1. TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas”
IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS
sec x
tgx
n
sec x
ctgx
m
csc x
tgx
 Si:
csc x
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS



2.
Sen
Cos
Tan
senx

R-n
R–(2n+1)
R – n /2
. Cosec = 1
=1
. Sec
. Cotan = 1
1
1
cos x
 (senx
cos x
senx
cosx)2 = 1
;
ctgx
cos x
1
senx
1
n
1
m
1 senx
cos x
2senx.cosx
IDENTIDADES POR DIVISION


R–(2n+1) /2
R–n
Tan = Sen / Cos
Cotan = Cos / Sen
RECORDAR
Verso de “x”
: ver x = 1 – cosx
Converso de “x”



Sen2 + Cos2 = 1
1 + Tan2 = Sec2
1 + Ctg2 = Csc2
R
R–(2n+1) /2
R–n
 sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
=1-3sen2x cos2x

 tg x + cotg x = sec x . cosec x
 sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
 (1
senx
cosx)2 =2 (1
senx)(1
senx
a
c
c
cos x
a2
tg 10x
sen 10x
cos 10x
5. TIPOS
A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
ejercicios, estas son:
 Escoger el miembro más complicado de la
identidad.
 Colocar el miembro escogido en términos
de senos y cosenos.
 Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso.
 Cuando haya potencias puede ser útiles
hacer factorizaciones
cosx)
 Si:
asenx +bcosx = C
Entonces:
: ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
 Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
 1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
 Sen 5x . csc 5x = 1
4. IDENTIDADES AUXILIARES
 sen6 x + cos6 x
: cov = 1 – senx
Ex secante de “x”
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
b2
b
c
 Si:
1

2. Tri gonometría.
Prof: Jhon Villacorta Villacorta

De las identidades
podrán deducir otras.
fundamentales
1 cos x
senx . cos x
se
8.
1.
Simplificar:
2
a) 1
d) Secx
2.
3.
E
Simplificar:
a) 1
b) -1
c) Csc x
9.
c) 2
a) 2
d) -2
e) 0
Cosx
1 Senx
1
sen x
Senx
1
ctg x
2
a) ctg x
(x
F
d) Cos 2 x
b)
11.
IC)
E
Simplificar:
a) 5/3 b) -1
1
cos2 x
a) 0
a
c) 6
Cos 2 x
cos 2 x
c) Sen 2 x
e) Sen 4 x
Sen 4 x Cos 4 x 1
Sen 6 x Cos 6 1
c) 2/3
d) ¾
e) 1/3
1
6sen 2 x
e) 10
c) -1
d) 2
e) -2
F
a) 2
Cscx
e) 1+m
b) 1
15. Si: Tgx
2
S-07
(1 m)2
2
c)
1 m2
2
b)
14. Si: Sen 3 x
Si la siguiente expresión es una identidad:
Centro Preuniversitario de la UNS
m2
2
(1 m)2
2
d)
2 cos 4 x
d)8
b) 1
13. Si: Senx+Cosx = m
Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
c) Sen 2 x
a)
b) 4
e) -2
3(Sen 4 x Cos 4 x) 2(Sen 6 x Cos 6 x)
E
Calcular “k”, para que la siguiente igualdad
sea una identidad.
a) 2
d) -1
12. Reducir:
e) Sec 2 x
sen k x 1 sen k x 1
senx 1
senx 1
c) 0
sen 8 x cos 8 x
1 2sen 2 x . cos 2 x
a) Sen 2 x
d) Cos 2 x
c) 1
b) tg 2 x
2
7.
b) 1
sec 2 x
10. Reducir:
2
k
Determinar a-1 en la siguiente identidad
2
6.
tg 4 x 3tg 2 x k sec 4 x
Senx
Sen 3x
Cos 2 x ; calcular
c) 0
Tg 2 x Tg 3x
d) -1
1
a2 1 b2 1
a2 1 b2 1
Simplificar:
b) Cosx
e) Ctgx
b
Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
F
b) SenxCosx c) Senx
e) Sen 2x
a) Senx
d) Tgx
5.
a 2 2 b 2 2 d) 2a .b
e) 4a .b
(Senx Cosx )2 1
Senx .Cosx
1 2 SenxCosx
Senx
a ; csc x Ctgx
Secx Tgx
c) a .b
Tgx
Ctgx
Cosx
Determinar "k" en: 1 Senx
E
c) tgx
2
b) Sec x
e) Cscx
2
a) Cos x
d) Cosx
4.
E
Si:
k
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
a) 4a .b a 2 1 b 2 1 b) 2a .b a 2 1 b 2
PROBLEMA DE CLASE
Cosx
Secx
k
Calcular el valor de “k”
a) senx
b) cosx
d) senx.cosx
e) Cscx.Tgx
Los ejercicios sobre IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
 Demostraciones
 Simplificaciones
 Condicionales
 Eliminación del ángulo
Senx
Cscx
1 cos x
senx
e) -2
1 ; calcular
Ingreso Directo

