Optimizacion de Procesos

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Ing. Marco Antonio Pineda C.
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador

2. MÉTODO SIMPLEX M
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador

3. DESCRIPCION GENERAL
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador
Es una variante del método simplex estándar, para la
solución de problemas de PL que no se ajustan a la
forma canónica.
Problemas de PL que contienen restricciones del tipo
">","≥" o "=" (el origen no es parte de la región de
soluciones factibles).

4. METODOLOGÍA
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador

5. Metodología
Al ser una variante del Método Simplex Estándar, trabaja con la misma
metodología del simplex estándar.
Pero:
Al no ser el origen parte del conjunto de soluciones factibles (solución
básica inicial), es necesario encontrar un vértice del ≪politopo≫,
desde el cual sea factible aplicar el Método Simplex Estándar.
De igual manera trabaja con ecuaciones, por tanto, será necesario,
adecuar el modelo matemático a un modelo estándar, a través del uso
de variables de holgura (escases), superávit (surplus), y artificiales.

6. PROCESO GENERAL
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador
El proceso general, es el mismo que sigue el método simplex:
Planteamiento
• Construcción
del Modelo
Matemático
(Variables ,
Restricciones y
Función
Objetivo)
Conversión
• Conversión de
las
desigualdades
en ecuaciones
utilizando
variables de
holgura ,
superávit y
artificiales.
Solución
• A través del
algoritmo
iterativo
Simplex,
solucionar el
problema.

7. Procedimiento Matemático
 Proceso:
 SB: solución básica
1.
• Convertir desigualdades en igualdades (var. de holgura y
superávit)
2.
• Introducir las variables artificiales necesarias (rest. y FO)
3.
• Escribir la tabla inicial simplex
4.
5.
• Calcular el valor inicial de Z, dado por la SB temporal
• Encontrar las variables y coeficientes de la nueva tabla

8. Ejemplo:
Utilizando el Método Simplex M, resolver
Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 5𝑥1 + 8𝑥2
Sujeto a:
6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30
𝑥2 ≥ 1
−2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

9. Procedimiento Matemático
Introducir una variable de holgura y/o de superávit en cada una
de las restricciones, según el caso :
6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑆1 = 30
𝑥2 − 𝑆2 = 1
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆3 = 6
𝑍 𝑚á𝑥 = 5𝑥1 + 8𝑥2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 + 𝑆3
1.
• Convertir las desigualdades en igualdades

10. Procedimiento Matemático
En problemas, donde exista restricciones del tipo ">", ">=" o"=", es
necesario agregar una variable artificial por cada restricción de este
tipo, para así formar la base canónica necesaria para aplicar el
método simplex estándar..
6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑆1 = 30
𝑥2 − 𝑆2 + 𝑅1 = 1
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆3 = 6
2.
• Introducir las variables artificiales necesarias (Rest. Y FO)

11. Procedimiento Matemático
Para la función objetivo, la nueva variable artificial se debe
restar en la función objetivo, multiplicada por una constante muy
grande. Si se trata de maximizar, caso contrario deberá sumarse.
𝑍 𝑚á𝑥 = 5𝑋1 + 8𝑋2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 + 𝑆3 − 𝑀𝑅1

12. Procedimiento Matemático
3.
• Escribir la tabla inicial simplex
Variables
Solución
Variables de
Decisión
Variables de Holgura, Superávit
y Artificiales
Valores
Solución
X1 X2 S1 S2 S3 R1
S1 6 5 1 0 0 0 30
R1 0 1 0 -1 0 1 1
S3 -2 2 0 0 1 0 6
Z -5 -8 0 0 0 M 0

13. Procedimiento Matemático
La tabla muestra que Z= 0, pero, dado que la SB temporal es:
𝑆1 = 30; 𝑅1 = 1; 𝑆3 = 6
Se tiene que:
𝑍 = 0𝑆1 + 0𝑆3 − 𝑀𝑅1 = −𝑀
Esta contradicción se da porque el coeficiente de 𝑅1 no es cero,
por tanto, será necesario sustituir 𝑅1 en Z, a través de
operaciones entre filas (anular el coeficiente de 𝑅1) y obtener Z.
4.
• Calcular el valor inicial de Z, dado por la SB temporal

14. Procedimiento Matemático
Con lo que la nueva tabla simplex se reduce a:
Variables
Solución
Variables de
Decisión
Variables de Holgura, Superávit
y Artificiales
Valores
Solución
X1 X2 S1 S2 S3 R1
S1 6 5 1 0 0 0 30
R1 0 1 0 -1 0 1 1
S3 -2 2 0 0 1 0 6
Z -5 -M-8 0 M 0 0 -M
Obteniendo el valor de Z esperado bajo la SB temporal.

15. Procedimiento Matemático
 Variable de decisión que entra.- el criterio es el mismo que el
simplex estándar, una vez reducido a la forma canónica.
 Variable de holgura que sale.-. el criterio es el mismo que el
simplex estándar, una vez reducido a la forma canónica
Coeficientes.- aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan
El proceso se repite hasta que no exista valores negativos o positivos
en la fila ≪función objetivo≫, según sea el caso (Max. o min.)
5.
• Encontrar las variables y coeficientes de la nueva tabla

16. Procedimiento Matemático
Visualización en la tabla simplex se tiene:
Variables
Solución
Variables de
Decisión
Variables de Holgura, Superávit
y Artificiales
Valores
Solución
Cociente
X1 X2 S1 S2 S3 R1
S1 6 5 1 0 0 0 30 30/5=6
R1 0 1 0 -1 0 1 1 1/1=1
S3 -2 2 0 0 1 0 6 6/2=3
Z -5 -M-8 0 M 0 0 -M

17. Consideraciones
Variable de decisión que entra:
Variable de holgura que sale:
 Mismas que para el método Simplex Estándar.

18. PREMISAS, CONCLUCIONES Y
CONSIDERACIONES
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador

19. Premisas
 El método descrito (Simplex M), se ha detallado, considerando:
Que existen restricciones del tipo ">", "≥" o "=", y que no es posible
reacomodar el modelo a la forma canónica al multiplicar dicha
restricción por (-1) a las restricciones del tipo ">“ y "≥“.
Por tanto…
Al incorporar al modelo variables artificiales, se obtiene la forma
canónica, necesaria para resolver un problema de PL, utilizando
el algoritmo Simplex.

20. Consideraciones
 El método simplex M, posee un inherente error de redondeo.
En tal sentido, no es conveniente que M sea innecesariamente
grande para evitar el error.
 Por ejemplo, si, los coeficientes de la FO de 𝑥1 y 𝑥2 son
relativamente pequeños, es razonable establecer un valor de
M 10 veces superior (TORA 100).
 El uso de la penalización M, no forzara la variable artificial
a cero en la iteración simplex final si el problema no tiene una
solución factible.

21. EJEMPLOS
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador

22. Ejemplos:
Utilizando el Método Simplex M, resolver
Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 5𝑥1 + 8𝑥2
Sujeto a:
6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30
𝑥2 ≥ 1
−2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

23. Ejemplos
Utilizando el Método Simplex M, resolver
Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 4𝑥1 + 𝑥2
Sujeto a:
3𝑥1 + 𝑥2 = 3
4𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 6
1𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

24. GRACIAS
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador
“[Nada puede] reemplazar el esfuerzo consistente en
lecturas copiosas, muchos ejercicios y largas horas de
meditación que el aprender Economía habrá de
demandarles inexorablemente” (Manuel Cordomí, 1977).
Ing. Marco Antonio Pineda C.
Esto es aplicable casi a cualquier ciencia y en especial a
una derivada de las matemáticas.