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ALGEBRA
TEMA 4: RELACIONES Y FUNCIONES
ÁREA DE ALGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS
1
Tema #4
Índice Pág.
4.1. Definición de relación y función 2
4.2. Función Biyectiva e inversa 8
Recursos complementarios 17
Bibliografía 18
Actividad de aprendizaje autónomo 19

2
Tema #4
4.1. Definición de relación y función
Definición de relación
Una relación binaria de un conjunto llamado A en un conjunto llamado B está formada por todos los
pares ordenados que cumplen una determinada proposición o propiedad establecida y son un
subconjunto del producto cartesiano AxB (Recalde, s.f).
Matemáticamente se lo describe como:
𝑅: 𝐴 → 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑦} = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝑅 𝑦}; 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵
Par Ordenado
García (2010), define un par ordenado de la siguiente manera:
“Sean A y B dos conjuntos, definimos el par ordenado (A,B) como el conjunto
(𝐴, 𝐵) = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
Al elemento A lo llamaremos primer elemento del par ordenado y al elemento B lo llamaremos,
segundo elemento del par ordenado”.
Producto Cartesiano
García (2010) y Recalde (s.f) definen al producto cartesiano como:
“Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B, notado A x B, como el
conjunto
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}”
Ejemplo:
Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑐, 𝑑}, hallar el producto cartesiano A x B
Solución:

3
Tema #4
El producto cartesiano A x B lo forman los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece
a A y el segundo elemento pertenece a B.
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑐); (𝑎, 𝑑); (𝑏, 𝑐); (𝑏, 𝑑); (𝑐, 𝑐); (𝑐, 𝑑)}
Dominio de una relación
De lo descrito por García (2010), el dominio de una relación se puede definir de la siguiente manera:
Sea 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑝(𝑎, 𝑏)} una relación, el dominio de la misma es:
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑎 ∈ 𝐴 /∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Es decir, que el dominio de una relación es el conjunto formado por las primeras componentes de
los pares de una relación.
Rango de una relación
De lo descrito por García (2010), el rango de una relación se puede definir de la siguiente manera:
Sea 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑝(𝑎, 𝑏)} una relación, el dominio de la misma es:
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑏 ∈ 𝐵 /∃ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Es decir, que el recorrido de una relación es el conjunto formado por las segundas componentes
de los pares de una relación.
Ejemplo:
Sean los conjuntos 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {1,2,3,4}, hallar:
a) El conjunto de pares ordenados que cumplen con la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 +
𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟} y 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵
b) El Dominio de R
c) El Rango de R
Solución:
• Primero hay que encontrar el producto A x B
𝐴 × 𝐵 = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4)}
• Luego encontramos la pares ordenados que cumplen con la relación:

4
Tema #4
(1,1) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 1 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 1 = 2 que es un número par, por lo tanto el par (1,1) cumple
con la relación.
(1,2) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 2 = 3 que es un número impar, por lo tanto el par (1,2) NO
cumple con la relación.
(1,3) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 3 = 4 que es un número par, por lo tanto el par (1,3) cumple
con la relación.
Y así sucesivamente hasta analizar todos los pares ordenados de A x B.
Entonces, respondiendo a las preguntas del ejercicio tenemos:
a) 𝑅 = {(1,1); (1,3); (2,2); (2,4); (3,1); (3,3)}
b) El Dominio de R serán todas las primeras componentes de los pares ordenados que forman
la relación:
𝐷𝑜𝑚 (𝑅) = {1,2,3}
c) El Rango de R serán todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman
la relación:
𝑅𝑎𝑛 (𝑅) = {1,2,3,4}
Definición de función
Según lo descrito por Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S.,(2012), si se consideran dos conjuntos
no vacíos A y B una función f definida en A con valores en B, o simplemente de A en B, es una
correspondencia que asocia a cada elemento A
x  un único elemento B
y  . La función así
definida se llama aplicación.
Notación
Las funciones se denotan con letras del alfabeto español o griego f, g, h, F, , , , etc. Y
simbólicamente por:

