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1. CAPACITACIÓN PARA LOS ESTADOS MIEMBROS DE LA
CURSO CAPEV 7 2010
CURSO DE CAPACITACIÓN VIRTUAL:
TENDENCIAS TECNOLÓGICAS Y APLICACIONES DE
LA ENERGÍA EÓLICA PARA LA GENERACIÓN
ELÉCTRICA
Dr. Oscar Alfredo Jaramillo Salgado
Centro de Investigación en Energía. Universidad Nacional Autónoma de México
ojs@cie.unam.mx 28 abr 2010

2. Principios de Aerodinámica
de las Turbinas Eólicas

3. Principios físicos de la Conversión de Energía Eólica
El primer componente de una turbina de viento es el convertidor de energía que
transforma la energía cinética contenida en el aire en movimiento, en energía
mecánica. El crédito por haber reconocido este principio se debe a Albert Betz.
Entre 1922 y 1925, Betz publicó escritos en la que fue capaz de demostrar que,
mediante la aplicación de elementales de las leyes de la física, la energía mecánica
extraíble de una corriente de aire que pasa por una zona determinada de sección
transversal está limitada a un determinado porcentaje es decir no toda la energía o
potencia contenida en la corriente de aire se puede transformar.

4. Teoría elemental de momentum por Betz
La energía cinética de una masa de aire m que se mueve en una velocidad v se
puede expresar como:
Considerando cierta superficie transversal A, con la cual el aire pasa con la
velocidad v, el volumen V que atraviesa durante cierta unidad de tiempo, el flujo
de volumen, es:
y el flujo de masa considerando la r la densidad del aire es
Las ecuaciones que expresan la energía cinética del aire en movimiento y el flujo
de masa que acarrea la cantidad de energía que atraviesa una sección transversal
por unidad de tiempo. Esta energía es físicamente idéntico a la potencia P:

5. Como la energía mecánica sólo puede ser extraída a partir de la energía cinética
contenida en el flujo de viento, esto significa que, con un flujo de masa sin
cambios, la velocidad de flujo detrás del convertidor de energía eólica debe
disminuir.
Mantener el flujo total (ecuación de continuidad) requiere que:

6. Usando la ley de conservación del momento, la fuerza que el aire que se ejerce
sobre el convertidor puede ser expresada como:
De acuerdo con el principio de "acción equivale a reacción", esta fuerza, el
empuje, debe ser contrarrestada por una misma fuerza ejercida por el convertidor
en el flujo de aire. El empuje, por decirlo así, empuja a la masa de aire en el aire
velocidad v ', presente en el plano del flujo del convertidor. La potencia necesaria
para esto es:
Igualando estas dos expresiones obtiene la relación para la velocidad de flujo v'
Por lo tanto la velocidad de flujo a través del convertidor es igual a la media
aritmética de v1 y v2

7.    
a
v
v
a
v
v 2
1
and
1 1
2
1 



La velocidad v2 y el v se expresan en términos de v1 por medio de un parámetro
llamado a
27
16
2
1
3
1
3
1
1
2 3
1
2
3
1 ρAv
ρAv
Po 








Puede obtenerse la potencia P como:
  a
a
Av
P
2
3
1 1
2 
 r
y para obtener la máxima potencia
   0
2
1
3
1
0 3









 ent
ρAv
a
a-
da
dP
592
.
0
2
1 3
1


 Cp
Av
P
Cp
r
El límite superior de la extracción de poyencia de un convertidor de sección
transversal es llamado límite de Betz. La relación entre la potencia mecánica
extraída por el convertidor y la de la corriente de aire sin perturbar es llamada el
"coeficiente de potencia" cp y se expresa como:

8. Con, se obtiene el máximo
"coeficiente de potencia ideal" o "Factor de Betz"

9. Sabiendo que el coeficiente de potencia máxima ideal es alcanzado cuando
velocidad de flujo v es :
y puede calcularse la velocidad reducida v2 requerida detrás el convertidor:

10. Vale la pena recordar que estas relaciones básicas se derivaron para un flujo ideal,
sin disipación, y que el resultado fue derivado, evidentemente, sin necesidad de
examinar de cerca el convertidor de energía de viento. En casos reales, el
coeficiente de potencia siempre será menor que el valor de Betz ideal. Las
conclusiones esenciales que se derivan de la teoría de momentum pueden
resumirse como sigue:
– La potencia mecánica que se puede extraer de un flujo de aire libre por un
convertidor de energía se incrementa al cubo de la velocidad del viento.
– Los aumentos de potencia son lineales con la sección transversal del convertidor
transversal; por lo tanto aumenta con el cuadrado de su diámetro.
– Incluso con un flujo de aire ideal y sin pérdida de la conversión, la proporción de
trabajo mecánico extraíble a la potencia contenida en el viento está limitada a un
valor de 0.593. Por lo tanto, sólo alrededor del 60% de la energía eólica en un corte
transversal se puede transformarse en energía mecánica.
– Cuando el coeficiente de potenbcia ideal alcanza su valor máximo cp = 0.593, la
velocidad del viento en el plano del convertidor se reduce a dos tercios de la
velocidad del viento sin perturbar y se reduce a una tercera parte detrás del
convertidor.

