Matematicas discretas

1. Funciones
Definición
H
Una función f de A a B, que se denota por f : A → B, es un
tipo especial de relación de A a B donde:
∀a ∈ Dom(f ), f (a) contiene sólo un elemento de B.

2. Funciones
Definición
H
Una función f de A a B, que se denota por f : A → B, es un
tipo especial de relación de A a B donde:
∀a ∈ Dom(f ), f (a) contiene sólo un elemento de B.
H
Los pares ordenados que forman una función se escriben como
(cuando f(a)=b):
{( a, f (a) ) | a ∈ Dom(f )}
Funciones = mapeos o transformaciones, debido a que pueden
ser consideradas geométricamente como reglas que asignan a
cada elemento a ∈ A el elemento único f (a) ∈ B.

3. Funciones
Definición Gráfica
Cuando uno o más elementos del conjunto A se relacionan con el
mismo elemento en el conjunto B, el concepto de función se cumple.
SI ES FUNCIÓN

4. Funciones
Definición Gráfica
Por otra parte, si un mismo (único) elemento del conjunto A se
relaciona con 2 o más elementos en el conjunto B, la relación no es
una función.
NO ES FUNCIÓN

5. Funciones
Definición (Cont.)
H
El elemento a se denomina argumento de la función f, y a
f(a) se le llama valor de la función para el elemento a
(imagen de a bajo f ).

6. Funciones
Definición (Cont.)
H
El elemento a se denomina argumento de la función f, y a
f(a) se le llama valor de la función para el elemento a
(imagen de a bajo f ).
H
Ejemplo: Verifique que las fórmulas dan una función de A a B.
Si lo son, indique su dominio y rango.
H
A = B = Z; f (a) = a2
H
A = B = Reales; f (a) = ea

7. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Definida en todas partes. Sea f una función que relaciona
los conjuntos A a B. Entonces, f está definida en todas partes
si Dom(f) = A.

8. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Definida en todas partes. Sea f una función que relaciona
los conjuntos A a B. Entonces, f está definida en todas partes
si Dom(f) = A.
H
f es una función sobre o sobreyectiva si Ran(f ) = B.

9. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Definida en todas partes. Sea f una función que relaciona
los conjuntos A a B. Entonces, f está definida en todas partes
si Dom(f) = A.
H
f es una función sobre o sobreyectiva si Ran(f ) = B.
H
f es uno a uno o inyectiva si cada elemento de B aparece
como máximo una vez como la imagen de un elemento de A

10. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2} y
D = {d1, d2, d3, d4}.
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno
a uno, sobre o definida en todas partes.

11. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2} y
D = {d1, d2, d3, d4}.
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno
a uno, sobre o definida en todas partes.
m f 1 = {(a1, b2), (a2, b3), (a3, b1)}
Definida en todas partes, uno a uno y sobre.

12. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2} y
D = {d1, d2, d3, d4}.
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno
a uno, sobre o definida en todas partes.
m f 1 = {(a1, b2), (a2, b3), (a3, b1)}
Definida en todas partes, uno a uno y sobre.
m f 2 = {(a1, d2), (a2, d1), (a3, d4)}

13. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
H
Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2} y
D = {d1, d2, d3, d4}.
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno
a uno, sobre o definida en todas partes.
m f 1 = {(a1, b2), (a2, b3), (a3, b1)}
Definida en todas partes, uno a uno y sobre.
m f 2 = {(a1, d2), (a2, d1), (a3, d4)}
I Definida en todas partes, es uno a uno, no es sobre.

14. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
m f 3 = {(b1, c2), (b2, c2), (b3, c1)}

15. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
m f 3 = {(b1, c2), (b2, c2), (b3, c1)}
I Definida en todas partes, no uno a uno, sobre.

16. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
m f 3 = {(b1, c2), (b2, c2), (b3, c1)}
I Definida en todas partes, no uno a uno, sobre.
m f 4 = {(d1, b1), (d2, b2), (d3, b1)}

17. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
m f 3 = {(b1, c2), (b2, c2), (b3, c1)}
I Definida en todas partes, no uno a uno, sobre.
m f 4 = {(d1, b1), (d2, b2), (d3, b1)}
I No Definida en todas partes, no uno a uno, no sobre.

18. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2

19. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.

20. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.
I b) Definida en todas partes, no es sobre, no uno a uno.

21. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.
I b) Definida en todas partes, no es sobre, no uno a uno.
m Sean A y B ∈ Z y f una función de A a B. c) f(x)= 3x+1

22. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.
I b) Definida en todas partes, no es sobre, no uno a uno.
m Sean A y B ∈ Z y f una función de A a B. c) f(x)= 3x+1
I c) Definida en todas partes, uno a uno, sobre.

23. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.
I b) Definida en todas partes, no es sobre, no uno a uno.
m Sean A y B ∈ Z y f una función de A a B. c) f(x)= 3x+1
I c) Definida en todas partes, uno a uno, sobre.
m Sean A y B ∈ Q y f una función de A a B. d) f(x)= 3x+1

24. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Determine si cada una de las siguientes funciones es o no: uno a uno,
sobre o definida en todas partes.
m Sean A y B ∈ R y f una función de A a B. a) f (x) = x3 b)
f (x) = x2
I a)Definida en todas partes, sobre, inyectiva.
I b) Definida en todas partes, no es sobre, no uno a uno.
m Sean A y B ∈ Z y f una función de A a B. c) f(x)= 3x+1
I c) Definida en todas partes, uno a uno, sobre.
m Sean A y B ∈ Q y f una función de A a B. d) f(x)= 3x+1
I c) Definida en todas partes, uno a uno, sobre.

25. Funciones
Tipos especiales de funciones
Tipos especiales de funciones
Función biyección
Es una función uno a uno en donde cada b del Ran(f) se re-
laciona, con uno y solamente un elemento de Dom(f). Es una
función uno a uno y sobre.
Función correspondencia uno a uno entre A y B.
Si f está definida en todas partes, uno a uno y es sobre.

26. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
Se dice que una función f es invertible si su relación inversa f −1 es
también una función.
H
Teorema para evaluar una función invertible:
Sea f una función A a B:

27. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
Se dice que una función f es invertible si su relación inversa f −1 es
también una función.
H
Teorema para evaluar una función invertible:
Sea f una función A a B:
a) Entonces f −1 es una función de B a A si y sólo si f es uno a
uno.

28. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
Se dice que una función f es invertible si su relación inversa f −1 es
también una función.
H
Teorema para evaluar una función invertible:
Sea f una función A a B:
a) Entonces f −1 es una función de B a A si y sólo si f es uno a
uno.
b) Si f −1 es una función, entonces también es uno a uno.

29. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
Se dice que una función f es invertible si su relación inversa f −1 es
también una función.
H
Teorema para evaluar una función invertible:
Sea f una función A a B:
a) Entonces f −1 es una función de B a A si y sólo si f es uno a
uno.
b) Si f −1 es una función, entonces también es uno a uno.
c) f −1 está definida en todas partes si y sólo si f es sobre

30. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
Se dice que una función f es invertible si su relación inversa f −1 es
también una función.
H
Teorema para evaluar una función invertible:
Sea f una función A a B:
a) Entonces f −1 es una función de B a A si y sólo si f es uno a
uno.
b) Si f −1 es una función, entonces también es uno a uno.
c) f −1 está definida en todas partes si y sólo si f es sobre
d) f −1 es sobre si y sólo si f está definida en todas partes

31. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
H
Sean f : A → B y g : B → A. Verifique si g = f −1

32. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
H
Sean f : A → B y g : B → A. Verifique si g = f −1
a) A = B = {1, 2, 3, 4};
f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)};
g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}

33. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
H
Sean f : A → B y g : B → A. Verifique si g = f −1
a) A = B = {1, 2, 3, 4};
f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)};
g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
b) A = {x | x es real y x ≥ 0};
B = {y | y es real y y ≥ −1};
f (a) = a2
− 1, g(b) = (b + 1)1/2

34. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
H
Sean f : A → B y g : B → A. Verifique si g = f −1
a) A = B = {1, 2, 3, 4};
f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)};
g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
b) A = {x | x es real y x ≥ 0};
B = {y | y es real y y ≥ −1};
f (a) = a2
− 1, g(b) = (b + 1)1/2
H
Sea f una función de A a B. Encuentre f −1
a) A = B = {Reales} f (a) = (2a − 1)/3 −→ f −1
(a) = 3f (a)+1
2

35. Funciones
Tipos especiales de funciones
Funciones invertibles
H
Sean f : A → B y g : B → A. Verifique si g = f −1
a) A = B = {1, 2, 3, 4};
f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)};
g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
b) A = {x | x es real y x ≥ 0};
B = {y | y es real y y ≥ −1};
f (a) = a2
− 1, g(b) = (b + 1)1/2
H
Sea f una función de A a B. Encuentre f −1
a) A = B = {Reales} f (a) = (2a − 1)/3 −→ f −1
(a) = 3f (a)+1
2
b) A = B = {Reales} f (a) = a3
+ 1 −→ f −1
(a) = 3
p
f (a) − 1

36. Funciones
Referencias
Referencias
♣ Johnsonbaugh, R. Matemáticas Discretas, Ed. Pearson
Educación, México.
♣ Kolman B., Busby R.C., Ross S. Estructuras de Matemáticas
Discretas para la Computación, Ed. Pearson Educación,
México.
♣ Grimaldi Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria: Una
introducción con aplicaciones, Ed. Addison Wesley
Iberoamericana, EUA.