1) El documento explica el concepto de dualidad en programación lineal, donde un problema primal tiene asociado un problema dual matemáticamente relacionado. 2) Se describen las características y relaciones entre un problema primal de minimización y su correspondiente problema dual de maximización utilizando una tabla primal-dual. 3) El problema dual se obtiene sistemáticamente a partir del problema primal intercambiando variables y restricciones de acuerdo a las reglas de la tabla primal-dual.

1. Docente:
Ing Roxana Rodríguez.
Autores:
Castillo Román C.I: 24.754.554
Martínez Vanessa C.I: 25.675.128
Noheda Ricardo C.I: 26.706.142
Perdigón José C.I: 28.250.231
Urbina Luis C.I: 28.256.156
Velásquez Génesis C.I: 27.652.559

2. ¿Qué es la dualidad?
En síntesis es una propiedad de lo que es doble o contiene en sí dos
naturalezas, dos sustancias o naturalezas, dos sustancias o dos principios. dos
principios. El concepto de dualidad tiene su contexto en la resolución de
problemas por medio de programación lineal.
El uso del método simplex, en los
casos en que la cantidad de
restricciones es mayor al de las
variables, pues la dualidad
permite intercambiar las filas y
columnas para obtener menos
restricciones.
En
especial
Facilita la resolución del problema de
optimización.
Lo
cual
Características.
Se obtiene matemáticamente de un modelo
primal de Programación Lineal dado
1
Todo problema de Programación Lineal
tiene asociado un segundo problema,
conocido como su problema Dual.
2
El dualismo es una teoría que surge como
consecuencia de una profundización en el
estudio de la Programación lineal.
2

3. Historia del Problema Dual
Fue propuesto en el
siglo XVII por Fermat.
------------
El problema establecía que si tenemos
los puntos P1, P2 y P3 en un mismo
plano, buscáramos un punto P que
minimice la suma de distancias.
--------
---------
Un famoso profesor de Geometría de la
universidad de Berlín, Jakob Steiner
tomó el problema y lo hizo más
práctico, el buscó encontrar un
sistema de carreteras que uniera tres
aldeas llamadas A, B y C con una
longitud mínima.
---------
A un siglo de haber resuelto
el problema de Fermat surgió
un nuevo problema que
aparentemente no tenía
relación y que resultó ser el
primer caso de problema dual
en optimización.
1775
---------
---------
---------
-----------------
El concepto de dualidad en
optimización apareció por primera
vez en un trabajo publicado por
John von Neumann.
1963
Dos siglos
pasaron

4. Esencia de la teoría de Dualidad.
La esencia de la dualidad nos indica que el problema dual usa exactamente los
mismos parámetros que el problema primal. Dualidad en Programación Lineal
tiene su esencia en el hecho de existir dos modelos
Cuando
La teoría de la Dualidad
es una propiedad
Matemática. Este
concepto se aplica a la
teoría de optimización.
1
La esencia quiere decir que el
problema dual usa exactamente los
mismos parámetros que el problema
primal, pero en diferentes lugares.
2
La teoría de Dualidad
introduce un nuevo test de
optimización, como también
nuevos algoritmos para
resolver problemas lineales
3
Características
Se ha planteado sólo
uno para resolver un
problema específico.
Cuando se obtiene la
solución de uno, se está
obteniendo también la
solución del otro
Características

5. Elaboración de la tabla Prima - Dual
Si el modelo por resolver es de minimización se utiliza la llamada tabla primal-dual
para trasladar el problema a maximización y volver al uso del mismo algoritmo. Si
tenemos el modelo primal de minimización:
Las variables «y1»
son las variables del
problema dual.
Observamos que si el modelo
dual tiene «m» variables y «n»
restricciones (sin incluir las de
no negatividad), entonces el
modelo primal tiene «n»
variables y m restricciones.
Definimos el modelo dual asociado con el
modelo (2), como el modelo de
programación lineal que tiene como
objetivo maximizar la función objetivo .
1

