Transformada de Fourier

Transformada de FourierTransformada de Fourier
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Transformadas de FourierTransformadas de Fourier
 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –
1830)1830)
 Contribuyo a la idea de que unaContribuyo a la idea de que una
función puede ser representada porfunción puede ser representada por
la suma de funciones sinusoidalesla suma de funciones sinusoidales
)
2
sin()
2
cos()(
1 1 T
kt
b
T
kt
actf
k k
kk
ππ
∑ ∑
∞
=
∞
=
++=

Trasformada de FourierTrasformada de Fourier
 Es interesante descomponer unaEs interesante descomponer una
señal en sinusoides por la:señal en sinusoides por la:
• FIDELIDAD SINUSOIDALFIDELIDAD SINUSOIDAL
 Eso garantiza que si entra unEso garantiza que si entra un
sinusoide a un sistema lineal solosinusoide a un sistema lineal solo
variará su fase y su amplitud pero suvariará su fase y su amplitud pero su
frecuencia sera la mismafrecuencia sera la misma

 Dependiendo del tipo de función queDependiendo del tipo de función que
se desee transformar se utilizanse desee transformar se utilizan
diferentes métodosdiferentes métodos

 AperiodiodicasAperiodiodicas
ContinuasContinuas
 Periódicas ContinuasPeriódicas Continuas
Series de FourierSeries de Fourier
 Aperiódicas DiscretasAperiódicas Discretas
T. Discreta en Tiempo deT. Discreta en Tiempo de
FourierFourier
 Periódicas DiscretasPeriódicas Discretas
Transformada Discreta deTransformada Discreta de
FourierFourier

 Nosotros manejamos señales con unNosotros manejamos señales con un
número finito de muestrasnúmero finito de muestras
 Hay dos opcionesHay dos opciones
• Convertirlas a Aperiódicas DiscretasConvertirlas a Aperiódicas Discretas
• Convertirlas a Periódicas DiscretasConvertirlas a Periódicas Discretas
 Para sintetizar una señal aperiódicaPara sintetizar una señal aperiódica
se necesita un númerose necesita un número infinitoinfinito dede
sinusoidessinusoides

 Por lo tanto nos concentraremos enPor lo tanto nos concentraremos en
la Transformada Discreta de Fourierla Transformada Discreta de Fourier
 Llamada más comúnmente por suLlamada más comúnmente por su
siglas en ingles DFTsiglas en ingles DFT
 Para hacerlo debemos pensar en laPara hacerlo debemos pensar en la
señal digital como periódica, o seaseñal digital como periódica, o sea
que se repite indefinidamenteque se repite indefinidamente

 Existen dos maneras de atacarExisten dos maneras de atacar
matemáticamente la DFTmatemáticamente la DFT
• DFT Sinusoidal (Real)DFT Sinusoidal (Real)
• DFT Exponencial (Complejo)DFT Exponencial (Complejo)

DFT RealDFT Real
 Se basa en calcular los coeficientesSe basa en calcular los coeficientes
de la siguiente ecuación:de la siguiente ecuación:
∑∑ ==
+=
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(][
N
k
k
N
k
k NknbNknanx ππ
][][Im
][][Re
nbnX
nanX
=
=

DFT ComplejoDFT Complejo
 Se basa en la identidadSe basa en la identidad
 De tal manera que:De tal manera que:
)()cos( xisenxeix
+=

Real vs. ComplejoReal vs. Complejo
 La verdadera transformada deLa verdadera transformada de
Fourier es compleja por naturalezaFourier es compleja por naturaleza
 Hacerla real permite estudiarlaHacerla real permite estudiarla
mejor, pero introduce ciertosmejor, pero introduce ciertos
problemasproblemas
 Nosotros utilizaremos las dosNosotros utilizaremos las dos
dependiendo de la aplicacióndependiendo de la aplicación

El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia
 Aplicar la transformada de fourier aAplicar la transformada de fourier a
una señal en el dominio del tiempouna señal en el dominio del tiempo
tiene como efecto expresar esa señaltiene como efecto expresar esa señal
en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia
 X[n]=DFT(x[n])X[n]=DFT(x[n])
 Por lo tanto el eje x de laPor lo tanto el eje x de la
transformada de fourier representatransformada de fourier representa
frecuenciafrecuencia

