Teoría de la Estimación

1. Curso de Estadística
Universidad de Guayaquil
2016.
Dr. Manuel E. Cortés Cortés
Ecuador.

2. Capítulo: La teoría de la Estimación
• Subunidad 1: Estimación por Intervalos
• Subunidad 2: Varianza conocida
• Subunidad 3: Varianza conocida
• Subunidad 4: Intervalos de confianza

3. Propiedades de los Estimadores Estimadores
Sesgo:
Es equivalente al error, por lo que se desea tener un estimador
que tenga un sesgo mínimo o cero.
Estimador Insesgado:
Se dice que un a estadística cualquiera W es un estimador
insesgado del parámetro  si se cumple que: E (W ) = . Lo que
significa que el valor esperado del estimador sea igual al
parámetro que se pretende estimar.

4. Estimación por Intervalos.
• Una estimación por intervalos de un
parámetro poblacional  es un intervalo de la
forma :
• min < =  < = max
• donde los valores extremos del intervalo
dependen del valor de la estadística  para
una muestra particular y también de la
distribución de muestreo de min , max
se calculan

5. Intervalo para la Intervalo para la media con
varianza conocida.
• Estimación por Intervalos de la media poblacional cuando
la Varianza es conocida.
• Si Xmed es la media muestral de un muestreo aleatorio de
tamaño n de una población con varianza σ2 , conocida,
un intervalo de confianza de (1- σ )* 100% para la media
está dado por :
• [X med - Z Alfa/2 ( σ / n1/2 ) , X med + Z Alfa/2 ( σ / n1/2 )]
• Si n n > = 30 el resultado está garantizado.

6. Tablas Estadísticas.
• Tabla de Distribución Normal.
• Valores más utilizados:
• Nivel de significación α= 0.05 z = 1.64 (+,-)
• Nivel de significación α/2=0.025 z = 1.96 (+,-)
• Nivel de significación α= 0,01 z = 2.32 (+,-)
• Nivel de significación α/2=0.005 z = 2.57 (+,-)
• Los valores de la t Student dependen de los
grados de libertad y en nivel de significación, por
eso hay que calcularlos particularmente.

7. Ejercicio
La dirección de una empresa química debe saber
los niveles de afectación al medio ambiente de
su empresa.
La concentración promedio de zinc que se saca del
agua a partir de una muestra de mediciones de
zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por
mililitro. Encuentre el intervalo de confianza del
95 y 99 % para la concentración de zinc en el rio.
Estudios anteriores suponen que la desviación
estándar es de la concentración de zinc es de
0.3.

8. Estimación por Intervalos de la media poblacional cuando la
Varianza es desconocida:
• Ahora no se conoce la varianza por lo que se
tiene que trabajar con el estimador de la
misma s y la fórmula será con la utilización
de la distribución t Student en lugar de la
Normal:
• [X med -t Alfa/2 ( n-1) ( σ / n1/2 ) , X med +t Alfa/2 ( n-1) ( σ / n1/2 )]
• Notas sobre la Distribución t de Student
•

9. Ejercicio.
• Encontrar el intervalo de confianza de los pesos
al nacer de 20 niños en un Hospital:
• Peso al nacer en Kg en un día específico.
• 3.2 3.8 2.7 4.0 3.3
• 2.5 3.3 3.6 3.1 3.0
• 2.9 3.0 3.4 3.2 3.0
• 3.2 3.1 3.0 2.8 4.1
•

10. Estimación de la población cuando se tiene una proporción.
Población Muestra
• Proporción π p
• Varianza π (1-π) p (1-p)
• Intervalo de Confianza para una proporción de la
población
• [ p - Z Alfa/2 ( p (1 - p) / n 1/2) , p + Z Alfa/2 ( p (1 - p) / n1/2 )]

11. Ejercicio.
• En un colectivo laboral existe una división
acerca de determinada orientación que ha
dado el jefe, la población de trabajadores
des de 210 obreros en general y en una
encuesta se sabe que aproximadamente el
51 % está a favor de la disposición, se
quiere obtener el intervalo de confianza
sobre la proporción de trabajadores que
están a favor de la misma.

