Metodo Simplex

1. ANÁLISIS DE DECISIONES
METODO SIMPLEX
Asesora: Susana Gabriela
Morales Vargas
Presentan:
Claudia Pérez Oropeza
Laura Lizeth Hernández Jiménez
Javier Hernández Palacios

2. METODO SIMPLEX
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo
en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se
ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se
satisfacen todas las restricciones).
Partiendo del valor de la función objetivo en un punto
cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto
que mejore el valor anterior. Como se verá en el método
grafico, dichos puntos son los vértices del polígono (o
poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de
2) que constituye la región determinada por las
restricciones a las que se encuentra sujeto el problema
(llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante
desplazamientos por las aristas del polígono, desde el
vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de
la función objetivo. Siempre que exista región
factible, como su número de vértices y de aristas es
finito, será posible encontrar la solución.

3. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z
no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que
parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta.
Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja
con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor
o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por
tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos
requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después
de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "="
(igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos
de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

4. Problema
En una fabrica de faros se producen dos tipos de ellos, las de tipo normal
valen $8 y las halógenas valen $2. la producción esta limitada por el hecho
de que no pueden fabricarse al día mas de 227 normales y 235 halógenas; y
el total de faros debe estar entre 159 y 238 faros. Si se vende toda la
producción, ¿Cuántos de cada clase convendrá producir para obtener la
máxima facturación?
Desarrollaremos un problema por el método simplex para su mejor
comprensión.

5. Los pasos son los siguientes:
1.- Obtener la forma estándar del modelo
2.- Crear la tabla estándar
3.- Generar la solución básica de inicio
4.- Elegir la variable que entra a la base
5.- Elegir la variable que sale de la base
6.- Generar una nueva solución básica mejorada
7.- Repetir el diagnostico desde paso 4 hasta terminar

6. Para conocer el desarrollo de los pasos 4 hasta el 6 es necesario lo
siguiente:
En el paso 4, para elegir la variable que entra a la base en el caso de
maximizar, entrara la variable mas negativa del renglón Z, de manera
parecida en el caso de minimizar entrara la variable mas positiva del renglón
Z.
En el paso 5, se necesita saber cual es la variable que sale de la base, por
lo cual dicha variable será la que tiene el valor solución menor positivo
expresado de la siguiente manera:
La solución de la variable básica es dividida entre el coeficiente de la
variable que se encuentra en la columna de la variable entrante.

7. En el paso 6, para poder generar una nueva solución básica mejorada se
generara un 1 en la columna de la variable que entra y en el renglón de la
variable que sale, el cual nos servirá como pivote.

8. Una vez identificadas las restricciones activas mediante el método grafico se
puede establecer el modelo correspondiente para solucionar el problema
lineal
Restricciones
Activas
El método simplex se basa en la solución de un sistema de
ecuaciones.

9. Se deben convertir las restricciones funcionales de desigualdad en
restricciones de igualdad equivalentes para obtener la forma estándar del
modelo.
Esta conversión se logra con la introducción de una nueva variable llamada
variable de holgura. La variable de holgura se expresa de la siguiente
manera:

10. En este caso las restricciones factibles son de la forma < = al convertir la
desigualdad en igualdad solo agregamos una variable de holgura para poder
equilibrar dicha función. Al introducir variables de holgura en las
restricciones originales, el modelo original se puede sustituir por un modelo
equivalente, llamado forma aumentada del modelo, se llama así por que la
forma original se aumento con algunas variables suplementarias necesarias
para poder aplicar el método simplex.

11. En este paso se generara la tabla estándar, una vez ya determinada la forma
aumentada del modelo, lo siguiente consiste en colocar cada uno de los valores
de las variables correspondientes de la función objetivo y las restricciones en una
tabla.
Posteriormente la función objetivo se iguala a 0 para poder determinar los valores
que se le asignaran a Z en la tabla estándar de la siguiente manera:
Los valores correspondientes a los holguros
se les asignara las variables H1 y H2.

12. Una vez llenada la tabla estándar con los valores del modelo se
determina la función básica de inicio, es decir crear base, por lo cual
en la columna básica se debe tener asignadas las variables que nos
están generando base. Esto quiere decir que generan en la tabla la
matriz identidad, es decir pivotes de no ser así corresponderá generar
base cumpliendo con los requerimientos anteriormente descritos.
Posteriormente se determina la variable básica entrante. En este caso
de maximizar corresponderá a la variable que tenga el valor mas
negativo en el renglón Z. Una vez ya identificada la variable entrante
se determina la variable básica que sale.

13. Para poder identificar la variable básica que sale:
Se deben elegir los coeficientes de la columna de la variable entrante que
son estrictamente positivos. Ya teniéndolos elegidos dividimos el valor
solución entre cada uno de los coeficientes de la variable entrante,
identificando así el renglón que tenga el valor menor positivo en el cual la
variable básica de ese renglón es la variable candidata a salir donde
posteriormente se debe generar un 1, el cual servirá como pivote para
encontrar la nueva solución mejorada.
Posteriormente se generan 0 en las columnas alternas al renglón pivote,
esto se establece de la siguiente manera:
Se utilizara el pivote generado en la variable que sale de la base. Debemos
encontrar un numero que multiplicado por ese pivote y sumado a la variable nos
genere un entero

14. En la imagen se representa la
variable pivote esta representada
en H1, por lo cual en esa columna
Z y H2 deben ser 0.
convirtiéndolos como se
establece en la imagen.
Obteniendo así una nueva
solución básica mejorada. Si el
problema se vuelve a presentar
un valor mas negativo en Z se
vuelven a repetir los paso 4 y 5
hasta que ya nadie entre en la
base para obtener la correcta
solución optima.

15. Cuando ya nadie entra a la base esto quiere decir que en el renglón de Z ya
no existe un numero mas negativo por lo cual se ha llegado a la solución
optima encontrando el valor máximo de Z y los valores de las variables de
decisión. Dichos valores corresponden a las variables que se encuentran en
la columna básica, en este caso es X1 y X2, los cuales se sustituyen en la
función objetivo original para comprobar que las cantidades asignadas a las
variables si satisfacen la igualdad, es decir el valor solución correspondiente
en el renglón de Z.
Dando como resultado la cantidad de faros normales y halógenos que se
deben producir para obtener la máxima facturación.