 El eje x se puede expresar de 4El eje x se puede expresar de 4
maneras:maneras:
• Fracción de la frecuencia de MuestreoFracción de la frecuencia de Muestreo
• Número de MuestraNúmero de Muestra
• Frecuencia Natural (radianes)Frecuencia Natural (radianes)
• Frecuencia AbsolutaFrecuencia Absoluta

Inversa de la DFTInversa de la DFT
 Así como podemos ir del dominio delAsí como podemos ir del dominio del
tiempo al dominio de la frecuenciatiempo al dominio de la frecuencia
 Usamos la inversa de la DFT paraUsamos la inversa de la DFT para
pasar de la frecuencia al tiempopasar de la frecuencia al tiempo
 Por lo tanto podemos ver que alPor lo tanto podemos ver que al
pasar del tiempo a la frecuencia solopasar del tiempo a la frecuencia solo
estamos expresando la mismaestamos expresando la misma
información de otra manerainformación de otra manera

Inversa de la DFTInversa de la DFT
 Eso nos lleva a un concepto muyEso nos lleva a un concepto muy
importante en analisis de señales yimportante en analisis de señales y
sistemas: Dualidadsistemas: Dualidad

Cálculo de la DFTCálculo de la DFT
 Hay 3 métodos para calcular la DFTHay 3 métodos para calcular la DFT
• DFT por ecuaciones simultaneasDFT por ecuaciones simultaneas
• DFT por correlaciónDFT por correlación
• FFTFFT
 Hoy veremos los dos primerosHoy veremos los dos primeros

DFT por ecuacionesDFT por ecuaciones
simultaneassimultaneas
 Tenemos N valores en tiempo y hayTenemos N valores en tiempo y hay
que calcular N valores en frecuenciaque calcular N valores en frecuencia
 Debemos escribir N ecuacionesDebemos escribir N ecuaciones
lineales independienteslineales independientes
∑∑ ==
+=
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(][
N
k
k
N
k
k NknbNknanx ππ
∑∑ ==
+=
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(]1[
N
k
k
N
k
k NkbNax ππ

DFT por ecuacionesDFT por ecuaciones
simultaneassimultaneas
 Se puede resolver usando losSe puede resolver usando los
métodos como Eliminación de Gaussmétodos como Eliminación de Gauss
 Pero en la práctica es muy lentoPero en la práctica es muy lento
 Solo se utiliza de manera teóricaSolo se utiliza de manera teórica

DFT por correlaciónDFT por correlación
 Correlacionamos la señal original conCorrelacionamos la señal original con
cada una de las funcionescada una de las funciones
sinusoidales basesinusoidales base
 Esto significa multiplicar cada puntoEsto significa multiplicar cada punto
de la señal de entrada por la funciónde la señal de entrada por la función
sinusoidal y luego sumar todos lossinusoidal y luego sumar todos los
puntospuntos

DFT por correlaciónDFT por correlación
∑
∑
−
=
−
=
−=
=
1
0
1
0
)/2sin(][][Im
)/2cos(][][Re
N
i
N
i
NkiixkX
NkiixkX
π
π
∑=
=
M
i
ibianc
0
][][][

DFTporcorrelaciónDFTporcorrelación

Notación PolarNotación Polar
 Tal como representamos a la funciónTal como representamos a la función
en frecuencia con una parte real yen frecuencia con una parte real y
una imaginaria podemos expresarlauna imaginaria podemos expresarla
en forma de Magnitud y Faseen forma de Magnitud y Fase
 Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas aMag X[0] y Fas X[0] son calculadas a
partir de Re X[0] y Im X[0] y asi conpartir de Re X[0] y Im X[0] y asi con
las demas muestraslas demas muestras

 Esta forma de representar la funciónEsta forma de representar la función
en frecuencia nos ayuda aen frecuencia nos ayuda a
visualizarla mejorvisualizarla mejor

 Se calcula de la siguiente maneraSe calcula de la siguiente manera

 Usamos la notación polar paraUsamos la notación polar para
visualizar la señalvisualizar la señal
 Usamos la notación rectangular paraUsamos la notación rectangular para
hacer los cálculoshacer los cálculos

Análisis EspectralAnálisis Espectral
 Como ya vimos, en muchas señales,Como ya vimos, en muchas señales,
la información no esta codificada enla información no esta codificada en
la forma de la señal, sino en sula forma de la señal, sino en su
 Ejemplo de esto:Ejemplo de esto:
• SonidoSonido
• Radar SubmarinoRadar Submarino
• ColorColor

