Dossier

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LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA COMO DISCIPLINA CIENTIFICA
“Didáctica es el arte de enseñar”. Es una ciencia social que construye
teorías de enseñanza. Es una rama del conocimiento que estudia los procesos
de transmisión y adquisición de conocimientos, particularmente en situación escolar; se
propone describir y explicar los fenómenos relativos a la enseñanza y aprendizaje.
Michelle de Artigue, mantiene, dentro de la comunidad de investigadores que, la didáctica de
la matemática nació en Francia en los años 70, rompiendo las estructuras que quedan de las
reformas, que en esos tiempos estaban marcadas en una centralización exclusiva de los
contenidos y hacían grande la brecha entre “Saber la disciplina” y “saber enseñarla”; Desde el
punto de vista pedagógico reinaba la idea que era suficiente saber matemática para saber
enseñarla.
Artigue, sostiene que la matemática debe ser viva y fuertemente relacionada entre su
contenido y su enseñanza. Pone acento en el rol de la actividad del alumno, desarrollando
así una pedagogía de acción y descubrimiento.
Se ha ido destacando en los últimos años, principalmente en Francia, un grupo de
investigadores -donde sobresalen los nombres de Brousseau1, Chevallard2, Vergnaud3- que se
esfuerzan en realizar una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación
específicos en didáctica de la matemática. En junio de 1993 se celebró en París un coloquio
titulado “Veinte años de Didáctica de las Matemáticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau y
Gérard Vergnaud”. Podría también tomarse como referencia el año 1970 con la creación de los
primeros IREM: -Institutos para la Investigación de la Enseñanza de las Matemáticas- creados,
luego de la reforma educativa con la que se impuso la enseñanza de la “matemática moderna”,
conjuntamente con la publicación de los primeros artículos de Brousseau.
Este conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepción llamada por sus
autores "fundamental" de la didáctica, que presenta caracteres diferenciales respecto de otros
enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías
específicas de aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura
integradora.
Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico
original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de
enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones
epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las
interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.
1 Brousseau, Guy: doctor en Ciencias, Profesor de Didáctica de la Matemática en Bordeaux, Francia. Autor de la
conocida Teoría de las Situaciones Didácticas y de numerosos conceptos didácticos teóricos.
2 Chevallard, Yves: profesor en el Instituto Universitario de Formación de Profesores (IUFM) y de Investigación
Matemática en la Universidad de Aix Marseille, Francia. Es conocido internacionalmente por su teoría de la
transposición didáctica y últimamente por el fértil desarrollo de la Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD).
3 Vergnaud, Gerard: autor de la teoría de los campos conceptuales, cuyas nociones ejes son: campo conceptual,
esquema y competencia.
Es decir que, a la didáctica de la matemática, La concebimos como una disciplina en tanto
conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su
enseñanza.
En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para la enseñanza: Villella
(1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir
cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento,
complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de
búsqueda de la verdad.

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Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social. Teniendo en cuenta algunos
contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático.
DIDACTICA DE LA MATEMATICA: OBJETIVOS Y OBJETO DE DESTUDIO
OBJETIVO DE LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA
El objetivo fundamental de la didáctica de la matemática es el conocimiento de los fenómenos y
procesos relativos a la enseñanza de la matemática para controlarlos y optimizar el aprendizaje
de los alumnos y averiguar cómo funcionan esas situaciones didácticas, es decir, cuales
características de cada situación resultan determinantes para la evolución del comportamiento del
niño y en su consecuencia de sus conocimientos.
Antes de entrar a lo que Brousseau llama situación didáctica , se analizará otro concepto que
el introduce, el de “contrato didáctico”.