11. Convertidores de energía de viento con arrastre o sustentación aerodinámica
La teoría del impulso por Betz indica el valor límite físico en función de una
sistema ideal para la extracción de potencia mecánica de una corriente de aire
libre sin tener en cuenta el diseño del convertidor de energía. Sin embargo, la
potencia que puede lograrse bajo condiciones reales no puede ser independiente
de las características del convertidor de energía.
La primera diferencia fundamental que influye considerablemente en la potencia
real depende de que las fuerzas aerodinámicas que son utilizadas para la
producción de potencia mecánica. Todos los cuerpos expuestos a flujo de aire
experimentan una fuerza aerodinámica que pude ser como arrastre aerodinámico
en la dirección del flujo y como sustentación aerodinámica en ángulo recto a la
dirección de flujo. Los coeficientes de potencia reales obtenidos para diferentes
configuraciones de convertidores de la energía cinética del viento dependen si se
utiliza arrastre o sustentación aerodinámica

14. El tipo más simple de conversión de energía del viento puede lograrse por medio
de superficies de arrastre puro (véase la figura). El aire incide en la superficie A,
con velocidad de VW, captura una potencia P, los cuales se puede calcular de la
fuerza aerodinámica de arrastre D, el área A y la velocidad v con el que se mueve:
La velocidad relativa que efectivamente se
incide en el área de arrastre es decisiva
para su aerodinámica. Utilizando
coeficiente de aerodinámico de arrastre CD
la fuerza aerodinámica de arrastre se
puede expresar como:
La potencia resultante es
Dispositivos de arrastre

15. Si la potencia se expresa una vez más en términos de la energía contenida en el
flujo de aire libre, se obtiene el siguiente coeficiente de energía:
Análogamente al enfoque descrito anteriormente, se puede demostrar que cp
alcanza un valor máximo con una relación de velocidad de v/vw = 1/3. El valor
máximo es entonces:
El orden de magnitud del resultado es claro si se toma en consideración que el
coeficiente aerodinámico de arrastre de una superficie cóncava contra la dirección
del viento difícilmente puede superar un valor de 2.3. Por lo tanto, se convierte en
el coeficiente de potencia máxima de un rotor de arrastre sin sustentación
aerodinámica:

17. Otros dispositivos de conversión eólica utilizan geometría que aprovechan la
sustentación aerodinámica para trasformar la energía cinética del viento en
potencia mecánica.

18. Rotores mediante sustentación aerodinámica
Si la forma de las palas del rotor permiten la utilización de sustentación
aerodinámica, se pueden obtener coeficientes de potencia mucho más elevados.
Análogamente a las condiciones existentes en el caso de un ala de avión, la
utilización de sustentación aerodinámica aumenta considerablemente la eficiencia.

19. Todos los tipos de rotores eólicos modernos están diseñados para utilizar este
efecto y el mejor para este propósito es el tipo de hélice con eje horizontal de
rotación. La velocidad de viento Vw se combina vectorialmente con la velocidad
periférica de la pala u. Cuando está rotando la pala, esta es la velocidad periférica
en corte transversal de la pala a una cierta distancia del eje de rotación. Junto con
la cuerda del perfil aerodinámico la de velocidad de flujo libre resultante forma el
ángulo de ataque aerodinámico. La fuerza aerodinámica creada se compone de
una componente en la dirección de la velocidad de flujo libre, el arrastre D y un
componente perpendicular a la velocidad de flujo libre, la sustentación L. La
fuerza de sustentación L, a su vez, puede descomponerse en una componente de
Ltorque, en el plano de rotación del rotor y un segundo componente perpendicular a
su plano de rotación. El componente tangencial Ltorque constituye el par de
activación del rotor, mientras quee Ltorque es responsable por el empuje del rotor.
Perfiles arodinámicos modernos, desarrollados para alas de aviones y que también
se encuentra aplicación en rotores de viento, tienen una relación muy favorable
de sustentación-arrastre (E). Esta proporción puede alcanzar valores de hasta 200.
Este solo hecho muestra cualitativamente cuánto más efectiva es la utilización de
sustentación aerodinámica para la utilización en la fuerza motriz. Sin embargo, no
es posible calcular los coeficientes de potencia de los rotores de sustentación de
manera cuantitativamente con la ayuda de sólo relaciones físicas elementales.

21. El rotor es el componente de la turbina de viento que ha experimentado el mayor
desarrollo en los últimos años. Los perfiles aerodinámicos utilizados en las palas de
las turbinas eólicas primero fueron desarrollados para aviones y no fueron
optimizados para altos ángulos de ataque frecuentemente empleados por las palas
de las turbinas eólicas. Aunque los perfiles antiguos, por ejemplo NACA63-4XX, se
han usado a la luz de la experiencia adquirida en los primeros sistemas, los
fabricantes de palas ahora han comenzado a utilizar perfiles específicamente
optimizados para turbinas de viento. Se han probado diferentes materiales en la
construcción de las palas, que debe ser lo suficientemente fuerte y rígida, tienen
un límite de resistencia de alta de fatiga y debe ser tan barato como sea posible.
Hoy en día que la mayoría de las palas se construyen de fibra de vidrio, plástico
reforzado, pero también se usan otros materiales como la madera laminada.
Palas de las turnbinas eólicas

22. Aerodinámica en 2-D
Flujo bidimensional se compone de un plano y si este plano se describe con un
sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura, el componente de
velocidad en la dirección z es cero. En el fin de lograr un flujo de 2-D es necesario
la extrusión de un perfil aerodinámico en un espacio infinito. En un verdadero
perfil hay cambios en la cuerda y la envergadura de ala así como al inicio y punta
del perfil. Prandtl demostró que datos locales del modelo 2-D para las fuerzas
pueden utilizarse si el ángulo de ataque se ha corregido de acuerdo con los vórtices
detrás del ala.

23. La fuerza de reacción F desde el flujo es descompuesta en una dirección
perpendicular a la velocidad V∝ y a una dirección paralela a V∝. El componente ex
es conocido como el ascensor, L y este último se llama el arrastre, D (véase la
figura)
Los coeficientes de sustnatción y
arrastre Cl y Cd se definen como:
donde ρ es la densidad y c la
longitud de la perfil, a menudo
denotado por la cuerda.
Para describir las fuerzas completamente también es necesario conocer el
momento M, sobre un punto del perfil. Este punto se encuentra a menudo en la
línea de cuerdas a c/4 desde el borde de ataque del viento.

24. La explicación física de la sustentación es que la forma del perfil fuerza las líneas de
flujo alrededor de la geometría, como se indica en la figura
El gradiente de presión, ∂p/∂r = V2/r, curva las líneas de flujo donde r es la
curvatura de las líneas de flujo y V la velocidad.

25. The coefficients Cl, Cd and Cm are functions of α, Re and Ma.
• α is the angle of attack defined as the angle between the chordline and V∝;
• Re is the Reynolds number based on the chord and V∝, Re = cV∝ /ν, where ν is
the kinematic viscosity;
• Ma denotes the Mach number, in other words the ratio between V∝ and the
speed of sound.
For a wind turbine and a slow moving aircraft the lift, drag and moment
coefficients are only functions of α and Re.
slope of 2p/rad
maximum value of Cl

27. La manera en que se desprende el flujo aerodinámico de un perfil depende de la
geometría. Perfiles delgados con una nariz afilada, tienden a pérdidas de
sustentación más abruptamente que perfiles gruesos.. Puesto diferentes
comportamientos se observan en la figura 2.5, donde se compara el Cl(α) para dos
perfiles diferentes.

28. Hereafter the aerofoil is said to stall and Cl decreases in a very geometrically
dependent manner. For small angles of attack the drag coefficient Cd is almost
constant, but increases rapidly after stall.
Stall is the condition of an airfoil or aircraft in which excessive angle of attack causes
disruption of airflow with attendant loss of lift

29. The forces on the aerofoil stem from the pressure distribution p(x) and the skin
friction with the air tw = μ(∂u/∂ y)y=0. (x,y) is the surface coordinate system as
shown in Figure 2.7 and μ is the dynamic viscosity

30. El grosor de la capa límite es a menudo definido como la δ(x) de distancia normal
de la pared donde u(x)/U(x) = 0,99. Además, el δ*(x) de espesor de
desplazamiento, el θ(x) de espesor de impulso y el factor de forma H(x) se definen
como:
El sistema de coordenadas (x, y) es un sistema local, donde x = 0 es en el punto de
estancamiento en el extremo de ataque y y es la distancia normal de la pared. Una
capa límite turbulenta se separa para valores de H entre 2 y 3. La optimización de
estancamiento divide el flujo de fluido sobre el perfil y el flujo de fluido bajo el
perfil. En el punto de estancamiento, la velocidad es cero y el espesor de la capa
límite es pequeño. El líquido que fluye sobre el perfil acelera a medida que pasa el
borde de ataque y, desde el borde de ataque está cerca del punto de
estancamiento y acelera el flujo, y la capa límite es delgada. Se sabe de la teoría de
la viscosidad que en la capa límite la presión es aproximadamente constante desde
la superficie hasta el borde de la capa límite, es decir, ∂p/∂y = 0.

31. En el lado inferior del gradiente de presión es mucho menor, ya que la curvatura de
la pared es pequeña en comparación con el borde de ataque. En el borde, la
presión debe ser la misma en la parte superior e inferior (la condición de Kutta) y
por lo tanto, debe aumentar la presión, ∂p/∂x > 0, de un valor mínimo en algún
lugar en el lado superior a un valor más alto en el borde. Un gradiente de presión
adversos, ∂p/∂x > 0, puede llevar a la separación de flujo. Esto puede verse
directamente desde las ecuaciones de Navier-Stokes que se aplican en la pared,
donde la velocidad es cero, se reduce a:
Navier-Stokes equations for an incompressible fluid with constant viscosity μ:

32. Dado que la forma del arrastre aumenta dramáticamente cuando la capa límite se
separa, es de suma importancia para el desempeño de un perfil aerodinámico para
controlar el gradiente de presión.
La curvatura de la componente u-velocidad en la pared viene dado por el signo del
gradiente de presión. Además, se sabe que u ∂ / ∂ y = 0 en y = δ. De esto puede
deducirse que el perfil de velocidad u en un gradiente de presión adverso, p ∂ / ∂
x> 0, tiene forma de S y la separación puede ocurrir, mientras que la curvatura del
perfil de velocidad u para p ∂ / ∂ x <0 es negativa a lo largo de la capa límite y toda
la capa límite permanece conectado. Un cuadro esquemático que muestra las
diferentes formas de la capa límite se da en la Figura 2.8. Dado que la resistencia
de forma aumenta dramáticamente cuando la capa límite se separa, es de suma
importancia para el desempeño de un velamen para controlar el gradiente de
presión.