5
Tema #4
( )
x
f
y
x
B
A
f
=
→
→
:
ó ( )
x
f
y
B
A f
=
⎯→
⎯ ;
Dónde:
( )
x
f : se lee “f de x”
( )
x
f
y = : es la regla de correspondencia
y : es el valor o la imagen de x mediante f
x : es la pre imagen de y mediante f
Cualquier elemento arbitrario x del dominio de f se llama variable independiente y su imagen
correspondiente mediante f se llama variable dependiente. En el ejemplo del área del círculo, el
radio, r, es la variable independiente y el valor A del área es la variable dependiente, se escribe
( ) 0
>
;
2
r
r
r
A 
= .
La regla de correspondencia describe la forma como se obtiene el valor de la función ( )
x
f . Una
función está bien definida cuando se conocen su dominio y su regla de correspondencia.
Dominio de una función
Sea B
A
f →
: una función definida por la regla de correspondencia ( )
x
f
y = .
Al conjunto A se llama dominio de la función. Se denota por Dom (f).
Simbólicamente ( ) ( )
 
x
f
y
B
y
A
x
f
Dom =




= ! , ( ) A
f
Dom =
Rango de una función
Sea B
A
f →
: una función definida por la regla de correspondencia ( )
x
f
y = .

6
Tema #4
El subconjunto de B formado por los valores que la función asigna a cada uno de los elementos de
A, se llama rango o recorrido de la función. Se denota con Ran (f).
Simbólicamente ( ) ( )
 
x
f
y
A
x
B
y
f
Ran =




= , ( ) B
f
Ran 
Tomando en consideración a estas dos definiciones podemos indicar que dos funciones f y g son
iguales si y solo si:
a) f y g tienen el mismo dominio
b) ( ) ( ) ( )
f
Dom
x
x
g
x
f 

= ,
Ejemplos:
1) Si    
10
,
8
,
6
,
4
,
2
,
0
;
5
,
4
,
3
,
2
,
1 =
= B
A son dos conjuntos y B
A
f →
: es una función
definida por ( ) x
x
f 2
= . Hallar ( )
f
Dom y ( )
f
Ran
Solución:
( )  
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
f
Dom
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
   
10
,
8
,
6
,
4
,
2
5
,
4
,
3
,
2
,
1 =
= f
f
f
f
f
f
Ran
Luego ( )  
10
,
8
,
6
,
4
,
2
=
f
Ran
2) Sea la función g definida por 𝑔(𝑥) =
√6+𝑥
3−𝑥
, encontrar el dominio de g.
Solución:
La expresión
√6+𝑥
3−𝑥
es un número real si y solo si el radical √6 + 𝑥 NO es negativo y el denominador
3-x ES DISTINTO de cero. Con estas consideraciones g(x) existirá si solo si:
6 + 𝑥 ≥ 0 𝑦 3 − 𝑥 ≠ 0
Entonces:
𝑥 ≥ −6 𝑦 𝑥 ≠ 3
Esto se puede expresar como:
Dom g(x) = {𝑥 ∈ [−6,3[ ∪ ]3; ∞[}

7
Tema #4
3) Hallar el dominio y el rango de 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 𝑥 − 2
Solución:
El dominio está determinado por aquellos valores que tiene x que hacen válida la raíz:
𝑥2
− 𝑥 − 2 ≥ 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≥ 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ]−∞ , −1] ∪ [2 , +∞[
Para encontrar el rango, debemos considerar que serán todos los valores que pueda tomar y, en
este caso, los reales mayores que cero (recuerde que para que exista la raíz el valor que tiene
DEBE ser mayor o igual a cero)
Entonces:
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 ∈ [0 , +∞[
4) Determinar el rango de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = √
𝑥 − 3
1 − 3𝑥 + 2𝑥2
Solución:
Para encontrar el rango de la función debemos hallar los valores de y que permitan que exista la
misma, es decir, despejar x.
𝑓(𝑥) = 𝑦 = √
𝑥 − 3
1 − 3𝑥 + 2𝑥2
𝑦2
=
𝑥 − 3
1 − 3𝑥 + 2𝑥2
𝑦2(1 − 3𝑥 + 2𝑥2) = 𝑥 − 3
𝑦2
− 3𝑥𝑦2
+ 2𝑥2
𝑦2
− 𝑥 + 3 = 0
Agrupando:
2𝑥2
𝑦2
− (3𝑦2
+ 1)𝑥 + (𝑦2
+ 3) = 0
Es una ecuación de segundo grado donde:
𝑎 = 2𝑦2
, 𝑏 = 3𝑦2
+ 1 , 𝑐 = 𝑦2
+ 3

