Foruier, con ejercicios resueltos.y ejemplos.

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ingeniería Civil
Extensión Porlamar
Realizado por
Alexander Valdiviezo

2. Jean Baptiste Joseph Fourier
 (Auxerre, Francia, 1768 - París, 1830) Ingeniero y matemático francés. Era
hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el
cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus
reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas.
 Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito, y fue
recompensado con una candidatura para una cátedra en la École
Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de
1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la
flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía
contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos
escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El
Cairo.

3.  Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general
Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto del
departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del
calor. Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó Teoría analítica del calor,
basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton.
 A partir de esta teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable
importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes
aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde,
Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier
dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que
se publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el
cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.

4. La transformada de Fourier
Es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida
en la recta, otra función g definida de la manera siguiente: Donde f es L1, o sea f tiene
que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que
acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas
referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada
de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad
que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a
espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en
muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la
combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la
estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas.

5. En procesamiento de señales la transformada de
Fourier suele considerarse como la descomposición de
una señal en componentes de frecuencias diferentes,
es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la
señal f. La rama de la matemática que estudia la
transformada de Fourier y sus generalizaciones es
denominada análisis armónico. Son varias las
notaciones que se utilizan para la transformada de
Fourier de f. He aquí algunas de ellas:
Transformada a la inversa

6. Propiedades de la serie de Fourier
Linealidad Demostración
La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
)}({)}({
)}()({
tgbFtfaF
tbgtafF



7. Semejanza Demostración
Desplazamiento en el tiempo Demostración

8. Conjugación y Simetría Demostración
Corolario Demostración

9. Transformada de la derivada Demostración
Transformada de la convolución Demostración

11. Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf 
f  (g  h) ( f  g)  h
f  (g h)  f  g  f  h

12. El teorema de convolución o teorema deWiener-Khitchine
  )()()(*)( wGwFtgtfF 
Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el
espacio recíproco.

13. Escalamiento Demostración

14. La transformada del escalón Demostación

15. La transformada de una constante Demostración

16. La transformada de la integral Demostración
El teorema de Parseval Demostración

17. Tablas de transformadas de Fourier
Análisis de señales
Tabla numero 1 para el
análisis de las señales
De Fourier.

19. Pares seleccionados
para la transformada de
Fourier.

20. Función de sinc (x)
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de
una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de
una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una
ranura.
Demostrar que la transformada de Fourier
de la función triángulo, D(t), es sinc2(w/2)

21. La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la
función delta como el límite de una serie de
funciones como la siguiente:
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√p

22. Transformada de Fourier de la (t):
  )(ttf 
  1)(ˆ  



dtetf ti
w w
t
(t)
w
1
Observa que la transformada de Fourier de
f(t) = 1/(2p) es:   )(dtefˆ ti
wpw 


w
21
t
(t)
t
p2
1
w
(w)

23. f t 
0 , t  
T
2
1 , 
T
2
 t 
T
2
0 ,
T
2
 t








 2
2
)(ˆ
T
T
sen
Tf
w
w
w







 












2
,0
22
,1
2
,0
t
T
T
t
T
T
t
tf
2
2
)(ˆ
T
T
sen
Tf
w
w
w







T ∞
f t  1   



 dtef ti
1ˆ w
w )(wp 2

24. Transformada de Fourier de la función coseno

25. Transformada de Fourier de la función seno:

26. La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)
)(2
}{
0
)( 0
00
wwpww
www










dte
dteeeF
ti
tititi
LaTF de exp(iw0t) es una
frecuencia pura.

27. Encontrar la transformada de Fourier de la
función:
 
0
0,0
0,








a
t
te
tf
at
   


0
ˆ dteef tiat w
w
2222
0
)(
0
)(
1
1
)10(
1
w
w
w
w
w
w
ww
w
w
w


















a
i
a
a
ia
ia
ia
iaia
ia
e
dte
tia
tia

28. Transformada Continua De Fourier
El físico francés, Joseph Fourier (1768-1830), desarrolló una
representación de funciones basada en la frecuencia, que ha tenido
una gran importancia en numerosos campos de matemáticas y ciencia.
Una interpretación simplificada de la transformada de Fourier se ilustra
en la siguiente figura Como se muestra, la teoría que Fourier
desarrolló, propone que mediante la suma de señales co/sinusoidales
de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es posible construir casi
cualquier función arbitraria. Dentro de este conjunto de señales puede
existir una con frecuencia cero, que es un término constante, a
menudo referido como la componente continua (DC), debido al hecho
de que cierta terminología en este área está derivada del procesado de
señal y electrónica. La representación gráfica de la transformada de
Fourier es un diagrama, denominado espectro de Fourier, donde se
representa la frecuencia y amplitud de cada una de las componentes
sinusoidales determinadas.