La relación profesor – alumno está subordinada a muchas reglas y convenciones, que
funcionan como si fuesen cláusulas de un contrato. Esas reglas casi nunca son explícitas, pero se
revelan especialmente cuando son transgredidas. El conjunto de todas esas reglas que norman la
relación profesor – alumno – saber, es lo que constituye el llamado “contrato didáctico”
Según Brousseau (1986):
Se llama contrato didáctico al conjunto de comportamientos del profesor que son
esperados por los alumnos y al conjunto de comportamientos de los alumnos que el
profesor espera de ellos...Ese contrato es el conjunto de reglas que determinan, una
pequeña parte explícitamente, pero sobre todo implícitamente, lo que cada socio de la
relación didáctica deberá hacer y, lo que de alguna manera deberá exigir al otro.La noción
de contrato didáctico supone la comprensión de la escuela como institución social responsable de
la transmisión del saber escolar y, por lo tanto, la idea de una tradición cultural que El profesor es
responsable de garantizar a cada alumno el acceso al saber escolar y por definir la forma de su
participación en el proceso de aprendizaje. A él le cabe proponer cuestiones accesibles a los
alumnos, tanto como, determinar los pasos en que reciben informaciones relevantes, dominan
conceptos y operaciones necesarias para las respuestas. El alumno debe responder a esas
directrices y determinaciones, resolviendo las tareas propuestas, ajustándose a los moldes de
comunicación social convenidos para las diferentes actividades escolares. Su acierto en la
resolución de una tarea es generalmente visto como el indicador de ganancia en su repertorio de
conocimientos. Él tiene también el derecho de errar, siempre que acepte las consecuencias
previstas para ese caso. ... Tanto el profesor como el alumno construyen una imagen recíproca
del papel que deben desempeñar, de los comportamientos deseables, de las expectativas de sus
respuestas y reacciones.
Ruptura y renegociación
El contrato didáctico se manifiesta principalmente cuando es transgredido por una de las dos
partes o socios de la relación didáctica. En muchos casos esta ruptura y renegociación es
necesaria para avanzar en el aprendizaje, por ejemplo, cuando el profesor quiere introducir un
nuevo concepto a través no de una clase expositiva (definición, propiedades, ejemplos,
ejercicios), sino partiendo de una situación problema, en que los alumnos resuelven cuestiones
trabajando individualmente o en parejas y, al final, el profesor hace con toda la clase un cierre,
revisando la institucionalización del concepto que se pretende construir. Los alumnos reciben la
ficha de la actividad y aguardan a que el profesor inicie el trabajo. Cuando él les dice que son
ellos los que deben trabajar, la primera reacción se ve a través de expresiones como: “no lo sé
hacer”, “¿cómo empieza?”, “la teoría no se nos ha dado”, “¿usted no va a explicar el enunciado?”,
“no entendí lo que hay que hacer”, y así por el estilo.

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Observamos que en esta práctica pedagógica el contrato del alumno se parece al contrato
de un investigador y que su ruptura es necesaria para avanzar en el aprendido. El contrato ya
previó una progresión del saber, proponiendo el examen de concepciones provisorias y,
relativamente buenas, reciclando unas y profundizando otras para formar las nuevas
concepciones. El error ya no es una falla que se debe evitar a cualquier precio. Él puede
contribuir a la construcción del conocimiento. Entretanto conviene notar que existen muchas
clases de errores y que no todos ellos son constructores de conocimiento.
OBJETO DE ESTUDIO DE LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA: Situaciones didácticas
El objeto de estudio de la Didáctica de la matemática es la situación didáctica y el
funcionamiento de la misma; la situación didáctica es una situación construida
intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los alumnos un saber determinado.
Brousseau (1982) la define como:
Un conjunto de relaciones establecidas explicita y/o implícitamente entre un alumno o un
grupo de alumnos, un cierto medio y un sistema educativo representado por el docente,
con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías
de constitución.
Toda situación didáctica es regida por un determinado tipo de contrato didáctico, o
sea un conjunto de obligaciones implícitas y explícitas relativas a un saber interpuesto
entre el profesor y los alumnos.
Teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau (1986)
Dentro de esta disciplina (la didáctica de la matemática de la escuela francesa) Guy
Brousseau desarrolla la teoría de las situaciones didácticas; se trata de una teoría de situaciones
de enseñanza que busca las condiciones para un origen artificial de los conocimientos
matemáticos bajo la hipótesis de que estos no se construyen de manera espontánea. Esto no
significa que sólo se interese analizar las situaciones de enseñanza exitosas. Incluso si una
situación didáctica fracasa en su propósito de enseñar algo, su análisis puede contribuir un aporte
a la didáctica si permite identificar los aspectos de la situación que resultaron determinantes de su
fracaso.
Siendo las situaciones didácticas el objeto de estudio de la didáctica de la matemática,
Brousseau ha clasificado las mismas entre situaciones que él produce, en cuatro tipos cuya
secuencia en los procesos didácticos que organiza es la siguiente:
1.-Las situaciones de Acción: se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico.
Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad; La situación
solo requiere la puesta en acto de conocimientos implícitos.
2.- Situación de formulación: cuyo objetivo es la comunicación de informaciones entre alumnos;
es el momento de adaptar el lenguaje que utilizan habitualmente al lenguaje simbólico o al
lenguaje matemático, precisando de esta manera lo que desean comunicar.
3.- Situación de validación: Es el momento de probar la validación de las afirmaciones o
contradicciones encontradas, no basta con la comprobación empírica o gráfica, hay que saber
fundamentar.
4.- Situación de institucionalización: está destinada a establecer convenciones que tienen por
finalidad establecer y dar un status oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de
la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc., que deben
ser retenidas para el trabajo posterior. Los alumnos reasumen los conocimientos elaborados por
ellos mismos en las situaciones de acción, formulación y validación.

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En un proceso de aprendizaje por adaptación, cuando los alumnos logran desarrollar una
estrategia que resuelve el problema, el conocimiento que subyace a este no se les revela como
un nuevo saber: si pudieron resolver el problema, es, para ellos, porque sabían hacerlo. Los
alumnos no tienen la posibilidad de identificar por sí mismos la presencia de un nuevo
conocimiento, y menos aún el hecho de que dicho conocimiento corresponde a un saber cultural.
Esto requiere de un proceso de institucionalización, que cae bajo la responsabilidad del maestro.
Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la identificación de
las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental de sus efectos.
Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta descomponer un saber en
sus partes y luego organizar la apropiación de estos en periodos breves y bien delimitados, según
secuencias determinadas. Organizar de esta manera la enseñanza no atribuye importancia al
contexto específico (situación didáctica) donde los conocimientos son adquiridos, ni a su
significación y al valor funcional construido durante su adquisición.
Brousseau ha mostrado la importancia de la situación para la actualización y funcionalización
de los conocimientos escolares.
Por ejemplo, hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta
determinado número y que sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para
construir una colección de objetos equipolente a una colección dada; Bajo la consigna “Ve al
fondo de la sala a buscar las tapas que hagan falta para tapar todas estas botellas”(de
Villelas,1983).Estos niños saben asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una
colección, sin repetir ni omitir alguno; poseen un saber cultural del cómputo numérico. No
obstante, no han aprendido a utilizar este saber como medio para controlar esta situación o para
resolver un problema (no lo han funcionalizado).
La idea central de la TSD (teoría de las situaciones didácticas) es poner foco en las situaciones
didácticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que
ellas tienen de específico de la matemática y acercar esas actividades a través de la resolución
de problemas.
Pensar en problemas dentro de esta teoría de situaciones didácticas es, pensar en qué es lo
que se desea enseñar, aparece un “saber Matemático” que el docente se propone enseñar y para
ello diseña una situación didáctica que la presenta como “Problema”.
Esa situación Problema puede tener una connotación diferente en la TSD, ya que lo que se
promueve es el aprendizaje por adaptación al medio, Según Brousseau entiende este concepto
de la siguiente manera: “el alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de
contradicción, dificultad, desequilibrio un poco como lo ha hecho la sociedad
humana”.(comúnmente llamado problemas de situaciones cotidianas); El docente diseña
situaciones que pueden definirse como situación a-didáctica; entendiendo la a-didacticidad no
como falta de o negación de didáctica, sino como situaciones que el docente presenta sin
explicitar cual es el saber que quiere que el estudiante aprenda; Están pensadas para que el
alumno pase por las diferentes etapas o situaciones expuestas en la teoría de Guy Brousseau.
