimar el nivel deexportacionesdeunaempresa; el preciopromediodel barril
depetróleo o mezclamexicanaquetendráel siguienteaño paraasí estimar el presupuesto
del gobierno federal; el promedio delastasasdeinterésdurantelossiguientescinco años
con lafinalidad demedir el gasto por endeudamiento deun sector o deun país.
en un determinado día del año de una gran ciudad o país; el nivel máximo y mínimo
que adquirirá el índice bursátil de una bolsa; el nivel máximo y mínimo de la inflación
esperadaparael siguienteaño con el fin deprever adecuadamentelosplanesdeinversión
deunaempresa.
dependenciagubernamental deseaconocer quéporcentajedelapoblación ganaentre3 y5
salariosmínimos, ocuandoel departamentodemercadotecniadeunaempresadejuguetes
deseasaber cuál esel rango deedad delosniñosqueseinteresan por un nuevo diseño de
carro decontrol remoto.

397
1. Esun procedimiento delaestadísticainferencial con el cual serealizan cálculoscon losdatos
deunamuestracuyo resultado son dosvaloresnuméricosquedefinen un rango paraestimar el
parámetro poblacional:
a) Estimación.
b) Estimación puntual.
c) Estimación por intervalos.
d) Nivel deconfianza.
2. Esun procedimiento delaestadísticainferencial medianteel cual serealizan cálculoscon los
datosdeunamuestra paraobtener valoreso resultadosque describan lascaracterísticasdela
población:
a) Estimación.
3. Esun procedimiento delaestadísticainferencial medianteel cual serealizan cálculoscon los
datos de una muestra cuyo resultado es un valor numérico único, empleado para estimar el
valor deun parámetro poblacional:
a) Estimación.
4. Esun estimador delamediapoblacional:
a) X
Xi
n
b)
Xi
N
c) S
n
2
2
1
( )
X X
d) S
n
( )
X X 2
1
5. Es el resultado que se obtiene al emplear datos de una muestra en la fórmula o expresión
matemáticaparainferir sobreunapoblación:
a) Estimación.
b) Estimador.
c) Estimado.

6. Esunarepresentación matemáticaqueempleadatosdeunamuestraparaestimar un parámetro
poblacional:
a) Estimación.
b) Estimador.
c) Estimado.
7. Son algunasdesventajasderealizar estimación puntual:
a) Su resultado esexpresado en nivelesdeconfianza, aunqueesto no implicaquesiemprese
tendráun 100% deconfiabilidad.
b) Su resultado varía de muestra en muestra y no ofrece un nivel de confianza para saber
cuánto creerleal resultado.
c) Siempreson estimadoresinsesgadosy su uso no esmuy frecuenteen losnegociosy en las
cienciassociales.
d) Nosepuedeutilizar pararealizar pronósticos, ni parainferir sobreun verdaderoparámetro
delapoblación.
8. Son algunasventajasderealizar estimación por intervalosdeconfianza:
a) Su resultado varíademuestraen muestra.
b) Su intervalo sepuedeutilizar con muchasabiduría.
c) Siempreofreceun 100% denivel deconfianza.
d) Su resultado ofreceun nivel deconfianza.
9. Si lehasprestado dinero aun familiar en 10 ocasionesy únicamentetehadevuelto el dinero
en 9, el nivel deconfianzaqueletienesesde:
a) 9%
b) 100%
c) 90%
d) 95%
10. Si setieneun intervalo de95% deconfianzaparaestimar lamediapoblacional de[300, 320],
entonces:
a) Lamediapoblacional seencontraráentre300 y320.
b) Lamediamuestral seencontraráfueradeesteintervalo.
c) Lamediamuestral estaráentre300 y320 con un 95% deconfianza.
d) Lamediapoblacional estaráentre300 y320 con un 95% deconfianza.

399
7.2. Es
timación delamediadeunapoblación medianteintervalosdeconfianza
Como se ha señalado uno de los métodos para estimar la media de una población es a través de
intervalosdeconfianza.
Existen dosfórmulasparapoder estimar lamediadeunapoblación atravésdeintervalosde
confianzayel uso decadaunadeellasdependedel caso queseexamine.
En primer lugar semostraráun método generalmenteutilizado cuando sedisponedemuestras
grandes, esdecir, paraaquellasmuestrascompuestasde30 o másdatos. Estemétodo también puede
ser utilizado paramuestrasmenoresa30 datos, siemprey cuando setengapleno conocimiento que
la distribución de los datos de la población sea normal y que se conozca el valor de la varianza
poblacional o deladesviación estándar poblacional.
En segundolugar semostraráun métodoempleadoparael casodemuestraspequeñascuando
sedesconoceel valor delavarianzapoblacional o deladesviación estándar poblacional, siemprey
cuando también se tenga pleno conocimiento de que la distribución de losdatos de la población
seanormal.
Por último se presentará un método para estimar la diferencia que existe entre las medias
poblacionales de dos conjuntos de datos distintos. Este método ofrece grandes ventajas cuando se
deseaconocer si existen diferenciassignificativasen laformaen queseconcentran losdatosdedos
poblacionesdistintas.
7.2.1. Muestrasgrandes
El método deestimación delamediaparamuestrasigualeso mayoresa30 datossefundamentaen el
te
ore
made
l límitecentral en launidad anterior, el cual señalaqueconformeseincrementeel tamaño n
decadamuestraposiblequeseextraedeunapoblación detamaño N, ladistribución muestral dela
mediairáadquiriendo laformadeunadistribución normal.
Cuandoseconoceladesviaciónestándarpoblacional,lafórmulaparaes
timarlamediadeunapoblación
atravésdeintervalosdeconfianza, con lainformación contenidaen unamues
tracon 30 o másdatoses
:
X Z X Z
2 2
n n
Fórmula7.1
Cuando no seconoceladesviación estándar poblacional, lafórmulaparaestimar lamediade
una población a través de intervalos de confianza, con la información contenida en una muestra
grandees:
X Z X Z
2 2
S
n
S
n
Fórmula7.2
Es decir, la única diferencia radica en que la primera fórmula utiliza la desviación estándar
poblacional, mientrasqueen lasegundafórmulaseutiliza ladesviación estándar queseobtienede
lamuestra.
Observaqueambasfórmulasproporcionan dosvaloresquedefinen un intervalo en el quese
encuentracontenidalaverdaderamediapoblacional , con un nivel deconfianzaquesetraduceen
laprobabilidad dequelamediapoblacional seencuentredentro denuestro intervalo deconfianza.
El intervalo deconfianzatambién puedeexpresarsecomo:
X Z X Z
2 2
n n
,

Observaqueel intervalo seencuentraacotado por losdosvaloresresultantes. Al valor quese
encuentraen laparteizquierdadel intervalo seleconocecomo lacotainferior, lacual señalael valor
mínimo quepuedeadquirir la mediapoblacional. Al valor queseencuentra en lapartederechade
lafórmulaseleconocecomo la cotasuperior, lacual señala el valor máximo quepuedeadquirir la
mediadelapoblación.
Loselementosqueconforman el intervalo deconfianzason:
X = Mediadelamuestra.
Z
2
= Esel valor deZ situado bajo lacurvanormal estandarizada.
n
= Esel error estándar delamediamuestral.
El primer componenteesel estadístico puntual X paralamediapoblacional, el cual sirvecomo
referenciaparaestablecer el intervalo de confianza. El segundo componenteZ / 2
esun valor quese
encuentraestrechamenterelacionadocon el nivel deconfianzadel intervaloyseobtienedelatablade
ladistribución normal estandarizada. El último componente, n o S n , esel error estándar
delamediamuestral o ladesviación estándar deladistribución de X.
El nivel deconfianzasirveparadeterminar el valor deZ / 2
. Paraesto, uno determinaun nivel
de confianza considerable, por ejemplo, 90%, 95%, 98% o 99%. Este nivel de confianza se define
como (1 – )% y señalael porcentaje detodoslosintervalosquese pueden construir con todaslas
mediasmuestralesposiblesquecontendrán al verdadero valor delamediapoblacional. Cabeseñalar
que sedefinecomo el nivel designificanciayrepresentalaprobabilidad dequeel parámetro µ no
seencuentreconsiderado dentro del intervalo estimado. Losnivelesdeconfianzamáscomunesysus
respectivosvaloresdeZ / 2
son:
1– Z /2
90% 1.645
95% 1.96
98% 2.326
99% 2.576
Tabla7.1. Nivelesdeconfianzamásutilizados.
Esto quiere decir que, si se está trabajando con un nivel de confianza de (1 – )% = 90%, el
valor deZ / 2
quesedebeutilizar en lafórmuladel intervalo deconfianzaes1.645. Lo mismo sucede
paralosnivelesdeconfianzade95%, 98% y de99%, cuyosvaloresdeZ / 2
son 1.96, 2.326 y 2.576,
respectivamente.
Recuerda queeste método deestimación estábasado en el teoremacentral del límite, el cual
permiteasegurar queal extraer unamuestragrandepararealizar inferenciassobreel comportamiento
delapoblación,lamediamuestral tieneunadistribución normal,sinimportar cómosealadistribución
original delosdatosdelapoblación. En esesentido, el error quesepuedecometer al utilizar aX como
estimador de serádeunamagnitud aproximadaal valor de E n
/ 2 , al queseleconoce
como el error máximodelaes
timación.
Deunamaneramásformal, acontinuación seexpondráel procedimiento paraobtener lafórmula
deintervalosde confianzapara muestrasgrandesutilizando el teorema del límitecentral. Para ello se
utilizaráel estadístico Zdeladistribución muestral estandarizadadelamediaestudiado en launidad 8.
Si se sabe que, en general, X es la media de una muestra de tamaño n 30, tomada de una
población con media ydesviación estándar , ladistribución delamediamuestral estandarizadaes
aproximadamenteunanormal con mediauno yvarianzacero, cuyo estadístico serepresentapor:

401
Z
X
=
Ahora bien, recordemos de la unidad 4 que el valor Z señala a qué distancia se encuentra
alejado un valor específico delamediadeunadistribución. Larelación queexisteentredosvalores
deZ y el porcentajededatosdelapoblación queseencuentraincluido entreesosdosvaloresdeZ,
(1 – )%, vienedado por:
[ ]
Z Z Z
2 2
( )%
1
Lafórmulaanterior establecequelavariablealeatoria“Z” puedeadquirir un valor comprendido
en el intervalo quevade– Z / 2
aZ / 2
, con unaprobabilidad de1 – , o un porcentajede(1 – )% de
losvaloresdeunapoblación (véaselafigura7.1).
– Z / 2
0 Z / 2
(1– )
Figura7.1. Nivel deconfianza.
Sustituyendo el valor delanormal estandarizadaen “Z” setieneque:
Z
X
Z
2 2
n
1
( )%
Al realizar las operaciones algebraicas correspondientes se obtiene el intervalo de confianza
paralamediapoblacional:
X Z X Z
2 2
n n
1
( )%
Observaqueconformeseexijaun mayor nivel deconfianza, el valor deZ / 2
yel error máximo
delaestimación (E) también seincrementarán, por lo queel intervalo seharámásancho yseperderá
precisión en la estimación de la media poblacional µ. Por el contrario, si se exige menos nivel de
confianza, el valor deZ / 2
yel error máximo delaestimación (E) también sereducirán, por lo queel
intervalo seharámásestrecho yseganaráprecisión en laestimación delamediapoblacional µ. Esto
seconvierteen un dilemaparalapersonaquedeseaestimar lamediapoblacional µ. Por un lado se
deseaun nivel altodeconfianzaen el resultadodel intervalo, perotambién serequiereganar precisión
en laestimación deµ, esdecir, intervalosdeconfianzaquesean depreferenciamuyestrechos.
Cabeseñalar queestemétodo también puedeser utilizado paraestimar intervalosdeconfianza
paramuestraspequeñasmenoresa30 datos, siemprey cuando setengapleno conocimiento deque
la distribución de los datos de la población sea normal y que se conozca el valor de la varianza
poblacional o deladesviación estándar poblacional.