33. Para valores pequeños de x, el flujo es laminar, pero para una cierta xtrans la capa
límite laminar se vuelve inestable y se produce la transición de flujo laminar a
turbulento. En xT el flujo es totalmente turbulento. En la Figura 2.9 se dibuja la
transición de flujo laminar a una capa límite turbulenta. El proceso de transición es
muy complejo y aún no se comprenden totalmente. Uno de los modelos que a
veces se utiliza en los cálculos de aerodinámica se llama el método de un solo paso
de Michel. El método predice la transición cuando:
donde Reθ = U(x)⋅q(x)/ν and Rex = U(x)⋅ x/ν. For a laminar aerofoil however, the
Michel method might be inadequate and more advanced methods such as the e9
method should be applied.

34. The aerofoil is then constructed so that the velocity at the edge of the boundary
layer, U(x), is constant after the acceleration past the leading edge and
downstream. It is known from boundary layer theory that the pressure gradient is
expressed by the velocity outside the boundary layer as:
At this angle the pressure gradient is therefore zero and no separation will occur.
For smaller angles of attack the flow U(x) will accelerate and dp/dx becomes
negative, which again avoids separation and is stabilizing for the laminar boundary
layer, thus delaying transition. At some point x at the upper side of the aerofoil it is,
however, necessary to decelerate the flow in order to fulfil the Kutta condition; in
other words the pressure has to be unique at the trailing edge. If this deceleration
is started at a position where the boundary layer is laminar, the boundary layer is
likely to separate. Just after the laminar/turbulent transition the boundary layer is
relatively thin and the momentum close to the wall is relatively large and is
therefore capable of withstanding a high positive pressure gradient without
separation. During the continuous deceleration towards the trailing edge the ability
of the boundary layer to withstand the positive pressure gradient diminishes, and
to avoid separation it is therefore necessary to decrease the deceleration towards
the trailing edge. It is of utmost importance to ensure that the boundary layer is
turbulent before decelerating U(x).

36. 3-D Aerodynamics
En la literatura clásica en la aerodinámica teórica, se demuestra que un filamento
de vórtices de fuerza G se puede modelar el flujo que rodea un perfil para
pequeños ángulos de ataque. Esto se debe a que el flujo de pequeños ángulos de
ataque es principalmente viscoso y se rige por la ecuación de Laplace lineal. Se
puede demostrar analíticamente que para el caso presente es el ascensor por la
ecuación de Kutta-Joukowski:
Un perfil aerodinámico puede ser sustituido de este modo por un filamento de
vórtices de fuerza G y la sustentación creada por un ala en 3-D puede ser
modelado para pequeños ángulos de ataque de una serie de filamentos de vórtices
orientada en el sentido del largo del ala, conocido como el límite vórtices. De
acuerdo con el teorema de Helmholtz un filamento de vórtices, sin embargo, no
puede terminar en el interior del líquido, pero debe terminar ya sea en la frontera
o cerrar. Un ala completa puede ser modelada por una serie de filamentos de
vórtices, Gi, i = 1,2,3,4 ,..., que están orientados como se muestra en la Figura 3.3.

37. The model based on discrete
vortices, as shown in Figure 3.3, is
called the lifting line theory. Lifting-
line theory or Lanchester-Prandtl
wing theory was published by
Ludwig Prandtl in 1918–1919 after
working with Albert Betz and Max
Munk on the problem of a useful
mathematical tool for examining
lift from "real world" wings.

38. Los vórtices libres ocasionado por la ley de Biot-Savart son un componente de la
velocidad hacia abajo en cualquier posición de la envergadura del perfil. Para un
filamento de vórtices de fuerza G de la velocidad inducida en un punto p es (ver
Figura 3.5):

39. La velocidad total inducida de todos los vórtices en una sección del ala que se
conoce como la deflexión y el ángulo de ataque local en esta sección, se ha
reducido por αi, ya que la velocidad relativa es la suma vectorial de Vα velocidad
del viento y la velocidad inducida w.
ag, ai and ae los ángulos de entrada de flujo, el de paso y el de ataque
respectivamente.

40.    
 dr
C
sen
C
c
v
dF D
L a
a
r 




 cos
2
1 2

41. Vortex System behind a Wind Turbine
El rotor de una turbina eólica de eje
horizontal se compone de un número de
palas, que tienen forma de alas. Si se hace
un corte a una distancia radial, r, a partir
del eje de rotación como se muestra en la
Figura 3.8, una cascada de perfiles
aerodinámicos que se observa como se
muestra en la Figura 3.9.

42. Dado que un aerogenerador de eje horizontal se compone de palas rotatorias, un
sistema de vórtices similares a los del ala lineal debe existir. Los vórtices de los se
orientan en una trayectoria helicoidal detrás del rotor. Los vórtices de la punta se
encuentran en el borde de la estela del rotor y los vórtices raíz radican
principalmente en una trayectoria lineal a lo largo del eje del rotor, como se
muestra en la Figura 3.10. El sistema de vórtices induce en una turbina de viento
un componente de velocidad axial opuesta a la dirección del viento y un
componente de velocidad tangencial contrario a la rotación de las palas del rotor.
La velocidad inducida en la dirección axial se especifica a través del factor de
inducción axiales como una aVo, donde Vo es la velocidad del viento no
perturbado. La velocidad tangencial inducida en la estela del rotor se especifica a
través del factor de inducción tangencial a‘ como 2a'ωr. Puesto que el flujo no gira
aguas arriba del rotor, la velocidad tangencial inducida en el plano del rotor es,
pues, aproximadamente a'ωr. La velocidad angular del rotor se representa por ω y
es la distancia radial del eje de rotación mediante r. Si a y a‘ son conocidos, un
ángulo de ataque equivalente en 2-D se puede encontrar a partir de ecuaciones
(3,4) y (3,5), donde:

44. teoría de impulso 1-D para un aerogenerador ideal
El rotor en este sencillo modelo 1-D es un disco permeable. El disco se considera
ideal, en otras palabras, no tiene fricción y no hay ningún componente de la
velocidad de rotación en la estela. El disco del rotor actúa como un dispositivo de
arrastre y frena la velocidad del viento de Vo aguas abajo del rotor a la velocidad u
en el plano del rotor y u1 en la estela. Por lo tanto las líneas de corriente debe
apartarse, como se muestra en la Figura 4.1. El arrastre se obtiene por una caída de
la presión en el rotor. Cerca aguas arriba del rotor hay un aumento pequeño de
presión p con respecto a po del nivel atmosférico y una caída de presión sobre el
rotor. Aguas abajo del rotor la presión se recupera de manera continua al nivel
atmosférico. El número Mach es pequeño y la densidad del aire es constante y por
lo tanto la velocidad axial debe disminuir continuamente de Vo a U1. El
comportamiento de la presión y la velocidad axial se muestra gráficamente en la
Figura 4.1.

45. Usando la suposición de un rotor ideal es posible obtener relaciones simples entre
las velocidades Vo, u1 y u, el empuje T, y el eje de la energía absorbida P. El empuje
es la fuerza en dirección del flujo resultante de la caída de presión en la rotor,
donde A= πR2 es el área del rotor.

46. El flujo es estacionario, incompresible y sin rozamiento y ninguna fuerza externa
actúa sobre el líquido hacia arriba o aguas abajo del rotor. Por lo tanto la ecuación
de Bernoulli es válida desde muy justo en frente del rotor y justo detrás de él ymás
atrás en la estela:
y:
Combinando las ecuaciones (4.2) and (4.3) conduce a :

47. La ecuación de momento axial en forma integral se aplica sobre el volumen de
control circular con área de sección Acv dibujado con una línea discontinua en la
figura 4.2 :
dA es un vector apuntando hacia afuera en la dirección normal de una parte
infinitesimal de la superficie de control con una longitud igual a la zona de este
elemento. Fpres es que la componente axial de la presión de las fuerzas que actuan
en el volumen de control. El primer término en la ecuación (4.5) es cero, ya que el
flujo se asume que es estacionario y el último término es cero, ya que la presión
tiene el mismo valor atmosférico en los planos finales y actúa sobre una superficie
de igual forma. Además, en el límite lateral del volumen de control que se muestra
en la figura 4.2, la fuerza de la presión no tiene ningún componente axial.

48. Utilizando los suposiciones de un rotor ideal, ecuación (4.5), se obtiene:
mside pueden encontrarse desde la conservación de masa:
Por tanto:
La conservación de la masa también da una relación entre A y A1 como:
Combinando las encuaciones (4.8), (4.9) y (4.6) se tiene que:
Si el empuje es reemplazado por la caída de presión sobre el rotor como en la
ecuación (4.1) y se utiliza la caída de la presión de la ecuación (4.4), se escribe que
Se considera que la velocidad en el plano del rotor es la media de la velocidad del
viento Vo y el valor final en la u1 de reactivación.

49. Un volumen de control alternativo se muestra en la figura 4.3.
La fuerza de la distribución de presión a lo largo de las paredes laterales Fpress, la
lateral del control de volumen es desconocida y por lo tanto la contribución neta
de presión Fpres. En este volumen de control alternativo no hay ningún flujo de
masa a través de la frontera lateral, ya que esto está alineado con el las líneas de
flujo. La ecuación de impulso axial (4.5) por lo tanto, se convierte en:

50. El flujo se supone que es sin fricción y por lo tanto no hay ningún cambio en el
interior de la energía desde la entrada hasta la salida y la potencia al eje P se puede
encontrar usando la ecuación energética integral en el volumen de control
mostrado en la figura 4.3:
y puesto que m = ρuA la ecuación de P se convierte simplemente en:
El factor de inducción axial a se define como:
Combinando las ecuaciones (4.15) y (4.11) se obtiene que gives:
que puede ser introducido en la ecuación (4.14) para la potencia P y en la ecuación
(4.10) para el empuje T,
and:

51. La potencia disponible en una sección transversal igual al área barrida por el rotor A
es
La potencia P es a menudo adimensional con respecto a Pavail como un coeficiente
de potencia Cp:
Del mismo modo, el coeficiente de empuje CT se define como:
Uso las ecuaciones (4.17) y (4.18) los coeficientes de potencia y axiales para la
turbina eólica en el modelo 1D ideal se pueden escribir como:
y:

52. Diferenciando Cp con respecto a a
Se ve fácilmente que CP máximo = 16/27 para a = 1/3. Ecuaciones (4.22) y (4.23) se
muestran gráficamente en la figura 4.4. Este máximo teórico de una turbina de
viento ideal es conocido como el límite de Betz como se mencionó anteriormente.

