IO - introduccion

1. INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES I
Ing. César Canelo Sotelo

2. PROGRAMACIÓN LINEAL
• La programación lineal es una técnica de optimización
que consiste en la maximización o minimización de una
función lineal llamada función objetivo, sujeta a
restricciones también lineales.
• La programación lineal es una herramienta para resolver
problemas de optimización.

3. PROGRAMACIÓN LINEAL
Un problema de programación lineal es un problema de
optimización para el cual se efectúa lo siguiente:
1) Se intenta maximizar (minimizar) una función lineal de
las variables de decisión. La función que se desea
maximizar o minimizar se llama función objetivo.
2) Los valores de las variables de decisión deben
satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción
debe ser una ecuación lineal o una desigualdad lineal.
3) Se relaciona una restricción de signo con cada
variable. Para cualquier variable xi, la restricción de signo
especifica que xi no debe ser negativa (xi>=0) o ser sin
restricción de signo (SRS).

4. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
El modelo de programación lineal esta conformado por:
1. Un conjunto de variables de decisión.
2. Una función objetivo.
3. Un conjunto de restricciones:
a) Restricciones estructurales.
b) Restricciones de no negatividad de las variables.

5. FORMA GENERAL DEL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Función objetivo:
Max o Min Z = c x
Sujeto a:
No negatividad:
x >= 0

6. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Z: Función objetivo.
c: Vector fila de n elementos. Es el vector de
coeficientes de las variables en la función objetivo.
x: Vector columna de n elementos. Es el vector de
variables de decisión del modelo.
A: Matriz mxn. Los elementos de la matriz A son los
coeficientes de las variables en el lado izquierdo de
las restricciones.
b: Vector columna de m elementos. Es el vector de
constantes de los lados derecho de las restricciones.

7. El modelo de programación lineal
Función objetivo:
Z = C1xn Xnx1
Sujeto a:
<=
Amxn Xnx1 = bmx1
>=
No-negatividad:
Xj >= 0
j= 1, 2, … , n

8. FORMA GENERAL DESARROLLADA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Función objetivo:
Max o Min Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s. a. :
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn <= b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . … . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn >= bm
xj >= 0
j=1, 2, … , n

9. FORMA CANÓNICA DEL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Función objetivo:
Max Z = cx
s. a. :
Ax <= b
x >= 0

10. FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Función objetivo:
Max Z = cx
s. a. :
Ax = b
x >= 0

11. FORMA MIXTA DEL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Función objetivo:
Max Z o Min Z = cx
s. a. :
<=
Ax >= b
x >= 0

12. SUPOSICIONES DE LA PROGRAMACIÓN
LINEAL
UNA SOLA FUNCIÓN OBJETIVO
Todo modelo de programación lineal tiene una sola
función objetivo: maximización o minimización.

13. SUPOSICIONES DE LA PROGRAMACIÓN
LINEAL
SUPOSICIÓN DE PROPORCIONALIDAD
Esta suposición se cumple tanto en la función objetivo
como en las restricciones.
1) La contribución a la función objetivo de cada variable
de decisión, es proporcional al valor de la variable.
2) La contribución de cada variable al primer miembro
de cada restricción, es proporcional al valor de la variable.

14. SUPOSICIONES DE LA PROGRAMACIÓN
LINEAL
SUPOSICIÓN DE ADITIVIDAD
Esta suposición también se cumple tanto en la función
objetivo como en las restricciones. Tanto en la función
objetivo como en las restricciones, no se puede dar el
producto cruzado de dos o más variables.
1) La contribución a la función objetivo para cualquier
variable, es independiente de los valores de las otras
variables de decisión.
2) La contribución de una variable al primer miembro de
cada restricción, es independiente de los valores de la
variable.

15. SUPOSICIONES DE LA PROGRAMACIÓN
LINEAL
SUPOSICIÓN DE DIVISIBILIDAD
Esta suposición requiere que todas las variables de
decisión puedan asumir valores fraccionarios. Un
problema de PL en el cual algunas de las variables, o
todas, debe ser un número entero no negativo, recibe el
nombre de problema de programación lineal entera. En
muchas situaciones donde la divisibilidad no está
presente, el redondeo de las variables a un entero, en la
solución óptima de PL, proporciona una solución
razonable.

16. SUPOSICIONES DE LA PROGRAMACIÓN
LINEAL
SUPOSICIÓN DE CERTIDUMBRE
Por esta suposición se requiere conocer con certeza
todos los parámetros del modelo de programación lineal:
coeficientes en la función objetivo (cj), coeficientes
tecnológicos (aij) y segundo miembro de las restricciones
(bi).
Para que un modelo de programación lineal represente
en forma adecuada una situación de la vida cotidiana,
éste debe cumplir todas las suposiciones de la
programación lineal.

17. FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL
• No existe una fórmula general que se pueda usar para
formular el modelo de todo problema lineal.
• El objetivo es convertir la descripción cualitativa del
problema a un modelo matemático que pueda resolverse.
Este proceso se llama formulación del modelo de
programación lineal y generalmente implica cuatro
pasos.

18. Formulación del modelo de programación
lineal
1. IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE
DECISIÓN
El primer paso en la formulación del modelo es identificar
las variables de decisión. Los valores de estas
variables, una vez determinados, proporcionan la solución
al problema.
Las variables deben ser precisas, es decir que su
definición deben incluir las unidades asociadas con las
cantidades que las variables representan.
La necesidad de identificar las variables de decisión
correctamente es vital. De otra manera, la formulación de
un modelo válido que capte todos los aspectos del
problema es imposible.

19. Formulación del modelo de programación
lineal
La definición de las variables no es única, y no existen reglas
fijas, sin embargo son útiles las siguientes pautas para la adecuada
identificación de las variables de decisión.
¿Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para
el problema?
¿Qué elementos se pueden elegir y/o controlar libremente?
¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias o, en general, el
objetivo global?
¿Qué decisiones se tienen que tomar?
Para el ejemplo, las respuestas a todas estas preguntas son iguales y
llevan a la identificación de las variables de decisión.

20. Formulación del modelo de programación lineal
2. IDENTIFICACIÓN DE LOS DATOS DEL PROBLEMA
La finalidad de resolver un problema es proporcionar los
valores reales a las variables de decisión que se han
identificado. Se requiere conocer cierta información para
ayudar a determinar esos valores.
A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores
se pueden controlar, los valores de los datos son
constantes y no se pueden controlar.

21. Formulación del modelo de programación lineal
3. IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
En este paso de la formulación, se debe expresar el objetivo
organizacional global en forma matemática usando las variables de
decisión y los datos conocidos del problema. La función objetivo,
generalmente se formula en dos etapas:
- Establecer el objetivo en forma verbal.
- Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma,
diferencia o producto de cantidades individuales, usando las variables de
decisión y otros datos del problema conocidos.
4. IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES
La función objetivo planteada dice que mientras más grande sea el valor
de las variables, más grande será la ganancia. Pero el mundo real pone un
límite en los valores que puede asignar a estas variables. Un número
limitado de horas de trabajo disponible, el stock de materia prima
disponible, las horas máquina disponible, etc., son limitaciones del sistema.
Estas limitaciones, así como otras consideraciones que imponen
restricciones sobre los valores de las variables, son las restricciones. Se
tiene que identificar cada restricción y escribirlas en forma matemática.

22. Formulación del modelo de programación lineal
Las restricciones son condiciones que las variables de decisión
deben satisfacer para constituir una solución “factible”. Las
restricciones por lo general surgen de:
Limitaciones físicas (recursos disponibles en cantidades
limitadas).
Restricciones impuestas por la administración
(compromisos asumidos por la administración).
Restricciones externas (capacidad del mercado).
Relaciones implicadas entre variables.
Restricciones lógicas (no negatividad sobre las variables, no
se puede producir una cantidad negativa de un producto).

23. Problema
Química S.A. produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de producción.
El proceso de producción de los solventes consta de mezclado y purificación. El
departamento de mezclado emplea a 5 trabajadores a tiempo completo que
trabajan 40 horas a la semana y 2 a tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la
semana. Estas personas operan las 7 máquinas que mezclan ciertos químicos
para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado
para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene 7
purificadores y emplea a 6 trabajadores de tiempo completo que trabajan 40
horas a la semana y a uno de tiempo parcial que trabaja 10 horas a la semana.
Se tienen los siguientes datos de requerimiento de tiempo de proceso de los
solventes en ambos departamentos:
Química S.A. tiene una provisión casi ilimitada de la materia prima que necesita
para producir los dos solventes. Química S.A. puede vender toda la cantidad
producida de CS-01, pero la demanda del producto más especializado, el CS-02,
está limitada a lo más a 120,000 galones por semana. El departamento de
contabilidad asigna un margen de ganancia de $0.30 por galón de CS-01 y de
$0.50 por galón de CS-02.
Formule el modelo de programación lineal para determinar el plan de producción
óptimo semanal para Química S.A.
Horas por miles de galones de
CS-01 CS-02
Mezclado
Purificación
2 1
1 2

24. Formulación del modelo de Programación Lineal
VARIABLES:
X1 = Número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.
X2 = Número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Max Z = 300X1 + 500X2 Maximización de ganancias.
SUJETO A:
2X1 + 1X2 <= 230 Horas disponibles en el dpto. mezclado.
1X1 + 2X2 <= 250 Horas disponibles en el dpto. purificación.
X2 <= 120 Límite máximo de CS-02
No negatividad:
X1, X2 >= 0

25. Problemas comunes de Programación Lineal
• Problema de la dieta
Se trata de preparar una dieta que cumpla con una
serie de exigencias a un costo mínimo.
• Problema de programación de personal
Este problema trata de programar el horario de trabajo
del personal, de tal manera que se satisfaga los
requerimientos de personal en cada período de tiempo,
a costo mínimo.
• Problema de planificación de inversiones de capital
Este problema trata de planificar las inversiones de
capital a corto o largo plazo, en diferentes alternativas,
de tal manera que se maximice el beneficio.

26. Problemas comunes de Programación Lineal
• Problema de mezcla
Este problema trata de determinar la proporción en que
deben mezclarse varios insumos para la producción de
bienes para su venta, tal que se maximice el beneficio.
• Problema de proceso de producción
Este problema trata de determinar cómo se relaciona
los productos de una etapa superior del proceso de
producción con los productos de una etapa temprana,
de tal manera que se maximice el beneficio o se
minimice el costo.

27. Problemas comunes de Programación Lineal
• Problema de producción e inventario
Este problema trata de determinar un programa de
producción e inventario para un período de tiempo, de
tal manera que se cumpla con satisfacer la demanda
en el período, a un costo mínimo.
• Problema de transporte
Este problema trata de planificar el envío de bienes o
servicios desde cierto lugares de origen hacia otros
lugares de destino, a un costo de transporte mínimo.

28. G R A C I A S