51513215-14226046-Problema01.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO
Semestre 2009 – I
INTRODUCCION
El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y
ejercicios de Estadística propuestos y resueltos.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I

Semestre 2009 – I
1. Conviertase la distribución obtenida en el ejercicio anterior en una distribución
acumulada “menor que” y bosquéjese su ojiva
* DESARROLLO
INTERVALO CONTEO Fi Fi
15.9 – 19.0 ||| 3 3
20.0 – 24.9 |||| |||| |||| 15 18
25.0 – 29.9 |||| |||| |||| |||| |||| 24 42
30.0 – 34.9 |||| |||| || 12 54
35.0 – 39.9 |||| | 6 60
60 177
OJIVA "MENOR QUE"
0
10
20
30
40
50
60
15 20 25 30 35 40
LS
Fi
2. Las marcas de clase de una distribución de lecturas de temperatura (dadas al
grado Celsius más cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calcúlese:
(a) las fronteras de clase;
(b) los limites de clase.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Tenemos que : TIC = X’2 - X’1 = 9
y sabemos también que :
TIC TIC
LSi = X’i + ---------- , L Ii = X’i - ---------
2 2
Luego tenemos :
TIC 9
L Ii = X’i - -------  L Ii = 16 - -------- = 11.50
2 2
TIC 9
LSi = X’i + -------  LS1 = 16 + ------- = 20.5
2 2
(a) Según lo anteriormente hallado, los limites de clase son :
11.5 - 20.5
20.5 - 29.5
29.5 - 38.5
38.5 - 47.5
47.5 - 56.5
56.5 - 65.5
(b) Para calcular la primera frontera redondeamos por exceso el primer limite encontrado, y sí seguimos
sucesivamente con este criterio obtenemos:
12 - 21
22 - 30
31 - 39
40 - 48
49 - 57
58 - 66

Semestre 2009 – I
3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se
obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que
produjeron los trabajadores:
65 36 49 84 79 56 28 43 67 36
43 78 37 40 68 72 55 62 22 82
88 50 60 56 57 46 39 57 73 65
59 48 76 74 70 51 40 75 56 45
35 62 52 63 32 80 64 53 74 34
76 60 48 55 51 54 45 44 35 51
21 35 61 45 33 61 77 60 85 68
45 53 34 67 42 69 52 68 52 47
62 65 55 61 73 50 53 59 41 54
41 74 82 58 26 35 47 50 38 70
Agrúpense estos datos en una distribución que tenga las clases 20-29, 30-39,
40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.
* DESARROLLO
INTERVALO CONTEO fi Fi hi Hi
20 - 29 |||| 4 4 0.04 0.04
30 - 39 |||| |||| ||| 13 17 0.13 0.17
40 - 49 |||| |||| |||| ||| 18 35 0.18 0.35
50 - 59 |||| |||| |||| |||| |||| 25 60 0.25 0.60
60 - 69 |||| |||| |||| |||| 20 80 0.20 0.80
70 - 79 |||| |||| |||| 14 94 0.14 0.94
80 - 89 |||| | 6 100 0.06 1.00
100 1.00
4. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 3 en una distribución
porcentual acumulada “menor que” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
 Con la tabla del ejercicio 3, hacemos la ojiva, para una distribución
porcentual acumulada (Hi) :
OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION
PORCENTUAL ACUMULADA (Hi)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
20 30 40 50 60 70 80 90
Limites de intervalo de clase
Frecuencia
acumulada
relativa
del
intervalo
de
clase
5. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren
en 60 cruces más transitadas en cierta ciudad en un fin de semana de diciembre:
0 2 5 0 1 4 1 0 2 1
5 0 1 3 0 0 2 1 3 1
1 4 0 2 4 1 2 4 0 4
3 5 0 1 3 6 4 2 0 2
0 2 3 0 4 2 5 1 1 2
2 1 6 5 0 3 3 0 0 4
Agrúpense estos datos en una distribución de frecuencia que muestre qué tan a
menudo ocurre cada uno de los valores y dibújese un diagrama de barras.
* DESARROLLO
# de accidentes fin de
semana
CONTEO fi Fi
0 |||| |||| |||| 15 15
1 |||| |||| || 12 27

Semestre 2009 – I
2 |||| |||| | 11 38
3 |||| || 7 45
4 |||| ||| 8 53
5 |||| 5 58
6 || 2 60
60 267
0
2
4
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
VECES QUE OCURREN
0
2
4
6
NUMERO
DE
ACCIDENTES
ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE
OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE
6. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 2.14 en una distribución
acumulada “o mayor” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
OJIVA "O MAYOR" DE ACCIDENTES
AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN
DE SEMANA DE DICIEMBRE
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7
NUMERO DE ACCIDENTES
Fi
"mayor
que"
7. Las distribuciones categóricas a menudo se presentan gráficamente por medio
de gráficas circulares en las que un círculo se divide en sectores proporcionales a
las frecuencias (o porcentajes) con que los datos están distribuidos entre las
categorías. Dibújese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos
obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidió juzgar la
maniobrabilidad de cierto automóvil como muy buena, buena, adecuada, excelente
y malisima
* DESARROLLO
DATO
CUALITATIVO
CONTEO Fi hi
Muy Buena |||| |||| 10 0.2
Buena |||| |||| |||| |||| 20 0.5
Adecuada |||| | 06 0.15

Semestre 2009 – I
Excelente ||| 03 0.07
Malisima | 01 0.08
40 1.00
MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL
MUY BUENA
25%
BUENA
49%
ADECUADA
15%
EXCELENTE
8%
MALISIMA
3%
8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cápita
en Estados Unidos se duplicó de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 ¿Comunica
en el pictograma una impresión “adecuada” del cambio real? Si no es así,
establece cómo podría ser modificado.
* DESARROLLO
 El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real
obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresión de que el area
de una de ellas sea el doble de la otra.
Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas,
así :

Semestre 2009 – I
1977 1986
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
INGRESO
EN
DOLARES
1977 1986
AÑOS
INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.
9. Los siguientes datos provienen de la producción diaria de un pozo petrolero (en
barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212,
205 y 220. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*,
20*, ……., y 24*.
* DESARROLLO
Ordenando los datos para facilitar el trabajo :
198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243
19 · 8
20 * 0 2 3 3
20 · 5 7 8 8
21 * 2 4
21 · 7
22 * 0
22 · 5 6
24 * 3

Semestre 2009 – I
10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo máximo anual de un río
en m3
/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y
508. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.
* DESARROLLO
Ordenando los datos para hacer un buen trabajo :
267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612
200* 67 88 95
300* 17 35 70 83 91
400* 05 19 34 62
500* 08 40
600* 12
11. Lístense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y
hojas:
(a) 1* 3 2 5 7 1 4 8
(b) 23 4 0 0 1 6
(c) 2* 35 18 57 03
(d) 3.2 1 7 4 4 3
* DESARROLLO
Los datos que corresponden son :
(a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18

Semestre 2009 – I
(b) 234, 230, 230, 231, 236
(c) 235, 218, 257, 203
(d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23
12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con más tallos de los que
ordinariamente deberían haber, se podría utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4
* como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendría así el diagrama de doble tallo
para las lecturas de humedad.
* DESARROLLO
Como son muchos datos lo haremos directamente, así :
2 * 1 2
2 6 8
3 * 4 2 3 4
3 5 6 5 7 5 9 5 8 6
4 * 3 1 0 2 0 3 4 1
4 5 8 9 8 5 6 5 7 5 7
5 * 0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4
5 9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6
6 * 2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0
6 5 5 7 8 9 8 7 5 8
7 * 4 4 0 3 2 3 4 0
7 6 8 6 9 7 5
8 * 2 4 0 2
8 8 5
13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una
distribución de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en

Semestre 2009 – I
lugar de 2 y 3, ƒ para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de
tallos y hojas resultante se denomina diagrama de cinco tallos.
(a) Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes
a un programa de ingeniería para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125,
112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.
(b) El siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos :
53ƒ 5 4 4 4 5 4
53s 6 7 6 6
53* 9 8
54 * 1
* DESARROLLO
Sustitutos * ∏ 0 y 1
t ∏ 2 y 3
f ∏ 4 y 5
s ∏ 6 y 7
∏ 8 y 9
(a) Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112,
112, 112, 115, 125, 128
10f 4
10s 6 6 6 7
10· 8 8 9 9 9
11* 0 0 1 1
11t 2 2 2
11f 5 5
11· 8
12f 5

Semestre 2009 – I
12· 8
(b) Las mediciones correspondientes son:
534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.
14. Los siguientes datos son los números de torsiones requeridas para 12 barras de
cierta aleación: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calcúlese
(a) la media y la mediana
* DESARROLLO
Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54
(a) Hallamos la mediana:
23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 420
X = ---------------------------------------------------------------------------- = --------- = 35
12 12
(b) La mediana es la medida de algún dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la
derecha y la mitad de datos a la izquierda
23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54
34 + 35
Luego : Me = --------------- = 34.5
2
15. En relación con el ejercicio anterior, encuéntrese s utilizando
(a) la fórmula que define s.
(b) la fórmula de cálculo para s.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) Se sabe que s (desviación estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s2
,
(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relación
a X (media), así :
(23-35)2
+ (24-35)2
+ …. + (54-35)2
946
s2
= ------------------------------------------------ = ------------- = 78.83
12 12
entonces : s = 8.88
529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916
(b) s2
= [ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ] …..…
12
23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54
-- [ ----------------------------------------------------------------------------- ]2
12
15646 420
s2
= [ -----------] - [ -------------- ]2
= 1303.83 - 1225 = 78.83
12 12
entonces : s = 8.88
16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de
ingeniería es de $125 000, ¿ puede alguno de ellos recibir $ 400 000?
* DESARROLLO
Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3
Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000
Este resultado nos afirma que ningún ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.
17. Por error un profesor borró la calificación que obtuvo uno de sus diez alumnos.
Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y