12. Tarea 1:
• Un fisioterapeuta desea estimar, con un 99 % de
confianza, la media de la fuerza máxima de un
músculo particular en cierto grupo de
individuos. Se inclina a suponer que los valores
de dicha fuerza muestran una distribución
aproximadamente normal con una varianza de
144. Una muestra de 15 individuos que
participaron en el experimento proporcionó una
media de 84.3.
• Calcule el intervalo de confianza para la media e
interprete los resultados.

13. Tarea 2
Se muestran datos de 10 paquetes recibidos en una oficina ,
calcule el intervalo de confianza para la media de los pesos
en Kg. Si se tienen las siguientes los siguientes valores:
Paquete Peso Paquete Peso
1 2.4 6 3.2
2 3.5 7 4.0
3 3.0 8 2.8
4 2.9 9 3.1
5 3.7 10 3.4

14. Tarea 3
• Si se sabe que en un estudio con 150
estudiantes de una Universidad el valor
medio de la estatura dio 161.6 cm y que la
desviación estándar de dicha muestra fue de
6.3 cm se le pide a usted calcular el intervalo
de confianza para la estatura media al 95%

15. Ejercicios:
1. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las
ventas medias por hora que se producen en un kiosco . Para ello
realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se
realizaron durante 1000 horas distintas ; muestra cuyos resultados
fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra
4000 pts al cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de
confianza del 95.5 %.
n= tamaño muestral = n =1000 , muestreo aleatorio
simple la población no es normal ni conocemos su varianza ,
intervalo para la media con varianza desconocida y población no
normal , pero: tamaño muestral es grande podemos suponer
normalidad varianza poblacional =varianza muestral nivel de
confianza = 95,5% (0.5)

16. Ejercicio:
2.- Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la
proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Si se sabe que en una
muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 de afirmaron comprar una vez a la
semana.
P = proporción de amas de casa que compran una sola vez en la semana.
Nivel de confianza es 0,99, n=400, no se conoce p, nos pondremos varianza máxima
p=q=0,5.
P = proporción de amas de casa que compran una sola vez en la semana.
luego el intervalo :

17. Ejercicio de Tarea:
• Para la estimación de la proporción de familias con
ingresos superiores a 80000 Euros al año , se han
realizado dos muestreos distintos , en ambos el tamaño
muestral es el mismo , así como la forma de muestrear ;
en ambos , también, el nivel de confianza es idéntico
(95,5%) . En la ficha técnica del muestreo A se nos indica
que p=q=0,5 . En el muestreo B se nos indica que se
utiliza como p la proporción de familias con ingresos
superiores a 80000 euros que se obtuvo en un sondeo
anterior . Nos preguntamos por : ¿Cuál de los dos
muestreo nos dará un intervalo para dicha proporción
de familias con menor amplitud ?¿Por qué ? ¿Cuál de los
dos muestreos es más riguroso ?

18. Ejercicio de Tarea
• Para llevar a cabo un control de calidad sobre el
peso que pueden resistir los 300 forjados(suelos)
de una construcción , realizamos 12 pruebas
resultando la resistencia media hasta la rotura de
350kg/cm2 con desviación típica de 20 . Si
trabajamos con nivel de confianza de 0,9.
• a)¿Ante que tipo de muestreo nos encontramos
b)¿Entre que valores oscila la resistencia media
de los 300 forjados , si por experiencias
anteriores sabemos que dicha resistencia se
distribuye normalmente ?
•

19. Ejercicio Tarea.
• Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de
una Facultad para estimar la calificación media
de los expedientes de los alumnos en la
Facultad. Se sabe por otros cursos que la
desviación típica de las puntuaciones en dicha
Facultad es de 2.01 puntos. La media de la
muestra fue de 4.9. 1. Intervalo de confianza
al 90 %. 2. intervalo de confianza al 99 %
(4,24,5,56) (3,86, 5,94)

20. Ejercicio.
• Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una
Editorial para estimar el valor medio de las ventas por
trabajador en la Empresa. La media y varianza de la
muestra ( en miles de euros ) son 5 y 2,
respectivamente.
Intervalo de confianza para la venta media por trabajador
en la Editorial al 90 %.
• S2 = n/n-1 Vx = 15 / 14(2) = 2,143 Vx varianza muestral
• (4,334, 5,666)