Solución Matriz de Rigidez

1. ARMADURAS
1. PROBLEMA 1.- Calcular los desplazamientos en la estructura mostrada. El área transversal en mm2x103 y
E=200000MPa.
SOLUCION.- Realizaremos un análisis de cada barra las cuales tendrán dos grados de libertad por nudo.
 Miembro ab:
 Miembro ac:
 Miembro ad:
Integrando las tres matrices en la matriz de rigidez global se tiene:
100kN
d
a
c
b
200kN
BARRA ab α= 210 3.665
E= 200000 Mpa A= 15000 mm2
L= 3464.1 mm
F Δ
F1 0.75 0.43 -0.75 -0.43 Δ1
F2 = 0.43 0.25 -0.43 -0.25 Δ2
F3 -0.75 -0.43 0.75 0.43 Δ3
F4 -0.43 -0.43 0.43 0.25 Δ4
K
866025
100kN
a
b
F1
F2
F3
F4
BARRA ac α= 180 3.142
E= 200000 Mpa A= 20000 mm2
L= 3000 mm
F Δ
F1 1.00 0.00 -1.00 0.00 Δ1
F2 = 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ2
F5 -1.00 0.00 1.00 0.00 Δ5
F6 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ6
K
1333333 100kN
ac F1
F2
F5
F6
BARRA ad α= 135 2.356
E= 200000 Mpa A= 30000 mm2
L= 4242.6 mm
F Δ
F1 0.50 -0.50 -0.50 0.50 Δ1
F2 = -0.50 0.50 0.50 -0.50 Δ2
F7 -0.50 0.50 0.50 -0.50 Δ7
F8 0.50 -0.50 -0.50 0.50 Δ8
1414214
K
100kN
a
d
F7
F8

2. 1
Eliminando las filas y columnas 3, 4, 5, 6, 7 y 8 por ser estos las reacciones del sistema se tiene finalmente
un sistema de 2x2.
Resolviendo el sistema matricial se tiene:
2. PROBLEMA 2.- Calcular los desplazamientos en la estructura mostrada. El área transversal en mm2x103 y
E=200000MPa.
Haciendo el equilibrio en cada elemento, se tiene: Elemento ab:
F1 2689959.17 -332106.78 -649519.05 -375000.00 -1333333.33 0.00 -707106.78 707106.78 Δ1
F2 -332106.78 923613.13 -375000.00 -216506.35 0.00 0.00 707106.78 -707106.78 Δ2
F3 -649519.05 -375000.00 649519.05 375000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ3
F4 -375000.00 -375000.00 375000.00 216506.35 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ4
F5 = -1333333.33 0.00 0.00 0.00 1333333.33 0.00 0.00 0.00 Δ5
F6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ6
F7 -707106.78 707106.78 0.00 0.00 0.00 0.00 707106.78 -707106.78 Δ7
F8 707106.78 -707106.78 0.00 0.00 0.00 0.00 -707106.78 707106.78 Δ8
F1 = 100000 2689959.17 -332106.78 ∆1
F2= -200000 -332106.78 923613.13 ∆2
=
∆1=
∆2=
0.01 mm
-0.21 mm
300kNa
b
c
d
BARRA ab α= 227.7 3.975
E= 200000 Mpa A= 30000 mm2
L= 7433 mm
F Δ
F1 0.45 0.50 -0.45 -0.50 Δ1
F2 = 0.50 0.55 -0.50 -0.55 Δ2
F3 -0.45 -0.50 0.45 0.50 Δ3
F4 -0.50 -0.50 0.50 0.55 Δ4
K
807211
300kNa
b
F1
F2
F3
F4