RESOLUCION DE PROBLEMAS
¿Qué se entiende por problemas dentro de la didáctica de la matemática?
La didáctica de la matemática define los problemas como aquellas situaciones que
generan un obstáculo a vencer, que promueven la búsqueda dentro de lo que se sabe para
decidir en cada caso que es lo más pertinente. Forzando así la puesta en juego de los
conocimientos previos, y mostrándolos al mismo tiempo insuficiente o muy costoso. Rechazar los
no pertinentes e implicarse en la búsqueda de nuevos métodos de resolución es lo que produce
el avance en los conocimientos.
Para organizar su actividad de resolución, el alumno deberá buscar entre todos los
conocimientos matemáticos aquellos que les parezcan pertinentes, tomar las decisiones que
correspondan a la elección de estos, anticipar los posibles resultados. ¿Cuál sería el obstáculo al
que se enfrentaría un alumno si los problemas que se le ofrecen serian siempre los mismos?

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¿Cómo podría decidir que procedimiento utilizar si el maestro le “dicta” lo que debe hacer? El
aprendizaje termina en este caso por convertirse en un acto de fe; Hay que realizar
procedimientos porque el maestro lo pide, tal como los pide.
¿QUÈ ES UN PROBLEMA? EL PROBLEMA EN UNA SITUACION DE APRENDIZAJE; LOS
PROBLEMAS COMO GESTORES DE CONOCIMIENTO
Para que una actividad planteada en una situación de aprendizaje constituya un
problema, este “debe ser nuevo, jamás hecho “por el alumno .Debe ser una actividad
comprendida por él, y que le permita utilizar los conocimientos que posee ya que de otro modo
quedaría “anulado” ante ella; pero al mismo tiempo debe ofrecer un desafío suficiente como para
llevarlo a cuestionar los conocimientos anteriores, hacerlos evolucionar y permitirle elaborar otros
nuevos.
Los problemas introducen un desfasaje entre lo que el alumno ya sabe (definiciones,
propiedades, reglas, procedimientos, representaciones) y las exigencias de una tarea nueva. Este
desfasaje lo impulsa a modificar sus procedimientos y buscar nuevas representaciones de la
tarea, es decir investigar y aprender.
Esta manera de considerar los problemas como gestores del conocimiento se contrapone
a su tradicional utilización como ejercicio de aplicación al final de un nuevo tema supuestamente
aprendido.
Bajo esta perspectiva del problema como nuevo, jamás realizado anteriormente, el mismo
deberá reunir las siguientes condiciones:
 QUE TENGA SENTIDO
Esto significa, que el niño pueda imaginar la situación, posibilitando así una estrategia
para resolverlo, aunque no sea la correcta, ni la más económica. De este modo, el sentido
estará dado si el desfasaje que introduce el problema, está lo suficientemente cerca de los
conocimientos disponibles como para ser asimilado y lo suficientemente lejos como para
hacerle encontrar obstáculos que generen desequilibrios que puedan anular la marcha.
 QUE IMPLIQUE UN DESAFÌO
La estrategia conocida deberá ser lo suficiente atractiva, pero no deberá ser evidente para
resolverlo, porque si lo es no estará planteado ningún problema, y no se estará propiciando
la construcción del conocimiento.
 QUE SEA LO SUFICIENTE ABIERTO
El problema planteado debe considerar para su resolución diferentes estrategias validas de
solución que los alumnos deberán confrontarlas y extraer conclusiones a partir de ellas,
poniendo en juego de esta manera la toma de decisiones.
