Programacion linial

1. DOCENTE
ING.
CARDENAS PINTO, Juan Percy
ESTUDIANTES:
 JAVIER AMANCAY, Frank
 ONOFRE ENRIQUEZ, Noime
 TRUCIOS MITMA, Miriam
 CAJAHUAMAN MALLCCO, Javier
 VILLARROEL CARDENAS, Jorge Miguel
UNIDAD DIDACTICA
INVESTIGACION DE OPERACIONES
V CICLO
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE
HUANCAVELICA
“FACULTAD INGENIERIA DE ELECTRONICA - SISTEMAS”
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE
SISTEMAS
“ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN
PROBLEMAS DE PROGRAMACION
LINEAL”

2. PAMPAS TAYACAJA

3. A nuestros amados padres,
por su apoyo y su amor
plasmado en ayuda efectiva
para culminar nuestros
estudios.

4. INDICE
Contenido
INTRODUCCION......................................................................................................................... 5
CAPITULO 1................................................................................................................................ 6
1. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL ......... 6
1.1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD..................................................................................... 6
1.1.1. COSTES RELATIVOS O SOMBRA..................................................................... 6
1.2. TIPOS DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD................................................................... 7
1.3. LAS VARIABLES DE HOLGURA................................................................................ 8
1.3.1. VARIABLES BÁSICAS:........................................................................................ 8
1.3.2. VARIABLES NO BÁSICAS:.................................................................................. 8
1.4. INCLUSIÓN DE VARIABLES. ..................................................................................... 8
1.5. MODIFICACIÓN DE COEFICIENTES DE VARIABLE NO BÁSICA EN
RESTRICCIONES...................................................................................................................10
1.6. AÑADIR NUEVAS RESTRICCIONES. .......................................................................11
1.7. RANGO DE VARIABILIDAD:......................................................................................11
1.8. Un ejemplo “ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE
PROGRAMACION LINEAL”..................................................................................................11

5. INTRODUCCION
En el presente trabajo se dara conocer el analisis de sensibilidad o postoptimal para
los modelos de programacion lineal
El análisis de sensibilidad, en este caso lo que se determina es el rango o campo de
variación admisible para los diferentes coeficientes del problema, dentro del cual la
solución actual se mantiene como factible y como óptima. Asi teniendo como objetivo
identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de
determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin
que esto pase por resolver el problema nuevamente.
Es decir utilizando el Método Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o
sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de
resolver para cada variación un nuevo problema.

6. CAPITULO 1
1. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE
PROGRAMACION LINEAL
El Análisis de Sensibilidad se relaciona con la cuantificación de los efectos en la
solución óptima de cambios en los parámetros del modelo matemático. Cuando
escribimos un modelo, damos por aceptado que los valores de los parámetros se
conocen con certidumbre; pero en la realidad no siempre se cumple que los valores
sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales, en
la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes
de la función objetivo. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las
huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generaran
cambios en la disponibilidad de los recursos.
Los cambios en el modelo matemático, que pueden cuantificarse a veces sin
necesidad de volver a resolver el modelo, se relacionan con:
 Cambios en los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo
(Ganancias por unidad de variable de decisión) o
 Cambios en los lados derechos de las restricciones que definen el modelo. (Cantidad de
recursos disponibles)
Los efectos de cambios en los coeficientes dentro de la matriz A son muy difíciles de
cuantificar, y por tanto en estos casos se aconseja correr de nuevo el modelo con los
cambios. En primera instancia veremos cuando solo un coeficiente cambia; después
veremos cuando varios coeficientes cambian simultáneamente.
1.1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
La tabla que nos proporciona el método simplex es una gran fuente de
información sobre los datos de nuestro problema, siempre y cuando los
sepamos descifrar. Para ello realizaremos lo que se denomina análisis de
sensibilidad.
Una de las cosas más importantes que nos proporciona este análisis, es la de
conocer el intervalo de variación de los parámetros del problema, sin que cambie
nuestra solución óptima.
1.1.1. COSTES RELATIVOS O SOMBRA
Los coeficientes que en el momento de obtenerse la solución óptima
tiene la tabla en la LO, son los costes relativos o sombra. Representan
el empeoramiento o disminución que tendría la función objetivo por el
incremento unitario de una variable no básica, al introducir en la base.
Si se modifican los coeficientes de nuestra función objetivo, es evidente
que nuestra solución seguirá siendo factible. En un principio no sería