Ejemplo 1
Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se
distribuyeaproximadamenteen formanormal con unadesviación estándar igual a0.15 litros. Si
setomaunamuestrade25refrescoscuyamediafuede2.25litros, ¿
cuál seríael intervalodeconfianza
de95% paralamediadetodoslosrefrescosquesirvaestamáquina?
En estecasosetieneunamuestrapequeña. No obstante, sesabequeladistribución derefrescos
es normal y se conoce la desviación estándar poblacional = 0.15 litros, por lo que se utiliza la
siguientefórmuladel intervalo deconfianza:
X Z X Z
2 2
n n
Si tenemosun nivel deconfianzade95%, el valor quetomaráZ / 2
, deacuerdo con latabla7.1,
esde1.96, por lo quelosdatosqueutilicemosen lafórmuladel intervalo deconfianzason:
n = 25
X = 2.25
Z / 2
= 1.96
= 0.15
Sustituyendo losdatosen lafórmulaseobtiene:
2 25 1 96
0 15
25
2 25 1 96
0 15
25
. ( . )
.
. ( . )
.
2 25 0 0588 2 25 0 0588
. . . .
2 1912 2 3088
. .
En conclusión, con un nivel deconfianzade95%, lamediadel contenidonetodelosrefrescosque
estamáquinaenvasaseencuentraentre2.1912 y2.3088 litros.
Ejemplo 2
Al asumir lanuevaadministración deun banco, losnuevosdirectivosencontraron un problema: no
disponen deinformación detalladasobrelospréstamosotorgadosatravésdeunatarjetadecrédito.
Conseguir estainformación lestomarávariassemanasy el nuevo director general deseaconocer, en
menosde24 horas, ¿
cuál esel promedio aproximado deendeudamiento delostarjetahabientes?Por
lo anterior, el departamento de crédito revisó de manera aleatoria los expedientes de 36 clientes y
observó quesu promedio deendeudamiento ascendíaa8 168 pesoscon unadesviación estándar de
1 200 pesos. ¿
Cuál esel intervalo paraestimar el promedio deendeudamiento detodalapoblación
detarjetahabientesqueseleinformaríaal nuevo director general si seutilizaun nivel deconfianza
de 90% yde99%?
No se conoce la distribución poblacional de los créditos otorgados mediante esta tarjeta. Sin
embargo, al seleccionar un tamañodelamues
traden=36,secumplecon el teoremadel límitecentral,por
lo quelamediapoblacional sepuedeestimar medianteun intervalo deconfianzaparamuestrasgrandes
.

403
Losdatosrecolectadosdelamuestrason:
n = 36
X =8 168
S =1 200
Si sedesea un intervalo de90% deconfianza, el valor deZ / 2
= 1.645. Sustituyendo losdatos
en lafórmulaseobtiene:
8168 1 645
1 200
36
8168 1 645
1 200
36
( . ) ( . )
8168 329 8168 329
7 839 8 497
Si sedeseaun intervalo de99% deconfianza, el valor deZ / 2
= 2.576. Sustituyendo losdatos
en lafórmulaseobtiene:
8168 2 576
1 200
36
8168 2 576
1 200
36
( . ) ( . )
8168 515 2 8168 515 2
. .
7 652 8 8 683 2
. .
Con un 90% deconfianza, seprevéqueel promedio deendeudamiento estarácomprendido en
un intervalo de7839a8497pesospor cliente. En cambio, con un 99% deconfianza, el promediode
endeudamientoseencuentraentre7652.8a8683.2pesospor cliente. Observacómoal incrementarse
el nivel deconfianzade90% a99%, el intervalo sehacemásancho, por lo quesepierdeprecisión en
laestimación delamediapoblacional .
7.2.2. Muestraspequeñas
En losapartados anteriores se utilizó la distribución normal pues resulta ser un buen instrumento
pararealizar inferenciascuando setrabaja con muestrasgrandes(n
siempreycuando ladistribución delapoblación seanormal yseconozcaladesviación estándar .
Sin embargo, existen situaciones donde se desea estimar la media de una población en que
únicamentesedisponedemuestraspequeñas(n < 30) y ladesviación estándar delapoblación no
seconoce, estedesconocimiento sedebeen parteasituacionesen queel número deobservaciones
no eslo suficientementerepresentativo deunapoblación.
Paraestimar lamediapoblacional con muestraspequeñassepuedeacudir al usodeladis
tribución
“t”, también conocida como la distribución t s
tude
nt, la cual esútil cuando se trabaja con muestras
pequeñasysesabequeladistribución delosdatosesnormal, perosedesconoceladesviación estándar
poblacional.
Cuando se trabaja con muestras pequeñas que se extraen de una población en donde su
distribución esnormal yladesviación estándar sedesconoce, el estimador por intervalosdeconfianza
paralamediapoblacional puedeobtenerseapartir delasiguientefórmula:
X X
t
S
n
t
S
n
2 2

Si secompara con la fórmulapara muestrasgrandes, seobserva queel estadístico Z / 2
dela
distribución normal fue reemplazado por el estadístico t / 2
de la distribución t s
tudent y, puesto
que se desconoce la desviación estándar poblacional “ ”, se le sustituye por el estimador de la
desviación estándar de la muestra “S
”. Esta fórmula fue derivada de la misma manera que la que
seutilizaen muestrasgrandes, pero utilizando el estadístico deladistribución t cuyadistribución
estandarizadaes:
t
S
n
X
Donde:
X = Mediamuestral.
= Mediapoblacional.
S= Desviación estándar delamuestracomo unaaproximación aladesviación estándar .
n = Número deobservaciones.
El nuevo componente, t / 2
, seobtienedeunatabladeprobabilidades. Ladistribución t s
tude
nt
tiene un comportamiento muy similar a la distribución normal, pues es acampanada y simétrica
con respecto al valor de la media µ, con la salvedad de que es platicúrtica o más achatada que la
distribución normal. El gradodeapuntamiento deladistribución t dependedelosgradosdelibertad,
loscualesestán estrechamenteligadosal tamaño delamuestra.
Losgradosdelibertadrepresentan el tamaño delamuestramenosuno (n– 1). Por ejemplo, si se
tieneunamuestradetamaño25, losgradosdelibertad serán (25–1) =24; esdecir, setiene24grados
delibertad. A mayor tamaño delamuestra, losgradosdelibertad serán mayoresy mayor el grado
deapuntamiento deladistribución t s
tudent, esdecir, esmenosachatada. Si el tamaño delamuestra
esmuygrande, por ejemplo 120, ladistribución t s
tude
nt yano esachatada, sino mesocúrtica, por lo
cual setransformaen ladistribución normal.
Unadiferenciadeladistribución t con respecto deladistribución normal estandarizada(Z) es
quela primera tienemayoresvariacionesquelasegunda. Lamayor variabilidad deladistribución t
sedebeaquedependetanto delamediamuestral como delaaproximación aladesviación estándar
“S”. Sin embargo, cuandoel tamaño delamuestraesdemasiadogrande, noexisteningunadiferencia
entreladistribución t s
tudent ylanormal.
Ejemplo 3
En seisprocesosdeproducción distintoscon unaduración dedoshorascadauno seobservaron
los siguientes artículos defectuosos: 9, 14, 7, 8, 11 y 5. Si se sabe que la distribución de los
artículosdefectuososesnormal, ¿
cuál seráel intervalo dondeseencuentrael número promedio
deartículosdefectuosossi setieneun nivel deconfianzade95%?
En este caso se tiene una muestra pequeña, se sabe que la distribución de la población es
normal ysedesconoceladesviación estándar delapoblación. En primer lugar sedebeobtener el valor
delamediamuestral:
X =
X
=
54
6
=9
n

405
Puesto que se desconoce el valor de la desviación estándar se procede a calcular en primer
término el valor delavarianzaparadespuésobtener el valor deladesviación estándar. Lafórmulade
lavarianzaparaunamuestraestádadapor:
S
n
X
X X
2
2 2 2 2 2 2 2
1
9 9 14 9 7 9 8 9 11 9 5 9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
10
Unavezqueseestimael valor delavarianzaesposibleobtener el valor deladesviación estándar
delamuestraapartir de:
S S
X X
2
10 3 1622
.
S
X 3 1622
.
Yaquesetienen losvaloresdelamediamuestral ydeladesviación estándar muestral seprocede
aresolver el problema. El valor queobtenemosen latabladeladistribución t est / 2
=2.571, teniendo
en consideración que losgradosde libertad son: n – 1 = 5 y el nivel de confianza esde 95% (en la
tablasedebebuscar el renglón queseñala5 gradosdelibertad ylacolumnacon / 2 =0.025, puessi
setieneun nivel deconfianzade95%; entonces, el nivel designificanciaes = 1 – 0.95 = 0.05, este
valor sedivideentre2 yseobtiene / 2 = 0.025).
Datos:
n = 6
X= 9
t / 2
= 2.571
S = 3.1622
Si sesustituyen estosvaloresen lafórmuladeintervalo paramuestraspequeñastenemos:
X X
t
S
n
t
S
n
2 2
9 2 571
3 1622
6
9 2 571
3 1622
6
( . )
.
( . )
.
9 3 32 9 3 32
. .
5 68 12 32
. .
En conclusión, con un 95% de confianza el intervalo queda comprendido entre 5.68 y 12.32
artículosdefectuosos, o sea, setienen aproximadamenteen promedio 6 artículosdefectuososcomo
mínimo y12 artículosdefectuososcomo máximo.
Ejemplo 4
Un almacén deautotransportesdecargatieneregistrosdelasdiversastransaccionesquerealizacon
susclientesnormalmentedistribuidos. Si eligeunamuestraal azar de15deestosregistroscuyamedia
esde63.9 toneladasyunadesviación estándar delamuestrade2.8 toneladas, ¿
cuál esel intervalo de
confianzadel servicio decargapromedio si setieneun nivel deconfianzade90%?

En estecaso, sedesconoceladesviación estándar delapoblación, pero seconoceladesviación
estándar de la muestra, por lo que únicamente se tiene que sustituir. El valor de t / 2
es de 1.761,
teniendo en consideración que los grados de libertad para este caso son: n – 1 = 14 y el nivel de
confianza es de 90% (en la tabla se tiene que buscar el renglón que señala 14 grados de libertad
y la columna con / 2 = 0.05, pues si se tiene un nivel de confianza de 90%, entonces el nivel de
significanciaes = 1 – 0.90 = 0.1, estevalor sedivideentredos, por lo queseobtiene / 2 = 0.05).
Datos:
n = 15
X = 63.9
t / 2 = 1.761
S
X = 2.8
Sustituyendo estosvaloresen lafórmuladel intervalo paramuestraspequeñastenemos:
X X
t
S
n
t
S
n
2 2
63 9 1 761
2 8
15
63 9 1 761
2 8
15
. ( . )
.
. ( . )
.
63 9 1 2731 63 9 1 2731
. . . .
62 6269 65 1731
. .
Al tener un 95% deconfianza, el promedio decargaseencuentraen un intervalo comprendido
entre62.6269 y65.1731 toneladas.
7.2.3. Estimación deladiferenciaentredosmediaspoblacionales
Al igual que en los apartados anteriores, éste lo dividiremos en dos partes: una para analizar
situaciones que presentan muestras grandes y otra para casos en los que se presentan muestras
pequeñas. Como semencionó previamente, cuando setrabajacon muestrasgrandesladesviación
estándar de la población es muy similar a la desviación estándar de la muestra y el teorema
central del límite garantiza que la distribución muestral de la media sea normal. En cambio, si
se tienen muestras pequeñasy se desconoce la desviación estándar poblacional se puede acudir
al auxilio de la distribución t s
tudent, siempre y cuando se conozca que la población tiene una
distribución normal.
Existen casosen losqueesnecesario estimar ladiferenciaentredosmedias, con lafinalidad de
comparar dospoblaciones, por ejemplo:
bancarias.
dos empresas.
instrumentosdeinversión.