3. Tri gonometría.
Prof: Jhon Villacorta Villacorta
F
Ctgx Tg 3 x
a) 2
b) 1
c) 3
d) -1
c) m2 + n2 = p2 + q2
e) m 3– n2 = p2 – q 3
e) -2
PROBLEMA DE REPASO
16. Si: Tgx
Secx 1
n ; calcular
Tgx Secx 1
F Secx Tgx
a) n-2
b) n-1
1.
d) n2
c) n
e)
1
Tan 2
1
Cot 2
1 Senx
1 Senx
2
c) Tan
Ctgx
Ctgx
a) 1
Cscx
Cscx
b) 2
Ctgx
Ctgx
d) 4
Si:
a .Cos 4
4
4
bSen 4
1
1
, tal que a
,
d)
20. Si:
a
a
a b
b
p
senx
b
a
b)
e)
q
cos x
a
a
b
b
b
0,
0y b
4.
a
b
t , determinar la relación
tgx
q
2
q2
q 2t 2 d) q 2 p 2 t 2
e) p 2 p 2
q2
pt
2
m
cos x
q .tgx
2
d) a
4
2
b
2
8
b2
7
6
Cosx
Si:
Calcular: C = Senx Cosx
1
1
1
1
b) 6
c) 14
d) 12
e) 9
m
mn
n
ctg 2x cos2 x
Hallar
,si se cumple la identidad
ctg m x . cosn x
b) 3
c) 5
q 2p2
1 sen 2 x sec x tgx
Calcular T =
cos x
a) 1
8.
3
e) 9
senx
d) csc x e)N.A
Si csecα – cos α= 1
q
Determinar la relación que elimina el arco
de “x”
a) m – n = p – q
b) m + n = p + q
d) 7
La expresión (1 - sen2x )(1 + tg2x) es
idéntica a:
a) 1
b) sen x
c) cos x d) csc x e)N.A
idéntica a:
a) 1
b) sen x c) cos x
7.
p .tgx
Senx
6.
2
q 2t 2
;n
4
a) 1
5.
c) p 2 p 2
p
3
b
1
b
c)
que elimina el arco “x”
a) q 2 p 2 t 2
p 2q 2 b) t 2 p 2
21. Si:
2
b2
b) a
a) 7
1
Calcular Sec
a)
3
2
e) 5
a
5
b2
2
e) a
3.
19.
Eliminar "x" a partir de:
Tgx + Ctgx = a
Tgx - Ctgx = b
c) a
M 4 Ctg N x
c) 3
2
e) Sec x
2
a) a
18. Si la igualdad es una identidad
Calcular: M+N
Cscx
Cscx
2
c) Tg x
2
b) Cos x
2
d) Ctg x
1
x
2.
2
b) Cos
e) Cscx
A
Cscx 1
2
a) Sen x
Sea una identidad
2
a) Sen
d) Secx
Hallar A2 en la siguiente identidad:
n
17. Determinar "x" para que la igualdad:
1
Cos 2
d) m 2– n2 = p2 – q 2
b) -1
sen 3
1 cos
c) senα
Reducir la expresión
d) –senα
e) cosα
es

4. Tri gonometría.
Prof: Jhon Villacorta Villacorta
k=
a) Senα
9.
3
cos
sen
17. Simplificar:
sec
c sec
b) cosα
c) tagα
d) ctagα
e) 1
a)0
Calcular el valor
Si: tg + ctg = 25/12
de: sen + cos
a) 7/5
b) 5/7
c) 4/3
d) -3/4
a) 1
11.
b) sen x
c) cos x
1 2senx. cos x
a) 1
b) 2sen x
a) 0
d) csc x
4
C
d)-3
e) -4
Cos 4 x Cos 6 x
Sen 3x
1 Sen x
Sen x Sen x
Cos 3x
0;
4
6
2
Sen x Cos x
Cos 2 x Senx Cosx ; Calcular:
F 2Ctgx Cos 2 x
20. Si:
c) Cosx
e) Senx - Cosx
a) Cosx
d) ½
b) 1 Cosx
e) 1
c) Senx.Cosx
(1 Tan 2 x)Cos 4 x (1 Cot 2 x)Sen 4 x
4
4
Sen x Cos x
Calcular: C
1
a) 3
2
b) 3
21. Si: tg 2 x
e) 2
F
2
d) 9
2
a) tg 2 x
4
e) 9
d) 2
ctgx
b) Ctg 2 x
csc x
cos x 1
c) Cos 2 x
Csc 6 x
e) 1
Tga
Senx
a) tgb
2
tga
d) tga 1
tgb 1
23. Si: m
sec 6 x tg 6 x
1
6
Ctg x 1
a) tg x
b) Ctg 5 x
d) tg 6 x
n
c) tgx
2
Tgb
Tgx
tg 2 a Tg 2b
tg
b) tga
c) tga + tgb
tgb
e) 2tga
tgb
ctg
Sec .Csc
3
1
2
2
Determinar la relación que elimina el arco
de “ ”
a) m
b) m
n 1
n 2
e) Ctg 6 x
5
b) Cosy
22. Si:
e) 1
F
Cos y
determinar Cosx en función de tg a y tg b.
tgx sec x
senx 1
16. Simplificar:
2Cos x
1 ; calcular
2
d) 0
Sen 6 x Cos 6 x
1
c) 9
2tg 2 y
2
a) Cosx
7
9
15. Simplificar:
F
c) -2
a) Cscx b) Secx c) tgx d) Ctgx e) Cosx
2
2
2
2
a) 1 b) Sen xCos x c) Sen x d) Cos x
14. Si:
Csc 4 x Sec 2 x .Csc 2 x
Csc 2 x Sec 4 x .Csc 4 x
2
x
d) sen x
13. Simplificar:
C
e) -1
1 Cos 2 x
F
4
Senx Cosx
12. Reducir:
a) 1
b) Senx
d) Senx + Cosx
b) -1
d) Ctgx
19. Simplificar:
1 2senx. cos x
c) cos x
c) 1
sec 4 x
sec 2 x
F
( /4 ; /2 ) reducir:
Si: x
b) tgx
18. Simplificar:
El cociente de: [ (1 - sen A)½ + (1 + sen A)½ ]2
entre 2.( cos A + sec2A – tg2A)
10.
sec 4 x 1 sen 4 x 2tg 2 x
Csc 4 x 1 cos 4 x 2Ctg 2 x
F
c) 1
c)
n
e) n
4
m 4
m 4
d) 2 m
n 3
,

5. 5