7. necesario comenzar desde el origen del algoritmo, sino simplemente
sustituirlos y continuar con el procedimiento conocido.
Variables no básicas
Si el coeficiente de una variable no básica se incrementa, llegaría un
momento en el que formaría parte de nuestra función objetivo.
En el empleo de fabricación de patatas que vimos anteriormente, en el
que
nuestra función objetivo era:
Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4
No fabricábamos nada del producto 2.
Vamos a ver cuánto podríamos variar el coeficiente de la variable X2 sin
que se modifique el valor óptimo de nuestra función objetivo:
FO: Max 4 X1 +(5 + p2) X2 + 9 X3 +11 X4
p2≥0
En sucesivas iteraciones llegaríamos a una LO:
Si p2 < 3/7, no varia nada nuestro problema.
Si p2 = 3/7, entonces quiere decir que podría obtener otra solución en la
que X2 entrase en la base. El valor de nuestra función objetivo no variaría.
Si p2 > 3/7, el coeficiente de la LO de X2 sería negativo y X2 entraría en la
base, con lo que el valor que obtendríamos para nuestra función objetivo erá
mayor.
Por tanto, los coeficientes en la LO en la solución optimal representan el
incremento máximo que puede tomar el coeficiente de una variable no básica
para entrar en la base.
1.2. TIPOS DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Cambio en el "lado derecho" de las restricciones: Lo que se busca identificar si
las actuales variables básicas se mantienen luego de la modificación de uno o
más parámetros asociados al "lado derecho" del modelo. Si calculamos:
y se cumple , Las mismas variables básicas lo son también de
la nueva solución óptima, calculada con el nuevo . Si lo anterior no se cumple,
se puede aplicar el Método Simplex Dual
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi
LO 0 3/7-p2 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7

8. a) INCLUSIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE:
Debemos evaluar si la nueva variable es un aporte significativo a los
resultados del modelo original. Luego, para decir si la actual solución
básica es óptima para el nuevo problema, calculamos el costo reducido
de la nueva variable como:
donde k es el índice de la nueva variable y Ak su
respectiva columna en la matriz de coeficientes. Si se cumple
que rk>=0 se conserva la actual solución óptima. En caso contrario, se
puede seguir con el Simplex agregando a la tabla una nueva columna
con entradas B-1Ak y rk y tomando como variable entrante a la nueva
base la que acabamos de introducir al problema
1.3. LAS VARIABLES DE HOLGURA.
El valor de una variable de holgura, representa el sobrante de la restricción a la
que está asociada. Por ello, una variación en el valor de una variable de holgura
implica una modificación en los términos independientes de las restricciones.
1.3.1. VARIABLES BÁSICAS:
El valor de una variable de holgura BÁSICA representa la disminución
máxima que puede tener la restricción a la que está asociada, sin que varíe
nuestra base factible Es decir, refleja el exceso que tenemos en la
restricción correspondiente.
1.3.2. VARIABLES NO BÁSICAS:
Las modificaciones en los coeficientes bi de las líneas correspondientes a
las restricciones, están determinados por las variables de holgura. Vamos
a ver qué sucede si modificamos un coeficiente correspondiente a una
restricción cuya variable de holgura asociada es no básica.
1.4. INCLUSIÓN DE VARIABLES.
Vamos a pasar a estudiar la posible inclusión de una nueva variable en nuestro
problema. Para ello nos basaremos en un ejemplo. Supongamos el siguiente
problema:
F.O.: Max 3 X1 + 5 X2
S.a.: X1 ≤ 4
3 X1 + 2 X2 ≤ 18