407
ratingo nivel de audiencia de dos programas de televisión
transmitidosalamismahoraen diferentescanales.
haciendo publicidad en dosciudadesdiferentes.
El estimador puntual de la diferencia entre µ1
y µ2
, lo da el estimador X1
– X2
. Por lo
tanto, para obtener una estimación puntual de µ1
y µ2
se seleccionarán dos muestras aleatorias
independientes, unaparacadapoblación, detamañosn1
y n2
, y secalcularáladiferenciaentresus
mediasmuestrales.
En el caso detrabajar con mues
trasgrandesdecualquier tipo o queseconozcaquelapoblación
tiene una distribución normal y la desviación estándar poblacional sea conocida, la normal
estandarizadaestaríadadapor:
Z
X X
( ) ( )
1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
n n
El intervalo deconfianza correspondienteestará comprendido entre –Z / 2
y Z / 2
, sustituyendo
en lafórmuladelanormal estandarizadasetiene:
Z
X X
Z
2
1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
2
( ) ( )
n n
Estafórmulaconduceal siguienteintervalo deconfianzapara 1
– 2
, el cual también puedeser
utilizado paramuestraspequeñassiempreycuandoseconozcaqueladistribución delapoblación sea
normal ysu desviación estándar poblacional también seaconocida:
( ) ( )
X X Z X X Z
1 2
2
1
2
1
2
2
2
1 2 1 2
2
1
2
1
2
2
2
n n n n
En el caso de muestras grandes en las que no se conozca la desviación estándar poblacional
se puede utilizar la desviación estándar muestral, por lo que la fórmula del intervalo de confianza
quedaríadelasiguientemanera:
( ) ( )
X X Z X X Z
1 2
2
1
2
1
2
2
2
1 2 1 2
2
1
2
1
2
2
2
S
n
S
n
S
n
S
n

Ejemplo 5
Unaempresadealimentosrealizó un experimento paracomparar dosdietasparaadelgazar: 1 y2. Se
seleccionan al azar dosgruposde36personascon sobrepeso, el primer gruposesometealadieta1yel
otroaladieta2.Seobservaqueduranteundeterminadonúmerodedíasel promediodepérdidadepeso
ylasdesviacionesestándar deambosgruposson lassiguientes: X X
1 1 2 2
21 3 2 6 13 4 1 9
. . . .
S S .
¿
Cuál esel intervalo de95% deconfianzaparaladiferenciaentrelaspérdidasdepeso promedio de
lasdosdietas?
Al tratarsedeunamuestragrandeyun nivel deconfianzade95%, deacuerdo con latabla
7.1, el valor paraZ / 2
esZ / 2
= 1.96.
Datos:
n1
= 36
n2
= 36
X1
=21.3
X2
=13.4
S
1
= 2.6
S2
= 1.9
Z / 2
=1.96
Al sustituir losdatosen lafórmulaseobtiene:
( . . ) .
( . ) ( . )
( . . ) .
(
21 3 13 4 1 96
2 6
36
1 9
36
21 3 13 4 1 96
2
2 2
1 2
.
. ) ( . )
6
36
1 9
36
2 2
7 9 1 052 7 9 1 052
1 2
. . . .
6 848 8 952
1 2
. .
Por tanto, ladiferenciaentrelaspérdidasdepesopromedio delasdosdietasseencuentraen un
intervalocomprendido de6.848 a8.952. En estecaso, tanto lacotainferior como lacotasuperior son
positivas, loquereflejaqueel promedio depérdidadepeso deladieta1siempreesmayor queel dela
dieta2. Por estarazón sepuedeaseverar queladieta1 tienemayor efectividad queladieta2.
Cuandoladiferenciaentredosmediasestédadapor un intervalodeconfianzacon ambascotas
negativas, se dice que el promedio de la población 2 es mayor que el de la población 1. Cuando el
intervalo deconfianzaestécompuesto por doscotaspositivas, entoncessedicequelapoblación 1 es
mayor alapoblación 2. En el caso dequelacotainferior seanegativaylacotasuperior del intervalo
seapositivano sepuededecir cuál delospromediosdelasdospoblacionesesmayor.
Ahora bien, cuando se tiene una población cuya distribución es normal y no se conoce la
desviación estándar de la población, y si se seleccionaunamuestra muy pequeña se hace uso de
la distribución t. En el caso delaestimación deun intervalo deconfianza paraladiferenciadedos
medias, losgradosdelibertadestán representadospor n1
+ n2
– 2.
Lafórmulaestandarizadaparat esdadapor:
t
S
n n
( ) ( )
X X
1 2 1 2
1 2
1 1

409
El intervalo paraladistribución t quedacomprendido por:
–t t t
2 2
Si sesustituyelafórmulaestandarizadadet seobtiene:
t
S
n n
t
2
1 2 1 2
1 2
2
1 1
( ) ( )
X X
Por lo tanto, el intervalo deconfianzaparaladiferenciademediasdeunapoblación esdadapor:
( ) ( )
X X X X
1 2
2 1 2
1 2 1 2
2 1 2
1 1 1 1
t S
n n
t S
n n
Comosedesconoceladesviación estándar poblacional,setienequecalcular lavarianzamuestral
deambaspoblacionesS
2
mediantelasiguientefórmula:
S
n S n S
n n
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
( ) ( )
Paraobtener ladesviación estándar muestral deambaspoblacionesselesacalaraízcuadradaa
lavarianzaysu resultado Ssesustituyeen lafórmuladel intervalo deconfianzaparaladiferenciade
dospoblaciones.
Ejemplo 6
Se realizó un comparativo entre dos tipos de automóviles para ver cuál resultaba más económico,
se utilizaron 12 Volkswagen y 10 Toyota en pruebas con velocidades de 90 km por hora. Los VW
obtuvieron un rendimiento promedio de16 km por litro con unadesviación estándar de1 km por
litro, mientras que los Toyota obtuvieron un rendimiento de 11 km por litro, con una desviación
estándar de 1.8 km por litro. Calcula un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre el
rendimiento promedio por litro deambosautomóviles.
En estecaso losgradosdelibertad son n1
+ n2
– 2 = 20. Al solicitarse un intervalo de90% de
confianza, el nivel designificanciaes = 1 – 0.90 = 0.1; estevalor sedivideentredos, por lo quese
obtiene / 2 = 0.05. El valor del estadístico t queseencuentraen tablascon 20 gradosdelibertad y
/ 2 = 0.05 est / 2
= 1.725.
Datos:
n1
= 12
n2
= 10
X1
= 16
X2
= 11
S
1
= 1
S
2
= 1.8
t / 2
=1.725

Primeroseencuentrael valor delavarianzayposteriormenteel valor del intervalo; sustituyendo
en lafórmuladelavarianzaseobtiene:
S
n S n S
n n
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
( ) ( )
S
2
2 2
12 1 1 10 1 1 8
12 10 2
11 1 9 3 24
20
11
( )( ) ( )( . ) ( )( ) ( )( . ) 29 16
20
40 16
20
2 008
. .
.
Ladesviación estándar eslaraízcuadradadelavarianza, por lo tanto:
S S
2
2 008 1 417
. .
( ) ( . )( . ) ( ) ( . )( . )
16 11 1 725 1 417
1
12
1
10
16 11 1 725 1 417
1 2
1
1
12
1
10
5 1 046 5 1 046
1 2
. .
3 954 6 046
1 2
. .
La diferencia entre los rendimientos promedios poblacionales de estos dos vehículos se
encuentra entre 3.954 y 6.046. Al ser ambos resultados en números positivos, se puede aseverar
quelosvehículosdelapoblación 1 (VW) tienen mayor rendimiento promedio en kilometrajepor
litro quelosvehículosdelapoblación 2 (Toyota). Estediferencial puedeincluso llegar por encima
delos6 kilómetrospor litro degasolina(observalacotasuperior del intervalo).
Cabedestacar quelosmétodosutilizadosparaestimar losintervalosdeconfianzacon muestras
pequeñascuando no seconoceladesviación estándar delapoblación, separtedel supuesto deque
ladistribución delapoblación esnormal. Si bien escierto quelasmuestraspequeñasgeneralmente
son utilizadas para experimentos donde hacer una muestra grande puede resultar muy costoso,
cuando no setieneplenaseguridad dequeladistribución delapoblación esnormal esaconsejable
incrementar el tamaño de la muestra a un número superior a los 30 datos; de esta manera se da
cumplimiento al teoremadel límitecentral y lasestimacionesdelamedia sepueden llevar a cabo
medianteintervaloscon alto grado deconfiabilidad.

411
1. Si seincrementael nivel deconfianzaparalaestimación deun intervalo, el error máximo dela
estimación E presentaráel siguientecomportamiento:
a) Seincrementará.
b) Sereducirá.
c) Quedarásin cambios.
d) No sepuededeterminar quépasará.
2. El nivel designificancia sepuedeinterpretar como:
a) El porcentaje de los intervalos que se pueden construir con todas las medias muestrales
posiblesquecontendrán al verdadero valor deµ.
b) El porcentajeo probabilidad dequeseestimecorrectamentelamediamuestral dentro del
intervalo.
c) El nivel de probabilidad de que la distribución muestral de la media no tenga una
d) La probabilidad deque el parámetro µ no seencuentre considerado dentro del intervalo
estimado.
3. El nivel deconfianzasepuedeinterpretar como:
b) El porcentaje o probabilidad de que se estime correctamente la media muestral dentro
del intervalo.
d) La probabilidad de que el parámetro µ no se encuentre considerado dentro del
intervalo estimado.
4. Si setieneun nivel deconfianzade90%, el nivel designificanciaseráde:
a) 0.001
b) 0.25
c) 0.05
d) 0.10
5. Si sereduceel nivel deconfianzaparalaestimación deun intervalo, el intervalo deconfianzaserá:
a) Másancho.
b) Másestrecho.
6. Si setieneun nivel deconfianzade98%, el estadístico Z / 2
seráigual a:
a) 1.645
b) 1.96

c) 2.326
d) 2.576
7. Lasfórmulasdeintervalosdeconfianza paramuestrasgrandestambién pueden ser utilizadas
paramuestraspequeñas, siempreycuando:
a) Se tenga seguridad que la distribución de la población sea normal, aunque no se tenga
conocimiento delavarianzapoblacional.
b) Se tenga seguridad que la distribución de la población sea normal y que se conozca la
desviación estándar muestral.
c) Se tenga seguridad que la distribución de la población sea normal, aunque no se tenga
conocimiento delavarianzamuestral.
d) Se tenga seguridad que la distribución de la población sea normal y que se conozca la
desviación estándar poblacional.
8. Si se incrementa el nivel de confianza para la estimación de un intervalo, la estimación de la
mediapoblacional µ presentaráel siguientecomportamiento:
a) Ganaráprecisión.
b) Perderáprecisión.
d) Sereduciráel nivel deconfianza.
9. Si se tiene una muestra de tamaño 23 y se desea estimar mediante intervalosde confianza la
mediadeunapoblación, losgradosdelibertad son:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
10. Ladiferenciadeladistribución t con ladistribución normal esquelaprimera:
a) Esplaticúrtica.
b) Esmesocúrtica.
c) Tienesesgo positivo.
d) Esasimétrica.
11. Si se incrementan los grados de libertad o el tamaño de una muestra pequeña, la
distribución t student:
a) Serámenosplaticúrtica.
b) Serámásplaticúrtica.
c) Serámenossimétrica.
d) Serámássimétrica.
12. Si lasdoscotasdeun intervalo deconfianzaparaestimar ladiferenciadedospoblaciones, 1 y
2, son negativas, entoncessepuededecir que:
a) Lamediadelapoblación 1 esmayor quelamediadelapoblación 2.
b) Lamediadelapoblación 2 esmayor quelamediadelapoblación 1.

