1) Una función es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) se le asigna un único elemento del segundo conjunto (codominio). 2) Existen diferentes tipos de funciones como funciones inyectivas, sobreyectivas, constantes e inversas. 3) La composición de funciones permite definir una nueva función mediante la evaluación secuencial de las funciones originales.

1. FUNCIONES
DEFINICION DE FUNCION
Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de algún modo un
elemento único de un conjunto B, se dice que esa correspondencia es una función.
Denotando esta correspondencia por f, se escribe
f:A→B
que se lee «f es una función de A en B». El conjunto A se llama dominio de definición de la
función f, y B se llama codominio de f. Por otra parte, si a ∈ A, el elemento de B que le
corresponde a a se llama imagen de a y se denota por
f (a)
que se lee «f de a».
He aquí unos cuantos ejemplos aclaratorios de funciones.
Ejemplo 1-1: Sea f el hacer corresponder a cada número real su cuadrado, esto es, para
cada numero real x sea f (x) = x2. Dominio de definición y codominio de f son ambos los
números reales, de modo que se puede escribir:
f:R→R
La imagen de - 3 es 9; se puede escribir también f (-3) = 9, o f : -3 → 9.
Ejemplo 1-2: Sea f el asignar a cada país del mundo su ciudad capital. Aquí el dominio de f
es el conjunto de países del mundo; el codominio de f es el conjunto de ciudades capitales
del mundo. La imagen de Francia es Paris, o sea que f (Francia) = Paris.

2. Ejemplo 1-3: Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, b, c}. Defínase una función f de A en B por la
correspondencia f (a) = b, f (b) = c, f (c) = c y f (d) = b. Según esta definición, la imagen por
ejemplo de b es c.
Ejemplo 1-4: Sea A = {-1, 1}. Sea f la función que hace corresponder a cada número
racional de R el número 1, y a cada número irracional de R el numero -1. Entonces
f : R → A, y f se definiría concisamente:
f(x)= 1 si x es racional -1 si x es irracional
Ejemplo 1-5: Sean A = {a, b, c, d} y B = {x, y, z} y f : A → B la definida por el diagrama
Obsérvese que las funciones de los Ejemplos 1-1 y 1-4 vienen definidas por
fórmulas características. Pero no siempre tiene que ser así, por lo que se ve en los otros
ejemplos. Las reglas de correspondencia que definen las funciones pueden ser diagramas
como en el Ejemplo 1-5, pueden ser geográficas como en el Ejemplo 1-2, o bien, cuando el
dominio es finito, la correspondencia puede ser enunciada para cada elemento del dominio,
como ocurre en el Ejemplo 1-3.
APLICACIONES, OPERADORES, TRANSFORMACIONES
Si A y B son conjuntos en general, no necesariamente conjuntos de números, se dice
por lo común que una función f de A en B es una aplicación de A en B, y 1a notación

3. f:A→B
se lee entonces «f aplica A en B». Se puede simbolizar también una aplicación, o función,
f de A en B por
o por el diagrama
Si dominio y codominio de una funcion f son el mismo conjunto, por ejemplo
f:A→A
es frecuente entonces llamar a f operador o transformación sobre A. Los operadores son
casos especiales importantes de funciones.
FUNCIONES IGUALES
Si f y g son funciones definidas en el mismo dominio D y si f (a) = g(a) para todo
a ∈ D. entonces las funciones f y g son iguales y se escribe
f=g
Ejemplo 2-1: Sea f (x) = x , siendo x un número real. Sea g(x) = x2, siendo x un número
2
complejo. Entonces f no es igual a g, pues tienen dominios diferentes.
Ejemplo 2-2: Sea la función f definida por el diagrama

4. Sea ahora una función g definida por la formula g(x) = x2, siendo el dominio de g el
conjunto {1, 2}. Entonces f = g, pues ambas tienen el mismo dominio de definición y tanto
f como g asignan la misma imagen a cada elemento del dominio.
Ejemplo 2-3: Sean f : R → R y g : R → R. Supóngase que f está definida por f (x) = x2 y que
g lo está por g (x) = y2. Entonces f y g son funciones iguales, es decir, f = g. Obsérvese que
x e y son simplemente variables mudas en las formulas que definen las funciones.
DOMINIO DE IMAGENES DE UNA FUNCION
Sea f una aplicación de A en B, es decir, sea f : A → B. No es preciso que todo
elemento de B sea imagen de un elemento de A. Ahora bien, el conjunto de los elementos
de B que son imágenes de un elemento de A por lo menos, se llama dominio de imagen de f.
Se simboliza el dominio de imágenes de f : A → B por
f (A)
Es de observar que f (A) es un subconjunto de B.
Ejemplo 3-1: Sea la función f : R → R definida por la fórmula f (x) = x2. El dominio de
imágenes de f es el conjunto de los números positivos y el cero.
Ejemplo 3-2: Sea f : A → B la función del Ejemplo 1-3. Entonces f (A) = {b, c}.

