1. La noción de medio en la teoría de las situaciones didácticas
Una herramienta para analizar decisiones en las clases de matemática
Dilma Fregona1 y Pilar Orús Báguena2
Prólogo
Introducción
Acerca de la Didáctica y de la enseñanza
Capítulo 1.
Las nociones de medio y situación
1.1. Recorrido por las nociones de medio y situación
1.2. Ejemplos de situaciones
1.2.1. “Vasitos y pinceles”: un problema de distribución
1.2.2. El juego de comunicación de figuras
1.3. Más allá del análisis realizado
1.4. Algunas cuestiones en debate
1.5. Retorno a las nociones de enseñanza y situación
Capítulo 2.
La estructuración del medio
2.1. Una primera aproximación
2.2. Descripción y utilización de los diferentes niveles
2.2.1. La situación objetiva
2.2.2. La situación de referencia
2.2.3. La situación de aprendizaje
2.2.4. La situación didáctica
2.2.5. La situación meta-didáctica
2.3. Más allá del análisis realizado
2.3.1. Una interpretación del alumno en posición del sujeto que actúa
2.3.2. El proceso de búsqueda de contratos didácticos
2.3.3. Diferentes dominios de declaración sobre las figuras
Capítulo 3: El medio del profesor
3. 1. Posiciones del profesor - antes, durante o después de la lección- en
distintos tipos de situaciones
3.2. Diferentes estados en la clase
3. 2. 1. Fases didácticas y a didácticas
3. 2. 2. Fases de búsqueda, de expresión pública y validación
3. 3. Alcances de una situación
Reflexiones finales y ¡más preguntas!
Bibliografía
1
Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. fregona@famaf.unc.edu.ar
2
Universidad Jaume I de Castellón, España. orus@mat.uji.es

2. La noción de medio en la teoría de las situaciones didácticas
Una herramienta para analizar decisiones en las clases de matemática
Prólogo
El área de investigación denominada Didáctica de la Matemática o Educación
Matemática, según los países y enfoques, abarca problemáticas muy diversas y desde
diferentes perspectivas teóricas. Una de ellas es la teoría de las situaciones didácticas,
desarrollada por Guy Brousseau desde los comienzos de la década del 70. Su contribución
como uno de los pioneros en el desarrollo de la Didáctica de la Matemática es
internacionalmente reconocida. En el año 2003 Brousseau recibió la primera medalla Félix
Klein, otorgada por la Comisión Internacional de Instrucción Matemática (ICMI por su
denominación en inglés) por su destacada contribución a la educación matemática3.
Desde la teoría de las situaciones se caracteriza la Didáctica de la Matemática como
área de investigación que trata los fenómenos de comunicación de los saberes matemáticos y
sus transformaciones. En el transcurso del tiempo, en un trabajo cooperativo con
investigadores, docentes y alumnos de distintos niveles del sistema educativo, los objetos de
estudio se ampliaron con el abordaje de diferentes problemáticas, y continúa en permanente
profundización, revisión y crecimiento.
El texto que aquí presentamos busca profundizar el estudio de algunas nociones
desarrolladas en el marco de esta teoría, frecuentemente utilizada en investigaciones y
documentos de apoyo a docentes en diferentes idiomas. En español, en el año 2007, en la
colección “Formación docente – matemática” Libros del Zorzal difundió un texto de Guy
Brousseau cuyo título es “Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas”.
La noción de “medio” es particularmente interesante y productiva desde el punto de
vista teórico, ya que permite abordar diversas cuestiones específicas sobre la enseñanza y el
aprendizaje de la matemática. Asimismo, puede contribuir a confrontar los conceptos y
previsiones estudiados teóricamente con lo que sucede en un aula, sea en el marco de un
estudio experimental o de investigación, como en una clase común. Por ello elegimos en este
texto desarrollar dicha noción e ilustrarla con producciones realizadas fundamentalmente con
herramientas de la teoría de las situaciones.
Además, si bien es una noción fundamental y es frecuentemente utilizada, las
discusiones que ha generado no están zanjadas y por tanto también nos parece interesante
mostrar aspectos en debate que dan cuenta del proceso de construcción de un dominio de
conocimiento, en este caso la Didáctica de la Matemática.
Este área de conocimiento estudia las condiciones que favorecen la aparición y el uso
de conocimientos matemáticos. Cuando ese estudio se refiere al aula, el docente aparece como
responsable –sujeto a condicionamientos institucionales diversos aunque con cierto margen de
libertad- de la organización y gestión en torno a un conocimiento bien determinado.
Resultados de investigación en Didáctica de la Matemática contribuyen a distinguir
responsabilidades de los profesores en tanto uno de los actores en el complejo proceso de
enseñanza de la matemática: hay cuestiones propias a la difusión de los conocimientos,
insoslayables en las prácticas de enseñanza, otras en las cuales son posibles ciertas
anticipaciones y las intervenciones didácticas crean entonces otras alternativas.
En un marco que excede las clases de matemática, Terigi (2004) plantea la enseñanza
como un problema de condiciones de escolarización y no simplemente de estrategias. En este
sentido, si es posible modificar las condiciones de escolarización, es una responsabilidad
principal del Estado en el diseño de las políticas públicas hacia la escuela. La enseñanza,
afirma la autora, no es un problema doméstico, es un problema didáctico, y en consecuencia
3
El ICMI, además de la Medalla Félix Klein otorga también la Medalla Hans Freudenthal. La primera se
concedió en 2003 a Celia Hoyles. Otros investigadores galardonados son Ubiratan D‟Ambrosio (2005), Jeremy
Kilpatrick y Anna Sfard (2007).
2

3. también la didáctica es un problema político en el sentido de la responsabilidad que compete
al gobierno y al Estado, y a todo el pueblo.
Bajo ciertas condiciones de escolarización, los saberes pedagógicos y didácticos
muestran sus límites. Dado que docentes y escuelas están inmersos en las condiciones
pedagógicas de la escolarización, finalmente se deja en sus manos una responsabilidad para la
cual no están preparados, con lo cual la enseñanza en tanto que responsabilidad del Estado
está en serio riesgo.
Desde una perspectiva de plena inclusión educativa, se trata que los alumnos ingresen
al sistema educativo, permanezcan en él y logren los aprendizajes a los que tienen derecho. En
este sentido, proponemos profundizar el estudio del medio, con la intención de hacer un
aporte a estas problemáticas sociales -desde el estudio de la matemática en ámbito escolar.
Analizamos nociones teóricas, que a modo de herramientas permiten desnaturalizar ciertas
prácticas, formularse cuestiones y favorecer la organización de ámbitos de enseñanza
productivos para docentes y alumnos.
Nos parece importante señalar que los estudios teóricos realizados en el marco de la
teoría de las situaciones se confrontaban con la contingencia en un aula, en un instrumento
para la observación de clases llamado Centro para la Observación e Investigación en
Enseñanza de la Matemática (COREM). Dicha institución tenía un funcionamiento particular
en una escuela pública, la Jules Michelet de Talence, con una población multicultural y con
docentes cuya particularidad era esencialmente la disposición para el trabajo en grupo y la
cooperación en los procesos de investigación. La escuela no tenía ninguna función ni de
innovación o de investigación pedagógica, ni de demostración, ni de formación de profesores.
Seguía los programas oficiales, sin adherir a ninguna escuela pedagógica. Solamente una
parte de las lecciones eran objeto de observaciones, pero todos los resultados escolares y los
progresos de cada alumno eran seguidos atentamente. Las lecciones en las cuales se llevaba a
cabo un dispositivo experimental, convenido entre investigadores y docentes, eran observadas
y registradas para estudiarlas. Las otras lecciones “comunes” eran preparadas por los docentes
responsables de sus clases.
Este texto es un trabajo de transposición didáctica, haciendo abuso de lenguaje ya que
originalmente esa noción surgió en el ámbito de la difusión de saberes matemáticos. El saber
a comunicar se refiere a resultados de investigación en el campo de la Didáctica de la
Matemática, de las comunidades que los producen hacia comunidades que los enseñan o los
utilizan de alguna manera con la intencionalidad de la enseñanza. Esperamos aportar un
instrumento que contribuya a consolidar una cultura sobre la Didáctica que permita el diálogo
y el trabajo fecundo entre docentes de matemática e investigadores y entre profesores de
diferentes niveles del sistema educativo. Aspiramos a mejorar la formación de los docentes en
matemática en el desempeño de su tarea específica: la enseñanza. Y así, en coincidencia con
el análisis de Terigi, y parodiando a Eladia Blázquez4, no se trata para docentes y alumnos “de
permanecer y transcurrir” en la escuela, sino de recuperar, honrar, la enseñanza y el
aprendizaje.
La realización de este proyecto no hubiese sido posible sin los apoyos que a diferente
nivel nos brindaron el Plan de Promoció a la Investigació 2008, de la la Universitat Jaume-I
en colaboración con Bancaixa: Estancias de doctores en la UJI.; la Facultad de Matemática,
Astronomía y Física y la Facultad de Filosofía y Humanidades, unidades académicas de la
Universidad Nacional de Córdoba (Argentina) y ediciones del Zorzal de Buenos Aires.
Noviembre de 2009
4
Autora de la letra y la música de varios tangos, entre ellos “Honrar la vida”, que se inicia con: “¡No!
Permanecer y transcurrir no es perdurar no es existir ni honrar la vida!”
3