LA RESOLUCION DE PROBLEMAS COMO MÈTODO
La resolución de problemas como procedimientos generales será considerado
fundamentalmente como un proceso aplicable a todo el diseño curricular. La enseñanza
matemática escolar tomará como eje metodológico y didáctico, como objetivo principal y como
contenido, la resolución de problemas. Los problemas con argumento o relato normalmente
vienen después de la enseñanza de las operaciones y como una aplicación de ellos, es decir
siempre se la ha relegado a un segundo plano. Sin embargo existen dos razones para darle a la
resolución de problemas el lugar que corresponde; la primera es que los niños construyen los
conocimientos a partir de su propia realidad, y la segunda, está demostrado a través de
investigaciones que los problemas verbalizados son fácilmente solucionados por los niños del 1º
ciclo sin que haga falta una enseñanza formal.
Hay una enorme diferencia entre la manera en que nosotros trabajamos la matemática y
la manera en que la ven nuestros alumnos. El trabajo matemático en los niños de 6 a 8 años es
un proceso de descubrimiento, vital y continúo, de alcanzar comprender la naturaleza de los
objetos, de hacerlos evolucionar del nivel egocéntrico, globalizador e intuitivo con que inicialmente
ven los objetos, a controlar sus relaciones con el espacio, y a representar y describir en forma
racional el mundo que los rodea y a estudiar los entes geométricos como modelización de esa

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realidad. Primero dominan una parte, según lo hacen avanzan, la intuición se desarrolla,
comienzan a creer que van por el buen camino, buscan ejemplos correctos y contrarios, e
intentan enjuiciar el porqué van por el camino correcto y prueban demostrarlo; este ensayo puede
tener éxito o no; pueden sufrir algún revés, hacer modificaciones, pero con perseverancia el
resultado termina por encontrarse; Estas experiencias son gratificantes para el niño como la de
haber explorado terrenos desconocidos y enriquecerse al hacerlo; Està en los docentes provocar
esos procesos ,iniciarlos en ese camino. Debemos aspirar que la resolución de problemas sirva
como criterio, como móvil, y como recurso de aprendizaje.
Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la
actividad matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las
capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va
revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha
encontrado, hasta la comunicación de los resultados.
El proceso mental que ponemos en marcha cuando intentamos resolver un problema de
nuestra vida cotidiana tiene muchos aspectos relacionados con las Matemáticas. Por tanto es
deseable que desde nuestras clases preparemos a los alumnos para realizar estas tareas.
Casi todos los matemáticos coinciden en que los problemas son el centro de la actividad
matemática. Brousseau afirma que “un alumno no hace matemática si no se plantea y resuelve
problemas”. En la actualidad se considera esencial la resolución de problemas y la reflexión
sobre los mismos .Cuando los alumnos se aprestan a resolver un problema deberán salvar
diferentes tipos de dificultades:
 Interpretar el enunciado—Supone comprensión lectora;
 Identificar los Datos, descartar los superfluos y seleccionar los que necesitará para resolver
el problema;
 Relacionar los datos y traducir el enunciado en lenguaje simbólico;
 Descubrir las incógnitas , plantear y resolver la o las operaciones;
 Elaborar la respuesta
 Estimar el resultado como probable y verificarlo.
En esta disciplina entendemos por problema una situación específica que se puede
expresar en matemática y en la que se deducen las incógnitas a partir de ciertas relaciones entre
los datos que la situación ofrece.
Una de las dificultades más comunes es la comprensión del enunciado; es el primer escollo
que se debe salvar, se realizaran entonces actividades que favorezcan la comprensión lectora.
Por ejemplo, se presentarán a los alumnos varias secuencias de actividades; problemas con
datos insuficientes; con datos contradictorios, con datos que sobren, con datos superfluos, etc.
Antes de intentar la solución de los problemas deberán analizarse y discutirse los enunciados.
