Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones algebraicas como polinómicas, racionales y radicales, así como funciones trascendentes como exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También explica conceptos como funciones biyectivas, inyectivas, sobreyectivas e inversas, y cómo identificar estas propiedades gráficamente. Por último, analiza funciones especiales como la parte entera de x y la función signo.

1. FUNCIONES

2. TIPOS DE FUNCIONES
Constantes
Polinómicas Lineales
Cuadráticas
Algebraicas Racionales
Radicales
Funciones A Partes
Exponenciales
Trascendentes Logarítmicas
Trigonométricas

3. Funciones Algebraicas
Las funciones algebraicas son aquellas que
se obtienen al realizar un numero finito de
adiciones, sustracciones ,multiplicaciones
divisiones y radicaciones con las funciones
constante e identidad.

4. FUNCIONES POLINOMICAS
Estas funciones vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones Lineales (primer grado)
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

5. FUNCIONES RACIONALES
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales
excepto los valores de x que anulan el denominador.
Dom:  - {-4}

6. FUNCIONES RADICALES
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
Dom: 
Dom: - {2,3}
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos
los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dom: (-,2]U[3, )
Dom: (-,-4)U(-4,2]U[3, )

7. FUNCIONES DEFINIDAS A PARTES
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren.
 Funciones en valor absoluto.
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a
trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus
raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada
intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los
intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
 Función parte entera de x.Es una función que a cada número real
hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.
 Función signo.
f(x) = sgn(x)

8. A continuación clasificamos las
funciones según el tipo de
aplicación

9. FUNCION BIYECTIVA
Sea f una función de A en B, f se dice
biyectiva si cumple con las
siguientes propiedades:
A.- Si f es inyectiva
B.-Si f es sobreyectiva

10. FUNCIÓN INYECTIVA: Sea f una función de A en
B se dice inyectiva o uno a uno, si para todo par de
elementos:
x₁,x₂ € A; f(x₁) ₌f (x₂), implica que X₁₌X₂
A B
0 0
0 0
0 0
0 0

11. Tambien podemos decir que una función es inyectiva , si
a elementos diferentes de A corresponden imágenes
diferentes de B. Es decir : V X₁, X₂ € A; X₁≠X₂ → f (X₁) ≠
f (X₂)
A B A
Bo 0 o 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
INYECTIVA NO ES INYECTIVA

12. Gráficamente se puede distinguir cuando una
función es inyectiva, si se trazan paralelas al
eje de las X, estas deben cortar la gráfica en un
solo punto.

13. N0 INYECTIVA
Esta función no
es inyectiva
porque al trazar
paralelas al eje X
se cortan en 2
puntos

14. FUNCION SOBREYECTIVA
Una función es sobreyectiva o sobre si, “todo
elemento del conjunto B es la imagen de al
menos un X del conjunto A, tal que f(x) = Y”
A B A B
1 4 1
Y 2
2 5 3
X
3 6 4
Z 5
SOBREYECTIVA NO SOBREYECTIVA

15. Otra manera de indicar una funcion sobreyectiva
es: f: A B cuando Rec(f)=(A). (Recorrido de f es
igual al conjunto de llegada).
A f B A g B
a 1 2 a
e 3 4 b
i 5 6 c
u
Rec.(f )= B G no es
F es sobreyectiva sobreyectiva

16. A h B A f B
2 a 1 a
6 b 5 b
8 c 5
c
10 7
H es sobreyectiva I no es sobreyectiva ya
que b y c € B no son
imágenes de A

17. Gráficamente se puede distinguir si una función
es sobreyectiva, al trazar paralelas al eje X; estas
deben cortar la grafica al menos en un punto
y y
x o x
o
NO SOBREYECTIVA
SOBREYECTIVA

18. Gráficamente una función es biyectiva, cuando
cualquier paralela el eje de las X esta corta la
gráfica en un punto.
En los siguientes diagramas ilustramos
distinguiremos a las funciones biyectivas
A f B A u B
a 7 a 7
b 9 b 9
c 11 c 11
Biyectiva No Biyectiva

19. FUNCION INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de
su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x

20. Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la
bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y
la inversa de una función, 1/f(x).

21. Teorema.- si F es una función biyectiva de A en B y g
la función de B en A definida por: g={(y ,
x)/y=f(x),XEA} entonces g define una función
inversa de f. Se nota f-1 , es decir que g= f-1
Observación.-La notación f-1 ≠1/f una función cuyo
conjunto de salida es el conjunto de llegada de la
directa (f)
f:A B f-1 :B A
Si la correspondencia inversa a la dada también es
función entonces se cumple que:
f-1 [f(x)]=f [f-1 (x)]=X

22. CÁLCULO DE f-1(x)
Sabemos que f-1= { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominio
de f = { (x, y) / y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremos
hallar la expresión de f-1(x), es decir, cuánto vale y en función del
valor de x si el par (x, y) pertenece a f-1¿qué haremos? Bien sencillo
decirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y).
Naturalmente, si x=f(y)es una ecuación, pues si la función viene
dada por una lista de pares no será necesario ningún cálculo y si la
función viene dada por una expresión más o menos compleja,
tendremos que estudiarla y ver si estamos en condiciones de
calcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos que
realicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos ya
representados.
Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades para
despejar "letras" en expresiones algebraicas, no tendremos
dificultades en el cálculo de la expresión de f-1(x)a partir de la
expresión de f(x).

23. Calcular la función inversa de:
Vamos a comprobar el resultado para x = 2
Vamos a comprobar el resultado para x = 2

24. Es la función definida por f (x)=c, donde c es un
numero real cualquiera. El dominio es el conjunto
de los números reales y el rango es el conjunto {c}.
Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje
en el punto (0;c).
y
c m =0
x
24

25. Observe el comportamiento de las siguientes curvas:
y y=f (x)
x
Una función f es creciente en un intervalo I, si para
todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2)

26. y y=g (x)
y
x
Una función g es decreciente en un intervalo I, si para
todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

27. y
CRECIENTE
X1 y X2 f(x2)
X1 < X2
f(x1)
f(x1) < f(x2)
X
y
X1 X2
- - - - - - - - -f(x1)
DECRECIENTE
f(x2) - - - - - - - - -
X1 y X2
X
X1 < X2
X1 X2 f(x1) > f(x2)

28. Función par
Una función f se dice par si ∀ x∈ D(f ) se verifica: f(x) = f(–x) (o sea, si
para cualquier x del dominio de la función, es decir, para todos los
valores de x para los que existe imagen, la imagen de x y la de su
opuesto –x coinciden).
Si nos fijamos en el gráfico, esto significa que la gráfica de la función
pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto
del eje OY. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, la
gráfica de una función par resulta ser simétrica respecto OY.

30. Función impar
Una función f se dice impar si ∀x∈D(f ) se verifica: –f(x) = f(–x).
Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de la función pasa por los
puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del punto O. Y
como esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de una
función par resulta ser simétrica respecto del origen de coordenadas.

31. -f(x)=-[3(1)3-2(1)]=[3-2]=-1

32. FUNCIÓN SIGNO
La función signo es una Función matemática especial, una Función
definida en partes, que obtiene el signo de cualquier número real que se
tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x), y no debe
confundirse con la función seno (sen(x) o bien sin(x)).
La función signo puede definirse de las siguientes maneras:
Donde su dominio es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.
sgn)(x)=

33. FUNCIÓN INDICATRIZ
Sea A un subconjunto no vacio de R, la función f de R en R definida por:
Se denomina función caracteristica de A.
Ejemplo:

34. La función de valor absoluto tiene por
ecuación f(x) = |x|, y siempre representa
distancias; por lo tanto, siempre será
positiva o nula.

35. Caracteristicas:
Su gráfica divide al primero y al segundo
cuadrante.
Asocia a cada número su valor absoluto, es
decir, que independiente del signo del numero
la funcion siempre toma valores no negtivos.

38. Construccion de Graficas De
Las Funciones Que Contienen
Valor Absoluto.
Existen 3 casos:
1.) y = f(ІxІ)
2.) y = Іf(x)І
3.) ІyІ = f(x)

39. Primer Caso.- para construir la grafica de y = fІxІ es
suficiente analizar la funcion y = f(x), las partes de la
curva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es
decir para x ≥ 0 permenecen inalterables, mientras
que, para x ‹ 0 se trasladan al lado contrario en forma
simétrica con relación al eje vertical, por cuanto
GRÁFICA

40. Segundo Caso.- para construir la gráfica de y=│f(x)│, es
suficiente analizar y=f (x) sin ninguna restricción. Las
partes de la curva donde y ≥0 permanece inalterables;
pero las partes de la grafica donde y<0 se invierten
simetricamente respecto al eje de las x. Es decir toda la
grafica se encuentra sobre el eje de las X.
GRÁFICA

41. Tercer Caso.-para construir la gráfica de │y│= f(x) es
suficiente analizar y=f (x). Las partes de la curva en la
que f(x) ≥ 0 se invierten simetricamente respecto al eje
de las x, pero las partes de l grafica donde f(x) < 0 se
eliminan. Se observa que │y│= f(x) tiene doble signo es
decir y=±f(x) es una relación.
GRÁFICO

42. FUNCIÓN PARTE ENTERA DE [X]
Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x],
que a cada número real hace corresponder el mayor
número entero que es menor o igual que él.
El hacer corresponder a cada número el entero
inmediatamente inferior, origina una gráfica
escalonada.
La función parte entera, notada E o con corchetes, se define
sobre el conjunto de los números reales así: donde [x] es el
mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
r≤x<r+1

43. EJEMPLOS
f(x) = E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1

44. EJEMPLOS
 f(x) = x - E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

45.  f(x)= [x] el dominio va hacer todos los reales.
f(x)= [x]= 0
o≤x<1
 Para comprobar los ejemplos se aplica la
siguiente fórmula r ≤ x < r + 1
 Entonces la función f definida en r por f(x)=[x]
se llama función parte entera.
 Esta función es creciente y no es biyectiva.