2013Teoremas sobre ecuaciones polinomiales                         Christiam Huertas                         www.xhuertas....
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Teoremas sobre ecuaciones

  1. 1. 2013Teoremas sobre ecuaciones polinomiales Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com 24/02/2013
  2. 2. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema IntroducciónLa búsqueda de fórmulas que permitan hallar las raíces de los polinomios fue unproblema central del álgebra durante siglos.Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576)mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontróun método para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado del Ferro Tartaglia Cardano Ferrari Prof.: Christiam Huertas 2
  3. 3. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES MathemaEl objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación de gradoen términos de los coeficientes que pertenecen a un cuerpo .La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado alo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversasáreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen. Ordenador cuántico Prof.: Christiam Huertas 3
  4. 4. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ecuación polinomial de grado superior Forma general donde y . Ejemplos     Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de factorización sobre ; aunque a veces no es muy sencillo. Prof.: Christiam Huertas 4
  5. 5. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Resuelva la ecuación polinomial . Solución Factorizamos la ecuación y obtenemos ⏟ ⏟ ( √ )( √ ) √ √ son las soluciones de la ecuación { √ √ } Prof.: Christiam Huertas 5
  6. 6. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 2. Resuelva la ecuación polinomial . Solución Factorizamos la ecuación por el método de aspa doble especial. ⏟ Aplicamos la fórmula general √ { √ √ } Prof.: Christiam Huertas 6
  7. 7. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado , con coeficientes complejos, posee al menos una raíz compleja. Por ejemplo, la ecuación posee al menos una raíz. Gauss en su disertación doctoral (1799) dio la primera demostración rigurosa del Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert había tratado de dar una demostración en 1746. Gauss dio dos demostraciones más. En la tercera prueba (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestría de Gauss en la teoría de los números complejos. Prof.: Christiam Huertas 7
  8. 8. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Corolario Toda ecuación polinomial de grado con coeficientes complejos, tiene exactamente raíces contadas cada una de ellas según lo indique su multiplicidad. Ejemplos  Tiene exactamente 3 raíces.  Tiene exactamente 4 raíces.  Tiene exactamente 5 raíces.  Tiene exactamente 12 raíces. Observación. Si la ecuación polinomial tiene raíces ; entonces, la ecuación se puede expresar como: Prof.: Christiam Huertas 8
  9. 9. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema La ecuación de tercer grado: fórmula de Cardano-Tartaglia El matemático italiano Scipione del Ferro (1465- 1526) resolvió la ecuación general de grado 3, pero sus descubrimientos no fueron publicados. Otro matemático italiano, Tartaglia (1499-1557), encontró un método para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars Magna. La fórmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuación cubica se puede llevar a una de la forma Prof.: Christiam Huertas 9
  10. 10. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema mediante la sustitución La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen) (1651-1708) fue un matemático, físico, médico y filósofo alemán. Es bien conocida la transformación de Tschirnhaus, mediante la cual eliminaba ciertos términos intermedios de una ecuación algebraica dada; fue publicada en su Acta Eruditorum en 1683. Por ejemplo, para la ecuación Hacemos el cambio de variable: de donde, Al reemplazar obtenemos: . Prof.: Christiam Huertas 10
  11. 11. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Es decir; vamos a resolver la ecuación Sea y reemplacemos en la ecuación Esto es, Supongamos que las incógnitas y satisfacen además la ecuación . Nuestro problema se reduce a encontrar y tales que { Como se conoce y , sabemos que y son las raíces de la ecuación cuadrática Prof.: Christiam Huertas 11
  12. 12. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Resolviendo la ecuación se obtiene √ √ y así llegamos a la fórmula de Cardano: √ √( ) ( ) √ √( ) ( ) Denotemos ( ) ( ) es el discriminante de la ecuación cubica . Prof.: Christiam Huertas 12
  13. 13. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Sean √ √ √ √ Luego, las tres raíces de la ecuación están dadas por √ donde Propiedades Dada la ecuación donde y son números reales. i. Si , entonces, las tres raíces son reales y diferentes. ii. Si , entonces, las tres raíces son reales y dos de ellas iguales. iii. Si , entonces, una raíz es real y las otras dos son imaginarias. Prof.: Christiam Huertas 13
  14. 14. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo. Resuelva la ecuación cúbica . Prof.: Christiam Huertas 14
  15. 15. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema La ecuación de cuarto grado La ecuación de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (1522- 1565). Fue un estudioso de las matemáticas que se dedicaba principalmente al estudio del álgebra, con lo que le llegó al descubrimiento de la resolución algebraica de la ecuación general de cuarto grado. Lagrange encontró un método distinto para resolver las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependía de un cambio de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de una sucesión de razonamientos ordenados y profundos que utilizaban la teoría de los polinomios simétricos, la teoría de las permutaciones de las raíces y la teoría de las resolventes. Prof.: Christiam Huertas 15
  16. 16. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema de Cardano - Viette Relaciona los coeficientes de una ecuación polinomial con sus raíces.1. Para una ecuación cuadrática. de raíces y . Suma de raíces Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 16
  17. 17. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema2. Para una ecuación cúbica. de raíces y Suma de raíces Suma de productos binarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 17
  18. 18. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Dada la ecuación . Entonces, Prof.: Christiam Huertas 18
  19. 19. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema3. Para una ecuación cuártica. de raíces ; y . Suma de raíces Suma de productos binarios Suma de productos ternarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 19
  20. 20. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Si la ecuación tiene dos raíces que suman dos, calcule la suma de las inversas de las otras dos raíces. Solución Sean las raíces ; y . Por dato, . Se pide calcular . Por Cardano ⏟ ⏟ ⏟ Prof.: Christiam Huertas 20
  21. 21. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema ⏟ ⏟ ⏟ Sumando Prof.: Christiam Huertas 21
  22. 22. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema4. Para una ecuación polinomial de grado . Dada la ecuación polinomial de grano de raíces . Suma de raíces Suma de productos binarios Prof.: Christiam Huertas 22
  23. 23. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Suma de productos ternarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 23
  24. 24. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema de paridad de raícesTeorema 1.En toda ecuación polinomial de coeficientes reales y grado , si una raíz es , entonces otra raíz es .Teorema 2.En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raíz es √ , entonces otra raíz es √ .(Se considera y √ )Teorema 3.En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raíz es √ √ ; con {√ √ } y√ √ , entonces, √ √ ; √√ y √ √ tambien son raices. Prof.: Christiam Huertas 24
  25. 25. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Prof.: Christiam Huertas 25

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