Otras actividades vinculadas con la resolución de problemas pueden ser: elaborar las preguntas
de los problemas en función de los datos existentes; redactar situaciones problemáticas a partir
de datos relacionados con la vida cotidiana, los avisos clasificados, los cálculos combinados;
resolver situaciones problemáticas por procedimientos equivalentes, utilizando gráficos; analizar
diversas soluciones para un mismo problema; buscar el error en un problema resuelto ya que en
toda actividad de resolución de problemas, es importante que el alumno pierda el miedo a
equivocarse; Se aprende mucho más analizando los propios errores y rehaciendo el camino; Lo
indispensable que se aprenda a organizar la información referente al mismo.
Los estudios sobre la resolución de problemas humanos y los complejos mecanismos
internos que se ponen en funcionamiento comienzan en los años cincuenta del siglo pasado. En
el campo matemático no es hasta la década de los setenta cuando se comienza a trabajar de una
forma sistemática, aunque el matemático húngaro George Polya (1887-1985) publicase su primer
libro al respecto ("Cómo plantear y resolver problemas") en 1945.
 El término “problema” se define como una terna: Situación-alumno-entorno; solo hay
problema si el alumno percibe una dificultad, hay una idea de obstáculo a superar.
 Un problema es una situación matemática que plantea una pregunta.

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 A través de la resolución de problemas, los alumnos se acostumbran a trabajar con
sus compañeros, a intercambiar opiniones, a valorar y respetar las respuestas de los
demás para que las suyas sean respetadas.
 Es importante que el alumno pierda el miedo a equivocarse. Se aprende mucho
analizando los propios errores y rehaciendo el camino.
 Un problema es un desafío. Resolverlo es un proceso en el que se puede tener éxito
o no, pero lo que vale es que se hayan elegido uno o varios caminos diferentes pero
correctos.
El proceso de resolver un problema ha sido dividido por los investigadores en fases, y
pueden encontrarse algunas diferencias según los autores. Polya distingue las siguientes:
1.Comprender el problema: . Se trata de entender bien el problema y sus partes. ¿Cuál es la
incógnita? ¿Cuáles son los datos?, ¿qué se busca?, ¿cuáles son las condiciones?…se pueden
realizar dibujos auxiliares para la resolución de los mismos.
2. Elaborar un plan : ¿lo había visto antes?¿o había visto el problema de una forma diferente?
¿Conoce un Problema relacionado? Trate de buscar un problema similar al dado .Es la
concepción de un plan. Se busca información para elaborar una estrategia que lleve a la
resolución.
3. Ejecutar el plan:. Se desarrolla el plan. Llevar a cabo el plan de resolución, chequear cada
paso, ¿ puede ver claramente que el paso está correcto?
4.Comprobar los resultados: Es la visión retrospectiva, donde se comprueba si la solución es
correcta o tiene sentido, si se puede resolver de otra forma, si tiene más soluciones…
Hemos de tener en cuenta que no existen fronteras perfectas entre las fases y su recorrido
no es secuencial sino que se produce un movimiento entre ellas.
Problemas Heurísticos (estrategias de resolución) Son presentadas como estrategias heurísticas
en el sentido de que no son prescriptivas como los algoritmos, sino que describen formas de
resolución que cada persona decidirá cómo emplear.
Miguel de Guzmán (“Para pensar mejor” Editorial Labor,S.A.) señala un esquema de cuatro
pasos que guarda similitud con las cuatro fases de Polya ;
1- Familiarizarte con el problema:
 Trata de entender a fondo la situación.
 Con paz, tranquilidad, a tu ritmo, juega con la situación, enmárcala, piérdele el miedo.
2- Busca estrategias
 Empieza por lo fácil
 Experimenta
 Hazte un esquema, una figura o un diagrama.
 Elige un lenguaje adecuado, una notación apropiada
 Busca un problema semejante
3- Lleva adelante tu estrategia
 Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido
 Actúa con flexibilidad: No te desanimes fácilmente. No te empeñes en una idea. Si las
cosas se complican demasiado posiblemente hay otro camino.
 ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
4- Revisa el proceso y saca consecuencias de él
 Examina a fondo el camino que has seguido ¿Cómo has llegado a la solución? o bien,
¿Por qué no llegaste?
 Trata de entender no solo que la solución funciona, sino también, porqué funciona.