4. Introducción
Acerca de la Didáctica y de la enseñanza
Bajo las denominaciones “Didáctica de la Matemática” o “Educación Matemática”
existen diversas acepciones. En lenguaje habitual se identifica con la enseñanza de la
matemática aunque también se la reconoce como área de investigación en el cual la enseñanza
de las matemáticas es uno de sus objetos de estudio entre otras problemáticas abordadas desde
diversas perspectivas teóricas.
Las mesas de trabajo en los últimos congresos internacionales 5 dan una idea de la
diversidad de los temas de estudio, muchos de ellos comunes a pesar de la designación
elegida. “Educación Matemática” es utilizada generalmente en países anglosajones y
latinoamericanos como México y Brasil, e inclusive en instituciones como el ICMI. En
Francia se utiliza “Didáctica de la Matemática” y esa es la designación que utilizaremos en
este texto ya que profundizaremos aspectos de la teoría de las situaciones didácticas. Sin
embargo, no dudaremos en recurrir a nociones que proceden de otras perspectivas teóricas, sin
temor a producir un discurso ecléctico.
La caracterización que anticipamos, tomada textualmente, afirma que en los últimos
años:
“(…) ha aparecido, también bajo el nombre de „didáctica‟ un intento de constituir una ciencia de la
comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones (…). Esta ciencia se interesa en lo que
estos fenómenos tienen de específico del conocimiento que se tiene en el punto de mira.” (Brousseau,
1990, p. 260).
Esta es la acepción que adoptamos en este texto. Cabe destacar que esta
caracterización, genera una ruptura con ciertos usos sociales de la expresión: no se trata de un
conjunto de técnicas y/o materiales que sirven para enseñar matemática; tampoco se refiere
solamente a problematizar la relación enseñante-enseñado ya que está presente el saber
matemático como componente esencial; además en esta caracterización la difusión de saberes
y conocimientos no está restringida al ámbito escolar6.
Otros autores de las escuelas francesas, como Chevallard, Bosch y Gascón
caracterizan lo didáctico como todo lo referente al estudio.
“Hablaremos de proceso didáctico cada vez que alguien se vea llevado a estudiar algo –en nuestro
caso serán las matemáticas- solo o con ayuda de otra (s) persona (s). El aprendizaje es el efecto
perseguido por el estudio y la enseñanza es un medio para el estudio, pero no es el único.” (1997, p.
59)
Relaciones entre concepciones de enseñanza y medios
Aunque la difusión de conocimientos y saberes matemáticos se realiza entre diferentes
instituciones cuando hablemos de “enseñanza”, estaremos refiriéndonos al proceso que se
desarrolla en el marco de un sistema educativo. Cuando un profesor prepara su clase para
enseñar un tema, selecciona los materiales y los medios que favorezcan su tarea: objetos,
problemas, actividades a realizar con un programa de computación, ejercicios, textos, etc.
Según las concepciones de enseñanza y de aprendizaje en juego, y las condiciones de
5
Véase por ejemplo: http://www.seiem.es/ ; http://igpme.org/ ; http://www.mathunion.org/icmi/;
http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/tradiciones-de-ensenanza/-congresos-dedicados-a-los-temas-en-
didactica-de-la-matematica-en-el-mundo-temas-tratados/comision_internacional_de_inst.php
6
Chevallard estudió la transposición didáctica como un proceso de transformación de los saberes matemáticos
desde que se generan y se incluyen como resultado de la comunidad matemática hasta la comunidad que los
enseña; luego propuso perspectivas más amplias, las transposiciones institucionales (Chevallard 1985, 1989) y la
teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, Bosch, Gascón, 1997).
4

5. escolaridad, se organizarán estos medios y se distribuirán las responsabilidades mutuas entre
el docente y los alumnos en el marco de una relación didáctica posible7.
Cuando se interpreta la enseñanza como una comunicación de informaciones, el
docente se preocupa fuertemente por la calidad de su mensaje, y entonces los medios a los que
recurre tenderán por ejemplo a cuidar particularmente el lenguaje, a brindar explicaciones
claras, a presentar objetos matemáticos y sus aplicaciones con un orden bien definido. El
alumno ocupa un lugar más bien pasivo, de receptor, cuyas interacciones con el docente y los
medios son generales: escucha, copia, pregunta, colorea, aplica… el lugar del alumno es
ocupado por un actor que sigue las indicaciones del profesor.
Si bien esta descripción esquemática y reduccionista de una enseñanza “tradicional” se
considera superada -al menos en los discursos de los docentes de la escolaridad obligatoria y
de los formadores de docentes- la mayoría de ellos reconoce actualmente en ese esquema su
trayectoria como estudiante y/o profesor en los diferentes niveles del sistema educativo.
Concepciones actuales de la enseñanza, que se posicionan como constructivistas8 -en
el sentido que el alumno realiza un proceso activo, en interrelación con objetos materiales o
conceptuales, que escucha y es escuchado por otras personas- exigen otras responsabilidades a
los docentes y entonces la preparación de la clase, los medios para llevarla a cabo cambian, ya
no tienen las mismas características.
La enseñanza en la teoría de las situaciones es una actividad que reúne dos procesos:
uno de aculturación del alumno y otro de adaptación relativamente independiente (Brousseau
1999). El aprendizaje se concibe entonces como interacciones entre grupos de culturas
diferentes y también como una adaptación a un medio que es factor de contradicciones,
dificultades y desequilibrios. Los fenómenos de contacto entre culturas han sido estudiados
desde diferentes perspectivas: la antropología, la sociología, la psicología social. El proceso
de adaptación remite a influencias de la epistemología genética de Piaget y de sus aportes a la
psicología evolutiva, según el cual en el desarrollo del individuo se alternan dialécticamente
los procesos de asimilación y acomodación en la búsqueda de equilibrio para intentar el
control del medio9 (con el fin básico de sobrevivir). Cuando el medio del individuo se
modifica y no resulta inmediatamente interpretable con los esquemas que posee, entra en
crisis y busca encontrar la manera de recuperar su equilibrio. Según el modelo piagetiano, se
producen modificaciones en los esquemas cognitivos y se incorporan nuevas experiencias.
Análogamente, en el aula se trataría de organizar un medio que se resista a la interpretación
inmediata del alumno y que lo lleve a actuar, formular lenguajes y conceptos, cuestionar la
validez de lo que se produce, etc. Los conocimientos se manifiestan esencialmente como
instrumentos de control, de regulación de esas situaciones. (Brousseau, 1986)
Desde esta perspectiva del aprendizaje, se concibe al docente como el responsable de
organizar medios adecuados para que un actor en interacción con ellos, entre en relación con
los saberes culturales que la sociedad considera necesarios para sus miembros y para el
desarrollo personal del individuo. ¿Es la colección de objetos, problemas, textos, en suma los
recursos que provee el profesor lo que conforma el medio en la teoría de las situaciones?
Todo ello es parte del medio, ya que cuando el profesor decide anticipadamente los recursos
que utilizará para instalar y desarrollar un tema determinado en una clase, generalmente su
preocupación principal es qué proponer para que los alumnos hagan en relación a tal tema en
un tiempo relativamente preciso. Pero además, la noción de medio favorece el
cuestionamiento del objeto matemático a enseñar; recortarlo y vincularlo con otros saberes,
elaborar la consigna con la cual se planteará la actividad en la clase que explicitará de alguna
7
Brousseau (1996, 2007) propone un estudio de la distribución de responsabilidades entre un emisor y un
receptor.
8
El constructivismo, como perspectiva epistemológica y pedagógica podría ser objeto de varios libros. Para
profundizar sobre este tema, sugerimos algunos autores a consultar: Giambattista Vico (1668-1744), Jean Piaget,
Ernst von Glasersfeld, Lev Vygotsky, Paul Watzlawick, Jere Confrey, entre otros.
9
En biología, medio es el conjunto de circunstancias exteriores a un ser vivo.
5

6. manera las responsabilidades de alumnos y docente con respecto al objeto de estudio;
organizar la clase y administrar el tiempo en función del desarrollo de ese objeto; favorecer
ciertas interacciones de los alumnos; etc.
Hasta el momento hemos utilizado “medio” y “situación”, palabras clave en la teoría
de las situaciones didácticas, en sus acepciones corrientes:
“Medio (sustantivo): conjunto de circunstancias culturales, económicas y sociales en que vive una
persona o un grupo humano.”
“Situación (sustantivo): conjunto de factores y circunstancias que afectan a alguien o algo en un
determinado momento.” (Diccionario de la Real Academia Española, 22ª ed., 2001)
Utilizaremos estas acepciones del Diccionario hasta poder definir las nociones de
medio y situación y crear el significado que tienen en el marco de la teoría de las situaciones
didácticas. Ese será el tema del capítulo 1 de este volumen en el cual analizaremos, para
favorecer el estudio, dos ejemplos: uno referido a una situación de acción y otro a una
situación de comunicación.
En el capítulo 2 retomaremos la estructuración del medio ya presentada en español en
diferentes obras y a través del caso de la situación de comunicación examinaremos un posible
uso de tal noción.
El capítulo 3 tratará acerca del medio del profesor, esbozado en los capítulos previos.
Esta noción permite dar pistas acerca de la gestión de diferentes situaciones de enseñanza.
Finalmente, a modo de conclusión, algunas reflexiones abiertas a sugerencias de los
lectores, en torno a la utilidad para los docentes de estas herramientas teóricas.
6

7. Capítulo 1. Las nociones de medio y situación
Hemos visto en la Introducción cómo las concepciones de enseñanza, de aprendizaje y
las condiciones de escolaridad se vinculan para establecer el medio que el profesor organiza
en torno a un tema determinado.
¿Qué sabemos hasta ahora del medio?
- Existe de alguna manera en las situaciones de enseñanza, con funciones dispares que
van de un decorado más o menos pertinente al objeto de estudio hasta una organización de
condiciones que favorecen las interacciones del alumno con las “circunstancias exteriores”,
incluyan éstas objetos –materiales, problemas, tecnología- u otros actores.
- Según las características de las situaciones de enseñanza, a veces el alumno puede
relacionarse directamente con el medio y en otras esa interacción “pasa” por las indicaciones
o expectativas, explícitas o no, que el profesor se ocupa de instalar permanentemente.
- Desde perspectivas constructivistas, un “conjunto de circunstancias exteriores” a un
individuo se constituye en un medio cuando produce desequilibrios cognitivos. Por ello, en la
teoría de las situaciones se habla de “medio antagonista” concebido para producir una
confrontación con el alumno y que “resista” a sus primeras interacciones.
- Es exterior al individuo y en ese sentido, podemos afirmar que en una clase existen
medios para los alumnos y también para el docente. Si bien el profesor organiza “un medio”
para la clase, las interacciones que cada uno de los alumnos establece con ese medio son
diferentes, y por ello es posible hablar de medios10.
Veamos un breve ejemplo tomado de Brousseau (1995) donde se ilustran algunos de
los aspectos citados: las circunstancias exteriores a un individuo, en este caso un alumno, y las
interacciones que establece con ese medio. En una situación A, un alumno recita, en respuesta
a la solicitud de su profesora, la sucesión de números naturales hasta el 6. En una situación B,
un alumno coloca, en respuesta a la solicitud de su profesora, 6 fichas en una caja. En una
situación C, un alumno cuenta las 6 fichas de una caja solamente mirando para evaluar la
posibilidad de llevar una ficha a cada uno de los compañeros de su mesa. Estas situaciones
son diferentes aunque en todas aparezca de alguna manera el conteo; para cada una de ellas
los instrumentos de control, es decir los conocimientos en juego, también son diferentes. En
las dos primeras el actor responde con conocimientos numéricos a una demanda de la
profesora, en la última decide contar para resolver una actividad de distribución.
1.1. Recorrido por las nociones de medio y situación
La primera referencia de Brousseau a la noción de medio en la enseñanza de la
matemática la encontramos a comienzos de los setenta, en el artículo “Processus de
mathématisation. La mathématique à l‟école élémentaire” publicado en una revista de la
Asociación de Profesores de Matemática de la Enseñanza Pública (APMEP) donde desarrolla
las bases de la teoría de las situaciones.
“La pedagogía tiende a organizar las relaciones del niño con su medio de modo tal que utilice los
comportamientos adquiridos para crear comportamientos nuevos. 11” (1972; p. 428)
La palabra “medio” aparece en el sentido utilizado por Piaget al definir por ejemplo la
acción como una reequilibración de la conducta ante una modificación del medio. Además,
Brousseau aborda el aprendizaje vinculado a la enseñanza, como “comportamientos nuevos”
producidos en la relación del niño con el medio. Más tarde esa expresión devino en procesos
de “adaptación relativamente independiente”.
La cita no es específica de la enseñanza de la matemática, aunque el título del artículo
pone de relieve la especificidad del saber matemático en la modelización de la enseñanza.
10
La estructuración del medio nos permitirá distinguir diferentes posicionamientos de alumnos y profesor ante
una organización determinada.
11
Es nuestra la traducción de las referencias bibliográficas de las que no contamos ediciones en español.
7