53. Los experimentos han demostrado que los supuestos de una turbina de viento
ideal que conduce a la ecuación (4.23) son válidas sólo para un factor de inducción
axial, una, de menos de aproximadamente 0,4. Esto se ve en la figura 4.5, que
muestra las mediciones de la TC en función de a para los diferentes estados del
rotor. Si la teoría momento fuera válida para valores grandes de a, la velocidad en
la estela llegaría a ser negativa como se puede ver en la ecuación (4.16)

55. A medida que aumenta CT aumenta la expansión de la estela así que la velocidad
salta de Vo a u1 en la estela. La relación entre las áreas de Ao y A1 en figura 4.6 se
puede encontrar directamente a partir de la ecuación de continuidad como:

56. Para una turbina de viento, un coeficiente de alto empuje CT y por lo tanto un
factor de alta inducción axial, está presente a velocidades de viento baja. La razón
de que la teoría de momentum no es válida para los valores de a de
aproximadamente 0,4 es que la capa libre de esfuerzos de corte en el borde de la
estela y se vuelve inestable cuando la velocidad la diferencia entre Vo – u1 llega a
ser demasiado alto y las corrientes de eddy o remolinos se forman por el impulso
del flujo exterior en la estela de transporte. Esta situación se denomina estado
turbulento de la estela, ver figura 4.7.

57. Efectos de la rotación
Dado que un aerogenerador moderno consiste de un solo rotor sin un estator, la
estela se poseen cierto grado de rotación como se puede ver directamente de la
ecuación de Euler de la turbina aplicado a un volumen de control infinitesimal de
espesor dr, como se muestra en la Figura 3.8:
donde Cq es el componente azimutal de la velocidad absoluta C = (Cr, Cq, Ca)
después del rotor y u la velocidad axial a través del rotor.
De la ecuación (4.26) se ve que para una
determinada potencia P y la velocidad del
viento de la componente de la velocidad
azimutal en la estela Cq disminuye al aumentar
la velocidad w de rotación del rotor.

59. Si recordamos que la velocidad axial a través del rotor viene dada por el factor de
inducción axiales una como en la ecuación (4.15) y que la velocidad de rotación en
el eje está dado por a’
La ecuación (4.26), se puede escribir como:
La potencia total se encuentra integrando dP de 0 a R como:
or in non-dimensional form as:
donde λ = ωR/Vo es la relación de velocidad de punta y la x = ωr/Vo es la velocidad
de rotación de local en el radio r adimensional con respecto a la velocidad del
viento Vo. Está claro de las ecuaciones (4,29) y (4.30) que con el fin de optimizar la
potencia es necesario maximizar la expresión

61. Si el ángulo local de ataque esta por debajo del de desprendimiento de flujo, a y a’
no son independientes ya que la fuerza reactiva de acuerdo a la teoría de flujo
potencial es perpendicular a la velocidad local vista por la pala como se indica en la
ecuación (3.1)
Tomando en cuenta que la dinámica de fluidos, un desprendimiento de flujo es
una reducción del coeficiente de sustentación generado por un perfil cuando el
ángulo de ataque se incrementa. Esto ocurre cuando el ángulo crítico de ataque
del perfil aerodinámico es excedido. El ángulo crítico de ataque es típicamente 15
grados, pero este puede variar significativamente dependiendo de la forma del
perfil y el número de Reynolds.
La velocidad total inducida w, de estar en la misma dirección como la fuerza, así
como perpendicular a la velocidad local. La siguiente ecuación determina la
relación entre a y a’:

62. La ecuación (4,32) se obtiene directamente de la figura (4.9):
y:
x = ωr/Vo denota la relación entre la velocidad de rotación local y la velocidad del
viento.

63. Para ángulos de ataque locales por debajo de la pérdida de sustentación a y a'
están relacionados a través de la ecuación (4,32) y el problema de optimización es,
por tanto, para maximizar la ecuación (4.31) y aún así satisfacer la ecuación (4,32).
Dado que a' es una función de a, la expresión (4.31) es máxima cuando df/da = 0
produciendo:
que se puede simplificar a:
La ecuación (4,32) diferenciada con respecto a a :
Si las ecuaciones (4.36) y (4,37) se combinan con la ecuación (4,32), la relación
óptima entre a y a' se convierte en:

64. Se puede calcular una tabla para a, a ' y x. Esta dada por la ecuación (4.38) para
un a especificado y a continuación, x se encuentra utilizando (4,32).

65. Se puede observar que, como la rotación velocidad ω y por lo tanto también x =
ωr/Vo aumentan, se tiene el valor óptimo de a que tiende a 1/3, que es
consistente con la teoría de momentum para un rotor ideal. Utilizando los valores
de la tabla, el coeficiente de energía óptimo CP se encuentra mediante la
integración de la ecuación (4.30). Esto lo hace Glauert en 1935 para diferentes
velocidades λ = ωR/Vo. Glauert compara estos resultados y calcula el coeficiente de
energía óptimo con el límite de Betz de 16/27, en la que se deriva de cero rotación
en la estela a' = 0 (véase cuadro 4.2). En la figura 4.10, se dibuja la tabla 4.2 y se
puede ver que la pérdida debido a la rotación es pequeña para proporciones de
velocidad punta mayores de 6 aproximadamente.

72. Rotores con difusor
Es posible exceder el límite de Betz colocando la turbina eólica en un difusor. Si el
corte transversal de la difusor se asemeja a un perfil aerodinámico, una fuerza de
sustentación se generarán por el flujo a través de la pantalla como se ve en la
figura 5.1.