413
c) Lamediadelapoblación 1 esigual alamediadelapoblación 2.
d) No sepuedesaber quépoblación tieneunamayor media.
13. Si setienen dosmuestrasn1
= 13 y n2
= 8, y sedeseaestimar ladiferenciadelasmediasdedos
poblacionesmedianteintervalosdeconfianza, losgradosdelibertad paraesteintervalo son:
a) 7
b) 12
c) 19
d) 20
14. Si la cota inferior es negativa y la cota superior es positiva en un intervalo de confianza para
estimar ladiferenciadedospoblaciones, 1 y2, entonces:
15. Si se desea estimar la media de una población mediante un intervalo de 99% de confianza
utilizando unamuestradetamaño 25, entonces:
a) t / 2
= 1.711
b) t / 2
= 2.064
c) t / 2
= 2.492
d) t / 2
= 2.797
16. Si seestimalamediadeunapoblación con distribución normal ydesviación estándar 3, através
deun intervalo de95% deconfianza, y paraello seextraeunamuestradetamaño 25, el error
máximo delaestimación es:
a) 0.2352
b) 1.0266
c) 2.064
d) 1.176
17. Si lamuestraesdemasiado grande, ladistribución t s
tude
nt respecto aladistribución normal
es:
a) Igual.
b) Másaplanada.
c) Máspuntiaguda.
d) Mássimétrica.
18. Si lasdoscotasdeun intervalo deconfianzaparaestimar ladiferenciadedospoblaciones, 1 y
2, son positivas, entoncessepuededecir que:

19. Si se desea un intervalo de 98% de confianza para estimar la diferencia de la media de dos
poblacionesyparaello setienequen1
=16 y n2
=10, entonces:
a) t / 2
= 2.064
b) t / 2
= 2.056
c) t / 2
= 2.492
d) t / 2
= 2.479
a) 0.001
b) 0.1
c) 0.01
d) 0.02
21. Un analista deun departamento de personal seleccionaaleatoriamente losexpedientesde 16
empleados y determina que el índice salarial medio muestral por hora es de $9.5. Se supone
que los índices salariales de la compañía siguen una distribución normal. Si se sabe que la
desviación estándar poblacional delosíndicessalarialesesde$1, estimael índicesalarial medio
en laempresacon un intervalo deconfianzade90%.
22. Un estudio realizado por unaempresadequímicosdio como resultado queunamuestrade25
obreros se enferma en promedio 6.8 veces por año, con una desviación estándar muestral de
2.4. Si sesabequeladistribución poblacional del número deenfermosesnormal, construyeun
intervalo deconfianzade99% en relación con el número promedio devecesqueun obrero se
enfermaanualmente.
23. Una empresa que produce televisores ha detectado que el ciclo de vida de una muestra de
100 televisores esde 48 meses con una desviación estándar muestral de 2.4 meses. Teniendo
un nivel deconfianza de95%, ¿
cuál seráel intervalo deconfianzadel promedio devida dela
población detelevisores?
24. De acuerdo con una encuesta industrial son dos los sectores cuyo personal tiene alta
productividad, en el primer sector se tomó una muestra de 50 empresas, el promedio de
empleados altamente productivos es de X1
=420.4, con S
1
=55.7. En el segundo sector, el
promedio deempleadosaltamenteproductivosqueseobservóen unamuestrade50empresas
esX2
=492.5, con S
2
=87.5. Con un intervalo deconfianzade90%, ¿
cuál esladiferenciadelos
promediosdeempleadosaltamenteproductivospor empresaentrelosdossectores?
25. Deunamuestraaleatoriade16 trabajadoresquebeben cantidadesconsiderablesdealcohol,
el número medio de días de ausentismo laboral al mes fue de 2.15 días y la desviación
estándar de1.1 días. Deunasegundamuestrade12trabajadoresquebeben esporádicamente,
el número medio de días de ausentismo fue de 1.69 días y la desviación estándar de 1 día.
Calculaun intervalo deconfianzade99% deladiferenciadelasdosmedias.

415
7.3. Estimación deunaproporción poblacional
Existe una gran cantidad de situaciones donde lo que interesa es conocer la proporción o el
porcentaje de una población, pues este concepto se encuentra estrechamente relacionado con las
probabilidadesdeciertoseventos. Por ejemplo, si setienelaproporción delaspersonasquetienen
Internet en su casa, ésta también puede ser utilizada para calcular la probabilidad de que una
personacuentecon Internet al ser seleccionadaaleatoriamentedeunapoblación.
P
or estarazón,laes
timación delasproporcionespoblacionalescons
tituyeunapartees
encial en muchos
estudiosdondesebuscacalcular laprobabilidad deéxito o defracaso con quepuedeocurrir un evento.
Una proporción es una parte, fracción o porcentaje de los elementos que constituyen a una población
o una muestra.
El concepto de proporción poblacional se utiliza en muchos campos relacionados con los
negociosylascienciassociales. Algunosejemplosdondefrecuentementetieneaplicación son:
susrecursosen un cierto tipo deacciones.
queprefieren losautosdedospuertas.
empleadosquepudieran faltar al trabajo acausadeproblemasfamiliares.
proporción deartículosquesaldrán defectuososen cadaproceso deproducción.
estáinteresadaen determinar laproporción decontribuyentesqueevadirán impuestoslos
próximosaños.
Los ejemplos anteriores representan una parte de la gran cantidad de casos donde tiene
aplicación el manejo de las proporciones. Por esta razón se requiere realizar estimaciones de las
proporcionespoblacionalescon lainformación recolectadaatravésdemuestras.
Cabeseñalar quelaproporción puedeser consideradacomounamedidadescriptivaqueseñala
lamaneraen queseencuentracompuestaunamuestrao unapoblación; esteindicador escalculado
en valoresquevan decero auno.
Laes
timacióndeunaproporcióntienecomo objetivo identificar, apartir deunamuestra, aquellos
elementos que posean alguna característica similar a la de una población. Existen dos maneras de
estimar la proporción deuna población: mediante estimación puntual y a travésdeestimación por
intervalosdeconfianza.
7.3.1. Estimación puntual deunaproporción
La proporción de elementos de la muestra que presentan la característica en estudio se puede
considerar como éxitos“p”, mientrasquelaproporción deelementosdelamuestraqueno presenten
lacaracterísticaen estudio pueden ser consideradoscomo fracas
os“q”. Lafórmulaparaobtener una
proporción deloséxitoso elementosqueseobservan en unamuestraeslasiguiente:

p̂
n
X
Donde:
p: proporción deloséxitosobservadosen lamuestra.
X: representael número deéxitosquesepuedeobtener en unamuestra.
n: esel tamaño delamuestra.
Si seconoceel valor de p, esdecir, laproporción deéxitosen unamuestra, automáticamentese
sabeel porcentajedefracasosqdelamuestra. Lafórmulaparaobtener unaproporción delosfracasos
q queseobservaen unamuestraeslasiguiente:
ˆ ˆ ˆ
q
n
q p
1 1
X
o
Si bien es cierto que p y q señalan la proporción de éxitosy fracasosquese observan en una
muestra, también pueden ser utilizados como estimadores puntuales de las proporciones de
unapoblación, puesson procedimientosmedianteloscualesserealizan cálculoscon losdatosdeuna
muestracuyo resultado esun valor numérico único quepuedeser empleado paraestimar el valor de
un parámetro poblacional.
Ejemplo 7
Una empresa desea determinar la proporción de empleados que toma cursos de capacitación los
sábados. Laempresaeligeen formaaleatoriaunamuestrade80 empleados, deloscuales62 toman
cursosdecapacitación lossábados.
Datos:
n = 80
X = 62
Al sustituir en lafórmuladeproporcionesseobtiene:
ˆ .
p
n
X 62
80
0 775
Por lotanto,apartir delamuestratomada,laempresapuedeconcluir que,77.5%delapoblación
de empleados toma cursos de capacitación los sábados. El porcentaje de empleados que no toma
cursosdecapacitación sepuedeobtener apartir de:
ˆ ˆ . .
q p
1 1 0 775 0 225
Por lo que, 22.5% delapoblación no tomacursosdecapacitación lossábados.
Sin embargo, este método de estimación no resulta muy atractivo ante las limitaciones que
se observan en todo tipo de estimadores puntuales; por ejemplo, su resultado varía de muestra en
muestray no proporciona una medidadereferencia que permita conocer cuánto le podemostener
confianzaal resultado obtenido delaestimación puntual.

417
7.3.2. Estimación por intervalo deconfianzadeunaproporción
El concepto delaproporción poblacional estáíntimamenteligadocon ladis
tribuciónbinomial, puesen
un experimento binomial el estimador puntual delaproporción poblacional p es:
p
n
X
Si seutilizael muestreoaleatorio, entonceslavariableX, querepresentael númerodeéxitosque
sepueden obtener en unamuestra, esunavariablebinomial, puespermitedefinir laprobabilidad de
obtener cierto número deéxitosal estudiar unamuestraen experimentosindependientes.
Lo anterior resulta de gran trascendencia ya que, cuando se busca estimar una proporción
poblacional apartir deunamuestra, en laqueseconoceel númerodeéxitosyfracasos, sedebehacer
usodevariablesbinomiales; deéstas, al igual queen apartadosanteriores, el teoremadel límitecentral
permitehacer inferenciasdelasproporcionespoblacionalesmedianteintervalosdeconfianza.
El teoremacentral del límiteseñalaque, si setieneunavariablecon distribución binomial X
querepresentael número deéxitosquesepueden obtener en unamuestra, con unadistribución
muestral del estadístico p, en las que cada una de las posibles muestras tiene un tamaño n lo
suficientemente grande de tal manera que n multiplicada por el estadístico p sea mayor o igual
a 5, n p 5, y multiplicada por el estadístico q también sea mayor o igual a 5, nq 5, entonces la
distribución muestral del estadístico p tendráuna distribución normal.
Como sesabequeunadistribución binomial X tieneunamediapyunavarianzapq, lamediay
lavarianzadeladistribución muestral del estadístico cuando setienen muestrasindependientesson:
E p E
n n
E
n
E
n
np p
E p V
i
i i
i
( ) { ( )} ( ) ( )
( )
X
X X
X
1 1 1
n
n n
V
n
V
npq
n
pq
n
i i
1 1
2 2
{ ( )} ( )
X X
Por lotanto, cuandoel tamañodelamuestraessuficientementegrande, ladistribución muestral
de una proporción p sigue una distribución en forma normal, con media igual a p y desviación
estándar
pq
n
.
Lo anterior permiteobtener una fórmula paraestimar el parámetro p mediante intervalosde
confianza, puessepuedeutilizar el estadístico delanormal estandarizada, esdecir, el estadístico deZ,
el cual sepuederepresentar por:
Z
p p
pq
n
El estadístico expuesto anteriormenteseaproximaaladistribución normal estándar. Entonces,
laprobabilidad dequelaproporción deunapoblación selocalicedentro del intervalo es:
P( )
Z Z Z
2 2
1
Si sesustituyeel valor del estadístico Z setiene:
Z Z
2 2
p p
pq
n

Aplicando un poco deálgebraseobtieneel intervalo dep, el cual sepuedeestablecer como:
p
p q
n
p p
p q
n
2 2
Dentro de este intervalo se encuentra el verdadero parámetro de la proporción poblacional.
Sin embargo, como la proporción real de una población se desconoce, en su lugar se emplean los
estimadoresmuestrales p y q. Con estamodificación, el intervalo anterior quedatransformado dela
siguientemanera:
p
p q
n
p p
pq
n
2 2
Donde:
pq
n
Esladesviación estándar del estadístico p, también conocido como el error es
tándar dela
proporción.
E
pq
n
/ 2 Esel error máximodelaes
timacióndeunaproporción.
Ejemplo 8
El departamento de recursos humanos de una empresa tiene interés en conocer el porcentaje de
trabajadores quetienen estudiosdebachillerato,paraestoseleccionóunamuestrade200trabajadores
ydetectó que114 tienen al menosestudiosdebachillerato. Con un nivel deconfianzade90%, ¿
cuál
esel intervalo paralaproporción detrabajadoresquetienen estudiosdebachillerato?
En primerainstanciasedebebuscar el valor de p, querepresentalaproporción detrabajadores
quetienen estudiosdebachillerato en lamuestraseleccionada.
p
n
X 114
200
0 57
. Querepresentalaproporción deéxitos.
Paraobtener laproporción defracasostenemosque:
p p
1 1 0 57 0 43
. .
Tenemosque el porcentaje deéxitosrepresenta 57% delamuestray el porcentajedefracasos
representa43%.
Antesdeestimar el intervalo deconfianza, sedebeindagar si lamuestraeslo suficientemente
grandeparagarantizar el cumplimientodel teoremadel límitecentral paraunadistribución muestral
deunaproporción.
np= (200) (0.57) = 114 5,
nq= (200) (0.43) = 86 5,

419
Tanto np como nqson mayoresa5, por lo queladistribución muestral del estimador p tieneuna
distribución normal. Por lo tanto, cuando el nivel deconfianzaesde90%, el valor deZ / 2
=1.645.
Datos:
p = 0.57
q = 0.43
X= 114
n = 200
Z / 2
= 1.645
Sustituyendo estosvaloresen lafórmulasetiene:
p
p q
n
p p
pq
n
2 2
0 57 1 645
0 57 0 43
200
0 57 1 645
0 57 0 43
. .
( . )( . )
. .
( . )( . )
p
2
200
0 57 1 645 0 035 0 57 1 645 0 035
. . ( . ) . . ( . )
p
0 513 0 627
. .
p
En conclusión, laproporción detrabajadoresquetienen estudiosdebachillerato seencuentra
en un intervalo comprendido entre51.3% y62.7%.
Ejemplo 9
Deunamuestrade300 artículosdecerámicasedetectó que75 no tienen lacalidad requeridapara
poder colocarseen el mercado.Construyeun intervalodeconfianzade95%paraestimar laproporción
poblacional delosartículosqueno tienen lacalidad requeridaparacolocarseen el mercado.
Aplicando lasfórmulasdeproporción, el número deéxitoses:
p
n
X 75
300
0 25
.
Mientrasqueel número defracasoses:
q p
1 1 0 25 0 75
. .
Antesdeestimar el intervalo deconfianza, sedebeindagar si lamuestraeslo suficientemente
grandeparagarantizar el cumplimientodel teoremadel límitecentral paraunadistribución muestral
deunaproporción.
np = (300) (0.25) = 75 5,
nq= (300) (0.75) = 225 5,

Tanto np comonq son mayoresa5, por lo queladistribución muestral del estimador ptieneuna
distribución normal. Por lo tanto, cuando el nivel deconfianzaesde95%, el valor deZ / 2
=1.96.
Datos:
n = 300
p = 0.25
q = 0.75
Z / 2
= 1.96
p
p q
n
p p
pq
n
2 2
0 25 1 96
0 25 0 75
300
0 25 1 96
0 25 0 75
30
. .
( . )( . )
. .
( . )( . )
p
0
0
0 25 0 049 0 25 0 049
. . . .
p
0 201 0 299
. .
p
Por lotanto,con un nivel deconfianzade95%sepuededecir quelaproporción poblacional delos
artículosqueno tienen lacalidad requeridaparacolocarseen el mercado seencuentraen un intervalo
comprendido entre20.1% y29.9%.