8. Asimismo la referencia a “la pedagogía” da pistas de la evolución de la Didáctica de la
Matemática como campo de investigación. Tal denominación no existía, aunque había
antecedentes de trabajos producidos por matemáticos, psicólogos y pedagogos que daban
cuenta de la preocupación por estudiar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
La teoría de las situaciones surgió desde una perspectiva complementaria a estudios en
psicología cognitiva. Brousseau lo expresa de la siguiente manera:
“[Pierre] Gréco me impresionó por su habilidad para concebir dispositivos experimentales destinados
a poner en evidencia la originalidad del pensamiento matemático de los niños en las etapas de su
desarrollo. Sin embargo, me daba cuenta de que no entraban entre sus preocupaciones analizar los
dispositivos en sí mismos ni explicitar la relación entre éstos y la noción matemática cuya adquisición
estudiaba. Comencé a plantearme algunas preguntas: ¿En qué condiciones puede propiciarse que un
sujeto –cualquiera– tenga la necesidad de un conocimiento matemático determinado para tomar ciertas
decisiones? y ¿cómo explicar de antemano la razón por la cual lo haría? (…).
Los dispositivos piagetianos mostraron que los niños podían adaptarse desarrollando conocimientos
matemáticos que no habían sido enseñados.” (2007, pp.14-15)
Y con respecto a la construcción de la perspectiva didáctica, continúa:
“(…) son los comportamientos de los alumnos los que revelan el funcionamiento del medio,
considerado como un sistema. Lo que se necesita modelizar, pues, es el medio. Así, un problema o un
ejercicio no pueden considerarse como una simple reformulación de un saber, sino como un
dispositivo, como un medio que “responde al sujeto” siguiendo algunas reglas. ¿Qué juego debe jugar
el sujeto para necesitar un conocimiento determinado? ¿Qué aventura –sucesión de juegos- puede
llevarlo a concebirlo o a adoptarlo? (…) ¿Qué información, qué sanción pertinente debe recibir el
sujeto por parte del medio para orientar sus elecciones y comprometer tal conocimiento en lugar de tal
otro?”
Encontramos en estas citas al alumno y un medio organizado; para elaborar un
enfoque didáctico es imprescindible contar con un proyecto de difusión de conocimientos y
buscar cómo hacerlo posible. Brousseau postula que cada conocimiento o cada saber pueden
ser determinados por una situación que de alguna manera recrea las condiciones que
permitieron la emergencia de dicho conocimiento12. En la construcción de la matemática,
seguramente las condiciones que hicieron surgir los números fraccionarios y luego los
racionales por ejemplo, no fueron las mismas que las que dieron origen al Teorema de
Pitágoras. La Didáctica de la Matemática aparece como una epistemología experimental, ya
que propone realizar un estudio epistemológico del saber a enseñar para analizar las
condiciones que determinaron su origen y/o evolución. Las situaciones didácticas permiten
elaborar una génesis artificial que intente recuperar algunas de esas condiciones, de modo que
ese conocimiento o saber a enseñar sea la respuesta óptima para esa organización dada.
Desde esta perspectiva en la cual las situaciones se organizan en torno a un
conocimiento o saber matemático determinado, entendemos que la teoría de las situaciones
surgió fundamentalmente en clara diferenciación con los trabajos de Zoltan Dienes y sus
colaboradores desarrollada en la década del 60. Dichos trabajos se basan en un proceso
psicodinámico general y proponen un modelo de aprendizaje fundado en el reconocimiento
por parte del alumno de semejanzas en juegos estructurados organizados por el docente,
seguido de la esquematización y formalización a cargo del docente de las generalizaciones
que se espera haya realizado el alumno. Todo el proceso se plantea de manera independiente
de los conocimientos a enseñar.
A finales de los 80 se difunden trabajos que consolidan la teoría de las situaciones
didácticas y con ello las nociones de medio y situación son los instrumentos fundamentales
del modelo. (Brousseau 1986, 1986a, 1986b). En esos textos encontramos la necesidad teórica
de un medio para el alumno en términos de objetivos de la enseñanza a largo plazo: desde que
se establece la relación didáctica entre docente y alumnos se sabe que acabará en algún
momento, y al final de la enseñanza el alumno tendrá que enfrentarse a situaciones
desprovistas de intenciones didácticas. Para ello contará previsiblemente con los
conocimientos aprendidos que le darán la posibilidad de interpretar sus relaciones con esos
12
Esta es una de las cuestiones en debate que esbozaremos más adelante.
8

9. sistemas como nuevas situaciones, a las cuales podrá responder de manera apropiada. Aunque
en la enseñanza todas las situaciones son didácticas, ya que tienen por finalidad enseñar algo a
alguien, se busca que el conocimiento al que recurra o produzca el alumno se justifique por su
interacción con el medio, sin la indicación implícita o explícita del docente. Se las llama
situaciones a didácticas, y constituyen de alguna manera un sistema ideal. El medio es un
sistema autónomo, antagonista del sujeto. Fue también en 1986 cuando Brousseau propuso la
estructuración del medio como una herramienta de análisis.
Creemos necesario resaltar que la teoría es una modelización sobre los procesos de
transmisión de los saberes matemáticos, de las posibles interacciones del profesor y de los
alumnos comprometidos en una actividad matemática. No se trata de un prototipo ni una
descripción que prescribe cómo debe ser la enseñanza. Como afirma Sadovsky (2003) pensar
que algo puede darse de una manera, aún sabiendo que no es exactamente así, puede resultar
fértil cuando se trata de precisar las condiciones en que se da un proceso de producción de
conocimientos y saberes matemáticos en el aula. Desde este ángulo está claro que el modelo
no pretende explicar todo lo que sucede en una clase de matemática, pero sí es importante
distinguir qué cuestiones describe y explica y bajo qué condiciones son válidas esas
explicaciones.
El siguiente esquema puede ayudar a comprender cuáles son los elementos en juego en
una situación didáctica. Hasta ahora hablamos del “medio del alumno” o “medio para el
alumno” organizado por el profesor en torno a un conocimiento o saber determinado. Las
decisiones tomadas para diseñar ese medio tienen en cuenta el saber cultural y crean entonces
unas condiciones que favorecen la aculturación del alumno. En la relación didáctica también
el docente cuenta con su propio medio en tanto que circunstancias exteriores en el sentido
piagetiano13. Veremos el interés de estas consideraciones al analizar, más adelante, la gestión
de la clase por parte del docente.
P: profesor
A: alumno
A
M: medio del alumno
(A M): medio del profesor
P
M
1.2. Ejemplos de situaciones
El lector familiarizado con la teoría de las situaciones didácticas seguramente conoce
algunos ejemplos estudiados teóricamente, con la intención de producir situaciones a
didácticas, que se difundieron en español en diferentes materiales: la ampliación del
tangram14, para estudiar la proporcionalidad en un contexto geométrico; el grosor de las hojas
de papel, para introducir las fracciones como medida (Centeno, 1988, 120-126); la carrera a
20, para revisar la noción de división euclideana (Brousseau, 2007, 19-23); el peso de un
recipiente, para estudiar los procesos de medición a finales de la escolaridad primaria15; etc.
13
La teoría antropológica de lo didáctico postula niveles de co-determinación que ayudan a interpretar los
condicionamientos a los que está sujeto el docente. (Chevallard, 2002)
14
Hay varias versiones disponibles, entre ellas: http://www.scielo.org.ve/pdf/pdg/v29n2/art10.pdf;
http://www.mat.uson.mx/depto/diplomado/primaria/geometria/s1a7.doc
15
Disponible en http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/boletin10.htm
9

10. Algunas de ellas son modelizadas para que el conocimiento se adquiera mediante la
acción (situaciones de acción), otras para adquirir un lenguaje (situaciones de comunicación)
o una teoría (situaciones de validación)16. Presentamos ahora dos ejemplos conocidos como
“vasitos y pinceles” (Bartolomé y Fregona, 2003), para resolver un problema de distribución
con el recurso a los números naturales y “la comunicación de figuras”17, cuyo fin es la
reproducción de una colección de figuras en una tarea cooperativa. Estos ejemplos ilustran los
dos primeros tipos de situaciones; en el estudio ya mencionado de la carrera a 20, se
distinguen fases donde se incluye también el estudio de la validación en matemática.
1.2.1. “Vasitos y pinceles”: un problema de distribución
En los problemas de distribución se trata de anticipar la cantidad de objetos necesarios
para distribuir cierto número de ellos (1, 2, 3, 4...) a cierto número de destinatarios (puede
variar desde un número menor a 10 hasta por ejemplo 25 o 30). Se trata de recuperar el conteo
como conocimiento óptimo para controlar una situación que se resuelve con la pregunta
¿cuántos? Un aspecto del carácter antagonista del medio en esta situación es determinar qué
es lo que hay que contar para resolver el problema.
La distribución realmente no constituye un problema para los niños de 5 o 6 años
cuando el número de destinatarios es menor que 10 y, con los objetos disponibles, se trata de
entregar un objeto a cada uno de ellos. Empieza a constituirse en un problema si el número de
objetos por destinatario aumenta a 2, 3, 4, o 5 objetos, o el número de destinatarios es bastante
grande, digamos 25 o 30. O si los objetos a distribuir están dispuestos en grupos cuyo número
no coincide con lo que se da a cada destinatario: por ejemplo se deben distribuir galletitas, 3 a
cada destinatario pero el paquete contiene 4. En todos esos casos el medio se vuelve más
desafiante cuando el alumno no dispone de los objetos para hacer la distribución y debe
anticipar cuántos objetos necesitará. Esa es una decisión de quien organiza el medio:
claramente las interacciones y entonces los conocimientos en juego del alumno, no serán los
mismos si puede tomar por ejemplo una pila de hojas para distribuir una a cada niño de su
clase (supongamos 25) y devolver las que le sobran o buscar las que le faltaron, que anticipar
exactamente cuántas deberá ir a buscar para que todos tengan una hoja y no sobre ninguna.
En el análisis realizado por Quevedo (1986) y Brousseau (1992, 1994), una de las
decisiones a tomar para hacer que el conteo –y entonces el número natural- aparezca como
una estrategia óptima para resolver una actividad que esté al alcance de los niños de 5 o 6
años, es establecer en la consigna que se trata de buscar de una sola vez la cantidad necesaria
y suficiente de objetos.
Veamos las decisiones tomadas en una realización de la situación conocida como
“vasitos y pinceles”. En una sala de 5 o 6 años, la docente coloca en una mesa vasos para
contener pintura y en otra, bastante alejada de ella, coloca unos pinceles. La tarea es buscar de
una sola vez la cantidad necesaria y suficiente de pinceles para que cada vaso tenga un pincel.
Si el alumno no logra resolver el problema, tiene que recoger todos los pinceles y comenzar
otra vez18.
¿Cuáles son las condiciones creadas en el medio para el alumno? Responder a esta
cuestión implica realizar un trabajo teórico que generalmente lleva a cabo un investigador ya
que la naturaleza de esta tarea y la enseñanza no es la misma y los tiempos de cada una
16
Situaciones organizadas para asegurar, en una tarea cooperativa, la búsqueda de la verdad en los
conocimientos movilizados. Más tarde, en el desarrollo de la teoría, Brousseau introdujo las situaciones de
institucionalización como necesidad del profesor de tomar en cuenta “oficialmente” el objeto de aprendizaje.
17
Disponible en
http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/doc5.pdf
18
Si el alumno no tiene éxito en responder a la tarea en un primer intento, significa que efectivamente se le ha
planteado un problema. Si tiene éxito inmediatamente, la actividad resulta una aplicación de un conocimiento ya
utilizado. El éxito inmediato a esta tarea no es necesariamente una marca de aprendizaje, podría ser por ejemplo
debido al azar.
10

11. tampoco lo son. En la Escuela Michelet, donde se llevaban a cabo las lecciones
experimentales estudiadas por Brousseau y su equipo, los profesores participaban con los
investigadores en un trabajo cooperativo previo a la realización de la lección, durante el
desarrollo y en el análisis posterior a la enseñanza efectiva.
¿Qué decisiones se tomaron para crear el medio?
Para analizar las condiciones creadas en esta situación, puede ayudar pensar en
términos de variables didácticas, es decir buscar aquellas condiciones que pueden variar a
voluntad del docente y que según los valores que toman, modifican el conocimiento necesario
para resolver la situación.
En el ejemplo, ¿cómo se organiza la actividad? ¿Cuántos vasitos y cuántos pinceles
tienen que estar disponibles? ¿Cómo se comunica la tarea a los alumnos? ¿Por qué el alumno
daría la respuesta que esperamos? ¿Cómo sabe el alumno si su respuesta es correcta?
Veamos algunas respuestas a estas cuestiones, que ilustran aspectos de la organización
del medio para el ejemplo considerado:
- el profesor dispone dos mesas bastante alejadas entre sí y dos colecciones: una de
vasitos y otra de pinceles, que no tienen la misma cantidad de elementos. Las mesas están
relativamente distantes para evitar el uso de la percepción y la memoria en una configuración
que tiene pocos elementos, o recurrir a la correspondencia uno a uno. La distancia entre las
mesas es una de las variables didácticas y el profesor le ha dado el valor concreto de
“ubicarlas relativamente alejadas entre si”.
- la cantidad de vasitos también es una variable didáctica, hay que decidir que valor
concreto se le da. Los vasitos tienen que ser varios, como para no ser abarcados
perceptivamente, pero en una cantidad que no supere el rango numérico del conteo del que
dispone la clase. Supongamos que todos los niños saben contar hasta 20 (es decir pueden
determinar el cardinal de una colección hasta veinte elementos, aunque no necesariamente
saben escribir los números hasta ese rango), entonces una cantidad apropiada de vasitos puede
ser 18, y la de pinceles debe ser mayor.
- las reglas del juego, es decir la explicitación de los tipos de interacciones del alumno,
también forman parte del medio y pueden ser reguladas mediante variables didácticas. En este
caso se prevé que el alumno haga un único “viaje” para recoger los pinceles, es decir tiene
que ir a buscar los pinceles y traer la cantidad exacta. En caso de que sobren o falten pinceles
recoge todos los pinceles ya distribuidos en los vasitos, y vuelve a la mesa de los pinceles. De
este modo se intenta favorecer el uso del conteo ya que si hubiera posibilidad de reajustes
perceptivamente puede decidir cuántos buscar. Y si por el contrario, le sobran pinceles, no
necesita pensar en nada más que devolverlos a la mesa correspondiente19.
- ¿Puede el alumno recurrir a registros escritos? Esta es otra variable didáctica y el
profesor decide no poner a su disposición materiales que le permita escribir, ya que esto
podría favorecer ciertos procedimientos gráficos que harían desaparecer el conteo. Por
ejemplo dibujar los vasitos y buscar entonces de una sola vez la cantidad de pinceles
necesarios haciendo una correspondencia uno a uno.
- Los materiales ya dispuestos, el profesor formula la consigna para comunicar la tarea
al alumno:
“Tenemos acá vasitos para pinturas, uno de ustedes tendrá que ir a buscar pinceles y colocar uno en
cada vaso. Pero debe traer todos los pinceles de una vez y hacer que no sobren ni vasos sin pincel, ni
pinceles sin vaso. Si no lo consigue recoge todos los pinceles, vuelve al lugar en que están los pinceles
y lo intenta otra vez.”
19
Es necesario advertir que no cualquier modificación en el conjunto de condiciones creadas constituye una
variable didáctica. Así, si se toman dos colecciones, una de cucharas y otra de platos, y se conserva la
organización de “vasitos y pinceles”, esa variación no constituye una variable didáctica. Habrá comportamientos
diferentes relativos a la manipulación de los materiales, pero no implica la necesidad de hacer intervenir
conocimientos matemáticos diferentes para resolver la tarea.
11

12. - En las situaciones a didácticas se busca que la validación de la tarea esté en la
misma actividad, a través de la interacción del alumno con el medio. El hecho de colocar un
pincel en cada vasito y la exigencia de que no sobre ni falte ninguno, establece una
correspondencia uno a uno entre las dos colecciones. El alumno seguramente ya ha usado ese
conocimiento20 y entonces puede interpretar el estado del medio sin necesidad que sea el
docente quien determine si la resolución es correcta. Por ejemplo, si un alumno trae pinceles y
al distribuir uno en cada vasito descubre que tiene todavía 2 en sus manos, ¿qué información
le está brindando el medio con respecto a los cardinales de las colecciones? La asimilación de
esa nueva información constituye, en la teoría de las situaciones, una retroacción del medio
hacia el alumno.
El medio del profesor
Un alumno está en situación de acción ante toda la clase y es el profesor quien lo
designa para realizar la actividad. Si el primer alumno que se enfrenta con el problema lo
resuelve rápidamente seguramente la mayoría de la clase no habrá logrado involucrarse con la
situación. Resuelta o no inmediatamente, es conveniente que otros niños asuman la tarea con
una cantidad diferente de vasitos. La decisión de qué alumno se enfrenta públicamente al
problema es una variable de gestión, pero no es una variable didáctica en el sentido definido,
ya que puede modificar los tiempos de aprendizaje de algunos alumnos pero no altera el
conocimiento en juego.
Conviene dar varias oportunidades a un mismo alumno para que intente resolver la
actividad, además de lo que dijimos, que varios alumnos ocupen esa posición en el desarrollo
de una misma lección. El profesor administra el tiempo, está alerta para que se respeten las
reglas del juego, está atento a las interacciones de los alumnos con el medio y trata de
mantener un clima razonable de trabajo en el aula sobre todo con quienes están ávidos por
participar.
La actividad se puede plantear en varias lecciones, no necesariamente consecutivas.
No es necesario que todos los alumnos resuelvan el problema, el profesor recoge la
información que le permite decidir qué alumnos conviene seleccionar y cuándo se acaba el
juego en las condiciones especificadas21.
En algunas reiteraciones de la actividad, el profesor puede modificar el medio del
resolutor con un nuevo desafío: hacer “desaparecer” un vasito mientras el resolutor está
buscando los pinceles. Si no hay errores en el conteo, el alumno encontrará que le sobra un
pincel. Se espera que se sorprenda y reaccione diciendo: “¡Me hicieron trampa!” Esto
marcaría la confianza que tiene en su propio hacer y en el conocimiento en juego, sería una
señal positiva del control del alumno sobre la situación a través de su propio conocimiento.
Modificar la cantidad inicial de vasitos también está entre las responsabilidades del
docente, pero oportunamente puede delegarla en alguno de los alumnos y ampliar así la
participación de la clase.
¿Qué pasa en el aula con esta actividad?
Veamos lo que sucede en uno de los casos descritos (Brousseau, 1994). Un niño va y
busca un manojo de pinceles, empieza a distribuir un pincel en cada vaso y expresa: “Ah! Me
sobran tres”… percibe el fracaso en este intento. Recoge los pinceles mientras que los
20
En la enseñanza es bastante habitual recurrir a la correspondencia uno a uno para comparar dos colecciones de
objetos (materiales o dibujados) cuando los alumnos no disponen de un conocimiento sobre los números que les
permita decidir dónde hay más.
21
Modificando las variables didácticas es posible obtener otras situaciones que si bien se resuelven con el
conteo, hace intervenir conocimientos diferentes. Como ya lo mencionamos, anticipar de cuántos paquetes de 4
galletitas hay que disponer para distribuir 3 galletitas a cada destinatario.
12