 Para analizar este tipo de señales elPara analizar este tipo de señales el
dominio del tiempo es insatisfactoriodominio del tiempo es insatisfactorio
 Trate de analizar su voz simplementeTrate de analizar su voz simplemente
viendo a forma de la señal en tiempoviendo a forma de la señal en tiempo
 Se utiliza la transformada de fourierSe utiliza la transformada de fourier
para representar estas señales enpara representar estas señales en
frecuencia y asi poderlas analizarfrecuencia y asi poderlas analizar

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 10
4
Time(seconds)
Vowel A

 Obtenemos la transformada deObtenemos la transformada de
FourierFourier
 Obtenemos la parte real y laObtenemos la parte real y la
graficamosgraficamos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
Frequency(Hz)
Power
Vowel A (256 samples - hamming)

 Vamos tomando grupos de muestrasVamos tomando grupos de muestras
y realizamos la misma técnica yy realizamos la misma técnica y
luego las graficamos juntasluego las graficamos juntas

Seconds
Hz
Sid
a
.txt, 256, hamming
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

 A representar una función en susA representar una función en sus
componentes de frecuencia se lecomponentes de frecuencia se le
llama Análisis Espectralllama Análisis Espectral
 Nos permite saber que frecuenciasNos permite saber que frecuencias
están presentes dentro de una señalestán presentes dentro de una señal

 Al tomar un grupo de muestrasAl tomar un grupo de muestras
estamos multiplicando la función porestamos multiplicando la función por
una ventana cuadradauna ventana cuadrada
 Eso provoca distorsiones en lasEso provoca distorsiones en las
frecuencias obtenidasfrecuencias obtenidas

Multiplicación por VentanaMultiplicación por Ventana

VentanasVentanas
 Existen varias ventanasExisten varias ventanas
• CuadradaCuadrada
• Barlett (triangulo)Barlett (triangulo)
• Welch (parabola)Welch (parabola)
• Hann (Hanning)Hann (Hanning)
• HammingHamming

VentanasVentanas
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
10
2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
Vowel O - SQUARE (256 samples)
Frequency(Hz)
Power
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
10
2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
Vowel O - BARTLETT (256 samples)
Frequency(Hz)
Power
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
10
2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
Vowel O - WELCH (256 samples)
Frequency(Hz)
Power
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
10
2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
Vowel O - HANN (256 samples)
Frequency(Hz)
Power
Cuadrada Barlett
Welch Hann

ResoluciónResolución
 Si tomamos más puntos tendremosSi tomamos más puntos tendremos
una mejor definición en frecuenciauna mejor definición en frecuencia
 Pero empeorara la definición enPero empeorara la definición en
tiempotiempo
 Si tomamos menos puntos,Si tomamos menos puntos,
tendremos una mejor definición entendremos una mejor definición en
tiempotiempo
 Pero empeorara la definición de laPero empeorara la definición de la

Seconds
Hz
Sida
i.txt, 64, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

Seconds
Hz Sida
i.txt, 128, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

Seconds
Hz
Sid
a
i.txt, 256, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

Seconds
Hz
Sida
i.txt, 512, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

Seconds
Hz
Sida
i.txt, 1024, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500

Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia
 Asi como en el dominio del tiempoAsi como en el dominio del tiempo
un sistema puede ser caracterizadoun sistema puede ser caracterizado
por su Respuesta a Impulsopor su Respuesta a Impulso
 En la Frecuencia un sistema seEn la Frecuencia un sistema se
caracteriza por su Respuesta encaracteriza por su Respuesta en
FrecuenciaFrecuencia
 La relación entre las dos es laLa relación entre las dos es la
transformada de Fouriertransformada de Fourier

 Muchas veces podemos entenderMuchas veces podemos entender
mejor el funcionamiento de unmejor el funcionamiento de un
sistema si analizamos la Respuesta asistema si analizamos la Respuesta a
Frecuencia en vez de la Respuesta aFrecuencia en vez de la Respuesta a
ImpulsoImpulso

Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia
 SiSi
• x[n] * h[n] = y[n]x[n] * h[n] = y[n]
 EntoncesEntonces
• X[f] ? H[f] = Y[f]X[f] ? H[f] = Y[f]
 RespuestaRespuesta
• MultiplicaciónMultiplicación

 Convolucionar dos señales en elConvolucionar dos señales en el
dominio del tiempo, significadominio del tiempo, significa
multiplicarlas en el dominio de lamultiplicarlas en el dominio de la
 Y viceversaY viceversa

ConvoluciónenFrecuenciConvoluciónenFrecuenci

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