9. cuya solución final es:
X1 X2 X3 X4 bi
LO 9/2 0 0 5/2 45
L1 1 0 1 0 4
L2 3/2 1 0 1/2 9
Vamos a ver qué sucede si nos aparece una nueva variable X5 que nos
transforme el problema en:
F.O.: Max 3 X1 + 5 X2 + 7 X5 S.a.: X1 + X5 ≤ 4
3 X1 + 2 X2 + 2 X5 ≤ 18
El coeficiente correspondiente a esta variable en la LO será:
(A) * (B) + m = n
Siendo:
A. matriz fila de los coeficientes de las variables de holgura en la LO
B. matriz columna de los coeficientes (de la nueva variable) incluidos
en las restricciones antiguas.
M: coeficiente (de la nueva variable) incluido enla función objetivo antigua.
N: coeficiente de la nueva variable en la LO de la nueva tabla solución.
Así tendremos:
(0,5/2) * 1 - 7 =2
Además, también podemos calcular cuáles son los coeficientes de la nueva
variable en las casillas de la tabla, correspondientes a las restricciones. El
procedimiento será:
(A’) * (B) = (C)
Donde:
A: matriz de los coeficientes correspondientes a las variables de
holgura en las lineas de las restricciones en la tabla solucion del

10. problema inicial.
B: matriz columna de los coeficientes (de la nueva variable)
incluido en las restricciones antiguas.
C: matriz de los coeficientes correspondientes a la nueva variable en
las líneas de las restricciones en la tabla de nuestro problema
modificado.
1 0 * 1 = 1
0 ½ 2 1
Por tanto, la tabla nos quedaría:
Como el coeficiente de la nueva variable en la LO nos ha salido negativo,
será necesario continuar aplicando el método simplex a esta nueva tabla. Así
obtenemos:
X1 X2 X3 X4 X5 bi
LO 13/2 0 2 5/2 0 53
L1 1 0 1 0 1 4
L2 1/2 1 -1 1/2 0 5
La solución por tanto sería:
X2 = 5
X5 = 4
1.5. MODIFICACIÓN DE COEFICIENTES DE VARIABLE NO BÁSICA EN
RESTRICCIONES.
La modificación de un problema de programación lineal, mediante el cambio
de alguno o varios coeficientes en las restricciones correspondientes a una
variable no básica, lo vamos a analizar basándonos en un ejemplo.
X1 X2 X3 X4 X5 bi
LO 9/2 0 0 5/2 -2 45
L1 1 0 1 0 1 4
L2 3/2 1 0 1/2 1 9

11. 1.6. AÑADIR NUEVAS RESTRICCIONES.
En el caso de tener un problema de programación lineal y querer modificarlo
incluyendo nuevas restricciones, en lugar de volver a resolverlo, podremos
realizar un análisis de sensibilidad y modificar la tabla anteriormente obtenida
para encontrar una solución óptima a nuestro nuevo problema.
1.7. RANGO DE VARIABILIDAD:
El Rango de variabilidad para una variable i: el rango de valores donde puede
estar el coeficiente de la variable i en la funci´on objetivo y seguir siendo
´optima la soluci´on encontrada. La variaci´on en el valor de la funci´on
objetivo puede calcularse: multiplicando este in(de)cremento por el valor que
tiene la variable i. El nuevo valor de la funci´on objetivo se obtiene sumando
tal incremento al valor del ´optimo anterior.
1.8. Un ejemplo “ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE
PROGRAMACION LINEAL”
Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Dos artículos A y B pueden producirse en 4 procesos diferentes los cuales
requieren de diferentes cantidades de equipo, mano de obra y materia prima.
Estos recursos sonlimitados y la venta de estos artículos generan una utilidad
conocida dependiendo del proceso con el que se realizan. Se trata de
determinar la cantidad de artículos a producir en cada proceso de manera de
maximizar la utilidad.
Los recursos requeridos y disponibles, así como la utilidad generada porcada
unidad de artículo se muestra en la siguiente tabla:

12. Cantidades requeridas por
unidad de producto
ARTÍCULO A ARTÍCULO B
RECURSO PROC.. 1 PROC. 2 PROC. 1 PROC. 2 DISPONIBILIDAD
EQUIPO
(Hras)
3 2 4 3 70
MANO DE
OBRA
(Hras)
7 8 10 12 120
MATERIA
PRIMA (Kg)
1 1 1 1 15
UTILIDAD
(usd / 100)
6 5.5 7 8
El modelo de Programación Lineal es el siguiente:
max 6x1+5.5x2+7y1+8y2
st
3x1+2x2+4y1+3y2<70
7x1+8x2+10y1+12y2<120
x1+x2+y1+y2<15
A continuación se muestran los resultados que arroja LINDO para este problema:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 96.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 12.000000 0.000000
X2 0.000000 0.900000
Y1 0.000000 0.200000
Y2 3.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 25.000000 0.000000
3) 0.000000 0.400000

13. 4) 0.000000 3.200000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 6.000000 2.000000 0.500000
X2 5.500000 0.900000 INFINITY
Y1 7.000000 0.200000 INFINITY
Y2 8.000000 2.285714 0.333333
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 70.000000 INFINITY 25.000000
3 120.000000 60.000000 15.000000
4 15.000000 2.142857 5.000000
La utilidad máxima es 9600 USD y se tiene produciendo 12 unidades de A con el
proceso 1 y 3 unidades de B con el proceso 2.
Observe que las variables de holgura tienen los siguientes valores en la solución
óptima:
w1= 25
w2= 0
w3= 0
Esto es, las restricciones de mano de obra y de materia son activas lo que implica que
estos recursos se agotan con esta producción. Sin embargo todavía se tienen horas
de equipo disponibles.
La gráfica siguiente muestra las restricciones del problema en las variables X1 y Y2

14. Y2
X1 + Y2 = 15
7X1 + 12Y2= 120
X1
Si varía la disponibilidad de mano de obra y de materiales las cantidades óptimas de
producción cambian. La disponibilidad de equipo puede aumentar o disminuir sin que
afecte el nivel óptimo de producción.
El análisis de sensibilidad permite evaluar EL EFECTO EN LA SOLUCIÓN ÓPTIMA
estos cambios sin resolver otro problema.
a) Si aumentamos en una unidad la disponibilidad del recurso 2 (de 120 a 121)
la solución se tendría en el punto:
7x1+12y2=121
X1+y2=15 x1 = 59/5, y2= 16/5
El incremento en estas variable es de:
- 12 = -1/5 = -0.2
- 3 = 1/5 = 0.2
y la función objetivo se incrementa en
X1 = 12
Y2 = 3

15. Dz = 6 (-1/5) + 8 (1/5) = 2/5 = 0.4 que es el valor marginal (precio sombra o precio
dual) de la mano de obra. “Por cada unidad de mano de obra que se disponga, la
utilidad aumenta en 0.4"
b) Si aumentamos en una unidad la disponibilidad del recurso 3 (de 15 a 16)
la solución se tendría en el punto:
7x1+12y2=120
X1+y2=16 x1 = 72/5, y2= 8/5
El incremento en estas variable es de:
- 12 = 12/5
- 3 = -7/5
y la función objetivo se incrementa en
Dz = 6 (12/5) + 8 (-7/5) = 16/5 = 3.2 que es el valor marginal (precio sombra o precio
dual) de la materia prima.
“Por cada unidad de materia prima que se disponga, la utilidad aumenta en 3.2"
Para la primera restricción el precio dual es cero ya que esta restricción no es activa.
Notemos que:
70 (0) + 120 (2/5) + 15 (16/5) = 96 que es la utilidad máxima.