421
1. Unaproporción sepuededefinir como:
a) Unamedidadescriptivaqueseñalahaciadóndetienden aconcentrarselosvaloresdeuna
muestrao población.
b) Unamedidadescriptivaqueseñalalamaneraen quelosdatosdeunamuestrao población
sedispersan entresí.
c) Un nivel designificanciaparamedir parámetrospoblacionales.
d) Una parte, fracción o porcentaje de los elementos que constituyen una población o
una muestra.
2. El estadístico puntual deunaproporción sedefinecomo:
a) p
n
X
b) p
n
X
c) X
p
n
d) p
q
n
3. El teoremadel límitecentral señalaqueunadistribución muestral del estadístico p,con muestras
lo suficientementegrandes, tendrá:
a) Unadistribución normal.
b) Unadistribución binomial.
c) Unadistribución t s
tudent.
d) Unadistribución sesgada.
4. Ladistribución delavariableX querepresentael número deéxitosquesepueden obtener en
unamuestra, tieneuna:
a) Distribución normal.
b) Distribución binomial.
c) Distribución t s
tudent.
d) Distribución sesgada.
5. Para que una muestra sea considerada lo suficientemente grande en la estimación de una
proporción poblacional:
a) n 30
b) np 5 ynq 5
c) nq 5 ynX 5
d) nq 5 y pX 25

6. Si se desea estimar un intervalo de confianza para la proporción de una población con
característicasX, yparaello seseleccionaunamuestradetamaño n= 250 en laqueexisten 30
elementoscon lascaracterísticasX:
a) No secumpleel teoremadel límitecentral puesnp = 30 y nq = 220.
b) No secumpleel teoremadel límitecentral puesnp = 220 y nq = 30.
c) Sí secumpleel teoremadel límitecentral pues np = 30 y nq = 220.
d) Sí secumpleel teoremadel límitecentral pues np = 220 y nq = 30.
7. Lafórmuladel error máximo delaestimación deunaproporción es:
a) n
b) / 2 n
c)
pq
n
d) / 2
pq
n
8. Lafórmuladel error estándar deunaproporción es:
a) n
b) / 2 n
c)
pq
n
d) / 2
pq
n
9. Si sedeseaestimar un intervalo deconfianzade90% paralaproporción deunapoblación con
característicasX, yparaello seseleccionaunamuestradetamaño n=500 en laqueexisten 200
elementoscon lascaracterísticasX, el error estándar delaproporción sería:
a) 0.1564
b) 0.0429
c) 0.0219
d) 0.0360

423
10. Si se desea estimar un intervalo de confianza de 95% para estimar la proporción de una
población con característicasX, y paraello seseleccionaunamuestradetamaño n = 1 200 en
laqueexisten 300 elementoscon lascaracterísticasX, el error máximo delaestimación sería:
a) 0.00005625
b) 0.0205
c) 0.0125
d) 0.0245
11. Una tienda de autoservicio de artículos electrodomésticos realizó una evaluación sobre las
ventasquehubo en lasemana. Deunamuestrade500 artículosseobservó que425 sevendie-
ron acrédito. Construyeun intervalo deconfianzade99% paralaproporción deventasreales
quesehacen acrédito.
12. El departamento demercadotecniadeunaempresadecigarrosllevó acabo unaencuestapara
saber qué porcentajedelosfumadoresprefieren la marcaque éstavende. De una muestrade
190 fumadores, 171 aceptaron su preferencia por loscigarrosqueproducelaempresa, yel resto
asegura que prefiere otra marca. Si existeun nivel de confianza de 99%, ¿
cuál es el intervalo
paralaproporción correspondientealapoblación quesemuestrea?
13. Un conocido noticiero, que es transmitido por televisión a nivel nacional en una noche
determinada, preguntó asu público televidentesi consideraqueseaposiblequeexistavidaen
otro planeta. Serecibieron un total de1 000 llamadastelefónicas, delascuales630 consideran
quesí esposiblelaexistenciadevidaen otro planeta, mientrasque370 consideraron queno es
posible. Si sehaceel supuestodequelaencuestarealizadapor el noticieroesrepresentativadela
población, encuentraun intervalo de90% deconfianzaparaestimar laproporción poblacional
delagentequesí creeen laexistenciadevidaen otrosplanetas.
14. A unamuestraaleatoriade344 mayoristasindustrialesselespreguntó: ¿
Están satisfechoscon
lasventasen el presenteaño?83 deestosmayoristasrespondieron quesí. Calculaun intervalo
deconfianzade90% paralaproporción poblacional delosmayoristasindustrialesquesí estén
satisfechoscon susventasen el presenteaño.
15. A una muestra aleatoria de 147 directores de recursos humanos que ofertan trabajos a
universitariostituladosselespreguntócuál erael papel quejugabael expedienteacadémicoen la
evaluación deloscandidatos. 87 deestosdirectorescontestaron “definitivo”, “extremadamente
importante” o “muyimportante”. Calculaun intervalo deconfianzade95% paralaproporción
poblacional dedirectoresderecursoshumanosquecompartían estaopinión.

7.4. Estimación deladiferenciaentredosproporcionespoblacionales
Frecuentemente se presentan casos donde es necesario tomar decisiones a partir de la es
timación
dedosproporciones
. En este caso, la finalidad de la estimación consiste en calcular las diferencias o
similitudesqueexisten entredosproporcionesdepoblacionesdiferentes.
Estasituación sepresentaen muchoscasosrelacionadoscon losnegocioso lascienciassociales,
por ejemplo:
unaproporción dehabitantesdeladelegación Iztacalco esmayor queel consumo deuna
proporción dehabitantesdeladelegación Venustiano Carranza.
en la demanda de una determinad a marca de cigarros, tomando como referencia dos
proporcionesdefumadoresdedosciudadesdistintas.
de una muestra, si un tipo de publicidad por radio produce mayores efectos que otro
medio publicitario.
En es
tetipodecasosesimportantecontar con un medioquepermitaes
timar ladiferenciaqueexiste
entre lasproporcionesdedospoblacionesy decidir dequémanerahemosdellevar acabo el anális
ise
interpretación desusresultados. Un procedimiento quefacilitaes
talabor eslaestimación deladiferencia
entre proporcionesatravésde intervalosde confianza. Esteprocedimiento s
e puedeaplicar apartir de
elegir dosmuestrasindependientesn1
y n2
dedospoblacionesbinomiales, si X1
y X2
son losnúmeros
deaciertoso éxitosqueseobtienen al muestrear n1
yn2
, entoncessepueden formar lasproporciones.
p
n
p
n
1
1
1
2
2
2
X X
y
El estimador puntual de la diferencia de proporciones de dos poblaciones p1
– p2
es p1
– p2
.
Considerando ladistribución muestral de p1
– q2
, puedeconstruirseun intervalo deconfianzapara
estimar p1
– p2
.
Si se tienen muestras lo suficientemente grandes de tal manera que n1p1
, n1q1
, n2p2
, n2q2
son mayores a 5, la distribución muestral de p1
– p2
tiene una distribución normal. La media y la
desviación estándar del estadístico p1
– p2
son:
Media: p1
– p2
Desviación estándar:
p q
n
p q
n
1 1
1
2 2
2
Cuando se utilizan muestras grandes, la distribución muestral de la diferencia entre dos
proporciones se puede calcular en forma aproximada a partir de la utilización de la distribución
normal, medianteel estadístico Z, el cual sepuedeestablecer apartir de:
Z
( ) ( )
p p p p
p q
n
p q
n
1 2 1 2
1 1
1
2 2
2

425
El estadísticoZestádistribuidoen un intervaloquevade–Z / 2
Z / 2
, esdecir, laprobabilidadque
setienedequeladiferenciadeproporcionesseencuentreen dicho intervalo estácomprendidaen:
Z Z Z
2 2
Sustituyendo el valor deZsetiene:
Z Z
2
1 2 1 2
1 2
1
1 2
2
2
( ) ( )
p p p p
p q
n
p q
n
Despejando p1
– p
2
yresolviendo algebraicamenteseobtiene:
( ) ( )
p p
p q
n
p q
n
p p p p
1 2
2
1 1
1
2 2
2
1 2 1 2
2
Z Z
p
p q
n
p q
n
1 1
1
2 2
2
Queesel intervalo deconfianzaparaladiferenciaentredosproporcionespoblacionales.
Ejemplo 10
Unaempresaqueproducecartón estáevaluando si modificael procedimiento deproducción con la
finalidad deincrementar lacalidad del producto. Parallevar acabolaevaluación, laempresaeligeuna
muestradel procedimiento actual y otramuestradel procedimiento quepiensaponer en práctica. Si
150 de1 000 artículosdel procedimiento actual salieron defectuososylo mismo sucedió con 120 de
1000 artículosdel nuevoprocedimiento, con un 90% deconfianza, ¿
cuál esel intervalodeconfianza
paraladiferenciadeproporcionesdepartesdefectuosasentrelosdosprocesos?
Contando con un nivel deconfianzade90% el valor deZ / 2
=1.645
Datos:
X1
= 150
X2
= 120
n1
=1 000
n2
=1 000
Z / 2
=1.645
En primer lugar, seprocedeacalcular el valor delasproporcioneso número deéxitosp1
y p
2
:
p
n
1
1
1
150
1 000
0 15
X
.
p
n
2
2
2
120
1 000
0 12
X
.
Mientrasqueel número defracasosen ambaspoblacioneses:
q p
1 1
1 1 0 15 0 85
. .
q p
2 2
1 1 0 12 0 88
. .

Sustituyendolosvaloresanterioresen lafórmuladeintervaloparaladiferenciadeproporciones
seobtiene:
( ) ( )
p p
p q
n
p q
n
p p p p
1 2
2
1 1
1
2 2
2
1 2 1 2
2
Z Z
p
p q
n
p q
n
1 1
1
2 2
2
( . . ) .
( . )( . ) ( . )( . )
015 012 1645
015 085
1 000
012 088
1 000
p p
1 2 015 012 1645
015 085
1 000
012 088
1 000
( . . ) .
( . )( . ) ( . )( . )
0 03 0 025 0 03 0 025
1 2
. . . .
p p
0 005 0 055
1 2
. .
p p
Por lotanto, ladiferenciadeproporcionesdepartesdefectuosasdedospoblacionesseencuentra
en un intervalo comprendido entre 0.005 y 0.055, es decir, que al considerar dos procedimientos
distintos, ladiferenciaqueexisteentrelasproporcionesdedefectosqueambosproducen estáentre
0.5% y5.5% dedefectos, odeotramanera, seproduceentreellosunadiferenciamínimadedefectos
de0.5% ycomo máximo unadiferenciade5.5% dedefectos. Observaqueambascotasson positivas,
lo que señala que el procedimiento 1 tiene una mayor proporción de artículos defectuosos que el
procedimiento 2. En este sentido, de acuerdo con el proceso de inferencia mediante intervalos de
confianza, sepuededecir queel procedimiento 2 esmejor queel procedimiento 1.
Ejemplo 11
El gerentedeventasdeunagran industriaestáinteresado en conocer laproporción dedevoluciones
queexisteen dosciudadesdel país. En laciudad1detectóquedecada900artículos100son devueltos,
mientras que en la ciudad 2 se devuelven 80 artículos de cada 1 000. Calculemos un intervalo de
confianzade95% paraladiferenciadelaproporción dedevolucionesentrelasdosciudades.
Contando con un nivel deconfianzade95%, el valor deZ / 2
=1.96
Datos:
X1
= 100
X2
= 80
n1
= 900
n2
=1 000
Z / 2
= 1.96
En primer lugar, seprocedeacalcular el valor delasproporcioneso número deéxitos p1
y p
2
.
p
n
1
1
1
100
900
0 11
X
.
p
n
2
2
2
80
1 000
0 08
X
.