5. FUNCIONES INYECTIVAS
Sea f una aplicación de A en B. Entonces f se dice inyectiva si elementos distintos de
B corresponden a elementos distintos de A, es decir, si dos elementos distintos de A tienen
imágenes distintas. Dicho brevemente, f : A → B es inyectiva si f (a) = f (a') implica a = a',
o lo que es lo mismo, si a ≠ a' implica f (a) ≠ f (a').
Ejemplo 4-1: Sea la función f : R → R definida por la fórmula f (x) = x2. f no es inyectiva
pues f (2) = f (-2) = 4, o sea que dos números reales diferentes, 2 y -2, tienen la misma
imagen, el número 4.
Ejemplo 4-2: Sea la función f : R → R definida por la fórmula f (x) = x3. f es una aplicación
inyectiva puesto que los cubos de dos números reales distintos son distintos ellos mismos.
Ejemplo 4-3: La función f que asigna a cada país del mundo su ciudad capital es inyectiva,
ya que países distintos tienen capitales diferentes, es decir, ninguna ciudad es la capital de
dos países diferentes.
FUNCIONES SOBREYECTIVAS
Sea f una función de A en B. El dominio de imágenes f (A) de la función f es un
subconjunto de B, esto es, f (A) ⊂ B. Si f (A) = B, es decir, si todo elemento de B es imagen
de al menos un elemento de A, se dice entonces que «f es una función sobreyectiva de A en
B» o que «f es una función de A sobre B», o bien que «f aplica A sobre B».

6. Ejemplo 5-1: Sea la función f : R → R definida por la fórmula f (x) = x2. f no es
sobreyectiva porque los números negativos no aparecen en el dominio de imágenes de f,
esto es, ningún número negativo es cuadrado de un número real.
Ejemplo 5-2 Sea f la función del Ejemplo 1-3. Nótese que f (A) = {b, c}. Como
B = {a, b, c}, el dominio de imágenes de f no es igual al codominio, es decir, f no es
sobreyectiva.
Ejemplo 5-3: Sea f : A → B la función del Ejemplo 1-5. Nótese que
f (A) = {x, y, z} = B
esto es, que el dominio de imagen de f es igua1 a1codominio B. Así, pues, f aplica A sobre
B, o sea que f es una aplicación sobreyectiva.
FUNCION IDENTICA
Sea A un conjunto cualquiera. La función f : A → A. definida por f (x) = x, o sea la
función f que hace corresponder a cada elemento de A el mismo elemento, se llama función
idéntica o transformación idéntica sobre A. Se la denota por I también por IA.
FUNCION CONSTANTE
Una función f de A en B se llama función constante si a cada elemento de A se le
asigna el mismo elemento b ∈ B, o dicho de otro modo: f : A → B es una función constante
si el dominio de imágenes de f consta de un elemento solamente.
Ejemplo 6-1: Sea f la función definida por el diagrama

7. f no es entonces una función constante, pues el dominio de imágenes consta de dos
elementos 1 y 2.
Ejemplo 6-2: Sea f la función definida por el diagrama
f es una función constante, puesto que 3 se le hace corresponder a todo elemento de A.
Ejemplo 6-3: Sea f : R → R definida por la fórmula f (x) = 5. f es una función constante, ya
que a todo elemento le corresponde 5.
FUNCION PRODUCTO COMPOSICION
Sea f una función de A en B y sea g una función de B, el codominio de f, en C, como
se ilustra en seguida:
Sea a ∈ A; su imagen f (a) esta en B, que es el dominio de definición de g. De acuerdo con
esto, se puede encontrar la imagen de f (a) por la aplicación g, es decir, se puede hallar
g (f (a)). Así se tiene, pues, que a cada elemento a ∈ A se hace corresponder un elemento