13. compañeros le sugieren: “¡Contá, contá!”. El niño cuenta los vasos, va a la mesa de los pinceles
y toma un manojo, una cantidad al azar. Vuelve a distribuir los pinceles en cada vaso con el
mismo riesgo –no claramente percibido- de no resolver el problema: efectivamente, no
coincide. Recoge todos los pinceles y vuelve a la mesa correspondiente, sus compañeros le
sugieren: “¡Contá los pinceles!” Y así lo hace, pero luego vuelve a tomar un manojo… Aunque
en su medio aparece una información pertinente brindada por sus compañeros, el niño cuenta
primero todos los vasitos, luego todos los pinceles, pero esos conocimientos no le ayudan a
decidir cuántos pinceles debe llevar para resolver la tarea... El medio resiste a las
interacciones del alumno.
En distintos grupos se observó que cuando se proponía la actividad varias veces en el
transcurso de la misma lección, con diferente número de vasitos, los sucesivos resolutores se
encontraban con las mismas dificultades. Generalmente la respuesta correcta no es inmediata.
Aún cuando pueda encontrarse un grupo de alumnos con un rico bagaje de experiencias
numéricas, el conteo como conocimiento óptimo para resolver el problema es una
construcción laboriosa. Inicialmente los niños piensan que hay que ir a buscar pinceles, sin
hacer algo previamente. Toman y traen un manojo de pinceles y los empiezan a distribuir y
descubren que sobran o faltan (raramente, por azar, aciertan a la cantidad buscada); recogen
todo, dejan los pinceles sobre la mesa y empiezan otra vez.
El conteo forma parte del bagaje de conocimientos del niño y está disponible como
saber cultural, pero no en el uso que exige la actividad. Si fuese el docente quien indicara qué
es lo que hay que contar, seguramente el alumno daría la respuesta correcta pero no por su
propia iniciativa y ello cuestionaría el éxito en el aprendizaje.
1.2.2. El juego de comunicación de figuras
Este es un ejemplo de situación de comunicación y dado que lo usaremos también en
el capítulo 2 para ilustrar la estructuración del medio, la presentación será un poco diferente
con respecto al ejemplo anterior. Haremos una descripción breve de la situación, a
continuación mostraremos la planificación de la primera actividad (el juego de comunicación
de figuras), luego un análisis de las decisiones tomadas en relación al medio y las
interacciones previstas de los alumnos y finalmente una caracterización del medio del
profesor.
Breve descripción de la situación
La actividad se inicia con un juego de comunicación: cada equipo de cuatro
integrantes, se divide en dos grupos de dos alumnos, que cumplirán la tarea de emisores y
receptores alternativamente. El grupo de los emisores posee figuras recortadas en cartón y
debe obtener que sus compañeros receptores construyan una figura que se superponga al
modelo. Para esto, los emisores deben enviar datos a través de un mensaje escrito, sin dibujos
ni croquis. La validación se hace por superposición de la copia con el modelo.
El proyecto didáctico así iniciado es más amplio, ya que el conocimiento a enseñar
incluye un repertorio funcional –a nivel de la acción, en relación a la construcción de las
figuras y a nivel de la formulación para determinar cuáles son los datos y el vocabulario
correspondiente- para resolver problemas en un espacio del tamaño de una hoja de papel.
Cuando el juego de comunicación de la primera clase acaba, cada equipo estuvo confrontado
a tres o cuatro figuras diferentes y el profesor se encuentra con unos veinte mensajes e igual
número de reproducciones de las figuras, algunas de ellas que se superponen con el modelo y
otras no. Y eso por diversas razones.
Cada equipo aprendió diferentes cosas, y los alumnos no pueden distinguir cuáles son
los conocimientos nuevos.
13

14. La secuencia de actividades se hizo durante mucho tiempo en la Escuela Michelet con
alumnos de 5º grado, con variantes más o menos importantes, y fue parcialmente analizada en
diferentes producciones realizadas en el marco de la teoría de las situaciones didácticas. Un
estudio de la situación fue emprendido por Fregona (1995), y precisamente el diseño de la
actividad que presentamos a continuación22 es el resultado de un trabajo cooperativo con
Denise Greslard, profesora del establecimiento.
Planificación de la primera actividad: un juego de comunicación
Material:
- figuras geométricas recortadas en papel canson (con una cara coloreada) cuyos
tamaños se dan entre paréntesis: un triángulo equilátero (15,8 cm), un triángulo rectángulo
(18,8 cm, 15,4 cm y 10,7 cm), un triángulo obtusángulo (9cm, 19 cm y 15,6 cm), un triángulo
acutángulo (16,8 cm, 13,2 cm y 13,7 cm), un triángulo isósceles (12,5 cm de base y 15,6 cm),
un círculo (8,5 cm de radio), un cuadrado (18,2 cm), un rectángulo (19,5 cm y 11,6 cm) y un
rombo (diagonales: 17 cm y 32 cm).
- cada grupo de alumnos dispone de reglas, compases, escuadras hechas por plegado
de una hoja, tijeras, papel blanco (ni rayado ni cuadriculado).
Objetivos:
- Crear las condiciones para confrontar en diferentes dominios -formulación,
comunicación, construcción- los conocimientos de los alumnos sobre algunas figuras de
geometría elemental.
- Hacer explícito el vocabulario utilizado en la descripción de esas figuras.
- Poner en funcionamiento técnicas de construcción de figuras.
Descripción:
- Organización de la clase: los alumnos se dividen en 7 equipos: A, B, C, D, E, F, G.
Cada equipo comprende dos grupos: emisor y receptor, sucesivamente (o simultáneamente23).
Los grupos que constituyen cada equipo están separados por una cortina.
- Consigna: "Vamos a hacer un juego de comunicación. Los emisores se van a separar
de los receptores por medio de una cortina. Los emisores tendrán una figura de cartón.
Deberán transmitir a los receptores un mensaje escrito, sin dibujos, que deberá permitir a los
receptores hacer una figura que se superponga con el modelo que ellos tienen. El equipo gana
un punto cuando los receptores realicen, a partir del mensaje, una figura que se superponga
con el modelo. Luego pueden jugar con una nueva figura. Para ganar tiempo, al comienzo
todos van a ser emisores y luego todos receptores. "
- Desarrollo: cada grupo tiene una figura. Los emisores redactan los mensajes. A
medida que los mensajes están listos, el docente (como un cartero) los lleva a los
correspondientes receptores quienes tienen la tarea de construir la figura. Terminada esa tarea,
recortan la figura y se reúne el equipo para superponer la reproducción con el modelo en
presencia del profesor. Acuerdan si el resultado es correcto, el docente indica sobre cada
mensaje enviado "E" (éxito) o "F" (fracaso) y da un tiempo breve al equipo para que
intercambie opiniones acerca del trabajo realizado. Luego entrega una nueva figura.
Minutos antes de terminar la clase, en una fase de síntesis colectiva, los alumnos y el
maestro verifican juntos por superposición cada reproducción con el modelo correspondiente.
El docente hace una tabla con el puntaje por equipo y registra las figuras que fueron
construidas correctamente y las que plantearon problemas.
Advertencias:
22
Hemos conservado en este texto el formato habitual de la planificación de lecciones de la Escuela Michelet.
23
En las primeras realizaciones de esta actividad, los grupos de emisores trabajaban en la formulación mientras
los receptores esperaban recibir el mensaje correspondiente. Luego, con la intención de dar tarea a todos los
grupos al mismo tiempo, surgió esta variante. Oportunamente señalaremos algunas consecuencias de esta
modificación, tanto a nivel de interacción de los alumnos con el medio como en la gestión por parte del profesor.
14

15. - El docente intentará no formular un criterio sobre la precisión exigida en la
superposición de las figuras. Intervendrá solamente si no hay acuerdo entre los alumnos.
- La distribución de figuras debe hacerse según los conocimientos disponibles de los
alumnos. Se prevén mayores dificultades para el rombo -y llegado el caso un paralelogramo
cualquiera, un trapecio o un polígono de mayor número de lados. Si cada grupo trabaja con
más de una figura, sería conveniente no dar dos figuras del mismo tipo al mismo grupo.
- Aunque el docente pueda llevar el mensaje a los emisores cuando los receptores
tienen necesidad de datos suplementarios, conviene que no lo explicite en la consigna inicial
para evitar que la comunicación se convierta en una actividad para "dar trabajo" al cartero.
Por el contrario, si el docente se da cuenta que un grupo de receptores está bloqueado debido
a ambigüedades en el vocabulario o falta de precisiones, puede sugerir que formule preguntas.
- Si todos los alumnos son emisores al mismo tiempo, el docente debe estar muy
atento a lo que pasa en cada grupo, en particular en el momento de llevar los mensajes -si
necesitan reformulaciones- para evitar la superposición de tareas. Puede ser complicado para
un grupo asumir simultáneamente el rol de emisor –al revisar el mensaje escrito y formular
aclaraciones- y de receptor –al tratar de interpretar el mensaje recibido.
- Cuando el docente muestra a los alumnos una figura, debe evitar "fijar" una posición
en el espacio (por ejemplo el rombo con la diagonal mayor vertical) para no reforzar las
concepciones previas de los niños.
¿Qué decisiones se tomaron para crear el medio?
La situación prevé que los conocimientos de los alumnos sobre las figuras les permitan
abordar el problema, pero al mismo tiempo que el medio sea suficientemente antagonista
como para generar conocimientos nuevos. Para los alumnos el desafío está en producir una
dialéctica de la comunicación en la cual la elaboración de un código (qué datos hay que dar y
cómo se explicitan para determinar una figura dada) y la confrontación con la acción
(interpretación del mensaje y la construcción correspondiente) constituyan idas y vueltas
fundamentales para resolver el problema. Para el docente, esas decisiones que toman los
alumnos sobre las figuras (acciones para tomar datos, para construir; formulaciones) son las
que favorecen el uso y descubrimiento de conocimientos que dan sentido al objeto de
enseñanza.
Las decisiones relativas a las figuras, los materiales disponibles, la organización de la
clase, nos permiten identificar algunas variables didácticas.
Con respecto a la colección de figuras planas:
- las figuras elegidas están en relación con los objetos matemáticos que desea enseñar.
La decisión incluye figuras que han aparecido reiteradamente en los grados previos (cuadrado,
rectángulo, triángulo equilátero, círculo) y también figuras poco conocidas, como rombo,
paralelogramo, pentágonos irregulares, etc. Esas figuras son buenas candidatas para integrar
la colección ya que no están determinadas solamente por la medida de sus lados.
- los ejemplares de cada figura están recortados, para evitar el efecto de la posición del
dibujo con respecto a los bordes de la hoja24.
- el material en el que están hechas: se elige un papel que permita distinguir frente de
reverso. Esta decisión se toma para que los alumnos puedan reconocer por superposición la
figura independientemente de los giros o inversiones que se le efectúen. Además el papel es
resistente al plegado, la intención es no favorecer el estudio de las figuras a través de sus ejes
de simetría25.
24
Por ejemplo en los libros de texto, y en las prácticas de enseñanza, generalmente un lado de un triángulo es
paralelo al borde inferior de la hoja o del pizarrón respectivamente. Y ese lado, se convierte en la base del
triángulo.
25
La clasificación de cuadriláteros, como saber escolarizado, se realiza considerando propiedades de lados y
ángulos. En caso de querer clasificarlos según sus ejes de simetría, el soporte debería favorecer esa búsqueda.
15

16. - las medidas de los lados son bastante grandes en relación al tamaño de una hoja A4,
para hacer más evidentes los errores que se puedan producir al trazar ángulos interiores,
perpendiculares, etc. Eventualmente presentan un desafío los segmentos mayores a 20 cm, sea
para medirlos como para construirlos ya que esa es la longitud de la regla generalmente
disponible en las clases.
Con respecto a los materiales de que disponen los alumnos:
- la elección de los instrumentos de geometría (reglas, compases, escuadras hechas por
plegado de una hoja) determina la interacción tanto en la redacción de los mensajes como en
la construcción de las figuras reproducidas. Por ejemplo, la inclusión de una regla no
graduada exigiría a los alumnos conocimientos diferentes.
- el papel es blanco, ni cuadriculado ni con líneas paralelas 26. La interrelación entre las
construcciones geométricas y las propiedades de las figuras es parte de los objetivos de
aprendizaje. Fundamentalmente el grupo receptor pone a prueba el repertorio de técnicas de
construcción: medir y trazar un segmento de una longitud determinada, trazar una recta
perpendicular a otra por un punto, trazar una paralela a una recta por un punto dado,
determinar un ángulo, etc.
- la consigna prohíbe explícitamente dibujos o el calcado de la figura en los mensajes,
ya que se busca que los alumnos expliciten el vocabulario que les permite describirla. Si los
emisores disponen del vocabulario corriente en matemática y lo usan de modo pertinente (por
ejemplo: rombo, triángulo rectángulo, diagonal, vértice, etc.) hay que ver si sus compañeros
de equipo, los receptores, les dan el mismo sentido. Tal vez en esta primera actividad esas
negociaciones de significado se den en el interior del equipo, pero en la secuencia de las
lecciones ese proceso se pondrá en evidencia y se hará público para toda la clase.
Con respecto a la organización de la clase:
- la organización de la clase es por equipos, divididos en dos grupos que se
desempeñan alternadamente como emisores y receptores. Se decide proponer un trabajo
cooperativo a los alumnos: es el equipo el que gana un punto si la reproducción se superpone
razonablemente con el modelo. Al interior de cada equipo, los emisores no compiten con los
receptores.
- los grupos están separados por una cortina -o cierta distancia- y el profesor actúa
como cartero para evitar intercambios suplementarios de información como puede ser la que
se obtiene viendo el modelo o la reproducción. Esta ayuda perceptiva podría reorientar el
trabajo sobre el mensaje y recuperar de alguna manera los conocimientos que los alumnos
tienen en base a experiencias anteriores, pero no es lo que se está buscando en esta fase de la
actividad.
- el tiempo destinado a que se encuentren emisores y receptores de un equipo después
de trabajar sobre una figura puede ser muy valioso si los alumnos lo aprovechan para acordar
vocabulario, técnicas de construcción, etc. El profesor no da mayores precisiones, solamente
propone que hablen sobre lo que acaban de hacer; es responsabilidad de los alumnos indagar
sobre las dificultades encontradas y buscar modos de superarlas.
El medio del profesor
En caso de que el lector sea un docente, ya puede imaginarse algunas de las
condiciones que presenta el medio del profesor.
Antes de la lección:
Tomar decisiones en relación a la colección de figuras, los materiales que tendrán a su
disposición los alumnos, cómo organizar los equipos y los grupos al interior de cada uno de
ellos, qué figuras dar inicialmente a cada equipo y cuáles serán las sucesivas, qué márgenes de
26
En el papel rayado hay un soporte de información adicional: líneas paralelas, ángulos rectos, etc.
16

17. error será aceptado y cómo negociarlo públicamente, cómo intervenir si algún grupo en lugar
de emisor o receptor está bloqueado en relación a los objetivos que se propone la actividad.
Durante el desarrollo de la lección:
- el profesor interactúa con los alumnos alentándolos a trabajar, a respetar las reglas de
la actividad, a llevar los mensajes producidos al interior del equipo, pero no da información
sobre los conocimientos que quiere ver aparecer.
- en la consigna no se indica el margen de error permitido, porque el desafío no está en
la precisión de la construcción sino en las diferentes dialécticas que plantea el juego:
formulación al interior del grupo emisor y eventualmente ante el pedido de aclaraciones,
interpretación de los receptores, comunicación-acción en la construcción, construcción-
validación en la superposición.
- acompaña al equipo en la superposición de la reproducción con el modelo, no como
poseedor de la palabra justa, sino para favorecer la continuidad del proceso de enseñanza.
- después de la primera figura obtenida, haya sido exitosa o no, sugiere al equipo que
destine un momento para tratar de acordar sobre aspectos que crean oportunos antes de iniciar
un nuevo juego con otra figura.
Cuando se distinguen los tiempos de producción de los emisores y de los receptores, el
profesor intenta mantener un razonable ambiente de trabajo en la clase. Cuando todos los
grupos funcionan como emisores, es complicado gestionar la multiplicidad de actividades
diferentes en las cuales está inmersa la clase y a la vez informarse de lo que sucede en cada
grupo en las respectivas tareas. Es posible que simultáneamente, los emisores formulen y
otros como receptores también formulen al pedir precisiones, otros construyen la figura según
la descripción recibida, hay equipos que validan su actividad por superposición con el modelo
mientras otros equipos tratan de concertar.
Al finalizar la lección:
- el profesor se encuentra con una colección de mensajes y figuras reproducidas,
equipos que han tenido éxito en algunas de las tareas y otros que fracasaron por dificultades
en la formulación o interpretación de los mensajes, o por problemas en la medición o en la
construcción.
La secuencia de lecciones prevé estudiar cada una de las figuras en particular, ¿qué
hacer con esas producciones a partir de la segunda lección? El profesor reflexiona: ¿qué se
puede hacer después de esta lección que no se podía hacer antes? ¿Qué observé como hecho
notable que puede ser una referencia para toda la clase? La secuencia de lecciones prevé que
cada una de las figuras sea objeto de enseñanza para toda la clase: a partir de la segunda
lección, ¿qué retomar de las producciones de la primera actividad?
- ¿Qué implica el éxito en la primera actividad en términos de conocimientos de los
alumnos? Como lo expresa la consigna, el equipo gana cuando obtiene una figura que se
superpone con el modelo. ¿Pero esto se debe a un buen mensaje? Ese calificativo "bueno",
¿tiene la misma significación para el docente que para el alumno? La calificación de "bueno",
¿se mantiene estable durante todo el desarrollo de la secuencia?
¿Qué pasa en el aula con esta actividad?
El juego de comunicación fue realizado en la Escuela Michelet en numerosas
oportunidades, con diversas colecciones de figuras planas. En cada realización los mensajes
eran diferentes y los problemas que se planteaban también: reiteradamente el profesor se
encontraba ante el desafío de decidir cómo seguir con la secuencia ya que su medio tenía
condiciones que le oponían resistencia (un medio claramente antagonista para el profesor).
Las interacciones de los alumnos con el medio son diferentes según la posición. Los
emisores confrontan con el medio en el dominio de la formulación (y eventualmente de la
acción ya que se observaron grupos que intentan construir una figura con su propio mensaje).
Los receptores interpretan el mensaje e interactúan con sus materiales para trazar la
17

18. reproducción: las técnicas de construcción de una figura determinada están en el centro de la
tarea.
Veamos algunos ejemplos de mensajes propuestos por alumnos de quinto grado a
partir de las figuras descritas en la planificación, a los cuales entre paréntesis agregamos el
resultado de la superposición, entre el modelo y la reproducción.
Mensaje 1: Largo 19 cm 3 mm Ancho 11 cm 6 mm (Éxito)
Mensaje 2: Hay tres puntas. La línea más grande mide 12 cm, la mediana mide 9 cm y 6 mm y la más
chica mide 5 cm 5 mm. (Éxito)
Mensaje 3: Nuestra figura tiene tres lados. Esta figura tiene más o menos la forma de un triángulo.
El lado más grande mide 19 cm y 1 mm. Lo trazan horizontalmente. Luego trazan una línea de 15 cm y
6 mm que se una a la otra línea. (La trazan ligeramente hacia abajo). El agujero que queda, lo
terminan con una línea que una las otras dos líneas. (Fracaso)
Mensaje 427: Es un triángulo. Su lado más grande mide 18 cm 8 mm. Su lado más chico mide 10 cm
8 mm y el último lado mide 15 cm 4 mm.
P.: ¿Si el lado más grande está abajo, el más chico está a la derecha o a la izquierda?
R.: Eso depende de qué lado uno lo ponga.
P.: ¿Cómo es eso "lo", el más chico o el más grande?
R.: Eh..., la figura.
P.: Encontramos el triángulo. (Éxito)
Mensaje 5: Es un triángulo, mide 15 cm 8 mm en todos sus lados.
P.: La línea de abajo mide 15,8 cm y la línea de la derecha 15,8 pero la línea de la izquierda mide 13
cm.
R.: Se equivocaron. (Éxito)
Mensaje 6: Rombo (4 lados), la misma medida de los 4 lados: 18 cm y 2 mm. De ancho 17 cm (de
izquierda a derecha). De largo (de abajo hacia arriba) 32 cm 2 mm.
P.: ¿Qué es un rombo? ¿Un rectángulo o un cuadrado?
R.: Ni uno ni otro.
P.: ¿Entonces qué es?
R.: Hagan una línea vertical y una línea horizontal que se crucen (una cruz) y unan con líneas de 18 cm
2 mm.
P.: Esto no puede tener la misma medida de los 4 lados porque las medidas son diferentes.
R.: Hagan una línea vertical de 32 cm 2 mm. Una línea horizontal de 17 cm. Luego unan normalmente
con líneas de 18 cm 2 mm. (Fracaso)
Mensaje 7: Es un redondel que tiene 17 cm de largo y de ancho. (Éxito)
Mensaje 8 A: Es un rectángulo inclinado cuyos lados miden 6 cm y 2,5 cm.
Mensaje 8 B: Trazar una línea de 6 cm de largo cuyo extremo izquierdo se llama A y el extremo
derecho se llama B. A dos centímetros del punto A trazar una línea vertical de 1,3 cm cuyo extremo se
llama C. Del punto B trazar una línea vertical de 1,3 cm de altura que se llamará D. Trazar una línea
de 6 cm que une el extremo C y el extremo D. Debe pasar la línea D. Se llamará E. Unir la línea E a la
línea B y C a la línea A. (Éxito)
Estos mensajes obtenidos en la primera actividad de la situación de comunicación y
las respectivas interacciones de los alumnos y el profesor, serán objeto de análisis en los
capítulos siguientes.
1.3. Más allá del análisis realizado
El desarrollo de las nociones de medio y situación, ilustrados anteriormente con dos
ejemplos que corresponden a situaciones de acción y de comunicación, nos permite avanzar
en la interpretación de algunos aspectos de la enseñanza de la matemática. En esta sección y
sin que el orden establezca prioridades, profundizaremos en elementos que corresponden a
27
“P.” y “R.” denotan, respectivamente, las preguntas de los receptores y las respuestas de los emisores.
18

19. diferentes niveles de análisis: un esquema que pone de relieve diferentes interacciones en una
situación de acción, un primer análisis de los mensajes obtenidos en la situación de
comunicación, un cuestionamiento acerca de la relación entre respuestas esperadas (más o
menos inmediatas) por parte de los alumnos y el éxito del aprendizaje, la existencia
simultánea de medios durante una actividad y la necesidad de re-pensar los saberes
escolarizados.
- Un posible esquema para una situación de acción
La actividad de los “vasitos y pinceles” corresponde a una situación de acción: el
alumno toma decisiones y el medio reacciona “mostrando”28 cuándo la cantidad de pinceles
buscada es correcta. La interacción del alumno con el medio es en términos de intercambios
de informaciones sin necesidad de usar un lenguaje. El alumno puede equivocarse, se le da la
oportunidad de jugar otra vez, comenzará a desarrollar nuevas estrategias, tal vez algunas
sugeridas por sus compañeros. Hay que tener en cuenta que los otros niños de la clase
integran el medio de quien actúa y a veces la información que suministran no es interpretada
por ese actor, entonces la información que le proporciona el medio no constituye una
retroalimentación para él. ¿Y si no hay sugerencias de los compañeros? El medio está
organizado para reaccionar con cierta regularidad para que el sujeto pueda llegar a vincular
algunas de esas informaciones con sus decisiones e inclusive a anticipar esas reacciones y
entonces tenerlas en cuenta en sus próximas decisiones. Los conocimientos permiten elaborar
y cambiar esas anticipaciones.
Presentamos un esquema de una situación de acción que enfatiza la interacción del
alumno con el medio:
Retroalimentación
Información
M
A
Acción
P
- Un primer análisis de los mensajes sobre las figuras
¿Qué “muestran” los mensajes y cómo contribuyen a plantear la secuencia de
actividades en el marco de una situación de comunicación? Vamos a avanzar en algunas
consideraciones teniendo en cuenta la figura descrita.
28
Las comillas advierten que el medio “muestra” sólo si el alumno tiene los conocimientos necesarios para
interpretar el resultado de sus decisiones. En este caso por ejemplo, al distribuir los pinceles uno en cada vasito,
quedan vasitos sin pinceles. Ante ese hecho, el alumno tiene que interpretar cuál es la relación entre los
cardinales de las dos colecciones.
19

20. Con respecto al rectángulo, el mensaje 1 fue exitoso para el equipo:
Largo 19 cm 3 mm Ancho 11 cm 6 mm
Para el profesor no es un buen mensaje: no determina una única figura, sin embargo el
conocimiento implícito del ángulo recto es de tal peso que lleva a la construcción de un
rectángulo que se superpone con el modelo. Consideramos que esta figura no es una buena
candidata para integrar el medio de alumnos que ya tienen ciertas experiencias con los
ángulos rectos en el espacio de una hoja A4.
Respecto a los triángulos,
. los emisores conocían el término “vértice”, lo escriben en el mensaje y luego dudan
porque no sabían si ese vocablo formaba parte del repertorio compartido con los emisores.
Para favorecer la cooperación en el equipo, utilizan “puntas”.
. cuando el triángulo no es equilátero, los alumnos tienen ciertas dificultades para
reconocerlos como pertenecientes a la clase de los triángulos. Por ello, en el mensaje 3
referido a un triángulo obtusángulo afirman que “tiene tres lados” y “tiene más o menos la
forma de un triángulo”;
. el mensaje 3 también muestra que tanto los emisores –en la producción del texto-
como los receptores –que no piden aclaraciones- consideran que con dar la medida de la
longitud de dos de sus lados es suficiente para determinar un triángulo. Actúan como si el
ángulo comprendido entre esos lados tuviera una medida estándar. El equipo del mensaje 5
descubrió la posibilidad de modificar ese ángulo, hecho fundamental para concebir diferentes
tipos de triángulos;
. el mensaje 4 pone de manifiesto las dificultades de los receptores, en este caso, para
determinar la figura independientemente de la posición. Es que, aún fijando un lado, ¿cuál de
los triángulos posibles es el que describe el mensaje?
El rombo provocó diálogos entre emisores y receptores y finalmente no pudieron
reproducirlo. Los emisores, luego de discutir entre ellos, formulan la siguiente descripción:
Rombo (4 lados), la misma medida de los 4 lados: 18 cm. y 2 mm. De ancho 17 cm. (de izquierda a
derecha). De largo (de abajo hacia arriba) 32 cm. 2 mm.
Los receptores no saben qué es un rombo e intentan aproximarse, a través de la
descripción recibida, a un cuadrado o a un rectángulo. El intercambio de informaciones es el
siguiente:
P.: ¿Qué es un rombo? ¿Un rectángulo o un cuadrado?
R.: Ni uno ni otro.
P.: ¿Entonces qué es?
R.: Hagan una línea vertical y una línea horizontal que se crucen (una cruz) y unan con líneas de 18 cm
2 mm.
P.: Esto no puede tener la misma medida de los 4 lados porque las medidas son diferentes.
R.: Hagan una línea vertical de 32 cm 2 mm. Una línea horizontal de 17 cm. Luego unan normalmente
con líneas de 18 cm 2 mm.
Para los receptores hay una contradicción: los cuatro lados tienen la misma medida y a
la vez el ancho y el largo son diferentes. Formulan la objeción, pero no pueden descubrir qué
20

21. sucede y comienzan una construcción haciendo “una cruz” con los segmentos dados pero que
no se cortan en sus respectivos puntos medios. El tiempo de búsqueda se acaba y el equipo no
logra reproducir la figura.
Respecto al círculo,
Es un redondel que tiene 17 cm de largo y de ancho
El vocabulario es muy básico y compartido por el equipo, de allí el éxito en la tarea de
construcción. Otra vez “ancho” y “largo” indican dos dimensiones tomadas en direcciones
privilegiadas –como denomina Piaget la horizontal y la vertical- y el recurso al compás
correctamente utilizado, determina la figura buscada.
El mensaje referido a un paralelogramo29, tiene dos versiones:
A: Es un rectángulo inclinado cuyos lados miden 6 cm y 2,5 cm.
Los emisores, después de escribir esta descripción intentaron confrontarla con la
acción y descubrieron que faltaban datos. Emprendieron entonces la segunda versión, donde
se relata un proceso de construcción con la designación de puntos clave para guiarla y el
trazado de varios segmentos para controlar la inclinación y el paralelismo.
B: Trazar una línea de 6 cm de largo cuyo extremo izquierdo se llama A y el extremo derecho se llama
B. A dos centímetros del punto A trazar una línea vertical de 1,3 cm cuyo extremo se llama C. Del
punto B trazar una línea vertical de 1,3 cm de altura que se llamará D. Trazar una línea de 6 cm que
une el extremo C y el extremo D. Debe pasar la línea D. Se llamará E. Unir la línea E a la línea B y C
a la línea A. (Éxito)
Un conocimiento que hubiese contribuido a obtener una respuesta más económica es
el de ángulo interior, pero si bien para alumnos de quinto grado la noción de ángulo es parte
de un conocimiento cultural, no está disponible, no es funcional para la resolución de un
problema. Tampoco estuvo disponible la diagonal del paralelogramo.
Conviene recordar que la secuencia de actividades sobre la situación de comunicación
de figuras prevé la construcción de conocimientos geométricos que llevarán a la descripción y
reproducción de una figura a través de un mensaje mínimo30.
- Relaciones entre respuestas esperadas y aprendizajes
En diversas instancias de trabajo con docentes, hemos analizado los mensajes
obtenidos y algunos profesores plantean por qué no se enseña previamente qué es cada figura,
cómo se llama, cuáles son sus elementos y propiedades, etc. para que todos los equipos
utilicen el vocabulario técnico correspondiente, obtengan las reproducciones de las figuras sin
tanteos, etc.
Las descripciones realizadas en los mensajes dan cuenta de conocimientos disponibles
en algún grupo de alumnos, pero que no lo están para toda la clase. Precisamente se trata de
crear condiciones para que los alumnos confronten sus repertorios a nivel de lenguaje y
construcción de figuras, y descubran los elementos y las propiedades que permiten determinar
29
Esta descripción fue tomada de una realización previa del juego donde en la colección se incluía un
paralelogramo de tamaño pequeño en relación a la hoja A4.
30
Esa condición es relativa, depende de los conocimientos de los alumnos.
21

22. una figura. Una situación de comunicación precisamente tiene por finalidad exigir a un sujeto
formular un mensaje a otro sujeto para cooperar en el control de un medio que no es
exactamente el mismo para ambos.
Uno de los elementos que plantea dificultades es la noción de ángulo interior de una
figura. Ya hemos visto que en el rectángulo, el ángulo recto es tratado implícitamente tanto
por los emisores como por los receptores. Y también vimos en el tratamiento de los
triángulos, que para algunos alumnos no es posible concebir la variación de un ángulo
comprendido entre dos de sus lados. En el paralelogramo se recurre a ángulos rectos como
auxiliares para controlar la inclinación y trazar lados opuestos paralelos.
El juego de comunicación de figuras, como todas las actividades de la secuencia, se
desarrolla en el espacio de una hoja de papel A4 y eventualmente en una A3, es decir en el
microespacio. Los conocimientos que permiten controlar las decisiones en ese ámbito, no son
los mismos cuando se amplía el espacio por ejemplo y se trata de construir un rectángulo en
un pasillo de la escuela o en el patio (por supuesto, sin seguir las líneas de un cubrimiento
rectangular)31.
Para que el alumno trate de controlar una situación con sus propios conocimientos, el
profesor busca crear una situación apropiada. Para que sea una situación de aprendizaje, es
necesario que la respuesta inicial del alumno no sea precisamente lo que se quiere enseñar: si
ya había que poseer el conocimiento a enseñar para poder responder a la cuestión, entonces no
estaríamos ante una situación de aprendizaje. La respuesta inicial debe permitir al alumno
poner en marcha una estrategia de base fundada en sus conocimientos anteriores; pero
rápidamente esa estrategia debería revelarse suficientemente ineficaz para que esté obligado a
hacer acomodaciones al medio, en el sentido piagetiano, es decir a modificar su sistema de
conocimientos para responder a la situación propuesta.
Generalmente el alumno se sorprende por no lograr resolver la cuestión en el primer
intento: “¡Ah! Yo creía que era así…” Se trata de acompañarlo, entusiasmarlo para que siga
buscando otras posibilidades, pero sin aportar información que cambie el sentido de sus
respuestas y por tanto de los conocimientos en juego, para mantener el carácter a didáctico de
la situación.
- Medios durante una actividad
El juego de comunicación de figuras, como su nombre lo indica, responde a una
situación de comunicación. Si bien el medio es único para toda la clase, está claro que hay
diferentes interacciones previstas según el grupo esté en posición de emisor o de receptor.
Volveremos sobre estas cuestiones al tratar la estructuración del medio. Dejamos al lector la
tarea de diseñar un esquema, en base al de la situación de acción, para bosquejar las
interacciones entre los subsistemas de la situación: el alumno (emisor y receptor), medios del
alumno y del profesor.
Las situaciones didácticas se clasifican en tipos de acuerdo al modelo de interacciones
posibles del alumno con su medio. Así, se distinguen las situaciones de acción, de
comunicación, de validación… y las interacciones que caracterizan a cada una de ellas, están
estrictamente incluidas porque un intercambio de juicios acerca de la verdad es un
intercambio de informaciones particulares, y éste es un tipo particular de acción y de toma de
decisiones.
- Re-pensar los saberes escolarizados
Si bien las situaciones modelizan un conocimiento o saber bien determinado, que por
razones de legitimidad forma parte del proyecto de una sociedad y entonces existe en la
31
Estas nociones fueron estudiadas por Gálvez (1985), Berthelot y Salin (1992), entre otros.
22