 Mira si encuentras un camino más simple.
 Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias de ello.
Todos estaremos de acuerdo en que estas, y muchas otras, son técnicas que nuestros
alumnos deberían conocer y utilizar; sin embargo, la mayoría de las veces proponemos
actividades que son meros ejercicios rutinarios, y con dificultad damos un paso hacia la
incorporación de la resolución de problemas como elemento importante de nuestra actividad
docente.

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Hemos de reflexionar que el abuso de operaciones rutinarias adormece el interés de los
alumnos e impide su desarrollo intelectual, mientras que si se plantean problemas adecuados a
sus conocimientos (y en caso necesario se les ayuda en su resolución) se despierta su curiosidad
y se progresa intelectualmente.
Pero también es cierto que no es fácil conseguir que la resolución de problemas esté
presente constantemente en nuestras clases. La presión del currículo, la desmotivación de los
alumnos, la diversidad de niveles e intereses… son factores que frenan, y a veces imposibilitan,
su incorporación. Los pasatiempos matemáticos son un recurso que nos puede ayudar a
introducir en nuestras clases, en las actividades complementarias e incluso en las extraescolares
una cuña en la línea antes comentada.
Cada docente le asigna a la resolución de problemas un lugar preponderante en la
práctica de la enseñanza y de acuerdo a la propia concepción acerca de la matemática que
quiere enseñar, será la elección de las estrategias adoptadas y las propuestas de trabajo, Para
ello es importante tener en cuenta los modelos pedagógicos de aprendizajes.
MODELOS PEDAGOGICOS DE APRENDIZAJE:
(Didáctica de las matemáticas; Cecilia Parra –Irma Saiz.Ed. Paidós)
Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea de “contrato
didáctico”, tal como Brousseau lo ha definido:
“Conjunto de comportamientos (específicos) del docente que son esperados por el alumno,
y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el docente, y que regulan el
funcionamiento de la clase y las relaciones alumno-docente-saber, definiendo así los roles de
cada uno y la repartición de las tareas:¿Quién puede hacer qué?¿quién debe hacer qué?¿cuáles
son los fines y objetivos?....”
Así, en este modelo pedagógico, una situación de enseñanza puede ser observada a través de
las relaciones que se” juegan” entre estos tres polos: Docente, Alumno, Saber.
Analizando:
- La distribución de los roles de cada uno.
- El proyecto de cada uno.
- Las reglas de Juego: ¿qué está permitido, ¿Qué es lo que realmente se demanda, ¿qué se
espera, ¿qué hay que hacer o decir para “mostrar que se sabe” …?
Muy esquemáticamente se describen tres modelos de referencia:
1. El Modelo llamado “Normativo” (Centrado en el contenido)
Se trata de aportar, de comunicar un saber a los alumnos.
La pedagogía es el arte de comunicar, de” hacer pasar” un saber
- El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos.
- El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento;
luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica.
- El saber ya está acabado, ya construido.
Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o
Mayéuticas (preguntas /Respuestas)

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2. El Modelo llamado “incitativo” (Centrado en el Alumno)
Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus motivaciones,
Sus propias necesidades, su entorno.
- El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar
fuentes de información, responde sus demandas lo remite a herramientas de
aprendizaje (fichas, guías), busca una mejor motivación.
- El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que
es la enseñanza programada)
- El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de este
saber pasa a segundo plano)
3. El Modelo llamado “Aproximativo” (centrado en la construcción del saber por el alumno)
Se propone partir de “modelos” de concepciones existentes en el alumno para “ponerlas a
prueba” para mejorarlas, modificarlas o construir nuevas.
- El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos
Obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las
Diferentes fases (investigación, formulación, validación, institucionalización)
- Organiza la comunicación de la clase; Propone en el momento
adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones,
terminología)
- El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros,
las defiende o las discute.
- El saber es considerado con su lógica propia.