8. g (f (a)) ∈ C. En otras palabras, se tiene una función de A en C. Esta nueva función se llama
función producto composición, o simplemente función producto de f y g y se denota por
(g ⃘ f) o (gf)
Más brevemente, si f : A → B y g : B → C, se define una función (g ⃘ f) : A → C por
(g ⃘ f)(a) ≡ g (f (a))
Se usa aquí ≡ para significar «igual por definición». Ahora se puede completar el diagrama:
Ejemplo 7-1: Sean f : A → B y g : B → C definidas por los diagramas

9. Calculando g ⃘ f : A → C por la definición:
(g ⃘ f) (a) = g (f (a)) = g (y) = t
(g ⃘ f) (b) = g (f (b)) = g (z) = r
(g ⃘ f) (c) = g (f (c)) = g (y) = t
Nótese que la función (g ⃘ f) es equivalente a «seguir la flecha», desde A a C en los
diagramas de las funciones f y g.
Ejemplo 7-2: A cada número real hágasele corresponder por f su cuadrado, es decir, sea
f (x) = x2. Ahora a cada número real hágasele corresponder por g ese mismo número más 3,
es decir, sea g(x) = x + 3. Entonces

10. (f ⃘ g) (2) = f (g (2)) = f (5) = 25
(g ⃘ f) (2) = g (f (2)) = g (4) = 7
Nótese que las funciones producto (g ⃘ f) y (f ⃘ g) no son la misma función. Calculando una
fórmula general para estas funciones producto resulta:
(f ⃘ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 9x+9
(g ⃘ f) (x) = g (f (x)) = g (x2) = x2 +3
Observación 4-1: Sea f : A → B. Entonces
IB ⃘ f = f y f ⃘ IA = f
o sea que el producto de cualquier función y la función idéntica es la función misma.
IMAGEN INVERSA DE UNA FUNCION
Sea f una función de A en B, y sea b ∈ B. Entonces la imagen inversa de b, que se
denota por
f -1(b)

11. consiste en los elementos de A que están aplicados sobre b, esto es, de aquellos elementos
de A que tienen a b por imagen. Dicho mas brevemente: si f : A → B, entonces
f -1(b) = {x ⃒ x ∈ A, f (x) = b}
Nótese que f -1(b) es siempre un subconjunto de A. Se lee f -1 «f inversa».
Ejemplo 8-1: Sea la función f : A → B definida por el diagrama
Entonces f -1(x) = {b, c}, pues, tanto b como c tienen a x por imagen. Así también
f -1(y) = {a}, ya que solo a se aplica en y. La inversa de z es el conjunto vacío ∅, ya que
ningún elemento de A se aplica en z.
Ejemplo 8-2: Sea f : R → R, siendo R los números reales, definida por la f (x) = x2.
Entonces f -1(4) = {2, -2}, puesto que 4 es la imagen de 2 y de - 2 y no hay otro numero
real cuyo cuadrado sea cuatro. Nótese que f -1(-3) = ∅ ya que no hay elemento de R cuyo
cuadrado sea -3.
FUNCION INVERSA

12. Sea una función de A en B. En general f -1(b) puede tener más de un elemento o aun
ser el conjunto vacío ∅. Ahora bien, si f : A → B es una función inyectiva y sobreyectiva,
entonces para cada b ∈ B, la inversa f -1(b) consta de un solo elemento de A. Se tiene
entonces una correspondencia que asigna a cada b ∈ B un elemento único f -1(b) de A. Así
que, entonces, f -1 es una función de B en A y se puede escribir:
f -1 : B → A
En este caso cuando f : A → B es inyectiva y sobreyectiva, f -1 se llama la función inversa
de la f.
Ejemplo 9-1: Sea la función f : A → B definida por el diagrama
Nótese que f es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto, existe f -1, la función inversa. Se
describe f -1 : B → A por el diagrama

13. Nótese además que si se ponen las flechas en la dirección opuesta en el primer diagrama de
f se obtiene precisamente el diagrama de f -1
Ejemplo 9-2: Sea f la función f : A → B definida por el diagrama
-1
Como f (a) = y y f (c) = y, la función f no es inyectiva. Así, que la función inversa f no
existe. Como f -1(y) = {a, c} no se pueden asignar a y c al elemento y ∈ B.
Ejemplo 9-3: Sea f : R → R definida por f (x) = x3. Nótese que f es inyectiva y
sobreyectiva. Por tanto f -1 : R → R existe. Se tiene ciertamente una fórmula que define la
función recíproca, f -1(x) = ∛x.