TRANSFORMADA FOURIER

2. TRANSFORMADA FOURIER
LA BUENA TRANSFORMADA DE FOURIER (PR. FƱRIEɪ),
DENOMINADA ASÍ POR JOSEPH FOURIER, ES UNA
TRANSFORMACIÓN MATEMÁTICA EMPLEADA PARA
TRANSFORMAR SEÑALES ENTRE EL DOMINIO DEL
TIEMPO(O ESPACIAL) Y EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA, QUE TIENE MUCHAS APLICACIONES EN LA
FÍSICA Y LA INGENIERÍA.

3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES UNA APLICACIÓN QUE HACE
CORRESPONDER A UNA FUNCIÓN DE VALORES COMPLEJOS Y DEFINIDA EN LA
RECTA, CON OTRA FUNCIÓN DEFINIDA DE LA MANERA SIGUIENTE:
DONDE ES , ES DECIR, TIENE QUE SER UNA FUNCIÓN INTEGRABLE EN EL
SENTIDO DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE. EL FACTOR, QUE ACOMPAÑA LA
INTEGRAL EN DEFINICIÓN FACILITA EL ENUNCIADO DE ALGUNOS DE LOS
TEOREMAS REFERENTES A LA TRANSFORMADA DE FOURIER. AUNQUE ESTA
FORMA DE NORMALIZAR LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES LA MÁS
COMÚNMENTE ADOPTADA, NO ES UNIVERSAL. EN LA PRÁCTICA LAS VARIABLES
Y SUELEN ESTAR ASOCIADAS A DIMENSIONES COMO EL TIEMPO —
SEGUNDOS— Y FRECUENCIA —HERZIOS— RESPECTIVAMENTE, SI SE UTILIZA LA
FÓRMULA ALTERNATIVA:

4. PROPIEDADES BASICAS DE FOURIER
LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES UNA APLICACIÓN LINEAL:
VALEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES PARA UNA FUNCIÓN ABSOLUTAMENTE
INTEGRABLE (F):
CAMBIO DE ESCALA:
TRASLACIÓN:
TRASLACIÓN EN LA VARIABLE TRANSFORMADA:

5. TRANSFORMADA DE LA DERIVADA: SI F Y SU DERIVADA SON INTEGRABLES.
ESTAS IDENTIDADES SE DEMUESTRAN POR UN CAMBIO DE VARIABLES O
INTEGRACIÓN POR PARTES.
EN LO QUE SIGUE, DEFINIMOS LA CONVOLUCIÓN DE DOS FUNCIONES F Y G EN LA
RECTA DE LA MANERA SIGUIENTE:
NUEVAMENTE LA PRESENCIA DEL FACTOR DELANTE DE LA INTEGRAL SIMPLIFICA EL
ENUNCIADO DE LOS RESULTADOS COMO EL QUE SIGUE: SI F Y G SON FUNCIONES
ABSOLUTAMENTE INTEGRABLES, LA CONVOLUCIÓN TAMBIÉN ES INTEGRABLE, Y
VALE LA IGUALDAD:
TAMBIÉN PUEDE ENUNCIARSE UN TEOREMA ANÁLOGO PARA LA CONVOLUCIÓN
EN LA VARIABLE TRANSFORMADA,

6. PERO ESTE EXIGE CIERTO CUIDADO CON EL DOMINIO DE DEFINICIÓN DE LA
TRANSFORMADA DE FOURIER.
TABLA DE TRANSFORMADAS BASICAS

8. EJEMPLO DE LA TRANSFORMADA CON CAMBIO
DE ESCALA

9. EJEMPLO DE LA TRANSFORMADA DE LA CONJUGADA
TRASLACION EN EL TIEMPO