Semestre 2009 – I
92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, ¿qué calificación borró el
profesor?
* DESARROLLO
Aplicando la definición de media tendremos:
X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x
----------------------------------------------------------
10
Como:
605 + x
X = 67 = -----------
10
Luego : 605 + x = 670 , Entonces : x = 75
18. Los siguientes datos son el número de minutos que en 15 días laborales una
persona tiene que esperar el autobús que la llevará a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9,
2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuéntrese :
(a) la media
(b) la mediana
* DESARROLLO
Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17
(a) La media :
1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120
X = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 8
15 15

Semestre 2009 – I
(b) La mediana:
Como son 15 datos la mediana estará en el lugar ( 15+1 ) / 2 = 8° LUGAR en este caso, Me = 9
19. En relación con el ejercicio anterior, calculese s2
cuando:
(a) la fórmula que define s2
(b) la fórmula de cálculo para s2
* DESARROLLO
( 1 - 8 )2
+ ( 2 - 8 )2
+ ………….. + ( 17 - 8 )2
(a) S2
= -------------------------------------------------------------- =
15
49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328
S2
= ------------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 21.87
15 15
1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (8)2
(b) S2
= ------------------------------------------------------------------------------------------------ --
15
S2
= 85.87 - 64 = 21.87
20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura máxima
diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102,
98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de
85 y crítiquese la afirmación de que, en Hermosillo, la temperatura máxima diaria
promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.
* DESARROLLO
Hallamos la media de la temperatura máxima en Hermosillo:

Semestre 2009 – I
65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020
X = ------------------------------------------------------------------------------ = ---------- = 85°F
12 12
* Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 °F es confortable, que quiere decir que una
temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.
21. En relación con al ejercicio anterior, calcúlese la media y la mediana de los
datos de producción diaria de un pozo de petróleo.
* DESARROLLO
(a) Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226,
243
Calculando la media: n = 16
198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243
X = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
3391
X = ---------- = 211.94
16
(b) Como son 16 datos la mediana será :
16 8° + 9° 208 + 208
Lugar ------ = 8 ° LUGAR Me = -------------- = -------------- = 208
2 2 2
22. Con respecto al ejercicio anterior, encuéntrese la desviación estándar del flujo
máximo anual del rio.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Ordenando los datos tenemos:
267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612
En primer lugar hallamos la media :
267 + 288 + 295 + 317 + 335 + 370 + 383 + 391 + 405 + 419 + 434 + 462 + 508 + 540 + 612
X = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
X = 401.73
n S2
= (267 - X )2
+ ( 288 - X)2
+ ( 295 - X)2
+ …………….. + ( 612 - X )2
nS2
= 18152.17 + 12934.51 + 11391.29 + 7179.17 + 4452.89 + 1006.79 + 350.81 + 115.13 + 10.69 +
298.25 + 1041.35 + 3632.47 + 11293.31 +19118.59 + 44213.47
nS2
= 135,190.89
135,190.89
S2
= ---------------- = 9,012.726  S = 94.935
15
23. Para las cuatro observaciones 9, 7 15 y 5,
(a) calcúlese las desviaciones (xi – x) y compruébese que sumen cero;
(b) calcúlese la varianza y la desviación estándar
Sean X1
= 9
X2
= 7
X3
= 15
X4
= 5
* DESARROLLO
(a) Calculamos las desviaciones, respetando el signo :
∑ (Xi - X) = ( 9 - 9 ) + ( 7 - 9 ) + ( 15 - 9 ) + ( 5 - 9 ) = 0 - 2 + 6 - 4 = 0

Semestre 2009 – I
(b) Calculamos la Varianza:
∑ (Xi - X)2
( 9 - 9 )2
+ ( 7 - 9 )2
+ ( 15 - 9 )2
+ ( 5 - 9 )2
S2
= ----------------- = ----------------------------------------------------- = 14
n 4
24.En relación con el ejercicio, calcúlese X y S.
* DESARROLLO
Los datos son los siguientes :
166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150
X = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
2334
X = --------- = 155.6
15
Para hallar la desviación estandar, hallamos S2
∑ (Xi - X)2
(166 - X )2
+ ( 141 - X )2
+ ………………+ ( 150 - X )2
S2
= ----------------- = ------------------------------------------------------------------------
n 15
nS2
=108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 +
556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36
n S2
=2 847.6
S2
= ( 2847.6 ) / 15 =189.84
entonces: S= 13.78
25.calcular la media y la varianza de las resistencias a la ruptura.
* DESARROLLO
Para hallar la media y variancia de estos datos agrupados:
INTERVALO Xi’ fi

Semestre 2009 – I
15.0 - 19.9 17.45 3
20.0 - 24.9 22.45 15
25.0 - 29.9 27.45 24
30.0 - 34.9 32.45 12
35.0 - 39.9 37.45 6
60
La media se hallaria:
(17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + …………………….. + ( 37.45 x 6 ) 1662
X = ------------- ----------------------------------------------------------------------- = -------- = 27.7
60 60
La variancia se hallaria:
( 17.452
x 3 ) + ….. + ( 37.452
x 6 ) [ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]2
S2
= ------------------------------------------- - -------------------------------------------
60 - 1 60 ( 60 - 1 )
S2
= 26.63
26. Empléese la distribución obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y
la desviación estándar de los tiempos de ignición. Determínese también el
coeficiente de variación.
* DESARROLLO
En la tabla tenemos 80 datos; por lo tanto emplearemos k = 1 + 3.3 log (n)
k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28 7
Xmax = 12.80
Xmin = 1.20
RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6
INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7

Semestre 2009 – I
INTERVALOS fi Xi’
1.20 - 2.89 20 2.05
2.90 - 4.59 16 3.75
4.60 - 6.29 18 5.45
6.30 - 7.99 14 7.15
8.00 - 9.69 7 8.85
9.70 - 11.39 3 10.55
11.40 - 13.09 2 12.25
80
Hallamos la media :
( 20 x 2.5 ) + (16 x 3.75 ) + …………….+ (2 x 12.25)
X = ----------------------------------------------------------------------- = 5.21
80
80 ( 2825.75 ) - ( 417.30 )2
S2
= -------------------------------------- = 8.21
80.79
entonces S = 2.86
Hallemos : Coeficiente de Variación : (S / X) x 100%
2.86
C.V. = ---------- x 100 % = 54.89 %
5.21
27. Utilícese la distribución obtenida en el ejercicio, para determinar el coeficiente
de variación de los datos de productividad.
Copiamos fielmente la distribución del ejercicio:
INTERVALO Xi’ fi Fi hi Hi
20 - 29 24.5 4 4 0.04 0.04
30 - 39 34.5 13 17 0.13 0.17
40 - 49 44.5 18 35 0.18 0.35
50 - 59 54.5 25 60 0.25 0.60
60 - 69 64.5 20 80 0.20 0.80
70 - 79 74.5 14 94 0.14 0.94

Semestre 2009 – I
80 - 89 84.5 6 100 0.06 1.00
100 1.00
Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviación estandar :
( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ……………..+ ( 6 x 84.5 )
X = ---------------------------------------------------------------------------- = 55.5
100
100 x ( 331,525 ) - (5550)2
S2
= ---------------------------------------- = 237.37
100 x 99
entonces : S = 15.41
15.41
C.V. = ----------- x 100 % = 27.77
55.5
28. En tres años recientes, el precio del cobre fue de 69.6, 66.8 y de 66.3
centavos por libra, y el precio del carbón bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de
22.40 dólares por tonelada corta. ¿Cuál de estos dos conjuntos de precios es
relativamente más variable?
Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3
Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40
* DESARROLLO
Comparemos los C.V. de las dos medidas :
69.6 + 66.8 + 66.3
X1 = ---------------------------- = 67.57
3
19.43 + 19.82 + 22.40
X2 = --------------------------------- = 20.55

Semestre 2009 – I
3
( 69.6 - 67.57 )2
+ ( 66.8 - 67.57 )2
+ ( 66.3 - 67.57 )2
S1
2
= ------------------------------------------------------------------------------------------
= 6.3267
3
S1 = 2.52
( 19.43 - 20.55 )2
+ ( 19.82 - 20.55 )2
+ ( 22.40 - 20.55 )2
S2
2
= -------------------------------------------------------------------------- = 1.7366
3
S2 = 1.32
Hallando C.V. para cada uno de ellos
2.52
C.V1 = ------------ x 100 % = 3.73 % Para el cobre
67.57
1.32
C.V2 = ------------ x 100 % = 6.42 % Para el carbón
20.55
29. Para calcular la mediana de una distribución obtenida de n observaciones,
primero se detrmina la clase en que la mediana debe caer. Después en la fracción
(n/2)-k/j de dicho intervalo, y para obtener la mediana se multiplica esta fracción
por el intervalo de clase y se suma el resultado a la frontera de clase más pequeña
de la clase en la que la mediana deba caer. Este método se basa en la suposición
de que las observaciones en cada clase se “dispersan uniformemente” a través del
intervalode clase; a ello se debe que contamos n/2 observaciones en lugar de
n+1/2. A manera de ejemplo, se hace referencia a la distribución de los datos de la
emisión del óxido de azufre. Puesto que n=80, puede verse que la mediana debe
estar en la clase 17.0 - 20.09 y como j=25, k =27, se sigue que la mediana es
16.95+(40-27)/25 * 4 = 19.03
(a) Encuéntrese la mediana de la distribución de los datos sobre ausentismo.

Semestre 2009 – I
(b) Utilicese la distribución obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de
las resistencias a la ruptura agrupadas.
(c) Con la distribución obtenida en el ejercicio 3 encuéntrese la mediana de los
tiempos de ignición agrupados.
* DESARROLLO
(a)
INTERVALO Fi Fi
5.0 - 8.9 3 3
9.0 - 12.9 10 13
13.0 - 16.9 14 27
17.0 - 20.9 25 52 Clase mediana
21.0 - 24.9 17 69
25.0 - 28.9 9 78
29.0 - 32.9 2 80
j = 25
k = 27
TIC = 4
40 - 27
Me = 17 + 4 [ -------------- ] = 19.08
25
(b)Copiamos la tabla de frecuencias
INTERVALO Fi Fi
15.0 - 19.9 3 3
20.0 - 24.9 15 18
25.0 - 29.9 24 42 Clase Mediana
30.0 - 34.9 12 54
35.0 - 39.9 6 60
60
n = 60 / 2 = 30
j = 24
k = 18

Semestre 2009 – I
TIC = 5
Luego :
30 -18
Me = 25 + 5 [ ----------] = 27.5
24
( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3
INTERVALOS Fi Fi
1.20 - 2.89 20 20
2.90 - 4.59 16 36
4.60 - 6.29 18 54 Clase Mediana
6.30 - 7.99 14 68
8.00 - 9.69 7 75
9.70 - 11.39 3 78
11.40 - 13.09 2 80
n = 80
n / 2 = 40
j = 18
k = 36
Xi = 4.60
TIC = 1.70
40 - 36
Me = 4.60 + 1.70 [ --------------] = 4.98
18
30.Para cada una de las siguientes distribuciones decídase si es posible calcular la
media y/o mediana. Explíquense las respuestas.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a)
GRADOS Fi Fi
40 – 49 5 5
50 –59 18 23
60 –69 27 50 Clase Mediana
70 –79 15 65
80 –89 6 71
71
n = 71
n / 2 = 35. 5
TIC = 10
Xi = 60
k =23
j =27
35.5 - 23
 Me = 60 + 10 [ ----------------] = 64.63
27
(b)
INTERVALOS fi Fi
< 90 3 3
90 – 99 14 17
100 - 109 22 39 Clase Mediana
110 - 119 19 58
119 > 7 65
65
n = 65
n / 2 = 32.5
TIC = 10
Xi = 100
k = 17
j = 22

Semestre 2009 – I
32.5 - 17
Me = 100 + 10 [ ----------------] = 107.05
22
31 El supervisor de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de
ellos(seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la
construcción. Si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los ocho restantes
en contra. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el
supervisor estén en contra de las nuevas dispociones ? .
* DESARROLLO
Soponiendo probabilidades iguales para cada elección de dos de ellos (seleccionados al azar), la
probabilidad de que el primer obrero seleccionado esté en contra de las nuevas disposiciones de
seguridad es 8/20, y la probabilidad de que el segundo obrero se pronuncie contra las nuevas
disposiciones, dado que el primero opinó en contra de ellas, es 7/19. Por consiguiente, la
probabilidad buscada es 8/20 * 7/19 = 14/95.
32 ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el mismo lado en dos
lanzaminetos de una moneda balanceada ?.
* DESARROLLO
En vista de que la probabilidad de que caiga un lado es 1/2 en cada lanzamineto y los dos son
independientes, la probabilidad es 1/2 * 1/2 = 1/4.
33 Dos caras se extraen al zar de un paquete ordinario de 52 naipes. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener dos ases si la primera carta es reemplazada antes de
extraer la segunda ?.
* DESARROLLO
Dado que hay cuatro ases entre las 52 cartas, obtenemos 4/52 * 4/52 = 1/169.
34 Sea A el evento que consiste en que la materia prima está disponible y B el
evento que consiste en que el tiempo de maquinado es menor que una hra. Si p(A)
= 0.8 y p(B) = 0.7, asigna una probabilidad al evento A ∩ B.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
P(A ∩ B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.
35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, ¿ Cuál es la probabilidad de no
obtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.
* DESARROLLO
La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.
36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de los
autos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su
cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no
limpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no
cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de los
autos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que
su parabrisas no fue lavado, ¿ Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya
atendido Juan ?.
* DESARROLLO
(0.20)(0.05)
P(B1 A) = ---------------------------------------------------------------------------
(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05)
P(B1 A) = 0.114.
37 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se puede ganar $8 cuando una modela
balanceada case del lado A ?.
* DESARROLLO
La probabilidad del lado A es 1/2 y la esperanza matemática es 8* 1/2 = $4.

Semestre 2009 – I
38 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se compra 1 entre 1000 boletos prar una
rifa con un premio de $500 ?.
* DESARROLLO
La probabilidad de ganar el premio es de 1/1000 y la esperanza matemática es 500* 1/1000 =
$0.50
39. ¿ Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2,
5, 6 y 9, si cada uno de llos pude utilizarse sólo una vez ?.
* DESARROLLO
Dado que el número debe ser par, se tienen únicamente n1 = 2 posibilidades para la posición de
las unidades. Para cad una de estas últimas se tienen n2 = 4 posibilidades para la posición de las
centenas y entoces n3 = 3 posibilidades para la posición de las decenas. Por lo tanto se pueden
formar un total de
n1 n2 n3 = (2)(4)(3) = 24
números pares de tres dígitos.
40. Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el
segundo premios. Encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S.
* DESARROLLO
El número total de puntos muestrales es:
20!
20P2 = ------------ = 380.
(20 – 2)!
41. ¿ En cuántas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society
progrmar a 3 conferencias en 3 diferentes congresos, si los primeros están
disponibles en cualquier de 5 fechas posibles ?.
* DESARROLLO
El numero total de programadores posibles es:

Semestre 2009 – I
5!
5P3 = ------------ = 60.
(5 – 3)!
42. ¿ en cuántas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y
2 azules en un árbol de navidad con 9 receptáculos ?.
* DESARROLLO
El número total de arreglos diferentes es:
9!
----------- = 1260
3! 4! 2!
43.¿ En cuántas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una
habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.
* DESARROLLO
El número total de particiones posibles sería:
7!
---------- = 210
3! 2! 2!
44. Encuéntrese el número de cómites que pueden formarse con 4 químicos y 3
físicos y comprendan 2 químicos y 1 físico.
* DESARROLLO
El numero de formas de seleccionar 2 químicos de 4 posibles es:
4!
4C2 = ------------ = 60.
2! 2!
El número de formas de seleccionar 1 físico de 3 posibles es:

Semestre 2009 – I
3!
3C1 = ------------ = 60.
2! 1!
Al utilizar la regla de la multiplicación se forman
(6)(3) = 18
comités con 2 químicos y 1 físico.
45. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que
apruebe inglés es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de
¼, ¿ Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.
* DESARROLLO
P(M ∪ E) = P(M) + P(E) – P(M ∩ E)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36.
46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil,
seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15,
0.21 y 0.23 ¿ Cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil
en uno de esos colores ?.
* DESARROLLO
P(G ∪ W ∪ R ∪ B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B)
= 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23
= 0.68
47. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par
de dados ?.
* DESARROLLO
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Semestre 2009 – I
= 1/6 + 1/18
= 2/9
48. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo
es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y
llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión llegue
a tiempo dado que despegó a tiempo.
* DESARROLLO
La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es:
P(D ∩ A)
P(A D) = -----------------
P(D)
= 0.78 / 0.83
= 0.94.
49. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo
es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y
llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión
despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.
* DESARROLLO
La probabilidad de que el salga a la hora prevista dado que llegó a tiempo es:
P(D ∩ A)
P(D A) = -----------------
P(A)
= 0.78 / 0.82
= 0.95.
50. Un par de dados se lanza dos veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener
totales de 7 y 11 ?.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Sea A1, A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primer
lanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es
la probabilidad de la unión de los eventos excluyentes A1 ∩ B2 y B1 ∩ A2; Por lo tanto:
P[(A1 ∩ B2) ∪ (B1 ∩ A2)] = P(A1 ∩ B2) + P(B1 ∩ A2)
= 1/6 * 1/18 + 1/18 * 1/6
= 1/54.
51. ¿ Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra
CASACAS ?.
* DESARROLLO
Vemos que se tienen una permutación donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2
veces).
Luego: n=7elementos; nc= 2C; nA= 3ª; nS= 2S
Se logra:
7!
Pr
=------------ = 210 palabras
2! 3! 2!
52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. ¿ De cuántas maneras se
puede hacer esta selección ?.
* DESARROLLO
Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3
48!
48C3 = --------------- = 17296 combinaciones
3!(48-3)!
53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4
asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Pude elegir el idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura.
Por lo tanto pude hacerlo de 5*4 = 20 maneras
54. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas
sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO
El primer premio se puede reaprtir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se
puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10* 9 = 90 formas distintas.
55. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas
sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO
El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que
amos se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10* 10 = 100 formas distintas.
56. ¿ De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones ?.
* DESARROLLO
Cada una de las 5 cartas se pueden introducir en cualquiera de los tres buzones.
En consecuencia, se puede efectuar de 3* 3 * 3 * 3 * 3 = 243 maneras.
57. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para
secretario. ¿ De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos ?.
* DESARROLLO
Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de 2 formas distintas.

Semestre 2009 – I
En consecuencia, se podrán ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.
58. ¿ De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?.
* DESARROLLO
La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de
ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrán colocar de
5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.
59. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?.
* DESARROLLO
Número de formas = número de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.
60. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de
forma que estás ocupen los lugares pares ?.
* DESARROLLO
Los hombres se pueden situar de P5 maneras y las mujeres de P4 formas. Cada una de las
colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres.
Luego se podrá efectuar de P5 * P4 = 120 * 24 = 2880 maneras.
61. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila
sabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.
* DESARROLLO
Como un cuadro en cuestión debe situarse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlos
en la fila.
Por lo tanto, se puden hacer de P6= 6! = 720 maneras.
62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debe
estar en uno de los extremos.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P6
maneras.
En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P6 = 1 440 maneras.
63.¿ De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estantería
de forma que 3 de ellos estén siempre juntos ?.
* DESARROLLO
Los libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de P3 formas. Como los libros han de estar
siempre juntos, se puede considerar como uno solo. Así, pues, es como si tuviéramos 7 libros, el
anterior más los 6 restantes, y éstos se pueden colocar de P7 formas.
Por lo tanto, se puede hacer de P3 * P7 = 3! * 7! = 30 240 formas.
64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estén siempre
juntos.
* DESARROLLO
El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner
condición alguna, es de 9! = 362 880 maneras .
65. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de
química y 2 de física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el
número de formas en que se puede hacer.
* DESARROLLO
Los libros de biología se pueden disponer entre sí de 6! maneras, los de química de 5!, los de
física 2! Y los tres grupos de 3! maneras.
Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.
66. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos
pudiendo éstos repetirse.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifras
pueden ser uno cualquiera de los 10 dígitos.
Números formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 número.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos de estos números empienza por 40 ?.
* DESARROLLO
Las dos primeras cifras están formadas por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera
de los 10 dígitos.
Números formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 números.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son pares ?.
* DESARROLLO
La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de 5 números, 0, 2, 4, 6,
8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos.
Números pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 números.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son divisibles po 5 ?.
* DESARROLLO
La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, y la última pueden ser 2 números, el 0 y
el 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos.
Números divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 números.
70. ¿ Cuántos números comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar con
los 7 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada número ?.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Como los números comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera puede
ser el 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3
maneras.
Números formados = 2 * 6P3 = 240 números.
71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y se
colocan en una estantería de forma que el diccionario esté en el medio. Hallar el
número de formas en que esto se puede llevar a cabo.
* DESARROLLO
Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el número de variaciones de 11 novelas
tomadas de 4 en 4 es 11P4 .
Por lo tanto, se puede hacer 3 * 11P4 = 23 760 formas.
72. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra
COOPERADOR tomadas todas a la vez.
* DESARROLLO
La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 “o”, 2 “r” y 5 diferentes.
10!
Número de palabras = --------- = 302 400.
3! 2!
73. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra
COOPERADOR tomadas todas a la vez. ¿ Cuántas de estas palabras tienen juntan
las tres “o” y cuantas empiezan por los dos “r” ?.
* DESARROLLO
(a) Considerando los tres “o” como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son “r”.
8!
Número de palabras = ------ = 20 160
2!

Semestre 2009 – I
(b) El número de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay tres
“o”, es 8! / 3! = 6 720.
74. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con
las letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea más de una vez.
* DESARROLLO
Número de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5
= 8P5 = 6 720 palabras.
75. Del problema anterior nos piden el número de palabras diferentes si cada letra
se puede repetir(no necesitan tener significado)
* DESARROLLO
Número de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.
76. Hallar los números que se pueden formar con los 4 de los 5 dígitos 1, 2, 3, 4,
5. Si éstos no se pueden repetir en cada número.
* DESARROLLO
Números formados = 5P4 = 5 * 4 * 3 * 2 = 120 números.
77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. ¿ De cuántas maneras se
pueden colocar en una estantería ?.
* DESARROLLO
Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno está repetido 3 veces.
12!
Número de formas = --------------- = 369 600
3! 3! 3! 3!
78. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa
redonda
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas
restantes se pueden sentar de 4! Formas.
Por lo tanto, hay 4! = 24 maneras de disponer a 5 personas alrededor de una mesa circular.
79. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa
redonda de forma que dos de ellas estén siempre juntas ?.
* DESARROLLO
Consideremos a las personas dterminadas como una sola, Como hay 21 maneras de disponer a 2
personas entre sí y 6! Formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número
pedido será = 2! 6! = 1 440.
80. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de
una mesa redonda de manera que cada mujer esté entre dos hombres ?.
* DESARROLLO
Supongamos, en primer lugar, que se sientan los hombres. Estos se pueden colocar de 3!
maneras distintas y las mujeres 4! formas.
Por lo tanto, el número pedido es = 3! * 4! = 144.
81. ¿ Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores
distintos ?.
* DESARROLLO
El número de formas en que se pueden disponer las cuentas en las cuentas en la pulsera es igual
a 8!, sin embargo, la mitad se deduce de otra mitad girando la pulsera.
Por lo tanto, se pueden formar 1/2(8!) = 20 160 pulseras diferentes.
82. ¿ Cuántos grupos de 4 alumno se puede formar con 17 alumnos aventajados
para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas ?.
* DESARROLLO
Números de grupos = números de combinaciones de 17 alumnos tomados de 4 en 4.

Semestre 2009 – I
17 * 16 * 15 * 14
17C4= -------------------------- = 2 380 grupos de 4 alumnos
1 * 2 * 3 * 4
83. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?.
* DESARROLLO
Números de formas = números de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5.
8 * 7 * 6
8C5= 8C3= ----------------- = 56 formas.
1 * 2 * 3
84. ¿ De cuántas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, de
manera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.
* DESARROLLO
En cada una de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3
y B recibe 9.
Por lo tanto, el número de formas es = 2 * 12C9 = 2 * 12C3 = 440 formas.
85. Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo
los sies vértices de un éxagono.
* DESARROLLO
Número de triángulos = números de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3.
6 * 5 * 4
6C3 = ------------- = 20 triángulos.
1 * 2 * 3
86. ¿ Cuántos ángulos menores de 180° forman 12 semirectas que se cortan en un
punto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de
las otras ?.
* DESARROLLO
Número de ángulos = número de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.

Semestre 2009 – I
12* 11
12C2 = ----------- = 66 ángulos
1 * 2
87. ¿ Cuántas diagonales tiene un octagono ?.
* DESARROLLO
Número de rectas = número de combinaciones de 8 puntos tomados de 2 en 2 = 8C2 = 28.
Como 8 de estas 28 rectas son los lados del octágono, el número de diagonales = 20.
88. ¿ Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas
paralelas por otro sistema de 4 rectas paralelas ?.
* DESARROLLO
Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo al cortar
a cada una de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2.
Número de pralelogramos = 4C2 * 7C2 = 126 paralelogramos.
89. ¿ Cuántas grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5
biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos ?.
* DESARROLLO
Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5.
Por lo tanto, el número de grupos es = 6C4 * 5C3 = 150.
90. ¿ Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4
vocales, de manera que cada una conste de 3 consonantes y 2 vocales ?.
* DESARROLLO
Las # consonantes distintas se pueden elegir de 8C3 maneras, las 2 vocales de 4C2 formas y las 5
letras sistintas (3 consonantes y 2 vocales) se pueden disponer entre ellas de P5 = 5! Formas.

Semestre 2009 – I
Por lo tanto, el número de palabras es = 8C3 * 4C2 * 5! = 40 320.
91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola
al zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.
* DESARROLLO
casos favorables (3 bolas rojas)
p= ------------------------------------------------ = 1/3
casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)
92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y sea
blanca.
* DESARROLLO
(a) p = 1 – 1/3 = 2/3.
(b) p = 2/9.
93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas
blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”
de que las dos sean blancas y que las dos sean negras.
* DESARROLLO
(a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4
(b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24
94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas
blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”
de que una sea blanca y otra negra.
* DESARROLLO
La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra
4/6 * 5/6 = 5/12.
La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca
2/6 * 3/6 = 1/8.

Semestre 2009 – I
Por lo tanto la probabilidad pedida es: 5/12 + 1/8 = 13/24.
95. La posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de 50 000
pts son de 23 contra 2. Hallar su esperanza matemática.
* DESARROLLO
Esperanza = probabilidad de que le toque * valor del premio = 2/25 * 50 000 = 4 000 pts.
96. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál
es la probabilidad “p” de obtener dos números impares ?.
* DESARROLLO
Hay 5 números impares y 4 números pares.
5C2
p = -------- = 5/18
9C2
97. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál
es la probabilidad “p” de obtener dos números pares ?.
* DESARROLLO
Hay 5 números impares y 4 números pares.
4C2
p = ---------- = 1/6
9C2
98. La probabilidad de que cierta persona viva 25 años más es de 3/7 y la
probabilidad de que viva su 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que,
dentro de 25 años vivan los dos.
* DESARROLLO
La probabilidad de que vivan los dos es 3/7 * 4/5 = 12 /35.

Semestre 2009 – I
99. Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de
química, se coloca al zaar en una estantería. Hallar la probabilidad “p” de que los
libros de cad materia estén todos juntos.
* DESARROLLO
Cuando los libros de cada materia estén juntos los de ingeniería se pueden disponer de 5!
maneras, los de matemáticas de 4!, los de química de 2! y los tres grupos de 3! maneras
distintas.
casos favorables (5! 4! 3! 2!)
p= ---------------------------------------- = 1/1155
casos posibles (11!)
100. Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo
menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2.
* DESARROLLO
Los tres casos favorables son 2 niños, 3 niñas; 3 niños, 3 niñas; 4 niños, 1 niña.
p= (1/2)5
(5C2 + 5C3 + 5C4) = 25/32
101. Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un
exámen de Estadistica general.
33 , 35 , 35 , 39 , 41 , 41 , 42 , 45 , 47 , 48
50 , 52 , 53 , 54 , 55 , 55 , 57 , 59 , 60 , 60
61 , 64 , 65 , 65 , 65 , 66 , 66 , 66 , 67 , 68
69 , 71 , 73 , 73 , 74 , 74 , 76 , 77 , 77 , 78
80 , 81 , 84 , 85 , 85 , 88 , 89 , 91 , 94 , 97
Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de la misma amplitud y construir
los gráficos respectivos.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
a) Rango =R=97-33=64
b) K=1+3.22 log(50)= 1+3.22(1.699)=6.47
redondeando al entero inmediato mayor se tiene k=7
(Si usamos k=√n , tenemos k=√50= 7)
c) Amplitud de clase =C=R/k=64/7=9,14
Aproximando 9,14 a un entero mayor tenemos C=10
Para facilitar el conteo de las frecuencias ,tomaremos como el limite de la primera
clase igual a 30. Así, la tabla de distribución de frecuencias sera :
CLASES Marca de clase fi Fi hi Hi
[30 , 40>
[40 , 50>
[50 , 60>
[60 , 70>
[70 , 80>
[80 , 90>
[90 , 100>
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
7
3
4
10
18
31
40
47
50
0.08
0.12
0.16
0.26
0.18
0.14
0.06
0.18
0.20
0.36
0.62
0.80
0.94
1
TOTAL 50 1
Histograma y poligono de frecuencia:
0.0260
0.0280
0.0080

Semestre 2009 – I
0.0040
0.0020
30 40 50 60 70 80 90 100
50
47
40
31
18
10
4
30 40 50 60 70 80 90 100
102. Dada la siguiente distribución de empresas según el número de empleados se
pide :
a) Determinarel porcentaje de empresas que tiene número de empleados entre 50
y 90 .
b) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
Número de empleados Frecuencia(fi)
[0,10>
[10.20>
[20,30>
[30,40>
[40,60>
[60,80>
[80,100>
[100,140>
[140,180>
[180,260>
5
20
35
40
50
30
20
20
15
15

Semestre 2009 – I
TOTAL 250
* DESARROLLO
Haciendo la distribución de frecuencias tenemos:
Numero de
empleados
fi Amplitud
Ci
hi Densidad
(hi/ci)
100*hi%
[0,10>
[10,20>
[20,30>
[30,40>
[40,60>
[60,80>
[80,100>
[100,140>
[140,180>
[180,260>
5
20
35
40
50
30
20
20
15
15
10
10
10
10
20
20
20
40
40
80
0.02
0.08
0.14
0.16
0.20
0.12
0.08
0.08
0.06
0.06
0.0020
0.0080
0.0140
0.0160
0.0100
0.0060
0.0040
0.0020
0.0015
0.0008
2%
8%
14%
16%
20%
12%
8%
8%
6%
6%
TOTAL 250 - - 100%
a) Para obtener una mejor aproximación del porcentaje de empresas que tienen
número de empleados entre 50 y 90, se usa la interpolación de la siguiente
manera.
40 50 60 80 90 100

Semestre 2009 – I
20% 12% 8%
Sea P el porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90
entonces.
P=(60-50)/(60-40).20% + 12% + (90-80)/100-80).8%
P=10% + 12% + 4% =26%
Por tanto el 26% de empresas tienen número de empleados entre 50 y 90.
b) De igual forma que en el caso anterior tenemos:
0 10 20 30 35 40
2% 8% 14% 16%
p1=Porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
= 2% + 8% + 14% + [(35-30)/(40-30)].16% = 24% + 8% = 32%
Luego, el 32% de empresas tienen número de empleados inferior a 35.

Semestre 2009 – I
103. Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada cría un
número variable de hijos .Se observa durante un año la cría de 35 familias,
anotandose el número de hijos obtenido por las familias en dicha cría .
Numero de
hijos
xi
Numero de
familias fi
hi 100 x hi Hi
0
1
2
3
4
6
2
3
10
10
5
5
0.0571
0.0857
0.2857
0.2857
0.1429
0.1429
5.71%
8.57%
28.57%
28.57%
14.29%
14.29%
0.0571
0.1428
0.4285
0.7142
0.8571
1
TOTAL 35 1 100%
Hallar la función de distribución acumulada de esta tabla y trazar su grafica.
* DESARROLLO
Tenemos:
0.0000 , si x<0
0.0571 , si 0≤x<1
0.1428 , si 1≤x<3

Semestre 2009 – I
F35(x)= 0.4285 , si 2≤x<3
0.7142 , si 3≤x<4
0.8571 , si 4≤x<6
1.0000 , si x ≥6
La gráfica es:
Υ
1
0.8571
0.7142
0.4285
0.1428
0.0571
1 2 3 4 5 6 Χ
104. Determinar la media de la distribución:
Ingreso familiar
(en soles)
[2,4> [4,6> [6,8> [8,10> [10,12>
N° de familias 5 10 14 8 3

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
En este caso, los intervalos de clase son representados por sus marcas de clase. Por tanto
tenemos:
Clases fi Marcas de clase Fi.xi
[2,4>
[4,6>
[6,8>
[8,10>
[10,12>
5
10
14
8
3
3
5
7
9
11
15
50
98
72
33
TOTAL 40 268
X = Σ fi.xi = 268 = 6.7
n 4
El ingreso
promedio del grupo de 40 familias es de S/. 6.7
105. En una empresa donde los salarios tienen una media de S/.100,000 el
sindicato solicita que cada salario X, se transforme en Y, mediante la siguiente
relación:
Y=2.5X+100
El directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios propuestos por
el sindicato en un 10%, lo que es aceptado. Se pide calcular la media aritmética de
la nueva distribución de salarios.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Tenemos
X=100,000
Si y = 2.5X+100  Y= 2.5X + 100 = 2.5(100,000) + 100
= 250,100
Por tanto el salario que solicita el sindicato es Y =250,100
El salario propuesto por el directorio es:
Z = Y – 10% Y =0.9Y  Z= 0.9 Y= (0.9)(250,100) = 225,090
Luego la media de la nueva distribución de salarios es 225,090.
106. Calcular la media de la siguiente distribución de frecuencias.
Alturas
cm
60 62 64 65 66 67 68 70 71 72 73 76
N°
plantas
1 1 1 1 2 2 5 1 1 2 1 1
* DESARROLLO
Tomando el origen de trabajo igual a 68 tenemos:
xi fi di fi.di
60
62
64
65
66
67
1
1
1
1
2
2
-8
-6
-4
-3
-2
-1
-8
-6
-4
-3
-4
-2

Semestre 2009 – I
68
69
70
71
72
73
76
5
1
1
2
1
1
1
0
1
2
3
4
5
8
-27/26
1
2
6
4
5
8
TOTAL 20 -1
di = xi - 68
X = origen + Σfidi
n
= 68 + (-1/20) = 67.95
∴ X = 67.95 cm
107. Una distribución de frecuencias sobre notas de estudiantes de Estadística,
Matemática I; presenta las frecuencias relativas h3 y h5 borrosas .Si se sabe que
la media fue de 7.9. Determinar la mediana de la distribución :
Notas de estudiantes N° de estudiantes
Frecuencia relativa (hi)
[0.5 , 2.5>
[2.5 , 4.5>
[4.5 , 6.5>
[6.5 , 8.5>
[8.5 , 10.5>
[10.5 , 12.5>
[12.5 , 14.5>
114 ó más
0.02
0.10
0.16
0.10
0.02
0
Solución:

Semestre 2009 – I
Usando la formula para la media (X) en términos de las frescuencias relativa
tenemos:
K K
X = Σ hi.xi = 7.9 , donde Σ hi =1
i=1 i=1
Completando la distribución de frecuencias se tiene:
Clases hi Marca de clase xi hi.xi hi
[0.5 , 2.5>
[2,5 , 4.5>
[4.5 , 6.5>
[6.5 , 8.5>
[8.5 , 10.5>
[10.5 , 12.5>
[12.5 , 14.5>
14.5 o más
0.02
0.10
h3
0.16
h5
0.10
0.02
0
1.5
3.5
5.5
7.5
9.5
11.5
13.5
-
0.03
0.35
5.5h3
1.20
9.5h5
1.15
0.27
-
0.02
0.12
0.32
0.48
0.88
0.98
1
-
TOTAL 1
Luego tenemos :
Σ hi = 1  0.02 + 0.10 + h3 + 0.16 + h3 + 0.10 + 0.02 = 1
 h3 + h5 =0.60 (4)
k
Σ hi.xi =7.9  0.03 + 5.5h3 + 1.20 + 9.5 h5 + 1.15 + 0.27 = 79
i=1
 5.5h3 + 9.5h5 = 4.9 (5)
Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos
h3 = 0.2 y h5 = 0.4
Reemplazando los datos en la fórmula
X= l med + (1/2 – Hk-1) Cmed
(Hk -Hk-1)
tenemos:

Semestre 2009 – I
X = 8.5 + [(1/23+0.48)/(0.88-0.48)].2 =8.5 + 0.10 = 8.6
108. Dada la siguiente distribución, determinar los cuartiles Q1 y Q3.
Intervalos
de clase
[6,16> [16,26> [26,36> [36,46> [46,56>
Fi 8 20 25 10 5
* DESARROLLO
Determinando las frecuencias acumuladas tenemos:
Clases fi Fi
[6,16>
[16,26>
[26,36>
[36,46>
[46,56>
8
20
25
10
5
8
28  clase que contiene a Q1
53  clase que contiene a Q3
63
68
TOTAL 68=n
Primer paso.- n/4 = 64/4 =17vo ; 3N/4=51vo
Segundo paso.- Por las frecuencias acumuladas identificamos las clases que
contienen a
Q1 y Q3.

Semestre 2009 – I
Como F1= 8< n/4 = 17 <28 = F2 entonces el intervalo de clase que contiene a Q1
y Q3.
tenemos:
Q1= 16 + [(17-8)/28-8)].10
= 16 + 4.5 =20.5
Q3= 26 + [(51-28)/(53-28)].10
=26 + 9.2=35.2
De acuerdo a estos resultados, podemos afirmar que, en esta distribución tenemos:
25% 25% 25% 25%
Q1=20.5 Q2=28.4 Q3=35.2
109.Supongamos que la distribución de las edades de 80 alumnos de la Facultad
de Ingeniería Industrial de la Universidad de Lima es dado por:
Clases Fi Fi hi Hi
[15,18>
[18,21>
5
------------------
------------------
------------------
------------------
0.5875
------------------
------------------

Semestre 2009 – I
[21,24>
[24,27>
[27,30>
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
0.0375
0.925
------------------
------------------
TOTAL 80
Se pide:
a) Completar la tabla.
b) Interpretar f3,f4,h2 y H4.
c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.
d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.
* DESARROLLO
a) Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Clases fi Fi hi Hi
[15,18>
[18,21>
[21,24>
[24,27>
[27,30>
5
47
22
3
3
5
52
74
77
80
0.0625
0.5875
0.275
0.0375
0.0375
0.0625
0.65
0.925 clase que contiene a Q1
0.9625 clase que contiene a Q3
1

Semestre 2009 – I
TOTAL 80=n
b) f3 = 22: Hay 22 estudiantes en la muestra que tienen entre 21 años y menos de
24 años.
F4 =77: Hay 77 estudiantes que tienen menos de 27 años.
h2 =0.5875: 58.75% de estudiantes tienen edades mayores o iguales a 18 años y
menos
de 21 años.
H4 =0.9625 : 96.25% de los estudiantes tienen menos de 27 años.
c) En este caso debemos calcular el primer cuartil (Q1). Aplicando la formula
tenemos:
Q1=18 + [(20-5)/(52-5)].3
= 18 + 0.957 = 18.957
Por tanto la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes es 18.957.
d) La edad que supera a las edades de 75% de los estudiantes , corresponde al
valor del
tercer cuartil.Aplicando la fórmula se tiene:
Q3 = 21 + [(60-52)/(74-52)].3
= 21 + 1.091 = 22.091
Luego la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes es 22.091.

Semestre 2009 – I
110. Determinar el 4to decil y el 72vo percentil de la siguiente distribución de
frecuencias.
Intervalos fi Fi
[40,50>
[50,60>
[60,70>
[70,80>
[80,90>
[90,100>
8
20
30
40
10
2
8
28
58  Clase de D4
98  Clase de P72
108
110
TOTAL 110
* DESARROLLO
Calculo de D4 Calculo de P72
1er paso:
i.n = 4 × 110 = 44 i.n = 72 × 110 = 79.2
10 10 100 100
2do paso:
Se identifica la clase de D4 y P72 por medio de la columna de las frecuencias
acumuladas ,esto es:

Semestre 2009 – I
F2 = 28< 44 < 58 =F3 y F3= 58 < 79.2 <98 =F4
3er paso: Para D4 tenemos:
D4 = l D4 + (4n/10)– Hk-1 . C D4 = 60 + [ (44-28)/(58-28)].10
(Fk-Fk-1)
= 60 + 5.33 = 65.33
Para P72 se tiene
P72 = l P72+ (72n/100)– Fk-1 .C P72 = 70 + [ (79.2-58)/(98-58)].10
(Fk-Fk-1)
= 70 + 5.3 = 75.3
Por tanto, en esta distribución , el valor 65.33 divide la muestra en dos partes: una
parte con 40% de los elementos y la otra con 60% de elementos. El valor 75.3
indica que 72% de la distribución está debajo de él y 28% superior a él.
111. Una empresa decide hacer un reajuste entre sus empleados. La clasificación
se lleva a cabo mediante la aplicación de un test que arroja las siguientes
puntuaciones:
Puntuaciones N° de empleados
[0,30> 94

Semestre 2009 – I
[30,50>
[50,70>
[70,90>
[90,100>
140
160
98
8
La planificación optima de la empresa exige que el 65% sean administrativos, el
20% jefes de sección,el 10% jefes de departamento y
el 5% inspectores según sea la puntuación obtenida. Se pide calcular la puntuación
máxima para ser administrativo, jefe de sección y jefe de departamento.
* DESARROLLO
Según los datos tenemos :
Porcentaje Porcentaje acumulado
Administrativos...................................... 65%.............................65%
Jefe de sección........................................ 20%.............................85%
Jefe de departamento.............................. 10%.............................95%
Inspectores.............................................. 5%...............................100%
Por tanto, tendremos que hallar los percentiles 65 , 85 , y 95.
Los calculos que necesitamos son:

Semestre 2009 – I
Clases fi Fi
[0,30>
[30,50>
[50,70>
[70,90>
[90,100>
94
140
160
98
8
94
234
394  Clase de P65
492  Clase de P85 y
P95
500
TOTAL 500
1er Paso:
Para P65 : i.n = 65(500) = 325
100 100
Para P85 : i.n = 85(500) = 425
100 100
Para P95 : i.n = 95(500) = 475|
100 100
2do paso : Aplicando las formulas correspondientes tenemos:
65(500) - 234
P65 = 50 + 100 .20 = 50 + 11.37 = 61.37

Semestre 2009 – I
394 – 234
85(500) - 394
P85 =70+ 100 .20 = 70 + 16.53 = 86.53
492 – 394
Por tanto la puntuación máxima para ser administrativo es 61.37, para jefe de
sección 76.33 y para jefe de departamento es 86.53.
112. Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de
hidroxiprolina absorbidos por un gramo de masa intestinal analizados en distintos
pacientes:
Mgr hidroxiprolina 77.3 61.2 82.4 75.9 61 70.2 65
Número de pacientes 3 10 15 13 8 5 2
Se pide:
a) ¿Cuantos pacientes fueron examinados?
b) Calcular la media geométrica de la distribución.
c) ¿Cuál es la moda?
* DESARROLLO
a) el número de pacientes examinados es: n = Σ fi =56
i=1
b) Para obtener la media geométrica conviene hacer los cálculos en la siguiente
tabla:

Semestre 2009 – I
Xi fi log xi fi log xi
61
61.2
65
70.2
75.9
77.3
82.4
8
10
2
5
13
3
15
1.785
1.787
1.813
1.846
1.880
1.888
1.916
14.2800
17.8700
3.6260
9.2300
24.4400
5.6640
28.7400
TOTAL 56 12.915 103.8500
Aplicando la formula respectiva tenemos :
7
Σ fi log10 xi
log10 G = i=1 = 103.8500 =1.8545
n 56
Luego: G= Antilog(1.8545) = 71.5
c) La moda para esta distribución es:

Semestre 2009 – I
X = Mo = 82.4
113. La siguiente distribución muestra las notas finales en probabilidad y
estadistica, obtenida por 50 estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial de
la Universidad San Martín de Porres.
Intervalos [0,2> [2,4> [4,6> [6,8> [8,10> [10,12> [12,14> [14,16> [16,18>
N° de
estudiantes
1 2 2 3 6 12 10 8 4
[18,20]
2
Hallar la desviación media con respecto a la media aritmética.
* DESARROLLO
Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Intervalos
de clase
fi Marca de clase
(xi)
fi .xi |xi - x| fi |xi – x|

Semestre 2009 – I
[0.2>
[2,4>
[4,6>
[6,8>
[8,10>
[10,12>
[12,14>
[14,16>
[16,18>
[18,20>
1
2
2
3
6
12
10
8
4
2
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
1
6
10
21
54
132
130
120
68
38
10.6
8.6
6.6
4.6
2.6
0.6
1.4
3.4
5.4
7.4
10.6
17.2
13.2
13.8
15.6
7.2
14.0
27.2
21.6
14.8
TOTAL 50 580 155.2
Se tiene:
x = Σf2xi = 11.6 ; D(x) = 155.2 = 3.104
n M 50
114. Calcular la varianza y la desviación estándar y la desviación estandar de la
siguiente distribución muestral.
xi 5 7 8 9 11
fi 2 3 5 4 2
* DESARROLLO
Completando la distribución de frecuencias temnemos:

Semestre 2009 – I
Xi fi fi.xi fi..xi²
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
10
21
40
36
22
50
147
320
324
242
TOTAL 16 129 1083
Aplicando las formulas respectivas se tiene :
k
Σ fi.xi
X = 129 = 8.1
16
S² = 1/5 [1083 – 1049.76]= 1/15[33.24] = 2.22
Entonces S = 1.49

Semestre 2009 – I
116. Los pesos en gramos (aproximados hasta 0.01 gramos) de 70 comprimidos
fabricados automáticamente por una máquina están representados en la siguiente
tabla.
Intervalos Frecuencias acumuladas (fi)
[1.475 , 1.525>
[1.525 , 1.575>
[1.575 , 1.625>
[1.625 , 1.675>
[1.675 , 1.725>
[1.725 , 1.775>
[1.775 , 1.825>
[1.825 , 1.875>
[1.875 , 1.925>
[1.925 , 1.975>
1
4
12
26
49
61
68
69
69
70
Se pide:
a) Calcular la media.
b) Calcular la desviación estándar.
c) Calcular el porcentaje de productos entre X=1.55 y X + 1.55
* DESARROLLO
Sean O = 1.7 (marca de clase del intervalo con más alta frecuencia9

Semestre 2009 – I
ui = (Xi – O)/c , C = 0.05
Para tener todos los cálculos ordenados es conveniente formar la siguiente tabla:
Intervalos fi Marca de
clase
ui fi. ui fi. ui²
[1.475 , 1.525>
[1.525 , 1.575>
[1.575 , 1.625>
[1.625 , 1.675>
[1.675 , 1.725>
[1.725 , 1.775>
[1.775 , 1.825>
[1.825 , 1.875>
[1.875 , 1.925>
[1.925 , 1.975>
1
3
8
14
23
12
7
1
0
1
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
-9
-16
-14
0
12
14
3
0
5
16
27
32
14
0
12
28
9
0
25
TOTAL 70 -9 163
Sustituyendo los totales de columnas en las fórmulas tenemos:
a) X = O + C Σfi.ui /n = 1.7 + 0.05(-9/70) = 1.6936
b) S² = C ² [ Σ fi.ui – n(U) ² ] = (0.05) ² [ 163- 70(-9/70) ²]
n-1 69}
= 0.005864

Semestre 2009 – I
Luego : S= √(0.005864) = 0.07658
c) Calculo de X – 1.5S y X + 1.5S
X = 1.5S = 1.6936 – 1.5(0.07658) = 1.57873
X = 1.5S = 1.6936 + 1.5(0.07658) = 1.80847
Par calcular el porcentaje de productos que tiene sus pesos entre 1.57873 y
1.80847 y primero interpolamos de la siguiente manera :
1.575 1.625 1.675 1.725 1.775 1.825
1.57873 1.80847
8 14 23 12 7
Sea N= número de productos que tienen sus pesos entre X – 1.5S y X + 1.5S
Entonces :
N = 1.625-1.57873 *8 + 14 + 23 + 12 + 1.808447 – 1.775 .7 = 61
0.05 0.05
Por tanto, el porcentaje de productos que tienen sus pesos entre X = 1.55 y X+
1.5S es:

Semestre 2009 – I
P = 61 × 100 = 87.143 %
70
117. En una clinica Infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de
metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a
caminar.Obteniéndose así la tabla de Información adjunta.
Número de
niños
2 6 10 5 10 3 2 2
Número de
metros
1 2 3 4 5 6 7 8
Se pide:
a) Momentos respecto al origen de primero, segundo y tercer orden.
b) Momentos centrales de orden primero y tercero.
* DESARROLLO
Para hallar los momentos hacemos los cálculos en la siguiente tabla:
Xi fi fi.xi fi.xi² fi.xi³ fi(xi – x) fi(xi – x)
³
1
2
3
2
6
10
2
12
30
2
24
90
2
48
270
-6.10
-12.30
-10.50
-56.745
-51.690
-11.576

Semestre 2009 – I
4
5
6
7
8
5
10
3
2
2
20
50
18
14
16
80
250
108
98
128
320
1,250
648
686
1,024
-0.25
9.50
5.85
5.90
7.90
-0.001
8.573
22.244
51.344
123.259
TOTA
L
40 162 780 4,248 0 85.41
Sustituyendo los totales de las columnas en las fórmulas tenemos:
a) Momentos con respecto al origen:
M1 = Σfi.xi² = 162/40 = 4.05
n
M2 = Σfi.xi² = 780/40 = 19.5
n
M3 = Σfi.xi³ = 4,248/40 = 106.2
n

Semestre 2009 – I
b) Momentos respecto a la media
M1 = Σfi(xi – x) = 0/40 = 0
n
M1 = Σfi(xi – X) = 85.41/40 = 2.135
n
118. ¿ De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una banca,
con capacidad para 5 personas ?
* DESARROLLO
Como n =8 y K=5 , el número total de maneras diferentes que pueden sentarse 8
peronas en una banca , con capacidad para 5 personas es:
8
A 5 = 8! = 8! = 8(7)(6)(5)(4) = 6720
(8-5)! 3!

Semestre 2009 – I
119. Un omnibus parte de su paradero inicial con 6 personas a bordo y se detiene
en 10 paraderos diferentes .¿De cuántas maneras pueden bajar las 6 personas en
los 10 paraderos , si en un paradero pueden bajar cualquier numero de personas?
* DESARROLLO
La primera persona puede bajar en cualquiera de los 10 paraderos, la segunda lo
mismo y la sexta de igual forma, entonces el número total de maneras es:
10
( AR)6 = 106
= 1’000,000
119. Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y
profesores de un colegio.¿ El moderador del programa desea saber de cuántas
maneras diferentes se pueden situar en el escenario los 6 conferencistas en fila?
Solución: El numero total de maneras de situar los 6 conferencistas en fila en el
escenario es:
P6 = 6! = 720
120. En una sección de Matematica I hay 6 hombres y 4 mujeres .Cuando un
examen se realiza los estudiantes son listados de acuerdo al puntaje obtenido

Semestre 2009 – I
(mayor a menor). Supongamos además que ningún estudiante obtiene el mismo
puntaje.
a)¿ Cuántos listados diferentes se deben hacer?
b) Si los hombres son ordenados entre ellos mismos y las mujeres entre ellas
mismas, ¿Cuántos listados diferentes se deben hacer?
* DESARROLLO
a) El número total de lisrados diferentes es:
P10 =10! = 3’628,800
b) Como los hombres pueden ordenarse entre ellos mismos de P = 6! = 720
maneras y las mujeres entre ellas mismas de P = 4! = 24 maneras .Entonces el
número de listados pedido será:
(6!)(4!) = 17,280
121. El señor Edwin Meza tiene 6 libros diferentes de Matemática, 2 de
Estadística y 4 de Química y desea colocarlos en un estante.
a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si los libros de cada materia
deben
estar juntos?
b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si solo los libros de
química deben estar juntos.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
a) Los libros de Matemática pueden ordenarse de P = 6! maneras, los libros de
Estadistica
de Estadística de P = 2! maneras, los libros de Química de P= 4! maneras y los
3 grupos
de libros de P = 3! = 6 maneras.
Por tanto el número total de ordenaciones pedido es:
(6!)(2!)(4!)(3!) = 207,360
b) Considerando los libros de Química como un solo libro, tenemos 9 libros que
pueden
ordenarse de P = 9! maneras. En todos los grupos los libros de Química están
juntos, pero pueden ordenarse entre ellos de P = 4! = 24 maneras. Entonces el
número total de ordenaciones pedido es:
(9!)(4!) = 8’709,120
122.¿De cuantas formas pueden sentarse los 12 miembros del consejo de facultad
de la facultad de Ingenieria Industrial alrededor de una mesa circular si:
a) Pueden sentarse de cualquier forma,
b) dos miembros determinados deben estar uno al lado del otro?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
a) Considerando uno de los miembros sentado en cualquier parte alrededor de la
mesa, entonces los 11 miembros restantes, pueden sentarse de P11 =11! maneras.
Luego, el número total de maneras distintas que pueden sentarse los 12 miembros
alrededor de la mesa es:
P11 = 11! = 39?916,800
b) Considerando las dos personas que han de ir juntas como una sola. Entonces
hay 11 personas para sentarse en círculo que lo pueden hacer de 10! maneras. Las
dos personas consideradas como una sola pueden a su vez ordenarse entre sí de 2!
maneras. Por tanto, el número de ordenaciones de 12 miembros del consejo de
facultad alrededor de una mesa circular con 2 miembros determinados sentados
juntos es:
(10!)(2!) = 3’628,800.
123. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando
las letras MEMMER?
* DESARROLLO
Tenemos:
n= 6 letras ; n1= 3 letras M ; n2 =2 letras E y n3 = 1 letras R. Entonces, hay
P6 3,2,1
= 6! = 60 permutaciones distintas de las letras MEMER.
3! 2! 1!

Semestre 2009 – I
125. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 4 rojas y
4 negras en una fila, si las bolas de igual color no se distiguen entre sí?
* DESARROLLO
Se pueden ordenar de
P11
3,4,4
= 11! = 11,550 maneras distintas.
3! 4! 4!
126. Un tubo de televisor se puede adquirir en 7 fabricadas ¿De cuántas
maneras se pueden escoger 4 de las siete fábricas?
* DESARROLLO
El número total de maneras de escoger 4 fabricas de 7 es
7C2 = 7! = 7 6 5 = 35
4!.3! 6
128. ¿De cuántas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6
objetos respectivamente?
* DESARROLLO
Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4
objetos son iguales y los otros 6 también son iguales entre sí.
10C4 = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/4! = 210

Semestre 2009 – I
129. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comite de 2
matemáticos y 3 físicos .¿De cuántas formas puede formarse, si (a) puede
pertenecer a él cualquier matemático y físico, (b) un físico determinado debe
pertenecer al comité, (c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el
comité?
* DESARROLLO
Solución:
(a) matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas.
3 físicos de un total de 7 pueden elegirse de 7C3 formas
Número total de seleccionados posibles = 5C2×7C3 = 10×35 = 350
(b)2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas.
2 físicos restantes de un total de 6 pueden elegirse de 6C2 formas
Número total de selecciones posibles = 5C2×6C2 = 10×15 = 150
(c) 2 matemáticos de un total de 3 pueden elegirse de 3C2 formas.
3 físicos de un total de 7 dan 7C3 formas.
Número total de selecciones posibles = 3C2×7C3 = 3×35 = 105.
130. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de fisica y dos
diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuantas formas distintas es
posible ordenarlos si (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b)
solamente los libros de matemática deben estar juntos?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas los
libros de física 6P6 = 3! formas.
Entonces el número de ordenaciones pedido será = 4!×6!×2!×3! = 207 360
(b) Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se
tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9P9 =9! formas. En todos estos casos los
libros de mátematicas están juntos. Pero los libros de matemática pueden
ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas.
Entonces el número de ordenaciones pedido será = 9!×4! = 8’709,120
132. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen entre sí ¿de cuántas formas posibles pueden
ordenarse?
* DESARROLLO
Multiplicando N por por 5!2!3!, se obtiene el número de ordenaciones de 10 bolas
si todas ellas fuesen distintas, es decir, 10!
Entonces (5!2!3!)N = 10! y N = 10!/(5!2!3!)
133. Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de
extraer (a) 4 ases , (b) 4 ases y un rey, (c) 3 dieces y 2 jotas, (d) un 9, 10, jota,
reina, rey en cualquier orden, (e) 3 de un palo y 2 de otro, (f) al menos 1 as.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) P(4 ases) = [(4C4)(48C1)]/52C5 ] = 1/54 145
(b) P(4 ases y 1 rey) = (4C4)(4C1)/52C5 = 1/649 740
(c ) P(3 dieces y 2 jotas) = (4C3)(4C2)/52C5 = 1/108 290
(d) P(nueve, diez, jota, reina, rey) = (4C1)(4C2)(4C1)(4C1)(4C1)/52C5 = 64/162 435
(e) P(3 de un palo, 2 de otro) = [(4×13C3)(3×13C2)]/52C5 = 429/4165 puesto que hay
4 formas de escoger el primer palo y 3 formas de escoger el segundo.
(f) p(ningún as) = 48C5/52C 5 = 35 673/54 145.
Luego P(al menos un as) = 1- (35 673)/54 145 = 18 472/54 145
135. Determinar la probabilidad de tres seis en 5 lanzamientos de un dado
honrado.
* DESARROLLO
Represéntense los lanzamientos del dado por cinco espaciós---------.Cada espacio
tendrá los sucesos 6 o no 6(6’). Por ejemplo, tres 6 y dos no 6 pueden ocurrir
como 666’66’ ó 66’66´6, etc.
Así la probabilidad del resultado 666’66’ es
P(666’66’) = P(6)P(6)P(6’)P(6)P(6’) = (1/6)×(1/6)×(5/6)×(1/6)×(5/6)
= (1/6)3
(5/6)2
Puesto que suponemos que los sucesos son independientes. Análogamente
P= (1/6)3
(5/6)2

Semestre 2009 – I
para todos los otros resultados en los cuales ocurren tres 6 y dos no 6. Pero hay
5C3 =10 de estos sucesos y son mutuamente excluyentes. Por tanto la probabilidad
pedida es
P(666’ ó 66’66’6 ó ....) = 5C3(1/6)3
(5/6)2
= 5!/(3!2!)(1/6)3
(5/6)2
= 125/3888
136. Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen dos
bolas sucesivamente de la caja sin reemplazamiento y se observa que la segunda
es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?
* DESARROLLO
P(B1/B2) = [P(B13B2)]/P(B2) = [(4/9)(3/8)]/(4/9) = 3/8
137. Las probabilidades de que un esposo y una esposa estén vivos
dentro de 20 años están dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la
probabilidad de que en 20 años (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos
uno viva.
* DESARROLLO
Sean T, M los sucesos que el esposo y la esposa , respectivamente, estén vivos en
20 años. Entonces P(T) =0.8 , P(M) = 0.9. Suponemos que T y M con sucesos
independientes, lo cual puede ser o no razonable.
(a) P(ambos viven) = P(T3M) = P(T)P(M) = (0.8)(0.9) = 0.72
(b)P(ninguno viva) = P(T’3M’) = P(T’)P(M’) = (0.2)(0.1) = 0.02
(c) P(a1 menos uno viva) = 1- P(ninguno viva) = 1 – 0.02 = 0.98

Semestre 2009 – I
138. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿Cuántas palabras
pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que
las palabras tengan significado.
* DESARROLLO
Las 4 consonantes pueden elegirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formas y
las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de
7P7 = 7! formas.
Entonces:
El número de palabras es 7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000
140. A y B juegan lanzando alternativamente un par de dados. Quien obtenga
primero un total de 7 gana el juego. Hallar la probabilidad de que (a) quien lanza
primero los dados gane, (b) quien lanza segundo los dados gane.
* DESARROLLO
a) La probabilidad de obtener 7 en un solo lanzamiento de una pareja de dados,
supuestamente honrados, es 1/6. Si suponemos que A es el primero en lanzar
entonces funcionará en cualquieera de los casos siguientes mutuamente
excluyentes con las probabilidades asociadas indicadas:
(1) A gana en el 1er. lanzamiento. Probabilidad = 1/6.

Semestre 2009 – I
(2) A pierde en el 1er lanzamiento, luego pierde B, luego gana A .
Probabilidad = (5/6)(5/6)(1/6).
(3) A pierde en el 1er. lanzamiento, pierde B, pierde A, pierde B, gana A.
Probabilidad = (5/6) (5/6) (5/6) (5/6) (1/6)
Así la probabilidad de que A gane es
(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6) + (5/6) (5/6) (6/5) (5/6) (1/6) + ......
= 1/6[1 + (5/6)2
+ (5/6)4
+.....] = (1/6)/[1-(5/6)2
] = 6/11
donde hemos utilizado el resultado 6 del Apéndice A con x = (5/6)2
b) Análogamente la probabilidad de que B gane el juego es:
(5/6) (1/6) + (5/6) (5/6) (5/6) (1/6) + .....= (5/6) (1/6)[ [1 + (5/6)2
+ (5/6)4
+.....] = [5/36]/[1 – (5/6)2
] = 5/11
Así iríamos 6 a 5 a que el primero que lance gane. Nótese que la probabilidad de
un empate es cero ya que
(6/11) + (5/11) = 1
Esto sería verdadero se el juego fuera limitado.
141. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si (a)
pueden sentarse de cualquier forma, (b) si dos personas determinadas no deben
estar una al lado de la otra?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) Considérese una de ellas sentada en cualquier parte. Entonces las 6 restantes
pueden sentarse de 6! = 720 formas, que es el total de casos que se dan en la
ordenación de 7 personas en un círculo.
(b) Considérense las dos personas que no han de ir juntas como una sola. Entonces
hay 6 personas para sentarse en circulo, que lo pueden hacer de 5! formas. Pero
las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2!
formas. Así pues, el número de ordenaciones de 6 personas sentadas alrededor de
una mesa con 2 determinadas de ellas sentadas juntas es de 5!×2! = 240.}
Entonces, mediante (a), se tiene el número total de formas en que 6 personas
pueden sentarse alrededor de una mesa, de modo que dos de ellas no estén
sentadas juntas es 720 – 240 = 480 formas.
142. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un
dado honrado.
* DESARROLLO
Sea A1 = suceso “4 en el primer lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo
lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento” .
A14
A2 = suceso “4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o
ambos”
= suceso 2 al menos un 4”
Los sucesos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, pero son independientes. Por
tanto, por (10) y (21)
P(A14
A2) = P(A1) + P(A2) – P(A13A2)
= P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2)

Semestre 2009 – I
= 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36
143. ¿Cuántos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres
y 7 mujeres?
* DESARROLLO
Como hay 5C2 posibles grupos de 2 hombres y 5C3 posibles grupos de 3
mujeres, entonces hay:
5 4 7 6 5 = 350 posibles grupos de 2 hombres y 3 mujeres
2 1 3 2 1
144. De un conjunto de 8 hombres y 7 mujeres.¿ Cuantos comités de 10 miembros
se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?
* DESARROLLO
Las condiciones del problema se cumple si el comité consta de:
(a) 5 hombres y 5 mujeres, que se pueden seleccionar de C(8 a 5) C(7 a 5) maneras .
(b) 4 hombres y 6 mujeres, que se pueden elegir de C(8 a 4) × (7 a 6) maneras
(c) 3 hombres y 7 mujeres, que se pueden elegir de C(8 a 3) ×C (7 a 7) maneras y cada
una de estas elecciones son mutuamente excluyentes. Por tanto, aplicando el
principio de adición, el número total de comités posibles es

Semestre 2009 – I
[8!/( 5! ×3!)] × [7!/(5! ×2!)] + [8!/(4! × 4!)] × [7!/(6!)] + [8!/(3! ×5!)] ×[7!/(7!)]
= 1,722
145. Supongase que el entrenador de la selección peruana de Voley desea formar
su alineación compuesta de 4 jugadoras veteranas y 2 juveniles, ¿Cuántas
alineaciones puede formar con 6 veteranas y 6 juveniles, si todas ellas pueden
jugar en cualquier posición?
* DESARROLLO
Como hay para hacer de 6 a 4 combinaciones posibles para hallar grupos de 4
veteranas y combinaciones de 6 a 2 para los posibles grupos de juveniles, entonces
un
6 6
equipo se puede seleccionar de C4 × C2 maneras. Por tanto el número total de
posibles alineaciones es :
[6!/(4!×2!)] × [6!/(2!×4!)] × 6! = 162,000
146. Cada pieza de un dominó es marcado por dos números. Las piezas son
simétricas de modo que el par de números no es ordenado. ¿Cuántas piezas
diferentes de dominó pueden construirse usando los números 1,2,......,n?

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Como cada pieza del domino se puede marcar con dos números repetidos,
entonces el número total de piezas de dominó que se pueden construir es
(n+2-1)! = n(n+1)
(n-1)!2! 2
147. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 11
jugadores de fútbol en una fila de modo que el arquero y el defensa central, en
particular, no quede uno al lado del otro?
* DESARROLLO
Tenemos 10 jugadores sin el arquero. Estos se pueden ordenar de 10! maneras
diferentes. En cada ordenación de 10 jugadores, el arquero puede en 9 lugares
diferentes sin estar al lado del defensa central. Entonces la solución seria:
9×10! = 32’659,200
149. Un muchacho tiene 4 monedas cada una de distinto valor
¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cuatro monedas?
* DESARROLLO
El muchacho puede formar grupos de una moneda, grupos de 2, grupos de 3 y
grupos de 4. Entonces, el número total de sumas diferentes de dinero que puede
formar el muchacho es

Semestre 2009 – I
[4!/(1! ×3!)]+[4!/(3! ×1!)]+[4!/(4! ×0!) =15 = 2 4
– 1
En general, para cualquier número entero positivo n se tiene
n n n
C1 + C2 +...........+ C n = 2n
- 1
150. De cuantas maneras diferentes se pueden izar cinco banderas de colores
diferentes en 8 mástiles colocados en fila, si se pueden izar cualquier número de
ellas en cada mástil?
* DESARROLLO
La primera bandera puede ser izada en cualquiera de los 8 mastiles. Entonces este
mastil queda dividido en dos partes y por tanto, existen ahora 8+1=9 posiciones
posibles para la tercera bandera y así sucesivamente. Así, el número total de
maneras diferentes de izar las banderas es
8(9)(10)(11)(12) = 95,040
151. Tres muchachas María, Magna y Maritza, compiten en un concurso de
belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y
segundo lugar.
(a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento.
“Elegir a las dos ganadoras” .
(b) Defina como subconjuntos, los eventos:
A: María gana el concurso de belleza

51513215-14226046-Problema01.pdf

51513215-14226046-Problema01.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 51513215-14226046-Problema01.pdf

Similar a 51513215-14226046-Problema01.pdf (20)

Último

Último (20)

51513215-14226046-Problema01.pdf