73. La velocidad axial en el plano del rotor es denotada por V2, y ε es el aumento que
se define como la relación entre V2 y la velocidad del viento Vo, es decir, ε = /Vo
V2. Un análisis del 1-D de un rotor en un difusor da la siguiente expresión para el
coeficiente de energía:
Para una turbina desnuda ideal ecuaciones (4.22) y (4.23) son válidos :
Combinando las ecuaciones (5.1) y (5.2) se obtiene:

74. Además, las siguientes ecuaciones son válidas para el flujo de masa a través de un
mb de turbina desnuda y el flujo de masa a través de una turbina en un md de
difusor:
Combinando las ecuaciones (5.3), (5.4) y (5.5):
La ecuación de estados (5.6) que aumenta el coeficiente de energía para una
turbina con difusor es proporcional a la relación entre el flujo de masa a través de la
turbina con difusor y la turbina misma sin el difusor. La ecuación (5.6) se verifica por
los resultados de la dinámica de fluidos computacional (CFD), como se ve en la
figura 5.2,

76. Para comprobar algunos cálculos iniciales de este enfoque se hicieron sin el difusor
y en la figura 5.3, que muestra la relación entre los coeficientes axiales y la
alimentación, se ve que este enfoque dio buenos resultados en comparación con la
siguiente expresión teórica, que puede derivarse de ecuaciones (4.22) y (4.23):
En la figura 5.3 se muestra también que los cálculos con una turbina de viento con
un difusor dieron valores más altos para el coeficiente de energía que el límite de
Betz para una turbina desnuda.

77. El método clásico de impulso para el elemento de pala
El modelo clásico BEM (Balde Element Momentum) fue desarrollado por Glauert
en 1935. Con este modelo es posible calcular la carga constante y así también el
empuje y la potencia para diferentes configuraciones de viento la velocidad, la
velocidad de rotación y ángulo paso.
En el modelo BEM supone para los elementos anulares lo siguiente:
1. no dependencia radial – en otras palabras lo que sucede en uno de los
elementos no puede ser sentida por los demás.
2. La fuerza de las palas en el flujo es constante en cada elemento anular; esto
corresponde a un rotor con un número infinito de palas.

78. Así se puede encontrar el empuje desde el disco en este volumen de control de la
ecuación de impulso integral desde el área de corte transversal del volumen de
control en el plano del rotor como 2πrdr:
El torque dM en el elemento anular se encuentra utilizando el momento integral de
la ecuación de impulso en el volumen de control y la velocidad de rotación a cero
aguas arriba del rotor y Cq en la estela de configuración:
Esto podría también haber derivado directamente de ecuación de turbina de Euler
(4.26) a partir de:
Desde el rotor ideal se constató que la velocidad axial en la u1 de reactivación
podría expresarse por la inducción axial factor un y la velocidad del viento Vo como
u1 = (1 – 2a) Vo, y si esto se introduce en las ecuaciones (6.1) y (6.2) junto con las
definiciones de a y a' en las ecuaciones (4.15) y (4.27) el empuje y torque se
pueden calcular como:

79. Los términos de la izquierda de las ecuaciones (6.4) y (6.5) se encuentran en el flujo
local alrededor del perfil. Se debe recordar que la velocidad relativa Vrel visto por
una sección del perfil es una combinación de la velocidad axial (1 – a) Vo y la
velocidad tangencial (1 + a') ωr en el plano del rotor (véase la figura 6.2).
q es el paso local de la pala, en otras palabras en ángulo local entre la cuerda y el
plano de rotación. El paso local es una combnación del ángulo de paso q p, y el
giro de la pala, b, como q = q p + b, donde el ángulo de paso es el ángulo entre el
la cuerda y el plano de giro del rotor y se mide respecto a la cuerda. Φ es el
ángulo entre el plano de rotación y la velocidad relativa, Vrel y se ve en la figura
6.2 que el ángulo de ataque local y está dada por:

80. Además, se considera que:
Además, si se conocen los coeficientes de sustentación y arrastre Cl y Cd, la
sustentación L y el arrastre d por unidad de longitud puede encontrarse
Sólo estamos interesados en la fuerza
normal y tangencial del plano del
rotor, de la sustentación y arrastre se
proyectan en esas direcciones (véase
la figura 6.3):

81. Desde la figura 6.2 se ve fácilmente de la geometría que:

82. Además, la solidez s se define como la fracción de la zona del rotor en el volumen
de control que está cubierto por las palas:
B denota el número de palas, c(r) es la cuerda local y r es la posición radial del
volumen de control.
Dado que pN y pT son fuerzas por unidad de longitud, la fuerza normal y el par en
el volumen de control de espesor dr son:

83. Utilizando la ecuación (6.14) para pN y la ecuación (6.16) para Vrel, ecuación (6.19)
se convierte en:
Del mismo modo, si la ecuación (6,15) se utiliza para el pT y ecuaciones (6.16) y
(6,17) se utilizan para Vrel, ecuación (6,20) se convierte en:
Si las dos ecuaciones (6.21) y (6.4) para que se igualan dT y se aplica la definición
de la ecuación de solidez (6.18), se obtiene una expresión para el factor de
inducción axial un :
Si se igualan las ecuaciones (6.22) y (6.5), se obtiene una ecuación para a’:

84. Después de aplicar el algoritmo BEM a todos los volúmenes de control, la
distribución de carga tangencial y normal son parámetros conocidos y globales, y
se puede calcular la potencia mecánica, el empuje y el momento de pandeo de la
pala. La fuerza tangencial por unidad de longitud PT, que es conocido para cada
segmento de radio ri y se supone una variación lineal entre ri y ri + 1 (véase figura
6.4).