29. Como se ve, el gráfico de la transformada de Fourier representa tanto la
amplitud como la frecuencia. Hemos seguido el convenio general,
mostrando sinusoides de frecuencia positiva y negativa

30. La transformada de Laplace a la solución de ecuaciones
diferenciales tal como comúnmente se presentan en el calculo de
intensidades de corrientes y otros factores relevantes en los
circuitos eléctricos. Se presentará una descripción del método por
el cual una ecuación diferencial “en el dominio del tiempo” se
transforma en una ecuación algebraica en el “dominio de la
frecuencia”.
Transformada de la place

31. Transformada de Laplace

32. La series de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una función continua y periódica. Las series
de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en
una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más
simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
Serie de Fourier

33. Funciones de las series de Fourier
•Funciones pares e impares Una función, f(x), se dice que es par si f(-x) = f(x). En este
caso, Si f(x) es una función par periódica y de periodo 2π, cumpliendo las hipótesis
para que sea representable por su serie de Fourier, entonces se tiene que:
Una función, f(x), se dice que es par si f(-x) = - f(x). En este caso, Si f(x) es
impar (en las mismas condiciones que en el caso anterior) es cierto que

34. •Función periódica de periodo 2T Si f(x) es una función periódica y de periodo
2T, se puede, como dijimos en 11.2.2, hacer un cambio de variables, de tal
forma que la función resultante sea de periodo 2π. De esta manera obtenemos
que. si f verifica las hipótesis del teorema de Dirichlet es:
•Función no periódica Si tenemos definida una función, f(x), en un intervalo [a, b]
también se puede desarrollar en series de Fourier pues podemos proceder a
definir una función periódica, g(x), de tal manera que sea g(x) = f(x) cuando x sea
un punto del intervalo [a, b]. Esta nueva función podrá definirse de la forma
siguiente: Si x es un número real, existe t 0 [a, b] y k=0, ±1, ±2,...

35. •tales que x=t+k(b-a). Pues bien, definiremos g(x) = f(t). Podemos ver
gráficamente cual es la función g(x) en la siguiente figura:
La serie de Fourier de esta nueva función periódica, g(x), será, por tanto, la serie de Fourier
para la función f(x) en [a, b]. Muchas veces, se pretende que la serie de Fourier asociada a
una función, f(x), sea una serie de senos o de cosenos sólamente, para esto habrá que
proceder definiendo, si se puede, la función g(x) de tal manera que resulte impar o par, si
se puede, respectivamente. Esto es posible, por ejemplo, si la función f(x) está definida en
un intervalo de la forma [0, a] entonces se puede definir una función impar que coincida
con esta en la forma siguiente g(x) = f(x) si x 0 [0, a] y g(x) = f(-x) si x 0 [-a, 0), ahora
ampliaríamos como en el caso anterior y ya estaría el problema resuelto. Cuando f(x) es
impar diremos g(x) = f(x) para x 0 [0, a] y g(x) = - f(-x) si x 0 [-a, 0)

36. • Forma compleja de las series de Fourier Si tenemos en cuenta las fórmulas de Euler que
nos determinan el seno y el coseno de un ángulo en función de la exponencial compleja,
sabemos que
Evidentemente, el cálculo de la serie de Fourier en forma compleja que aquí hemos
hecho para funciones periódicas de periodo 2π se puede ampliar, como hacíamos en
11.5.2, a funciones periódicas con periodo 2T obteniéndose, en este caso, que:

37. Transformadas integrales
dttftKF
b
a )(),()( 
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra
función F() en el espacio  o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace,
de Hilbert, de Radon, entre otros.
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio
t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo
a espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el
espacio original.

38. Ejercicios resueltos.

39. Integral de Fourier
Vimos como las series de Fourier representan a una considerable familia de
funciones periódicas. Ahora nos proponemos extender esto para funciones no
periódicas reemplazando la serie por una integral. Tomemos en principio una función
f tal que ella y su derivada son continuas a trozos en el intervalo En tal caso,
salvo para un numero finito de puntos de ese intervalo, se tiene: