Este documento describe los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica cómo construir una recta numérica dividiendo el segmento unidad en partes iguales para representar los números racionales. Luego, introduce números irracionales como raíz cuadrada de 2 y pi, que no pueden expresarse como fracciones y tienen decimales no periódicos. Finalmente, define el conjunto de los números reales como la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales, completando así la recta numérica.

1. Guía 10:Guía 10:
Los Números RealesLos Números Reales
Racionales e IrracionalesRacionales e Irracionales

2. Durante el estudio de los Conjuntos Numéricos,
nos apoyamos en la representación gráfica de
estos.
Esta representación consiste en asociar a cada
punto de una línea recta un número, creando
así una Recta NuméricaRecta Numérica.

3. Lo primero que debemos definir es
dónde se ubicará el CERO y el largo
del segmento unidad.
¿Qué necesitamos para construir una
recta numérica?

4. El primer conjunto numérico que
representamos fue el Conjunto de los
Números Naturales.

5. Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas
que no pueden ser resueltos sólo con los Números
Naturales. Entonces ampliamos este conjunto
considerando la metáfora del Espejo y así asociamos
a cada número natural un número negativo.

6. Continuando el estudio, nos volvimos a
enfrentar con situaciones donde el conjunto
numérico tratado, no era suficiente para
resolver variados problemas.

7. Puede ser en :
La estrategia entonces fue dividir el segmentoLa estrategia entonces fue dividir el segmento
unidad en partes iguales.unidad en partes iguales.
O quizás 10, 20, 100, 1000… ¡el número
de partes que se necesite!
2222 3333 4444 5555

8. Todos estos números forman parte del
conjunto de los Números Racionales.
¿Son los Números Enteros parte del
conjunto de lo Números Racionales?

9. ¿Habremos finalizado la construcción de
una recta numérica?
¿Todos los puntos de la recta tendrán
asociado un número?
Veamos el siguiente caso…

10. En el año 530 a. C. existió una escuela en
Grecia, dedicada al estudio de la
filosofía, matemática y las ciencias
naturales. Esta escuela era conocida por
el nombre de su fundador como La
Escuela Pitagórica.

11. En uno de sus estudios se encontraron
con el siguiente problema:
¿Cuánto mide la¿Cuánto mide la
diagonal de undiagonal de un
cuadrado cuyo ladocuadrado cuyo lado
mide 1?mide 1?

12. Para determinar el valor de x ubicaremos
el cuadrado sobre la recta numérica y
también la diagonal:
¿Cuál crees que es el valor de x?

13. Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos
tener una mejor aproximación.
¿Cuánto crees ahora que mide?

14. Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica
calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de
Pitágoras
¡Calcúlalo!

15. ¡Exactamente!
Ese punto en la recta no es nada menos que
22222
2

16. = 1, 41421 35623 73095 04880 16887
24209 69807 85696 71875 37694
80731 76679 73799 …
En una calculadora, calcula
¿Qué valor obtuviste?
2
Aquí te presentamos su valor con los primeros 65 decimales:
2
Y aun tiene más decimales …

17. Veamos otra situación,
Consideremos una circunferencia
cuyo diámetro mide uno.
¿Cuánto mide el perímetro de esta
circunferencia?
Observa la siguiente animación:

18. La letra π se lee ‘pi’ y representa el resultado de la
pregunta anterior.
Según lo que viste en la animación, ¿cuánto vale π?

19. π = 3,1415926535 8979323846 2643383279
5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825
3421170679 …
Estos son los primeros 100 decimales de π:
Y aun tiene más decimales …

20. ¿Qué características tienen en común estos
dos números?
¿Notas alguna diferencia o similitud con los
números del Conjunto de los Racionales?
Y así como estos dos números, hay muchos más en la
recta numérica.

21. Consideremos un número decimal que
posee infinitos dígitos después de lainfinitos dígitos después de la
comacoma. Si en estos dígitos se observa un
periodoperiodo, entonces decimos que es el
resultado de una división de dosdivisión de dos
números enterosnúmeros enteros y se puede expresa
como una fracción. Hablamos de un
Número RacionalNúmero Racional.
Podemos pesar así,

22. ¿Podrías dar 3 ejemplos?
Escríbelos

23. Por otra parte, si este desarrollo
decimal no posee periodono posee periodo, no se
tratará de un cuociente entre
números enteros, es decir, no es un
Número Racional.
Este tipo de número recibe el nombre
de Número IrracionalNúmero Irracional.

24. ¿Podrías dar 3 ejemplos?
Escríbelos

25. Finalmente, todos los problemas que has estudiado
hasta el momento tienen solución en un solo gran
conjunto en que se unen el Conjunto de losConjunto de los
Números RacionalesNúmeros Racionales y el Conjunto de los NúmerosConjunto de los Números
IrracionalesIrracionales y se conoce como
Conjunto de los Números Reales
IR

26. De esta manera hemos completado la
recta numérica, asociando a cada
punto de ella un número real.

29. 22 partespartes22 partespartes

30. 3 partes3 partes3 partes3 partes

31. 44 partespartes44 partespartes

32. 55 partespartes55 partespartes