6. Para formar la tabla primal-dual se procede como
sigue:.
El tamaño de la tabla es de m + 2 renglones y n + 2
columnas. (m número de variables y n número de
restricciones).
La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos
con una diagonal, en la parte superior escribimos la
palabra primal (mín) y en la parte inferior dual (máx).
En la primera columna a partir del segundo renglón se
escriben los nombres de las variables del problema dual
(m).
En la celda de la esquina superior derecha se escribe el
símbolo >, mientras que en la primera columna del último
renglón se escribe el símbolo <
En el primer renglón se escriben los nombres de las
variables del problema primal (n).
1
5
4
3
2

7. Continuación…
Se escriben los coeficientes de la función objetivo del
modelo dual en la última columna.
Se escribe cada una de las restricciones del problema dual
en forma vertical, ocupando las columnas de la tabla.
De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único
que debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y
los coeficientes de la función objetivo se obtienen de la
última columna.
En el último renglón se escriben las cantidades limitantes
de las restricciones del modelo primal.
1
4
3
2

8. Identificación del Origen de Problema
Dual.
El problema dual es una programación lineal definida en
forma directa y sistemática a partir del modelo original (o
primal) de programación lineal. Los dos problemas están
relacionados en forma tan estrecha que la resolución
óptima de un problema produce en forma automática la
resolución óptima del otro.
La doble formulación de la
programación lineal no se debe
considerar como un simple ejercicio
matemático, sino que una y otra
versión del problema viene a
explicar dos aspectos económicos
distintos para una misma
situación polémica.
Entonces
Fundamental de la
relación entre el primal y
el dual es que la
solución óptima de
cualquiera de estos
problemas proporciona
la solución óptima para
el otro.
Una Propiedad

9. Relaciones de la tabla
Prima -Dual
El modelo dual de un problema de Programación
Lineal consiste en una instancia alternativa de
modelamiento matemático que nos permite rescatar
la información del problema original
conocido comúnmente como modelo primal.
Las relaciones de dualidad se
pueden resumir en el siguiente
cuadro:
se puede
interpretar
tanto
de izquierda a
derecha como
de derecha a
izquierda.
Es suficiente con resolver uno
de ellos (primal o dual) para
poder obtener la solución
óptima y valor óptimo del
problema equivalente (primal o
dual según sea el caso). Para
ello se puede utilizar, por
ejemplo, las condiciones
establecidas en el Teorema de
Holguras Complementarias.
En
consecuencia.

10. Primal Minimización – Dual
Maximización
Por ejemplo, leyendo la tabla desde izquierda a derecha, es decir,
pasar de un problema primal de minimización a un problema
dual de maximización, tenemos:
• Si el problema primal es de minimización, entonces su
correspondiente dual será uno de maximización.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo >=, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser >=0.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo <=, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser <=0.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo =, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser irrestricta (libre de signo).
• Si el problema primal tiene una variable >=0, la
correspondiente restricción asociada en el dual debe ser <=.
• Si el problema primal tiene una variable <=0, la
correspondiente restricción asociada en el dual debe ser >=.
• Si el problema primal tiene una variable irrestricta (libre de
signo), la correspondiente restricción asociada en el dual debe
ser =.
Analizando
la tabla.

11. Primal Minimización –
Dual Maximización
De forma análoga, interpretando la tabla desde derecha a
izquierda, es decir, pasar de un problema
primal de maximización a un problema dual de minimización,
tenemos:
• Si el problema primal es de maximización, entonces su correspondiente dual
será uno de minimización.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo <=, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser >=0.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo >=, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser <=0.
• Si el problema primal tiene una restricción del tipo =, la variable
dual asociada a dicha restricción debe ser irrestricta (libre de signo).
• Si el problema primal tiene una variable >=0, la
correspondiente restricción asociada en el dual debe ser >=.
• Si el problema primal tiene una variable <=0, la
correspondiente restricción asociada en el dual debe ser <=.
• Si el problema primal tiene una variable irrestricta (libre de
signo), la correspondiente restricción asociada en el dual debe
ser =.
Analizando
la tabla.