23. currícula vigente, es necesario tomar cierta distancia con respecto a la presentación o a las
tradiciones en las prácticas de enseñanza y permitirse cuestionar la organización,
secuenciación y temporalización del objeto en cuestión. La transposición didáctica teoriza que
cuando el objeto de saber ingresa a las currículas, el proceso de transformación del saber hace
tiempo que está iniciado y continúa hasta el saber efectivamente enseñado en el aula (saber
sabio, saber a enseñar, saber enseñado). Reconocer como fuente de legitimidad de los saberes
a enseñar los saberes matemáticos, implica romper la ilusión de transparencia con la que
aparecen, particularmente para un docente con cierta trayectoria profesional, los objetos a
enseñar.
Una profundización en el saber matemático en torno al cual se organiza un medio, da
la posibilidad de distinguir con mayor precisión cuál es el objeto de enseñanza, qué
condiciones favorecen su existencia y por tanto tomar decisiones productivas en las clases de
matemática.
1.4. Algunas cuestiones en debate
En la Didáctica de la Matemática, como en cualquier área de estudio e investigación,
se plantean nuevas problemáticas, nuevos enfoques, revisión de resultados obtenidos desde
determinadas perspectivas. En esta sección queremos dar a conocer algunos problemas
planteados al interior de la teoría de las situaciones didácticas que son objeto de debates en la
comunidad de producción de saberes en didáctica.
- Brousseau postula que cada conocimiento o cada saber puede ser determinado
por una situación que preserva su sentido. Y este es uno de los aspectos en debate: ¿es
posible diseñar una situación a didáctica, para cualquier saber matemático? Esta cuestión se
remonta a la década del 80. Vamos a retomar algunos aspectos del análisis de Sadovsky
(2003) realizado desde la perspectiva de la Didáctica de la Matemática.
En primer lugar, Brousseau “postula”, es decir recurre al vocabulario de la Matemática
para sentar las bases de su teoría. Si bien la sistematización de conocimientos de la Didáctica
de la Matemática no sigue las reglas de la matemática, en un sentido metafórico, da la
posibilidad de plantearse cuál es el dominio de validez de la teoría en cuestión.
Aunque Brousseau explicita “cada conocimiento o cada saber puede ser determinado
por una situación”, él mismo advierte que no cualquier situación a didáctica característica de
un conocimiento puede ser objeto de trabajo de un alumno y es tarea del docente procurarle
las que estén a su alcance. Al respecto, M.J. Perrin Glorian (1999) señala: “La identificación
abusiva entre situación a didáctica representativa de un saber y situación a didáctica que
permite un primer encuentro con ese saber, en una institución dada, me parece una causa de
malentendidos en el interior de la comunidad de investigadores en didáctica de la matemática,
inclusive en Francia, y una dificultad en la articulación de los diversos marcos teóricos.”
Como plantea Sadovsky, esas consideraciones, sin entrar en contradicción con la
teoría de las situaciones, llevan a pensar que para algunos conocimientos no sería factible (en
términos de enseñanza efectiva) concebir su entrada a la enseñanza por vía de situaciones a
didácticas. Así, recupera los aportes de A. Robert (1998) quien establece relaciones entre el
tipo de conocimiento al que se apunta y el tipo de escenario didáctico “adaptado” a esos
conocimientos. Esta investigadora plantea que es difícil “inicializar” una secuencia a través de
un “buen” problema que lleve a los alumnos “cerca” de los conocimientos a los que se apunta,
cuando existe una gran distancia entre lo viejo y lo nuevo. Más específicamente, ella señala
esta dificultad para introducir nociones generalizadoras, unificadoras y formalizadoras.
- En este volumen usamos las palabras conocimiento y saber sin definirlas, pero su
uso no fue arbitrario. La distinción entre ambos conceptos también genera discrepancias, al
23

24. interior de la comunidad de didactas franceses y en otras comunidades científicas32. Cuando el
alumno en interacción con el medio elabora respuestas, óptimas o no, no puede reconocer por
sí mismo si produjo un conocimiento nuevo, valioso, reutilizable en otras oportunidades. Para
que esas respuestas encuentren su referencia cultural y su lugar en la trama sistemática del
cuerpo de la matemática, necesita de la intervención del profesor. Existe una relación, pero
también una distancia, entre el conocimiento producto de la interacción con un medio
antagonista y el saber matemático:
“Los conocimientos son los medios transmisibles (por imitación, iniciación, comunicación, etc.),
aunque no necesariamente explicitables, de controlar una situación y obtener de ella determinado
resultado conforme a una expectativa y a una exigencia social. (…) El saber es el producto cultural de
una institución que tiene por objeto identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar
su comunicación (…).” (Brousseau y Centeno, 1991, 176)
- La relación entre la teoría de las situaciones y la teoría antropológica de lo
didáctico
La teoría antropológica de lo didáctico surge en los años 90 en las producciones de
Chevallard inicialmente, profundizada luego y ampliada por numerosos investigadores en el
campo de la Didáctica de la Matemática.
En octubre de 2005, celebrando los veinticinco años de la difusión por primera vez de
la teoría de la transposición didáctica se realizó en Baeza, España, el “I Congreso
Internacional sobre teoría antropológica de lo didáctico: sociedad, escuela y matemáticas.”
Uno de los frutos de ese encuentro es una obra que recoge las contribuciones de los
investigadores que participaron en el mismo33.
Hay investigadores posicionados en uno y otro dominio teórico, desde el cual valoran
la superioridad del enfoque adoptado. Con el transcurso del tiempo, la profundización de las
cuestiones ha llevado a algunos estudiosos a plantear la complementariedad de ambos
enfoques. ¿Cuáles son las nociones de las dos teorías que parecen próximas y pueden
considerarse como puntos de contacto? ¿Dónde se bifurcan los caminos? ¿Qué problemas
permite abordar una teoría y otra?
1.5. Retorno a las nociones de enseñanza y situación
La enseñanza, en el desarrollo de la teoría de las situaciones, tiene diferentes
acepciones que enfatizan distintos aspectos del proceso. Una la concibe como el proyecto
social de que un alumno se apropie de un saber constituido o en vía de constitución. Otra,
posterior, caracteriza también al aprendizaje y considera que la enseñanza es una actividad
que combina dos procesos: la aculturación y la adaptación independiente.
Entendemos que la segunda es más abarcativa ya que “el proyecto social” que podría
estar inicialmente vinculado a las currículas vigentes se abre a la perspectiva de la
aculturación en tanto fenómenos de contacto entre culturas –la del medio social al que
pertenece el alumno y la matemática- y entonces a una mirada antropológica. Desarrollamos
en este primer capítulo del texto algunos aspectos del proceso de “adaptación independiente”
–en el sentido de las situaciones adidácticas- al tratar la noción de medio y dimos además
abundantes referencias bibliográficas. Desde esta perspectiva fundada en la psicología
cognitiva, las situaciones son las herramientas que posee el profesor para crear un espacio de
producción y transformación de conocimientos, una situación es un modelo de interacción
entre un sujeto y un medio determinado, considerado éste como un subsistema34 autónomo,
antagonista del sujeto.
32
La difusión de producciones francesas en inglés genera problemas a los traductores, ya que en ese idioma el
verbo “to know” reúne ambas acepciones.
33
Véase Ruiz Higueras et al. (2007).
34
En el sentido que no puede concebirse de manera independiente de los otros componentes.
24

25. Al enfatizar en la enseñanza el proceso de interrelación entre culturas, la situación
didáctica se amplía y deviene “el entorno del alumno que incluye todo lo que coopera
específicamente en la componente matemática de su formación.” (Brousseau, 2007, pp. 49-
50)
Y esta caracterización que extiende el entorno didáctico a otros medios no
necesariamente organizados por el profesor en un entorno escolar, nos permite vincular la
teoría de las situaciones con otras corrientes teóricas:
- con la teoría antropológica de lo didáctico, donde como hemos dicho la Didáctica de
la Matemática se define como “el estudio de la matemática” y la enseñanza es uno de los modos
de acceso a la cultura matemática. En esta teoría se enfatiza que el estudio no vive encerrado
en el aula, hay procesos de estudio que se realizan fuera de ella y la escuela debe crear medios
para que los alumnos estudien y aprendan al salir de la escuela. Además, es importante
considerar que en la sociedad hay ámbitos en los cuales la gente estudia matemáticas:
empresas, laboratorios de investigación o de innovación tecnológica, departamentos
universitarios, etc. Espacios que exceden el tiempo de la escolaridad obligatoria y de la
enseñanza en instituciones didácticas.
- algunas producciones de Schoenfeld (1992) se refieren a una tendencia en
investigaciones que conciben el aprendizaje de la matemática como una actividad
inherentemente social (además de cognitiva) y como una actividad esencialmente constructiva
(en lugar de absorbente). Y destaca dos formas de asumir un punto de vista constructivista:
desde una esfera fundamentalmente cognitiva y más recientemente hacia una esfera social.
Schoenfeld cita a Resnick (1988): "Varias líneas de la teoría cognitiva y de la investigación
apuntan a que desarrollamos hábitos y destrezas de interpretación y construcción de
significado a través de un proceso que es más fructífero concebir como de socialización que
como instrucción".
La noción identificada como "aculturación" es central aquí en cuanto señala y resalta
la importancia de la perspectiva y del punto de vista como núcleos del conocimiento. Puede
argumentarse que una componente fundamental del pensar matemáticamente es tener un
punto de vista matemático, es decir ver el asunto como lo ven los matemáticos ya que lo que
estamos tratando es la entrada a la cultura matemática.
Schoenfeld señala que si bien la perspectiva cultural está antropológicamente bien
fundada (y cita a Geertz, 1983) su entrada a la investigación en Educación Matemática se
produce a fines de los 80. En esa perspectiva rescata las comunidades de práctica estudiadas
por Lave y Wenger (1989).
- la amplia perspectiva de la modelización en la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática en diferentes niveles de escolaridad, con modelos matemáticos “auténticos” o no,
desarrollada inicialmente por Blum, W. (1991), Blomhoej, M. (1991), Hoyles, C., Noss, R. &
Pozzi, S. (1999), entre otros.
Sin la intención de ser exhaustivos, mencionamos otros enfoques teóricos,
relativamente actuales en Educación Matemática, que tematizan las relaciones entre la
matemática y la sociedad. Así, la vinculación entre educación matemática y problemáticas
sociales son abordados desde el enfoque de la educación matemática crítica, desarrrollado por
Skovmose (1994) y otros. La etnomatemática, inicialmente elaborada por D‟Ambrosio
(1990), considera la diversidad cultural en el campo de la matemática.
25