427
Mientrasqueel número defracasoses:
q p
1 1
1 1 0 11 0 89
. .
q p
2 2
1 1 0 08 0 92
. .
Sus
tituyendo losvaloresen lafórmuladel intervalo paraladiferenciadeproporcionesseobtiene:
( ) ( )
p p
p q
n
p q
n
p p p p
1 2
2
1 1
1
2 2
2
1 2 1 2
2
Z Z
p
p q
n
p q
n
1 1
1
2 2
2
( . . ) .
( . )( . ) ( . )( . )
011 008 196
011 089
900
008 092
1 000
p1
1 2 011 008 196
011 089
900
008 092
1 000
p ( . . ) .
( . )( . ) ( . )( . )
0 03 0 026 0 03 0 026
1 2
. . . .
p p
0 004 0 056
1 2
. .
p p
Por lotanto, ladiferenciadeproporcionespoblacionalesdelasdosciudadesseencuentraen un
intervalo comprendido entre0.004 y0.056.

1. Una empresa dedicada a realizar encuestas tomó dos muestras aleatorias independientes
para saber la proporción de votantesque están a favor de que se graven con un impuesto los
productosde la canasta básica. En una primeramuestra de 1 500 personas, 350 estuvieron a
favor; mientras que en una segunda muestra de 1 400 personas, 400 dieron el visto bueno.
¿
Cuál esel intervalo deconfianzade95% paraestimar ladiferenciaentreproporcionesdelas
dospoblacionesqueapoyan quesegraven con un impuesto losartículosdelacanastabásica?
2. En un proceso deproducción seobservó que30 focosresultaron fundidosdeunamuestrade
350 focos, mientras que con otro proceso se produjeron 25 focosfundidos de una muestra
de420. Si setrabajacon un nivel deconfianzade99%, determinael intervalo paraestimar la
diferenciaentrelasproporcionesdefocosfundidosparalasdospoblaciones.
3. En un estudio delos“proyectospatrocinadospor empresas” (PPE) en cursosuniversitariosde
marketing, sepidió alosprofesoresencargadosdedichaasignaturaqueevaluasen lafrase: “Los
PPEexigen demasiadotiempodetrabajoal departamento”. Deunamuestrade92profesoresde
escuelasacreditadaspor laSEPqueempleaban losPPE, 49estaban deacuerdocon estaopinión.
Deotramuestraindependientede82 profesoresquetambién hacían uso delosPPE, pero que
pertenecían aescuelasnoacreditadas, 36compartían dichavisión. Calculaun intervalode90%
de confianza para estimar la diferencia entrelas proporcionespoblacionalesde losprofesores
queestán deacuerdo con el empleo delosPPE.
4. En un estudio sobreel comportamiento decompraen lossupermercados, sepidió alosclientes
querespondiesen un pequeñocuestionariojustodespuésdehacer unacompra. Deunamuestra
aleatoria de 570 que eligieron algún producto que no estaba de oferta, 308 afirmaron que
habían comprobado el precio en el momento de elegirlo. De otra muestra aleatoria de 232
queescogieron un artículoen oferta, 157 dijeron haber hecho dichacomprobación. Calculaun
intervalo de confianzade90% para estimar diferenciaentre lasproporcionesdela población
quecomprueban precios.
5. Deunamuestraaleatoriade112 grandesempresasminoristas, 70 emplean técnicasestadísticas
como un método de predicción de sus ventas. De otra muestra aleatoria independiente de
135 pequeñosminoristas, 65 utilizan técnicasestadísticascomo método de predicción de sus
ventas. Calculaun intervalo deconfianzade95% paraestimar ladiferenciadeproporcionesde
lasempresasqueemplean métodosestadísticosparalapredicción.

429
7.5. Estimación delavarianzadeunapoblación
En las secciones anteriores se han venido desarrollando diversas técnicas de estimación mediante
intervalos de confianza para la media de una población, para la diferencia entre las medias de dos
poblaciones, la proporción de una población y la diferencia de proporciones de dos poblaciones.
Sin embargo, en muchasocasionesnecesitamosestimar medidasdedispersión paraanalizar ciertos
fenómenosquesepresentan en losnegociosyen lascienciassociales.
En launidad 3 seexpusieron distintasmedidasdedispersión. Sedijo queestetipo demedidas
proporcionan una idea mental con la cual se conoce qué tanto varían o qué tanto se dispersan los
valores de un conjunto de datos. Una de ellas es la varianza, la cual resulta muy importante en el
análisisdedatos, puesdeellasederivaotramedidadedispersión, ladesviación estándar, lacual es
utilizadacon muchafrecuenciapor lainterpretación queselepuededar asu resultado.
En esta sección se expondrá un método de estimación para la varianza de una población
2
atravésdeintervalosdeconfianza, puesamenudo sepresentan casosdondesedesconoceesta
medidadedispersión, por lo quesetienequebuscar un mecanismo quepermitahacer inferencias
sobre 2
.
El hecho dequesedesconozcael valor de 2
creaproblemasen el momento dequerer tomar
decisionesapartir delainferenciadeunamuestra, esto sedebeaquesedesconocelavariación que
existe entre los distintos elementos que componen la muestra. Si se elige una muestra en forma
aleatoriadeunapoblación, sepuedeutilizar como estimador puntual de 2
.
S
n
i
2
2
1
( )
X X
Estimador puntual delavarianzapoblacional.
Nuevamente, una forma de facilitar la estimación de lavarianza de una población esa través
de la construcción de intervalos de confianza. La estimación del intervalo de 2
se puede realizar
haciendo uso del estadístico conocido como 2
que se lee como ji cuadrada con n – 1 grados de
libertad. Esteestadístico sepuedepresentar como:
2
2
2
1
( )
n S
Ladistribución 2
muestraciertaspeculiaridadesquelahacen ser distintaalasdistribuciones
Zyt s
tude
nt; por ejemplo, ladistribución ji cuadradasedistribuyeúnicamenteen un intervalocompuesto
por valorespositivosincluyendo al cero, además, su formaesasimétrica(véaselafigura7.2).
/2
1–
2
1–
2
Figura7.2. Intervalo deconfianzaparalavarianzadeunapoblación
utilizando ladistribución ji cuadrada.

En lafigura 7.2 setieneuna distribución 2
, con n – 1 gradosdelibertad cuando seseleccionan
muestrasa partir de una población normal. Por tanto, el intervalo para 2
queda comprendido dentro
deloslímites
2
1 – 2 y
2
2 , con un nivel deconfianzao probabilidad igual a1 – , es
to sepuede
representar atravésde:
2
1 –
<
2
<
2
=1 –
Al sustituir el valor de 2
en el intervalo resulta: 1
2
2
2
2
2
2
1
( )
n S
Al despejar a 2
y realizar algunas operaciones algebraicas se obtiene el siguiente intervalo
de confianza para estimar el parámetro de 2
, que únicamente puede ser utilizado para aquellas
poblacionesquetienen unadistribución normal:
( ) ( )
n S n S
1 1
2
2
2
2
2
1
2
2
Deigual manera, comosedesconoceel valor de 2
, éstesepuedeobtener por definición apartir
delafórmuladelavarianzamuestral, estevalor también esutilizado como el estimador puntual de
lavarianzapoblacional 2
:
S
n
i
2
2
1
( )
X X
Como se trabaja con una distribución especial para varianzas, hay que buscar el valor en
tablas que nos servirá para poder realizar el cálculo del intervalo que se requiera, y para ello
es necesario considerar que la tabla muestra en la parte superior el nivel de significancia con
el que se trabaja. La columna de la izquierda indica los grados de libertad. Por ejemplo, si se
quiereencontrar el valor 2
cuando sequierecalcular un intervalo deconfianzade95%, el nivel
de significancia que le corresponde es de 0.05 o 5%, como trabajamos con dos valores para el
intervalo se divideentredosel nivel de significancia, en estecaso al dividir tenemos0.025 para
un extremo, pero en el otro extremo tendremos1 – 0.025 = 0.975; entonces, con losvalores0.025
y 0.975 determinamosel valor en tablas simplemente buscando esos dosvaloresy los grados de
libertad. El punto dondeseintersectan esosvaloresseráel valor en tablaspara el intervalo, por
ejemplo, si tenemos los valores 0.025 y 0.975 para calcular un intervalo de confianza de 95%
con ocho gradosdelibertad, losvaloresen tablasqueemplearíamosson 2.17973 y 17.5346. Esto
puedeapreciarseen latablasiguiente.
2
0.995 0.990 0.975 0.950 .900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
6 0.675 0.872 1.237347 1.63539 2.20413 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5476
7 0.989 1.239 1.68987 2.16735 2.83311 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777
8 1.344 1.646 2.17973 2.73264 3.48954 13.3616 15.5073 17.5346 20.0902 21.9550
9 1.734 2.087 2.70039 3.32511 4.16816 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893
10 2.155 2.558 3.24697 3.94030 4.86518 15.9871 18.3070 20.4831 23.2093 25.1882
Tabla7.2 Segmento delatabladevaloresdeladistribución ji cuadrada.

431
Ejemplo 12
Unaempresaquefabricabateríasparaautomóvil aseguraquesusbateríasduran en promedio 3 añoscon
unavarianzadeun año. S
i 5deestasbateríastienen duracionesde1.9, 2.4, 3.0, 3.5y4.2años, obtengamos
un intervalo deconfianzade95% paradeterminar el valor real delavarianzadelapoblación.
Con un nivel de confianza de 95% y (n – 1 = 5 – 1 = 4) 4 grados de libertad el valor de
0 025
2
1 0 025
2
0 975
2
11 14 0 484
. . .
. .
y para
Xi (Xi – X)2
1.9 1.21
2.4 0.36
3.0 0.00
3.5 0.25
4.2 1.44
15 3.26
Ya que no se conoce la varianza de la población, entonces, se procede a utilizar el estimador
puntual delamisma, ésteseobtienedelasiguientemanera:
S
n
2
2
1
3 26
4
( ) .
X X
i
0.815
Al sustituir el valor del estimador dela varianza dela población en la fórmula del intervalo
seobtiene:
( ) ( )
n S n S
1 1
2
2
2
2
2
1 2
2
( )( . )
.
( )( . )
.
5 1 0 815
11 14
5 1 0 815
0 484
2
2 26
11 14
2 26
0 484
2
.
.
.
.
0 29 6 73
2
. .
Con un nivel de confianza de 95%, la varianza de la población se encuentra en un intervalo
comprendido entre0.29 y6.73.

Ejemplo 13
El departamento depersonal deunaempresarealizó unaseriedeexámenes asusempleadosparasaber
si seencuentran en condicionesdeocupar otraplaza, seeligió unamuestraaleatoriade20 empleados,
dichamuestraobtuvoun promediodecalificacionesigual a72en unaescalade1a100,con unavarianza
de16. Suponiendoquelascalificacionesobtenidassiguen unadistribución normal ysetieneun nivel de
confianzade90%, ¿
cuál esel intervalo dondesepodríalocalizar lavarianzadelapoblación?
Con un nivel de confianza de 90% y (n – 1 = 20 – 1 = 19) 19 gradosde libertad, el valor de
0 05
2
30 14
. . ypara 1 0 05
2
0 95
2
10 11
. . .
Datos:
n = 20
S
2
= 16
2
/ 2 = 30.14
2
1– 2 =10.11
Al sustituir los datos en la fórmula de intervalo para encontrar la varianza real de la
población resulta:
( ) ( )
n S n S
1 1
2
2
2
2
2
1 2
2
( ) ( )
.
( ) ( )
.
20 1 16
30 14
20 1 16
10 11
2
10 08 30 06
2
. .
Con un nivel deconfianzade90%, lavarianzareal delapoblación seencuentraen un intervalo
comprendido entre10.08 y30.06.