12. Ejemplo
Resolver un modelo de optimización resulto
con la implementación del método de las 2
fases.
Como en este caso el problema primal es
de minimización, para definir su respectivo problema
dual leeremos la tabla que resume las relaciones de
dualidad desde izquierda a derecha. En
consecuencia, el problema dual será uno
de maximización.
La primera y segunda restricción del problema
primal definirán las variables de decisiones
(variables duales) en el problema dual (Y1 e Y2,
respectivamente), siendo los coeficientes en la
función objetivo los actuales valores de los lados
derechos de las restricciones del primal
Adicionalmente
.

13. Luego por cada variable en el problema primal vamos a tener la
misma cantidad de restricciones en el problema dual.
Ejemplo
Continuación…
las variables X1, X2 y X3 definirán la estructura de las
restricciones 1, 2 y 3 en nuestro problema dual. Por
ejemplo la primera restricción del problema dual
(asociada a la variable primal X1) sería 2Y1+2Y2<=160.
Notar que los coeficientes que ponderan a las variables duales son
los parámetros asociados a la variable X1 en el primal en la primera
y segunda restricción, respectivamente. La restricción en el dual es
del tipo “<=” debido a que la variable X1 en el problema primal de
minimización tiene la condición de no negatividad (“>=0”). Por
último el lado derecho de la restricción es el coeficiente que tiene
la variable X1 en la función objetivo del problema primal. Siguiendo
el procedimiento las restricciones del problema dual serían:
En este caso

14. Ejemplo
Finalmente como las 2 primeras restricciones del
problema primal son del tipo “>=” en el problema
primal de minimización, las respectivas variables
duales asociadas en el problema de maximización
serán no negativas. De esta forma el problema dual
es:
Continuación…

15. Establecimiento de Propiedades Débil
Establece el valor de cualquier solución factible del problema de minimización,
provee una cota superior del valor óptimo del problema de maximización.
Similarmente, el valor de la función objetivo de cualquier solución factible del
problema de maximización…
si “X” es una solución factible para
el problema primal y Y es una
solución factible para el problema
dual, entonces: «ex» es una
solución factible para el problema
dual, quedando :
ex≤ yb≤ yb
Es una
Cota inferior del valor
óptimo del problema de
minimización.

16. Propiedades de Soluciones
Complementarias.
Se establece que, en cada iteración el método símplex identifica simultáneamente
una solución básica factible para el modelo primal y una solución complementaria
para el modelo dual (que se encuentra en el primer renglón de la tabla símplex,
como los coeficientes de las variables artificiales).
variables de holgura de
la tabla símplex del
modelo dual.
Que los valores de
las variables «xi»
del modelo primal
son los valores que
se encuentran en el
renglón R0 en las
columnas…
Esto quiere decir
de las

17. Luego por cada variable en el problema primal vamos a tener la
misma cantidad de restricciones en el problema dual.
Ejemplo
Continuando con el ejemplo de la pag (4) el modelo que se obtiene al
sumar las variables de holgura es:
La tabla inicial que obtenemos es:
La tabla después de la primera iteración es:
La tabla después de la segunda iteración es:

18. Ésta ya es la tabla óptima, la cual tiene como solución del
problema dual
la siguiente:
Ejemplo
Continuación…
Sin embargo, nuestro interés está en la solución
del problema primal de minimización, la cual
obtenemos del renglón R0 , al tomar los
coeficientes de las variables de holgura, es
decir::
Se comprueba que efectivamente la
función objetivo del problema dual
tiene el mismo valor que la función
objetivo del primal.
Al sustituir en la función objetivo, tenemos:

19. Elementos de los Problemas Primal Y Dual
El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es de orden s x r, entonces Dt
es de orden r x s. Además las variables del primal y el dual son diferentes, ya que X será un vector
de r-componentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes.
Los términos independientes del conjunto de las restricciones del problema primal forman los
coeficientes de la función objetivo del dual.
Los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos independientes de las
restricciones del dual.
Las restricciones del dual cambian su sentido al igual que el
criterio de optimización en términos de mínimo o máximo.
A cada restricción del problema primal le corresponde una
variable dual y análogamente a cada restricción del dual le
corresponde una variable del primal.