85. El pT de carga entre ri y ri + 1 es, por tanto:
donde
El torque dM para una parte infinitesimal del perfil de longitud dr es:
y la contribución Mi, i +1 en el eje de torque total de las variaciones de carga lineal
tangencial entre ri ri y 1 es
El eje de torque total es la suma de todas las contribuciones Mi, i +1 a lo largo de
una hoja multiplicado por el número de palas:

86. Prandtl’s Tip Loss Factor
El factor de Prandtl corrige la suposición de un número infinito de palas. Para un
rotor con un número finito de palas el sistema de vórtices en la estela es diferente
a la de un rotor con un número infinito de palas. Prandtl derivó un factor de
corrección F a las ecuaciones (6,4) y (6,5):
B es el número de hojas, R es el radio total del rotor es la r, el radio locales y φ es el
ángulo de flujo. Utilizando las ecuaciones (6.31) y (6.32) en lugar de las ecuaciones
(6,4) y (6,5) en la deducción de las ecuaciones para a y a’ :

87. Glauert Correction for High Values of a
Cuando el factor de inducción axial se vuelve más grande que aproximadamente
0,4, la teoría de simple impulso no funciona (véase figura 4.5, donde también se
muestran los diferentes Estados del rotor). Diferentes relaciones empíricas entre el
coeficiente de empuje CT y a pueden realizarse para ajustar con las mediciones,
por ejemplo:
La última expresión fue encontrada
por Spera en 1994 y ac es
aproximadamente 0,2. F es el factor
de Prandtl de pérdida de punta y
corrige la suposición de un número
infinito de palas. En la figura 6.5 se
trazan las dos expresiones para
CT(a) para F = 1 y son comparadas
con la teoría de momentum.

88. Desde la aerodinámica local el empuje dT en un elemento anular está dada por la
ecuación (6.21). Para un volumen de control anular, CT es por definición:
Si la ecuación (6.21) se utiliza para el dT, CT se convierte en:
Esta expresión para CT ahora puede ser equiparada con la expresión empírica
(6.38).
si a< ac:
Y esto dá:
que es la ecuación normal (6,35).

89. si a >ac:
Y esta dá:
donde:
Con el fin de calcular las velocidades inducidas correctamente para velocidades de
viento pequeñas, ecuaciones (6.44) y (6.42) debe reemplazar la ecuación (6,35) de
la teoría de momento.

90. Control de potencia aerodinámico
Además de limitar la potencia del rotor a altas velocidades del viento, está el
problema de mantener la velocidad del rotor a un valor constante o dentro de
unos límites predeterminados. La limitación de velocidad se convierte en una
cuestión de supervivencia cuando, por ejemplo durante un corte de red, el torque
del generador se pierde repentinamente. En tal caso, la velocidad del rotor
aumentará con gran rapidez y sin duda conduciría a la destrucción de la turbina a
menos que se tomen contramedidas de inmediato. El rotor de un aerogenerador
debe, por tanto, contar con un medio eficaz para limitar aerodinámicamente su
potencia y su velocidad de rotación.
Básicamente, las fuerzas aerodinámicas se puede reducir al influir en la
aerodinámica del ángulo de ataque, al reducir el área proyectada de barrido del
rotor, o cambiando la velocidad efectiva del libre flujo de las palas del rotor. Dado
que la velocidad del viento no se puede influir, la velocidad efectiva del flujo libre
de las palas del rotor sólo cambia con la velocidad del rotor.

91. Forma óptima de las palas de rotor
La potencia mecánica, capturada por el rotor del viento está influenciada por la
forma geométrica de las palas del rotor. Se debe determinar la forma aerodinámica
óptima de la pala para la máxima extracción de potencia el correcto desempeño del
sistema de conversión de energía eólica.
Con ciertas simplificaciones, principalmente por despreciar el arrastre y pérdidas
de vórtice de punta, una fórmula matemática que puede ser resuelta
analíticamente permite obtener la distribución aerodinámicamente óptima de la
cuerda a lo largo de la pala.

100. Power Control by Rotor Blade Pitching
Controlling the rotor input power by pitching the blade towards feather or towards stall
In principle, power control by changing the aerodynamic angle of attack of the
rotor can be achieved by two methods showed in the figure.

103. Passive Stall Control with Fixed Blade Pitch
Without adjustment of the rotor pitch angle, aerodynamic stall will occur with
increasing wind velocity and with the tangential velocity of the rotor kept constant.

104. Active Stall Control
The rotor blades are adjusted in operation over their entire length and in each case
a matching blade pitch angle is selected for different levels of wind speed, taking
into consideration changes in air density (i. e. summer and winter operation) and
different surface qualities of the rotor blades (soiling). At extreme wind velocities,
the rotor blades are placed into their stand-still position and turned with their
trailing edge “forward” into the wind to reduce the wind load

105. The Rotor Wake
– The reduced mean flow velocity in the wake of the rotor reduces the energy
output of the subsequent wind turbines.
– The turbulence in the rotor wake, which is unavoidably increased, also increases
the turbulence loading on the downwind turbines, with corresponding
consequences for the fatigue strength of these turbines. On the other hand, their
steady-state load level is reduced due to the decrease in the mean upwind velocity.
– Under poor conditions, the influence of the rotor wake can affect the blade pitch
angle control of the relevant turbines in an undesirable way.

108. Local obstructions