433
1. Los resultados de una encuesta realizada a 25 mujeres en un supermercado muestran que
consumen un promedio de 6.8 kg de huevo a la semana, con una desviación estándar de
2.4 kg. Construyeun intervalo deconfianzade99% paraestimar lavarianzadel consumo
dehuevo querealizan lasfamiliasalasemanasi sesuponeunadistribución normal.
2. El salario promedio deunamuestrade30 trabajadoresdeunadeterminadaempresaesde$60
diarios con una varianza de 15. Se supone que los salarios diarios de la empresa siguen una
distribución normal. ¿
Cuál seráel intervalo de95% deconfianzaparalavarianzapoblacional?
3. De una muestra aleatoria de 15 pastillas para el dolor de cabeza cuya población tiene una
distribución normal, seobservóunavarianzade0.64en laconcentración del ingredienteactivo.
Hallaun intervalo deconfianzade90% paralavarianzapoblacional.
4. Un fabricantequiereestimar lavariabilidad delosnivelesdeimpurezadelosenvíosdemateria
prima de un determinado proveedor, los cuales tienen una distribución normal. Extrae para
ello unamuestrade15 envíosycompruebaquelavarianzaen laconcentración delosnivelesde
impurezaesde5.5696%. Calculaun intervalo deconfianzade95% paralavarianza.
5. Un psicólogo quiere estimar la varianza de las calificaciones obtenidas por los candidatos a
un puesto de trabajo en un examen de aptitud. Extrae para esto una muestra aleatoria de
18 candidatos cuya varianza es de 108.16. Calcula un intervalo de confianza de 90% para la
varianzapoblacional, si sesuponequelascalificacionestienen unadistribución normal.

7.6 Aplicación alosnegocios
Lossiguientesejemplospueden mostrar demaneramásefectivalaaplicación alosnegociosdelovisto
anteriormente.
1. El señor Ruiz, ejecutivo financiero de la compañía SPRONSA S.A., decidió llevar a cabo un
análisis detallado sobre algunos aspectos de la empresa con la finalidad de obtener datos
que le permitieran tomar decisiones para llevar a cabo acciones específicas en los diferentes
departamentosdecadaunadelasplantasdelaempresa.
Lainvestigación iniciacon el áreadeproducción delaplantanorte, dondeaveriguacon el
jefedel área¿
cuál eslaproducción diariapromedioqueseobtienedel aromatizantedegardenias
parainteriores?
Para responder a ello el jefe de producción registrará diariamente el número de lotes
elaborados durante 60 días, considerando que la cota de error aceptada es de dos veces la
varianza. Con la información del registro diario procede a calcular la media y la desviación
estándar de la producción, obteniendo los siguientes datos: una media de 16 300 unidades y
unadesviación estándar de450 unidades.
Solución:
a) Paraestimar laproducción diariapromedio secuentacon lossiguientesdatos:
n = 60 días
X = 16 300 unidades
= 450 unidades
µ = ?
Como sesabequeel error debeser de2 veceslavarianza, entonces:
2
2
X
n
Como no seconoceel valor de sesustituyepor S
, ladesviación estándar delamuestra.
Sustituyendo:
2
60
450
60
58 09
58 09
2
29 05
X
X
S
.
.
.
El jefe de producción notifica al ejecutivo financiero que se puede confiar en que la
estimación de16 300 unidadesqueseobtuvieron dentro delos60 díasseencuentraamenos
de30 unidadesdel verdadero rendimiento promedio deproducción.
Ahora el ejecutivo financiero quiere que el jefedeproducción encuentre un intervalo de
confianzade95% paralaproporción dearomatizantesdelapoblación queson rechazadospor
no aprobar laspruebasdecalidad, sabiendo quetodoslosaromatizantesdeben pasar todaslas
pruebasantesdevenderse.

435
Paraello setomaunamuestraaleatoriade750aromatizantes ysesometen alaspruebasde
calidad, lo cual arrojacomo resultado que35 fallan en unao máspruebasdecalidad.
b) Paraestimar el intervalo deconfianzasetienen lossiguientesdatos:
n= 750
p q
35
750
0 047 1 0 047 0 953
. . .
Validación para garantizar el cumplimiento del teorema del límite central para una
distribución muestral deunaproporción.
np 750 0 047 35 25 5
( . ) .
nq 750 0 953 714 75 5
( )
. .
Ambasvalidacionesson mayoresque5, por lo tanto ladistribución muestral del estimador
p tieneunadistribución normal.
Parael nivel deconfianzade95%, Z / 2
= 1.96
Sustituyendo losdatosen lafórmula p
pq
n
p p
pq
n
Z Z
2 2
0 047 1 96
0 047 0 953
750
0 047 1 96
0 047 0 953
750
. .
( . ) ( . )
. .
( . ) ( . )
p
0 0319 0 0621
. .
p
Con lo que el jefe de producción concluye que con un nivel de confianza de 95%, la
proporción de aromatizantes rechazados, porque no pasan alguna de las pruebas, está entre
0.0319 y0.0621, esdecir, entre3.19% y6.21%.
2. Un emprendedor de negocios desea adquirir un centro de operación ejecutiva con Internet,
impresiones blanco y negro y color, fax y demás servicios accesorios. Para realizar su análisis
de costo-beneficio requiere conocer el promedio aproximado que pagan los usuarios por los
serviciosofrecidosen dicho centro.
Dado que el actual dueño no cuenta con información estadística se procedió a analizar
una muestra aleatoria de 40 usuarios, obteniendo que el consumo promedio es de $245 con
una desviación estándar de$15. Si se establece un nivel de confianza del 95%, determinar el
intervalo paraestimar el promedio deingresosdel centro deoperación ejecutiva.
Solución
Secuentacon lossiguientesdatos:
n =40
X =245
S =15

El intervalo deconfianzadefinido esde95%, entoncesel valor correspondientedeZ / 2
=1.96.
Sustituyendo en lafórmula:
X Z X Z
2 2
S
n
S
n
245 1 96
15
40
245 1 96
15
40
. .
245 4 65 245 4 65
. .
240 35 249 65
. .
Por tanto, el emprendedor de negocios podrá considerar cualquier valor de µ que esté
dentro del rango como un valor promedio válido pararealizar su estudio decosto-beneficio.
3. El área de calidad de una empresa aplicó una encuesta en su portal de Internet para evaluar
el grado de satisfacción de susclientesen referencia a susproductos. Los resultados de dicha
encuesta son lossiguientes: el número de participantesfue de 250, de loscuales 35 no están
satisfechoscon susproductos.
Con lainformación anterior el áreadecalidadrequiereestablecer un intervalodeconfianza
de90%paraestimar laproporción poblacional delosclientesaloscualeslosproductosofrecidos
no satisfacen susexpectativas.
Solución
Losdatoscon quesecuentason:
X = 35
n= 250
Cálculo delaproporción del número deéxitos(p)
p
n
X 35
250
0 14
.
Cálculo delaproporción del número defracasos(q)
q p
1 1 0 14 0 86
. .
Validación paragarantizar el cumplimientodel teoremadel límitecentral paraunadistribución
muestral deunaproporción.
np 250 0 14 35 5
( . )
nq 250 0 86 215 5
( . )
Ambasvalidacionesson mayoresque5, por lo tanto ladistribución muestral del estimador
p tieneunadistribución normal.
Parael nivel deconfianzade90%, Z / 2
= 1.645

437
Aplicamoslafórmula:
p
pq
n
p p
pq
n
Z Z
2 2
0 14 1 645
0 14 0 86
250
0 14 1 645
0 14 0 86
250
. .
. ( . )
. .
. ( . )
p
0 1039 0 1761
. .
p
En conclusión, la proporción poblacional de clientes insatisfechos con la calidad de los
productos se encuentra entre 10.39% y 17.61%, lo cual es un índice muy elevado de clientes
insatisfechos.
Problemaspropuestos
1. El nuevo jefe de producción de una empresa requiere conocer cuál es la producción diaria
promedioqueseobtienedel aromatizanteparainterioresqueseproduceen laplantacon un nivel
deconfianzade90%. Medianteun registrorealizado durante60 díasseobtuvieron lossiguientes
datos: unamediade1 630 unidadesproducidascon unadesviación estándar de45 unidades.
Solución
1620 44 1639 56
. .
2. El área de recursos humanos necesita generar la orden de producción de uniformes para el
personal delaempresa, por tal motivo seprocedearecolectar demaneraaleatoriaunamuestra
en cadaplantasiendo el tamaño delamuestrade60 empleados. En laplantadel nortesehan
contratado 25 mujeres, mientrasqueen laplantasur sehan contratado 33.
Obtener el intervalo deconfianzaparaladiferenciadeproporcionespoblacionalescon un
nivel deconfianza de= 0.98
Solución:
El intervalo es: [–0.3356, 0.0756]

1. Estadísticamenteseconsideracomo unamuestragrandeaquellaque:
a) Tieneun número infinito deelementos.
b) n 30
c) n 30
d) n= 29
2. Seconsideracomo estimación puntual aquellaque:
a) Asignavariosvaloresen un intervalo.
b) Asignavaloressolamenteen muestraspequeñas.
c) Asignaun valor único.
d) Asignavalorescuando ladistribución sigueunadistribución normal.
3. El nivel designificancia sepuedeinterpretar como:
b) El porcentajeo probabilidad dequeseestimecorrectamentelamediamuestral dentro
del intervalo.
intervalo estimado.
4. El nivel deconfianzasepuedeinterpretar como:
b) El porcentaje o probabilidad de que se estime correctamente la media muestral dentro
del intervalo.
intervalo estimado.
5. El valor del coeficientedeconfianzaparaun 90% es:
a) 1.645
b) 1.241
c) 1.96
d) 2.645
6. Si el nivel deconfianzaesigual a1 – = 90 %, el nivel designificanciaesde:
a) 0.05
b) 0.10
c) 1.96
d) 0.25

439
7. Si lasdoscotasdeun intervalo deconfianzaparaestimar ladiferenciadedospoblaciones,
1 y 2, son negativas, entoncessepuededecir que:
8. Si la cota inferior es negativa y la cota superior es positiva en un intervalo de confianza para
estimar ladiferenciadedospoblaciones, 1 y2, entonces:
9. Si seincrementan losgradosdelibertad o el tamaño deunamuestrapequeña, ladistribución
t s
tudent:
a) Serámenosplaticúrtica.
b) Serámásplaticúrtica.
c) Serámenossimétrica.
d) Serámássimétrica.
10. Si seestimaun intervalo deconfianzaparaunamediapoblacional con unamuestragrande, la
fórmulaparacalcular el error máximo delaestimación es:
a) E Z
n
2
E
n
c) E Z
n
2
d) E Z
2
11. Esun procedimiento delaestadísticainferencial con el cual serealizan cálculoscon losdatos
deunamuestra, cuyo resultado son dosvaloresnuméricosquedefinen un rango paraestimar
el parámetro poblacional:
a) Estimación.
12. Paraestimar lamediapoblacional µ medianteintervalosdeconfianzacuandosetienen muestras
pequeñasyseconoceladesviación estándar poblacional:
a) Seutilizaladistribución normal estandarizada.
b) Seutilizaladistribución t s
tudent.
c) Seutilizaladesviación estándar muestral.
d) Seutilizaladistribución demediasmuestrales.