3. 2
 Elemento ac:
 Elemento ad:
 Elemento bc:
BARRA ac α= 270 4.712
E= 200000 Mpa A 15000 mm2
L= 4000 mm
F Δ
F1 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ1
F2 = 0.00 1.00 0.00 -1.00 Δ2
F5 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ5
F6 0.00 0.00 0.00 1.00 Δ6
K
750000
300kNa
c
F1
F2
F5
F6
BARRA ad α= 312.3 5.45
E= 200000 Mpa A 30000 mm2
L= 7433 mm
F Δ
F1 0.45 -0.50 -0.45 0.50 Δ1
F2 = -0.50 0.55 0.50 -0.55 Δ2
F7 -0.45 0.50 0.45 -0.50 Δ7
F8 0.50 -0.55 -0.50 0.55 Δ8
K
807211
BARRA bc α= 16.7 0.291
E= 200000 Mpa A= 20000 mm2
L= 5220 mm
F Δ
F3 0.45 -0.50 -0.45 0.50 Δ3
F4 = -0.50 0.55 0.50 -0.55 Δ4
F5 -0.45 0.50 0.45 -0.50 Δ5
F6 0.50 -0.55 -0.50 0.55 Δ6
K
766284
b
c
F3
F4
F5
F6

4. 3
 Elemento bc:
Integrando las cinco matrices en la matriz de rigidez global se tiene:
Eliminando las filas y columnas 3, 4, 7 y 8 por ser estos las reacciones del sistema se tiene finalmente un
sistema de 4x4.
Resolviendo el sistema matricial se tiene:
BARRA cd α 343.3 5.992
E= 200000 Mpa A 20000 mm2
L= 5220 mm
F Δ
F5 0.45 -0.50 -0.45 0.50 Δ5
F6 = -0.50 0.55 0.50 -0.55 Δ6
F7 -0.45 0.50 0.45 -0.50 Δ7
F8 0.50 -0.55 -0.50 0.55 Δ8
K
766284 c
d
F5
F6
F7
F8
F1 730404.30 0.00 365202.15 401774.33 0.00 0.00 -365202.15 401774.33 Δ1
F2 0.00 1634017.88 401774.33 442008.94 0.00 -750000.00 401774.33 -442008.94 Δ2
F3 -365202.15 -401774.33 711887.66 20370.93 -346685.51 381403.40 0.00 0.00 Δ3
F4 -401774.33 -401774.33 20370.93 861606.95 381403.40 -419598.01 0.00 0.00 Δ4
F5 = 0.00 0.00 -346685.51 381403.40 693371.03 -762806.80 -346685.51 381403.40 Δ5
F6 0.00 0.00 381403.40 -419598.01 -762806.80 1589196.02 381403.40 -419598.01 Δ6
F7 -365202.15 401774.33 0.00 0.00 -346685.51 381403.40 711887.66 -783177.73 Δ7
F8 401774.33 -442008.94 0.00 0.00 381403.40 -419598.01 -783177.73 861606.95 Δ8
F1= 300000 730404.3 0 -2.53E-26 -1.38E-10 ∆1
F2= 0 0 1634017.9 -1.38E-10 -750000 ∆2
F5= 0 -2.53E-26 -1.38E-10 693371.03 -762806.8 ∆5
F6= 0 -1.38E-10 -1.38E-10 -762806.8 1589196 ∆6
=
∆1= 0.411 mm
∆2= 0.000 mm
∆5= 0.000 mm
∆6= 0.000 mm

5. 4
3. PROBLEMA 3.- Calcular los desplazamientos en la estructura mostrada. El área transversal en mm2x103.
E=200000MPa.
Solución:
Haciendo el equilibrio en cada elemento, y variando la nomenclatura de los nudos establecidos en la bibliografía para
un mejor procedimiento se tiene: Elemento ab:
 Elemento ac:
300kNb
a
d
c
BARRA ab α= 236 4.119
E= 200000 Mpa A= 30000 mm2
L= 18028 mm
F Δ
F1 0.31 0.46 -0.31 -0.46 Δ1
F2 = 0.46 0.69 -0.46 -0.69 Δ2
F3 -0.31 -0.46 0.31 0.46 Δ3
F4 -0.46 -0.46 0.46 0.69 Δ4
K
332816
300kNa
b
F3
F4
F1
F2
BARRA ac α= 270 4.712
E= 200000 Mpa A= 30000 mm2
L= 7000 mm
F Δ
F1 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ1
F2 = 0.00 1.00 0.00 -1.00 Δ2
F5 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ5
F6 0.00 0.00 0.00 1.00 Δ6
K
857143
300kN
c
a
F1
F2
F5
F6

6. 5
 Elemento ad:
 Elemento bc:
 Elemento cd:
BARRA ad α= 304 5.306
E= 200000 Mpa A= 30000 mm2
L= 18028 mm
F Δ
F1 0.31 -0.46 -0.31 0.46 Δ1
F2 = -0.46 0.69 0.46 -0.69 Δ2
F7 -0.31 0.46 0.31 -0.46 Δ7
F8 0.46 -0.69 -0.46 0.69 Δ8
K
332816
300kN300kNa
F2
F1
c F7
F8
BARRA bc α= 39 0.681
E= 200000 Mpa A= 20000 mm2
L= 12806 mm
F Δ
F3 0.60 0.35 -0.60 -0.35 Δ3
F4 = 0.35 0.40 -0.35 -0.40 Δ4
F5 -0.60 -0.35 0.60 0.35 Δ5
F6 -0.35 -0.40 0.35 0.40 Δ6
K
312354
c
F6
F5
b
F4
F3
BARRA cd α= 321 5.603
E= 200000 Mpa A= 20000 mm2
L= 12806 mm
F Δ
F5 0.60 -0.49 -0.60 0.49 Δ5
F6 = -0.49 0.40 0.49 -0.40 Δ6
F7 -0.60 0.49 0.60 -0.49 Δ7
F8 0.49 -0.40 -0.49 0.40 Δ8
K
312354
c
F6
F5
d
F8
F7

7. 6
 Elemento bd:
Integrando las cinco matrices en la matriz de rigidez global se tiene:
Eliminando las filas y columnas 3, 4, 7 y 8 por ser estos las reacciones del sistema se tiene finalmente un
sistema de 4x4.
Resolviendo el sistema matricial se tiene:
BARRA bd α= 0 0
E= 200000 Mpa A= 20000 mm2
L= 20000 mm
F Δ
F3 1.00 0.00 -1.00 0.00 Δ3
F4 = 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ4
F7 -1.00 0.00 1.00 0.00 Δ7
F8 0.00 0.00 0.00 0.00 Δ8
K
200000
db
F4
F3
F8
F7
F1 208140.69 0.00 -104070.35 -154290.63 0.00 0.00 -104070.35 154290.63 Δ1
F2 0.00 1314633.40 -154290.63 -228745.27 0.00 -857142.86 154290.63 -228745.27 Δ2
F3 -104070.35 -154290.63 492718.12 264211.45 -188647.77 -109920.82 -200000.00 0.00 Δ3
F4 -154290.63 -154290.63 264211.45 352451.08 -109920.82 -123705.81 0.00 0.00 Δ4
F5 = 0.00 0.00 -188647.77 -109920.82 377295.55 -42843.14 -188647.77 152763.95 Δ5
F6 0.00 0.00 -109920.82 -123705.81 -42843.14 1104554.48 152763.95 -123705.81 Δ6
F7 -104070.35 154290.63 -200000.00 0.00 -188647.77 152763.95 492718.12 -307054.59 Δ7
F8 154290.63 -228745.27 0.00 0.00 152763.95 -123705.81 -307054.59 352451.08 Δ8
F1= 300000 208140.69 2.91E-10 -2.89E-26 -1.58E-10 ∆1
F2= 0 2.91E-10 1314633.4 -1.58E-10 -857142.9 ∆2
F5= 0 -2.89E-26 -1.58E-10 377295.55 -42843.14 ∆5
F6= 0 -1.58E-10 -1.58E-10 -42843.14 1104554.5 ∆6
=
∆1= 1.44 mm
∆2= 0.00 mm
∆5= 0.00 mm
∆6= 0.00 mm