8
Tema #4
Utilizamos la fórmula general para encontrar x:
𝑥 =
3𝑦2
+ 1 ± √𝑦4 − 18𝑦2 + 1
4𝑦2
Entonces el rango para la función DEBE cumplir con lo siguiente::
4𝑦2
≠ 0 → 𝑦 ≠ 0
y que:
𝑦4
− 18𝑦2
+ 1 ≥ 0
𝑦 ∈ ]−∞ , 2 − √5] ∪ [2 + √5 , +∞[
Por lo tanto, el rango sería:
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 ∈ ]0, 2 − √5] ∪ [2 + √5, +∞[
4.2. Función Biyectiva e Inversa
Función Inyectiva
Una función “f” es univalente o inyectiva, si a elementos distintos del Dominio de f, le corresponden
elementos distintos del Rango.
Analíticamente tendremos:
f es inyectiva
( ) ( )
 
f
Dom
b
a
b
f
a
f
b
a 




 ;
;
f es inyectiva
( ) ( )
 
f
Dom
b
a
b
a
b
f
a
f 

=

=
 ;
;
Ejemplo:
Verificar si la función ( ) 1
2 +
= x
x
f es inyectiva:
Solución:
( ) ( )
b
f
a
f =
1
2
1
2 +
=
+ b
a
b
a 2
2 =

9
Tema #4
b
a =
Entonces la función ( ) 1
2 +
= x
x
f es inyectiva.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares
ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten
o no.
Función Sobreyectiva
Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemento de B es
imagen de al menos un elemento de A, bajo f.
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto
de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }
Simbólicamente: f es sobreyectiva, si el rango de la función es igual al conjunto de llegada.
B
Rangof =
Función Biyectiva
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la
vez.

10
Tema #4
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva.
En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un
elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función
BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
TEOREMA:
Si f es biyectiva, entonces su inversa
1
−
f es también una función y además biyectiva.
Función Inversa
Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J.
Entonces, la función inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por
la siguiente regla:
( ) ( ) x
y
f
y
x
f =

= −1
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo
único por f y que cumple:

11
Tema #4
I
I
f
o
f =
−1
 J
I
f
o
f =
−1
a) Propiedades Analíticas:
En funciones reales de una variable en el gráfico de la función inversa. Ejemplo de una función f y
de su inversa g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]
Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la
recta y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M
pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe
y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
Observaciones:
1. La notación
1
−
f se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números
reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.
2. La inversa de una función cuando existe, es única.

12
Tema #4
3. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva
siempre existe.
4. En general, las gráficas de f y
1
−
f son simétricas respecto a la función identidad y = x.
b) Método para hallar la inversa de una función:
Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la
inversa de la función f(x).
Proceso:
1. Se sustituye f(x) por y es la función dada.
2. Se intercambian x e y para obtener x = f(y).
3. Se despeja la variable y.
4. En la solución se escribe ( )
x
f 1
−
en vez de y.
Ejemplo:
1) Calcular la función inversa de:
( )
1
3
2
−
+
=
x
x
x
f
Se sustituye f(x) por y es la función dada.

13
Tema #4
1
3
2
−
+
=
x
x
y
Se intercambian x e y para obtener x = f(y).
1
3
2
−
+
=
y
y
x
Se despeja la variable y.
( ) 3
2
1 +
=
− y
y
x
3
2 +
=
− x
y
y
x
( ) 3
2 +
=
− x
x
y
2
3
−
+
=
x
x
y
En la solución se escribe ( )
x
f 1
−
en vez de y:
( )
2
3
1
−
+
=
−
x
x
x
f
Ejemplos de Aplicación:
Previo al análisis correspondiente, determine la inversa de las siguientes funciones:
1)
( ) ( )



−

=

=
0
<
,
0
,
x
si
x
x
si
x
x
f
x
x
f
Solución:
( ) ( )
b
f
a
f = 5
2
1
5
2
1
+
−
=
+
−
b
b
a
a
(a − 1)(2b + 5) = (b − 1)(2a + 5)
2ab + 5a − 2b − 5 = 2ab + 5b − 2a − 5

14
Tema #4
7a = 7b
b
a =
Es Inyectiva
( )
5
2
1
+
−
=
x
x
x
f
5
2
1
+
−
=
x
x
y
2xy + 5y = x − 1 2xy − x = −5y − 1
x(2y − 1 ) = −5y − 1 1
2
1
5
−
−
−
=
y
y
x
2y − 1 ≠ 0 y ≠
1
2






−

=
2
1
Rango


Rango
No es sobreyectiva.
Y transformamos en función sobreyectiva quitando el conjunto de llegada y colocando su rango:
( )
5
2
1
2
1
2
5
:
+
−
=
=
→






−

→






−
−

x
x
x
f
y
x
f
De este modo la función es inyectiva y sobreyectiva por lo tanto es biyectiva y podemos determinar
la función inversa para eso despejamos x de la función original que ya se hizo al determinar el rango
en la cual cambiamos en vez de x por y.
( )
1
2
1
5
2
1
2
5
:
1
1
−
−
−
=
=
→






−

→






−
−

−
−
x
x
x
f
y
x
f

15
Tema #4
2)
( )






−

−
=
0
1
0
1
2
2
x
si
x
x
si
x
x
g
Solución:
f(x) = 1 − x2
si x < 0 f(x) = x2
− 1 si x ≥ 0
f1(a) = f1(b) f2 (a) = f2 (b)
1 − a2
= 1 − b2
a2
− 1 = b2
− 1
a2
= b2
a2
= b2
|a| = |b| |a| = |b|
−a = −b a = b
a = b
Encontramos los rangos a partir de los dominios predeterminados
x < 0 x ≥ 0
x2
> 0 x2
≥ 0
−x2
< 0 x3
− 1 ≥ −1
1 − x2
< 1
f1(x) < 1 f2 (x) ≥ −1
En funciones por partes para que sea inyectiva también debe verificarse que:
Rango1 ∩ Rango2 = ∅

16
Tema #4
Como hay elementos en común en los rangos la función no es inyectiva por lo tanto no hay la
función inversa (∄ f−1
).

17
Tema #4
Recursos complementarios / Videos
Función:
https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE
Dominio y Rango:
https://www.youtube.com/watch?v=H40lcwlgPMk
https://www.youtube.com/watch?v=glhFLEZgnrE
Función Inversa:
https://www.youtube.com/watch?v=j1Z746lff4E
https://www.youtube.com/watch?v=zXq8ugfbM1E

18
Tema #4
Bibliografía
Bruño, s/n. (1984). Algebra. Curso Superior. España. Editorial Bruño.
García, J. (2010). Problemas de Matemática Universitaria. Ecuador. Escuela Politécnica del
Ejército
Lehmann, Ch. (1964). Algebra. México. Editorial Limusa.
Recalde, A (s.f). Apuntes de Clase Algebra. Ecuador. Departamento de Ciencias Exactas-Escuela
Politécnica del Ejército.
Silva, J. (2011). Matemática Básica. Ecuador. Departamento de Ciencias Exactas-Escuela
Politécnica del Ejército.
Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S. (2012). Precálculo, Matemáticas para el Cálculo. México.
Sexta Edición. Cengage Learning.

19
Tema #4
Actividades de aprendizaje autónomo
Descripción de la actividad
A) DADAS LAS SIGUIENTES RELACIONES, DETERMINAR EL DOMINIO Y EL
RECORRIDO
1. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 4𝑥 + 5}
2. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 𝑦2
− 4}
3. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 2𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0}
4. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0}
5. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 = √4 − 𝑥2}
B) DADAS LAS SIGUIENTES FUNCIONES ENCONTRAR EL DOMINIO DE LAS MISMAS
6. 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥2−5𝑥+4
+
𝑥−4
𝑥2−3𝑥+2
7. 𝑓(𝑥) =
√13+𝑥−√10+2𝑥
√19+2𝑥−5
8. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − √𝑥2 − 2𝑥
9. 𝑓(𝑥) = √
𝑥2
1+𝑥
3
10. 𝑓(𝑥) = √2 + 𝑥 − 𝑥2
C) DADAS LAS SIGUIENTES FUNCIONES ENCONTRAR EL RANGO DE LAS MISMAS
11. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 7
12. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
13. 𝑓(𝑥) =
4𝑥2−1
2𝑥+1
14. 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1| − 𝑥
15. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ |𝑥| − 𝑥 + 1

20
Tema #4
D) Calcule la función inversa de la siguiente función Biyectiva, y grafique las dos
funciones.
𝒇: ]−∞, 𝟎[ → [−𝟗, +∞[
𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟗
E) DETERMINE LA FUNCIÓN INVERSA, SI ES QUE EXISTE:
16. 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
3𝑥+4
17. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5
18. √𝑥 + 1
3

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