13. Si setienen dosmuestrasn1
= 11 yn2
= 7, y sedeseaestimar ladiferenciadelasmediasdedos
poblacionesmedianteintervalosdeconfianza, losgradosdelibertad paraesteintervalo son:
a) 11
b) 16
c) 17
d) 18
14. Si se desea estimar la media de una población mediante un intervalo de 95% de confianza
utilizando unamuestradetamaño 21, entonces:
a) t / 2
= 1.325
b) t / 2
= 1.645
c) t / 2
= 1.725
d) t / 2
= 2.086
15. Es el resultado que se obtiene al emplear datos de una muestra en la fórmula o expresión
matemáticaparainferir sobreunapoblación:
a) Estimación.
b) Estimador.
c) Estimado.
16. Es una representación matemática que emplea datos de una muestra para estimar un
parámetro poblacional:
a) Estimación.
b) Estimador.
c) Estimado.
17. Si el tamaño delamuestraesigual a20, el número degradosdelibertad esigual a:
a) 22
b) 18
c) 21
d) 19
18. Si la varianza muestral es igual a 36, el tamaño de la población es 36 y se desea estimar un
intervalo de90% deconfianza, el error máximo delaestimación es:
a) 0.2741
b) 1.645
c) 9.87
d) 59.22
19. Si se desea un intervalo de 99% de confianza para estimar la diferencia de la media de dos
poblacionesyparaello setienequen1
=12 yn2
=15, entonces:
a) t / 2
= 2.485
b) t / 2
= 2.479
c) t / 2
= 2.473
d) t / 2
= 2.787

441
a) 0.001
b) 0.1
c) 0.01
d) 0.02
21. Son algunasventajasderealizar estimación por intervalosdeconfianza:
a) Su resultado varíademuestraen muestra.
b) Su intervalo sepuedeutilizar con muchasabiduría.
c) Siempreofreceun 100% denivel deconfianza.
d) Su resultado ofreceun nivel deconfianza.
22. Si 1 – = 95%, el valor deZ / 2
es:
a) 1.96
b) 1.645
c) 2.575
d) 2.41
23. Si Z /2
= 1.96, = 12 yn = 25, el error deestimación es:
a) 4.6
b) 5.32
c) 4.7
d) 5.01
24. Si se incrementa el nivel de confianza para la estimación de un intervalo, el intervalo de
confianzaserá:
a) Másancho.
b) Másestrecho.
25. Esun estimador delamediapoblacional:
a) X
Xi
n
b)
Xi
N
c) S =
2 ( )
X X 2
1
n
d) S=
( )
X X 2
1
n

26. Encuentrael intervalo deconfianzade90% paralamediadeunapoblación quesedistribuyecomo
unanormal, s
i s
etieneunamues
tran=16,unamediamuestral de20yunavarianzamues
tral S
2
=4:
a) [19.127, 20.873]
b) [19.1775, 20.8225]
c) [19.1235, 20.8765]
d) [18.247, 21.753]
27. Encuentra un intervalo aproximado de confianza de98% para la diferencia de lasmediasde
dospoblaciones, con dosmuestrasn1
= 10 y n2
= 10, cuyasvarianzasfueron 2
1 1
S y 2
2 4
S , y
mediasmuestralesX1
= 8 y X2
= 15.
a) [–9.6, –4.4]
b) [–9.83, –4.17]
c) [–9.85, –4.15]
d) [–8.8, –5.2]
28. Encuentrael intervalodeconfianzade95%paralamediadeunapoblación quenosedistribuye
como normal, teniendo una muestra de n = 100, una media muestral de 5 y una desviación
estándar muestral de1:
a) [4.9804, 5.0196]
b) [4.804, 5.196]
c) [4.8355, 5.1645]
d) [4.98355, 5.01645]
29. Encuentrael intervalo deconfianzade99% paraladiferenciadelasmediasdedospoblaciones
con distribución normal, con desviacionesestándar poblacionales 1
= 10 y 2
= 6, atravésde
dosmuestrasn1
= 200 yn2
= 72, cuyasmediasmuestralesfueron X1
= 60 y X2
= 50.
a) [8.355, 11.645]
b) [9.06, 10.94]
c) [9.4, 10.6]
d) [7.424, 12.576]
30. Encuentrael intervalo deconfianzade90% paralamediadeunapoblación quesedistribuye
como unanormal, si setieneunamuestra n = 25, unadesviación estándar poblacional = 3,
unamediamuestral de10:
a) [9.013, 10.987]
b) [8.9734, 11.0266]
c) [9.8026, 10.1974]
d) [9.79468, 10.20532]
31. Si setrabajacon un nivel deconfianzade99%, el valor deZ / 2
es:
a) 1.575
b) 1.96
c) 1.645
d) 2.575

443
32. Si setrabajacon un nivel deconfianzade90%, el valor deZ / 2
es:
a) 1.645
b) 1.96
c) 2.575
d) 1.641
33. Si X = 40 yn = 1/ 75 el valor de p es:
a) 0.335
b) 0.229
c) 4.375
d) 3.5
34. Paraestimar lavarianzapoblacional atravésdeintervalosdeconfianzaseutilizaunadistribución:
a) Normal.
b) t s
tudent.
c) ji cuadrada.
d) F.
35. Con un 95% deconfianzay4 gradosdelibertad, el valor de 2
1– 2 es:
a) 11.14
b) 0.484
c) 30.14
d) 10.09
36. Algunascaracterísticasdeladistribución 2
son:
a) Essímétricayplaticúrtica.
b) Esunadistribución normal queseencuentrasesgadaaladerecha.
c) Susvaloresson negativos, incluyendo el cero yessesgada.
d) Esasimétricaysusvaloresson positivos, incluyendo el cero.
37. Si n= 50 yX = 12.5, laproporción defracasoses:
a) 0.25
b) 4
c) 0.75
d) 0.5
38. Si Z
2
95 0 50 5
%, .
p n
y , el error deestimación delaproporción es:
a) 0.44
b) 0.41
c) 0.36
d) 0.34
39. Si Z
2
90 0 09
% .
y E , el tamaño delamuestraes:
a) 82
b) 85

c) 84
d) 90
40. Laestimación por proporcionescontieneun error máximo el cual no excedeel valor de:
a) n
b) / 2 n
c)
pq
n
d) / 2
pq
n
41. El teoremadel límitecentral señalaqueunadistribución muestral del estadístico p,con muestras
lo suficientementegrandes, tendrá:
a) Unadistribución normal.
b) Unadistribución binomial.
c) Unadistribución t s
tudent.
d) Unadistribución sesgada.
42. Ladistribución delavariableX querepresentael número deéxitosquesepueden obtener en
unamuestra, tieneuna:
a) Distribución normal.
b) Distribución binomial.
c) Distribución t s
tudent.
d) Distribución sesgada.
43. Para que una muestra sea considerada lo suficientemente grande en la estimación de una
proporción poblacional:
a) n 30
b) np 5 ynq 5
c) nq 5 ynX 5
d) nq 5 y pX 25
44. Unaproporción sepuededefinir como:
a) Unamedidadescriptivaquemeseñalahaciadóndetienden aconcentrarselosvaloresde
unamuestrao población.
b) Una medida descriptiva que me señala la manera en que los datos de una muestra o
población sedispersan entresí.
c) Un nivel designificanciaparamedir parámetrospoblacionales.
d) Una parte, fracción o porcentaje de loselementos que constituyen a una población o
una muestra.

445
1. c)
2. a)
3. b)
4. a)
5. c)
6. b)
7. b)
8. d)
9. c)
10. d)
1. a)
2. d)
3. a)
4. d)
5. b)
6. c)
7. d)
8. b)
9. b)
10. a)
11. a)
12. b)
13. c)
14. d)
15. d)
16. d)
17. a)
18. a)
19. c)
20. d)
21. Se sabe que la distribución de la población es normal y se conoce la desviación estándar
poblacional, por lo queseutilizael estadístico Zcon un 90% deconfianza. Losdatosautilizar
son lossiguientes:
n = 16
n2
= 9.5
x
= 1
Z /2
= 1.645
X Z X Z
2 2
n n

9 5 1 645
1
16
9 5 1 645
1
16
. ( . )( ) . ( . )( )
9 5 0 41125 9 5 0 41125
. . . .
9 08875 9 91125
. .
Con un nivel deconfianzade90%, el índicemedio salarial delaempresaseencuentraen
un intervalo de9.08875 a9.91125 pesospor hora.
22. Datos:
n = 25
X = 6.8
S
X
= 2.4
/2
= 2.797
X X
X X
t t
2 2
S
n
S
n
6 8 2 797
2 4
25
6 8 2 797
2 4
25
. ( . )(
.
) . ( . )(
.
)
6 8 1 3425 6 8 1 3425
. . . .
5 457 8 142
. .
En conclusión, con un nivel deconfianzade99% el promedio poblacional deobrerosque
seenferman anualmenteseencuentraen un rango quevade5.457 a8.142 vecespor año.
23. Datos:
n = 100
X = 48
S
X
= 2.4
Z / 2
= 1.96
48 1 96
2 4
100
48 1 96
2 4
100
( . )(
.
) ( . )(
.
)
48 0 4704 48 0 4704
. .
47 5296 48 4704
. .
En conclusión, con un nivel de confianza de 95% el promedio de la vida útil de los
televisoresseencuentraen un rango quevade47.5296 a48.4704 meses.

447
24. Al tener unamuestragrandeyun nivel deconfianzade90%, el valor detablasparaZ / 2
=1.645
Datos:
n1
= 50
n2
= 50
X1
=420.4
X2
=492.5
S
1
= 55.7
S
2
= 87.5
Z /2
= 1.645
Sustituimoslosdatosen lafórmulaparaobtener:
( . . ) .
( . ) ( . )
( . .
420 4 492 5 1 645
55 7
50
87 5
50
420 4 492 5
2 2
11 2 )
) .
( . ) ( . )
1 645
55 7
50
87 5
50
2 2
72 1 24 1302 72 1 24 1302
1 2
. . . .
96 2302 47 9698
1 2
. .
En conclusión, con un nivel deconfianzade90% ladiferenciadel promedio deempleados
altamenteproductivospor empresa en lasdosindustriasse encuentra en un rango que vade
–96.2302 a–47.9698. Al tener lasdoscotasnegativasesteintervalo podemosinterpretar que
lamediapoblacional delapoblación 2 esmayor quelamediadelapoblación 1, por lo quese
puedeconcluir quelasindustriasmásproductivasson aquellasquepertenecen al sector 2.
25. Al tenersedosmuestraspequeñas, losgradosdelibertad son n1
+ n2
– 2 = 26. Al solicitarseun
nivel deconfianzade99% yal no conocerselasdesviacionesestándar deambaspoblaciones, el
valor detablasparat / 2
= 2.779
Datos:
n1
=16
n2
=12
X1
=2.15
X2
=1.69
S
1
=1.1
S
2
=1.0
/2
=2.779
Sustituimoslosdatosen lafórmuladelavarianzamuestral paradospoblaciones:
S
n S n S
n n
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
( ) ( )
S
2
2 2
16 1 1 1 12 1 1 0
16 12 2
15 1 21 11 1
26
( )( . ) ( )( . ) [( )( . ) ( )( )] 18 15 11
26
29 15
26
1 12
. .
.
Ladesviación estándar eslaraízcuadradadelavarianza, por lo tanto:
S S
2
1 121 1 058
. .

Ahoraseutilizalafórmulaparaintervalosdeconfianzademuestraspequeñasparaestimar
ladiferenciaentredosmediaspoblacionales:
( ) ( )
X X X X
1 2
2 1 2
1 2 1 2
2 1 2
1 1 1 1
t S
n n
t S
n n
( . . ) ( . )( . ) ( . . ) ( .
2 15 1 69 2 779 1 058
1
16
1
12
2 15 1 69 2 77
11 2 9
9 1 058
1
16
1
12
1
)( . )
0 46 1 12 0 46 1 12
1 2
. . . .
0 66 1 58
1 2
. .
En conclusión, con un nivel de confianza de 99% la diferencia del promedio de horas
queseausentan del trabajo losempleadosquebeben demanerahabitual y losempleadosque
beben ocasionalmenteseencuentraen un rangoquevade–0.66 a1.58. En estecaso, al tenerse
quelacotainferior esnegativay lacotasuperior espositiva, no sepuedesaber cuál delasdos
poblacionesdetrabajadorestieneun mayor promedio en el número deausencias.
1. d)
2. b)
3. a)
4. b)
5. b)
6. c)
7. d)
8. c)
9. c)
10. d)
11. Como np = 425 ynq = 75, ladistribución muestral de p esnormal, por lo queparaun nivel de
confianzade99%, el valor deZ / 2
=2.576
Aplicando lafórmuladeproporción deéxitos:
p
n
X 425
500
0 85
.
Laproporción defracasoses:
q p
1 1 0 85 0 15
. .
Datos:
X = 425
n = 500
p = 0.85
Z 2
=2.576

449
p
pq
n
p p
pq
n
Z Z
2 2
0 85 2 576
0 85 0 15
500
0 85 2 576
0 85 0 15
. .
( . )( . )
. .
( . )( . )
p
5
500
0 85 0 041 0 85 0 041
. . . .
p
0 809 0 891
. .
p
Por lotanto,laproporción real deventasquesehacen acréditoseencuentraen un intervalo
quevadeun 80.9% aun 89.1%.
12. Como np = 171 y nq = 19, ladistribución muestral de p esnormal, por lo queparaun nivel de
confianzade99%, el valor deZ 2
=2.576
Aplicando lafórmuladeproporción deéxitos:
p
n
X 171
190
09
.
Mientrasquelaproporción defracasoses:
q p
1 1 0 93 0 1
. .
Datos:
X = 171
n = 190
p = 0.9
q = 0.1
Z 2
=2.576
p
pq
n
p p
pq
n
Z Z
2 2
0 9 2 576
0 9 0 1
190
0 9 2 576
0 9 0 1
190
. .
( . )( . )
. .
( . )( . )
p
0 9 2 576 0 021 0 9 2 576 0 021
. ( . )( . ) . ( . )( . )
p
0 846 0 954
. .
p
Por lo tanto, la proporción de fumadores que prefieren esa marca se encuentra en un
intervalo comprendido entre84.6% y95.4%.

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