Notemos que ningún docente utiliza exclusivamente uno de los modelos; que el acto
pedagógico en toda su complejidad utiliza elementos de cada uno de los modelos…, pero que
a pesar de todo, cada uno hace una elección consciente o no y de manera privilegiada de uno
de ellos.
Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta de análisis de
las situaciones didácticas y de reflexión para los docentes en formación.
Tres elementos de la actividad pedagógica se muestran privilegiados para diferenciar estos
tres modelos y reflexionar sobre su puesta en práctica:
- El comportamiento del docente frente a los errores de sus alumnos ¿qué interpretación
hace de ellos ¿cómo interviene? ¿Para hacer qué? ¿qué demanda entonces, a sus
alumnos?
- Las prácticas de utilización de la evaluación ¿De qué sirve la evaluación? ¿En qué
momento interviene en el proceso de aprendizaje? ¿Bajo qué formas?
- El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de resolución de problemas ¿qué es
para él un problema? ¿cuándo utiliza problemas? ¿en qué momento del aprendizaje? ¿con
qué fin?
A continuación, nos interesaremos esencialmente en este tercer punto. Para esto proponemos
un esquema, inspirado en un artículo de R.Champagnol que resume las diversas posiciones
respecto a la utilización de la resolución de problemas en relación con los tres Modelos de
Aprendizaje explicados anteriormente.

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Modelos pedagógicos de aprendizajes y uso del problema en los mismos
De acuerdo con la teoría o la concepción de aprendizaje que el docente sustenta, el problema puede
aparecer como medio para el aprendizaje, como recurso o como un instrumento de evaluación. Así
basándonos en Ronald Charnay1
y sobre la base de los sistemas que actúan en la Clase (Chevallard2
)- el
DOCENTE, el ALUMNO, y el SABER – se pude elaborar el siguiente esquema explicativo:
Concepción de aprendizaje
Sistema predominante en la
situación de clase
Uso del problema
NORMATIVO; lo importante es
el contenido, sus relaciones y sus
fundamentos.
Saber
Alumno Docente
Como control de los
aprendizajes adquiridos.
INCITATIVO: toma en cuenta
los intereses del alumno y sobre
ellos se diseñan las estrategias de
enseñanza.
Alumno
Docente Saber
Como móvil para la satisfacción
de las inquietudes de los
alumnos.
APROXIMATIVO: tiene en
cuenta las formas de relacionar
al alumno con el saber en
cuestión.
Saber
Alumno Docente
Como medio para acercar al
alumno al saber matemático.
OBSTACULOS QUE PUEDEN PRESENTARSE A LA HORA DE RESOLVER PROBLEMAS
De esta manera los problemas se agrupan en Redes Conexas de conceptos y relaciones que Vergnaud
denomina Espacio de problemas y que para la Educación primaria se vincula con grandes categorías,
una de las cuales tiene íntima relación con las otras dos, dados que estas utilizan sus conceptos como
herramientas para desarrollar sus propios contenidos. Gráficamente:
Adoptar este punto de vista en el aula genera la aparición de bloqueos a la creatividad durante el
desarrollo del proceso de aprendizaje.
Llamamos bloqueos a aquellas relaciones de informaciones, que dificultan y en muchos casos
imposibilitan, el desarrollo de los procesos de creativos. Podríamos agruparlos en distintos tipos, de
acuerdo con una taxonomía vinculada con su origen y en relación con el aspecto socio-cultural-cientifico
que involucran. Así podemos encontrar:
Cognoscitivos Afectivos Culturales
Problemas de percepción Miedo al error conformismo
Rigidez en las respuestas, predominio Respuestas rápidas Dicotomía trabajo-juego
de teorías dominantes. Exceso de seguridad tendencia al éxito
Falta de confianza
Retomaremos Luego el texto ampliando las teorías en relación a la práctica de Resolución de problemas en el campo de las
estructuras de las operaciones.
ESPACIO DE PROBLEMAS
Campo Aditivo
(Adición y sustracción)
Exploración, organización y
cuantificación del espacio
Campo multiplicativo
(Multiplicación y división)
BLOQUEOS