20. Mecánicamente el dual es formulado partiendo
del problema primo.
Si el primo es un problema de
Maximización, el dual es un
problema de Minimización y
viceversa.
Los coeficientes de la función
objetivo del primo se convierten en
las restricciones constantes de las
ecuaciones del dual.
3. Las restricciones de las
ecuaciones del primo se
convierten en los coeficientes de la
función objetivo del dual.
Los coeficientes de las variables
del dual en las ecuaciones
restrictivas son obtenidas
sacando la transpuesta de la
matriz de coeficientes del primo
5. Los signos de la desigualdad
son invertidos.
6. Las Xn variables del primo son
remplazadas por Wm variables en
el dual. Notación matemática:
Primo Contiene m ecuaciones y n
variables. Dual Contiene n
ecuaciones y m variables.
3
5
2
4
1
6

21. Ejemplo
Utilizando las relaciones de dualidad en Programación Lineal, dado un problema primal P,
demuestre que su correspondiente dual D queda definido de acuerdo a:
En lo que sigue, combinaremos las distintas restricciones del problema primal, ponderando por
los valores no negativos y cada una, respectivamente, de modo de obtener la mejor cota
superior del valor óptimo del problema P). Vale decir:

22. De modo de garantizar que el lado derecho de esta última desigualdad sea una cota superior de la
función objetivo del problema primal se debe cumplir que:
La mejor elección de esta cota se obtendría al resolver el siguiente problema de optimización:
Este problema se conoce como el problema “Dual” D) asociado al problema “Primal” P).
También resulta que al formular el problema dual de D) se obtiene el problema primal P) (o uno
equivalente). Cualquiera de los dos entrega la misma información y el valor óptimo alcanzado es el
mismo.

23. Desarrollo de las relaciones entre primal y
dual
Asociado a cada problema
lineal existe otro problema
de programación lineal
denominado problema
dual (PD) , que posee
importantes propiedades y
relaciones notables con
respecto al problema
lineal original, problema
que para diferencia del
dual se denomina
entonces como problema
primal (PP).
El problema dual tiene tantas
variables como restricciones
tiene el programa primal.
Los términos
independientes de las
restricciones del dual son
los coeficientes de la
función objetivo del
problema primal.
Los coeficientes de la
función objetivo del
problema dual son los
términos independientes de
las restricciones o RHS del
programa primal.
La relación entre el problema
Dual y su asociado, es decir el
problema original llamado
primal, presenta varias
utilidades:
- Aporta elementos que
aumentan sustancialmente
la comprensión de la PL.
- El problema Dual tiene
interpretaciones e
informaciones importantes.
Características
1
3
2

24. Los cambios que se hacen en el modelo
original de programación lineal afectan a
los elementos de la tabla optima actual (el
que se tenga en el momento), que a su vez
se puede efectuar a la optimalidad y/o la
factibilidad de la solución actual.
- El dual, tiene como resultado el
problema principal
- Una restricción que es una igualdad
en el problema principal, genera una
variable en el dual son restricción en el
signo.
-Una variable del problema principal,
sin restricción en el signo, genera una
restricción de igualdad en el problema
dual .
- El número de variables del problema
principal es igual al número de
restricciones en el problema dual
Relaciones –
Continuación..
Consideraciones.

25. BIBLIOGRAFIA
• Tutoriales, G., 2021. Relaciones de Dualidad en Programación Lineal
(Pasar de Primal a Dual). [online] Gestión de Operaciones. Recuperado
de:<https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/relacione
s-de-dualidad-en-programacion-lineal-como-pasar-de-primal-a-dual/
• 2015, 21 mayo. Introducción al problema Dual. Investigación de
operaciones Univia. Recuperado de:
https://investigaciondeoperacionesunounivia.wordpress.com/tag/introduc
cion-al-problema-dual/
• Teoría de la dualidad. EcuRed. Recuperado de:
http://www.ecured.cu/index.php/Teor%C3%ADa_de_la_dualidad
• 3.3 Relacion Primal Dual. (2021). Retrieved 8 June 2021, recuperado de:
https://dokumen.tips/documents/33-relacion-primal-dual.html
• Propiedades de las soluciones. (2021). Retrieved 9 June 2021,
Recuperado de https://es.slideshare.net/fredyjaviervillanera/propiedades-
de-las-soluciones-58526282