SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS II UNSCH

1. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 2 de 30
1A
ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
En el circuito de la figura circula agua, y tiene en su recorrido una válvula. La circulación se produce por
gravedad entre el depósito superior y el inferior. Calcular:
a) el caudal que circula cuando la válvula está completamente abierta (Kvalv = 0)
b) la pérdida que tiene que provocar la válvula (Kvalv = ?) para que el caudal que circule sea la mitad del
punto anterior
Notas: Fluido: agua, de densidad del agua r= 1000 kg/m3; viscosidad u= 1.10-6 m2/s.
Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula
válvula
Dz=10m
2
1
Kválv
diámetro D = 76,2mm
longitud L = 100 m
rugosidad absoluta de la
tubería e = 0.1 mm,
Datos: zA := 10m zB := 0m r 1000
kg
:= n 1 10
3
m
− 6
×
2
m
s
:= ×
PA := 0 PB := 0
e := 0.1×mm L := 100m
D := 76.2mm
a) caudal que circula con la válvula completamente abierta
Planteando Ec. de la
energía entre las
superficies A y B, resulta:
Q − Weje r×Q (zB − zA)×g
PB − PA
+ + uB − uA
r
2
VB
2
VA
−
2
+
= ×
Reemplazando PA=PB=0
y VB=VA=0 y
multiplicando y dividiendo
por g, resulta:
0 = (zB − zA) + Dhtotal
Pérdidas de carga por
fricción (se desprecian las
localizadas por enunciado)
Dhtotal f
L
D
×
2
V
2g
×

2. = f
L
D
×
Q
A

3. 2
×
1
2g
= × f
L
D
×
Q
2
2
p ×
D
4

4. 2
1
2g
×
= × f
L
5
D
×
Q
2
p
2
16
1
2g
×

5. = ×
f× 8× L Q
2
×
5
p
D
2
× ×g
=
Reemplazando PA=PB=0
y VB=VA=0 y
multiplicando y dividiendo
por g, resulta:
=
−zB + zA Dhtotal
f× 8× L Q
2
×
5
p
D
2
× ×g
=
Q
5
(−zB + zA) D
× p
2
× ×g
f× 8× L
=
___1º iteración____________________________________________________________________________________
Adopto f para empezar
iteración
f := 0.02 Q
5
(−zB + zA) D
× p
2
× ×g
:= Q 0.012
f× 8× L
3
m
s
=
Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.
×
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

6. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 3 de 30
Velocidad en la cañería V
Q× 4
:= V 2.73
2
p ×
D
m
s
=
Reynolds y rugosidad
relativa
Re
V×D
n
:= Re = 208337
e
D
= 0.00131
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

7. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

8. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0226
Como el valor obtenido del coeficiente de fricción difiere del adoptado, se realiza un nuevo cálculo
___2º iteración____________________________________________________________________________________
f = 0.0226 Q
5
(−zB + zA) D
× p
2
× ×g
:= Q 0.012
f× 8× L
3
m
s
=
Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.
Velocidad en la cañería V
Q× 4
:= V 2.57
2
p ×
D
m
s
=
Reynold y rugosidad
relativa Re
V×D
n
:= Re = 196131
e
D
= 0.00131
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

9. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

10. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0226
Coincide en las dos primeras cifras significativas por lo que finalizamos el cálculo
b) Coeficiente de pérdida localizada para disminuir el caudal a la mitad completamente abierta
En la segunda etapa, la válvula está cerrada de tal forma que se obtiene la mitad del caudal:
Q2
Q
:= Q2 0.006
2
3
m
s
=
Pérdidas de carga por
fricción (se desprecian las
localizadas por enunciado)
= × f
Dhtotal f
L
D
× + kvalv

11. 2
V
2g
L
D
× + kvalv

12. Q2
A

13. 2
×
1
2g
= × f
L
D
× + kvalv

14. Q2
2
2
p ×
D
4

15. 2
1
2g
×
= ×
Dhtotal f
L
D
× + kvalv

16. Q2
2
× 8
p
2
D
4
× ×g
= ×
= f
−zB + zA Dhtotal
L
D
× + kvalv

17. Q2
2
× 8
p
2
D
4
× ×g
= ×
kvalv (−zB + zA) p
2
D
4
× ×g
Q2
× f
2
× 8
L
D
= − ×
×
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

18. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 4 de 30
Velocidad en la cañería V2
Q2× 4
:= V2 1.29
2
p ×
D
m
s
=
Reynold y rugosidad
relativa
Re
V2×D
n
:= Re = 98065
e
D
= 0.0013
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

19. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

20. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0237
El valor de las pérdidas
por fricción será: Dh1y2 f
L
D
:= ×
× Dh1y2 = 2.62 m

21. V2
2
2×g
Finalmente, se
reemplazarán los
valores, obteniendo:
kvalv (−zB + zA) p
2
D
4
× ×g
Q2
× f
2
× 8
L
D
:= − × kvalv = 87.41
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

22. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 5 de 30
1B
ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
Para el sistema de la figura determinar:
a) Dz si por él circula un flujo de agua de 750 l/min, para la válvula ángulo completamente abierta (Kvalv =
0)
b) Una vez establecida la altura Dz calculada en el punto anterior la válvula se cierra parcialmente de modo
que deja pasar solamente un caudal de 300 l/min, calcular el valor de K para la válvula de ángulo.
El material de la cañería es acero (e=0,046mm).
Notas:
Fluido: agua de densidad r= 1000 kg/m³; viscosidad u= 1.10-6 m²/s.
Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula
Ø=75mm
L=35m válvula Dz
la atmósfera
Datos: D := 0.075m L := 35m Q 0.75
3
m
:= n 1.011 10
min
− 6
×
2
m
s
:= ×
e := 0.046mm
a) Cálculo de Dz
Velocidad en la cañería V2
Q× 4
:= (V2) 2.83
2
p ×
D
m
s
=
Ecuación de la Energía
entre 1 y 2
2
V
= d
0 r A
2
+ u + g×z
p
r
+

23. V
Ecuación de la Energía
entre 1y 2
0 r×Q
V2
2
V1
2
−
2
p2 − p1
+ + (z2 − z1).g + (u2 − u1)
r
= ×
Siendo: V1=p2=p1=0 y
z1-z2=H, resulta:
0
V2
2
= + −Dz + (u2 − u1)
2
Dividiendo miembro a
miembro por g, resulta:
Dz
V2
2
= + Dh1_2
2g
Número de Reynolds Re
V2×D
n
:= Re = 209898
e
D
= 0.00061
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

24. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

25. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0197
Pérdida de carga, por
fricción (se desprecian las
localizadas por enunciado)
:= × (Dh1y2) = 3.75 m
Dh1y2 f
L
D
×

26. V2
2
2×g
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

27. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 6 de 30
Dividiendo miembro a
miembro por g, resulta:
Dz
V2
2
:= + Dh1y2 Dz = 4.15 m
2×g
b) si Q=300 l/min
Caudal y velocidad en la
cañería
:= y V2
Q 0.3
3
m
min
Q× 4
:= V2 1.13
2
p ×
D
m
s
=
Siendo: V1=p2=p1=0 y
z1-z2=H, resulta: 0
V2
2
= + × = 0 −Dz f
2g
− Dz f
L
D
× + K

28. V2
2
2×g
L
D
× + Kvalv + 1

29. V2
2
2×g
= + ×
Factor k para la válvula Kvalv
Dz× 2×g
2
V2
− 1 f
L
D
:= − × (1)
Número de Reynolds Re
V2×D
n
:= Re = 83959
e
D
= 0.0006
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

30. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

31. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0216
Reemplezando el factor de
fricción en la expresión
(1), resulta:
Kvalv = 53.45
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

32. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 7 de 30
1C
ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
Se desea conocer cuál es el caudal que puede transportar el sistema. La cañería es de hierro galvanizado y
el fluido agua a 80ºC. Tenga en cuenta pérdidas localizadas.
Considerar: r80ºC=971,8 kg/m³ u80ºC = 0.367x10-6 m2/s
valvula
retención a
pistón
codo roscado 90º
Tanque
entrada
válvula esf. paso total
Longitud total de cañería = 15 m
Diámetro en todo el recorrido 32 mm
4m
Agua 80ºC
salida chorro libre
Datos: z1 := 4m z2 := 0m D := 32mm L := 15m
P2 := 0 P1 := 0 e := 0.15×mm
r80ºC 971.8
kg
3
m
:=
n80ºC 0.367 10
− 6
×
2
m
s
:= ×
500×D = 16 m L = no se deberían despreciar las pérdidas localizadas
Planteando Ec. de la
energía entre las
superficies 1 y 2, resulta: Q − Weje r80ºC×Q (z2 − z1)×g
P2 − P1
r80ºC
+ + u2 − u1
V2
2
V1
2
−
2
+
= ×
Reemplazando P2=P1=0 y
V1=0 y multiplicando y
dividiendo por g, resulta:
0 r80ºC×Q×g (z2 − z1)
V2
2
+ + Dhtotal
2×g
= × [1]
Pérdidas de carga Dhtotal = Dhlocalizadas + Dhfricción Sk
V2
2
= × + f
× [2]
2g
L
D
×
V2
2
2g
Reemplazando (2) en (1)
resulta: 0 r80ºC×Q×g (z2 − z1)
V2
2
+ Sk
2×g
V2
2
+ × f
2g
L
D
×
V2
2
2g
+ ×
= ×
0 (z2 − z1)
V2
2
= + [3]
2×g

33. 1 + Sk f
L
D
+ ×
Despejando V2 de (3),
resulta:
V2
−(z2 − z1)× 2×g
1 + Sk f
L
D
+ ×
=
Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D = 0.032 m ft := 0.022
kcodo90º := 30× ft kcodo90º = 0.66
kvalv_esf := 3× ft kvalv_esf = 0.07
:= × =
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34. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 8 de 30
kvalv_ret := 600× ft kvalv_ret = 13.2
kentrada := 0.5
Sk := 3×kcodo90º + kentrada + kvalv_esf + kvalv_ret Sk = 15.75
___1º iteración____________________________________________________________________________________
La velocidad depende del
factor de fricción, por lo
cual adopto un f y
empiezo a iterar:
f := 0.025 V2
−(z2 − z1)× 2×g
:= V2 1.66
1 + Sk f
L
D
+ ×
m
s
=
Número de Reynolds y
rugosidad relativa: Re
V2×D
n80ºC
:= Re = 144780
e
D
= 0.0047
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

35. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

36. := − ×
Se buscará la raíz que
anule la expresión F := 0.01 root ( f (F) , F) = 0.0311 f := root ( f (F) , F) f = 0.0311
___2º iteración____________________________________________________________________________________
El f obtenido es distinto al
supuesto, se adopta este
factor como F y se vuelve
a calcular.
f = 0.0311 V2
−(z2 − z1)× 2×g
:= V2 1.58
1 + Sk f
L
D
+ ×
m
s
=
Número de Reynolds y
rugosidad relativa: Re
V2×D
n80ºC
:= Re = 138042
e
D
= 0.0047
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

37. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

38. := − ×
Se buscará la raíz que
anule la expresión F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0311
El f obtenido es igual al supuesto en las dos primeras cifras significativas. Por lo tanto se termina la iteración y el Q buscado será:
Q V2
2
p ×
D
:= × Q 0.00127
4
3
m
= Q 4.58
s
3
m
hr
=
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39. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 9 de 30
1D
ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
Si 500 l/s de flujo se mueven desde el depósito 1 hasta el depósito 2, ¿cuál es la potencia necesaria para
bombear el agua a 80ºC? La cañería es de acero de 203 mm de diámetro. Tenga en cuenta las pérdidas
localizadas.
Considerar: r80ºC=971,8 kg/m³ u80ºC = 0.367x10-6 m2/s
codo radio largo a 90º
bomba
26m
65m
13m
valvula
retención a
clapeta 2
1
13m
l := liter
Datos: z1 := 39m Q 500
l
s
:= D := 203mm r80ºC 971.8
kg
3
m
:=
z2 := 13m Q 0.5
3
m
= e := 0.046×mm n80ºC 0.367 10
s
− 6
×
2
m
s
:= ×
L := 26m + 65m L = 91 m P1 := 0 P2 := 0
Planteando Ec. de la
energía entre las
superficies 1 y 2, resulta:
Q − Weje r80ºC×Q (z2 − z1)×g
P2 − P1
r80ºC
+ + u2 − u1
V2
2
V1
2
−
2
+
= ×
Reemplazando P2=P1=0
y V1=0 y multiplicando y
dividiendo por g, resulta:
Wbomba − ( ) − r80ºC Q × g × z2 z1 − ( ) Dhtotal +
= × [1]
Pérdidas de carga
Dhtotal = Dhlocalizadas + Dhfricción Sk
V2
2
× f
2g
L
D
×
V2
2
2g
= + ×
Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D = 203mm ft := 0.014
codo a 90º kcodo90º := 14× ft kcodo90º = 0.2
válvula de retención kvalv_ret := 100× ft kvalv_ret = 1.4
entrada de depósito a caño kentrada := 0.5
salida caño a depósito ksalida := 1
Sk := kcodo90º + kentrada + kvalv_ret + ksalida
Sk = 3.096
Dhlocalizadas Sk
V2
2
:= × Dhlocalizadas = 0.4 m
2g
×
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

40. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 10 de 30
Velocidad en la cañería V2
Q× 4
:= V2 15.45
2
p ×
D
m
s
=
Número de Reynolds y
rugosidad relativa: Re
V2×D
n80ºC
:= Re = 8545117
e
D
= 0.00023
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

41. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

42. := − ×
Se buscará la raíz que
anule la expresión F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0145
Dhfricción f
L
D
:= ×
× Dhfricción = 78.98 m
V2
2
2g
Dhtotal Sk
V2
2
× f
2g
L
D
×
V2
2
2g
+ ×

43. := Dhtotal = 116.64 m
Finalmente, reemplazando
la pérdida en la ecuación
(1), resulta:
Wbomba r80ºC Q × g × z2 z1 − ( ) Dhtotal +
:= ×
Wbomba 971.8
kg
× 500
3
m
l
s
= × × ×g× (13×m − 39×m + Dhtotal) = 432062 W
Otra alternativa para obtener el factor de fricción con el diagrama de Moody
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,028
0,026
0,024
0,02
0.06
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0001
Zona Zona de Transición Flujo turbulento, tuberías rugosas
crítica
Tubería totalmente lisa
105 106 107 108
2 3 4 5 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,019
0,018
0,017
8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
Flujo
laminar
6 7 8 9
Factor de
fricción
f
Rugosidad
relativa
e/D
Número de Reynolds: Re=V.D
n
0.000005
64/Re
3 4
Material(nuevo)
Vidrio
Tubería estirada
Acero, hierro forjado
Hierro fundido asfaltado
Hierro galvanizado
Hierro fundido
Madera cepillada
Hormigón
Acero remachado
e(mm)
0,0003
0,0015
0,046
0,12
0,15
0,26
0,18-0,9
0,3-3,0
0,9-9,0
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
10 10
Expresión de Colebrook-White
Zona de transición
0.0145 0.00023
8.500.000
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

44. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 11 de 30
1E
ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
En el circuito de la figura se observa un sector de un circuito de cañería, que fluye desde un tanque
sometido a presión P1 hacia la alimentación de una línea de procesos de una industria. Se sabe que se
necesita en el punto 7 una presión de 240000 Pa.
a) ¿qué presión P1 se necesita para hacer circular 380 l/s de agua hacia el punto 7?
b) calcular las alturas piezométricas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
c) trazar la línea piezométrica desde el punto 1 al 7.
Considerar:
• tubería de hierro galvanizado de diámetro 356 mm.
• el fluido es agua a 65ºC, con: r65ºC=980,6 kg/m³ y u65ºC = 0.478x10-6 m2/s.
• tener en cuenta las pérdidas localizadas
50m
50m
50m
Aire
Agua
P7
30m
valvula
retención a
clapeta
P1
Codo radio
largo a 90º
10m
2
3
5
7
1
4 6 alimentación
proceso
industrial
Datos: Q 0.380
3
m
:= × p7 := 240000Pa
s
Datos del fluido r65ºC 980.6
kg
:= g65ºC := r65ºC×g g65ºC 9620
:= n65ºC 0.478 10
3
m
− 6
×
2
m
s
N
3
m
=
Longitud de la cañería L1_7 := 160m D := 356mm Rugosidad de la cañería e := 0.15mm
z1 := 30m z7 := 50m
a) cálculo de la presión p1
Ecuación de la Energía
entre 1 y 2 0
V7
2
2×g
p7
g65ºC
+ + z7
p1
g65ºC
= − − z1 + Dh1_7
Despejando p1 y
suponidneo V1=0,
resulta:
p1 g65ºC
V7
2
2×g
p7
g65ºC
+ + z7 − z1 + Dh1_7

45. = × [1]
Pérdidas de carga
Dhtotal = Dhlocalizadas + Dhfricción Sk
V7
2
× f
2g
L1_7
D
×
V7
2
2g
= + ×
Velocidad en todas las
secciones de la cañería es
la misma
V
Q× 4
:= V 3.82
2
p ×
D
m
s
= V7 := V
= V4
V2 V3
= V5
= V6
= V7
= = V
Pérdidas por accesorios se tendrán en cuenta (por enunciado y porque la longitud de la cañería no supera los 500 D
× =
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

46. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 12 de 30
500×D = 178 m
Factor de fricción turbulento, para diámetro D = 356mm ft356mm := 0.013
codo a 90º kcodo90º := 14× ft356mm kcodo90º = 0.18
válvula de retención kvalv_ret := 100× ft356mm kvalv_ret = 1.3
entrada de depósito a caño kentrada := 0.5
Sk := 2×kcodo90º + kentrada + kvalv_ret Sk = 2.164
Pérdidas localizadas Dhlocalizadas Sk
V7
2
:= × Dhlocalizadas = 1.61 m
2g
Número de Reynolds y
rugosidad relativa Re
V7×D
n65ºC
:= Re = 2843255
e
D
= 0.00042
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+

47. = × = f (F)

48. := − ×
1
F
− 0.86 ln
e
D× 3.7
2.51
Re× F
+
Se buscará la raíz que
anule la expresión F := 0.01 f := root ( f (F) , F) f = 0.0166
ver otra forma de calcular f al final
de la resolución.
Pérdida por fricción en
todo el recorrido Dhfricción f
L
D
:= ×
× Dhfricción = 3.15 m
V7
2
2g
Finalmente, las pérdidas
totales entre 1 y 6
serán:
Dh1_7 Sk
V7
2
× f
2g
L1_7
D
×
V7
2
2g
+ ×

49. := Dh1_7 = 7.15 m
Reemplazando los valores
en [1], podremos obtener
la presión en 1
p1 g65ºC
V7
2
2×g
p7
g65ºC
+ + z7 − z1 + Dh1_7

50. := × p1 = 508351 Pa
b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados:
Velocidad en la cañería
(es la misma en toda la
sección)
V1 := 0 V2 := V V3 := V V4 := V V5 := V etc. V 3.82
m
s
=
En el punto 1 p1 = 508351 Pa z1 = 30 m H1
p1
g65ºC
:= + z1 H1 = 82.84 m
planteando Ec. de la
energía entre 1 y 2 0
p2
g
+ z2
V2
2
+ + u2
2×g

51. p1
g
+ z1
V1
2
+ + u1
2g

52. = −
= + − H1 + Dh1_2 = H2 H1
0 H2
V2
2
2g
V2
2
= − − Dh1_2
2g
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

53. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 13 de 30
H2 H1
V2
2
:= − − kentrada
× H2 = 81.73 m
2g
V2
2
2g
planteando Ec. de la
energía entre 2 y 3 0
p3
g
+ z3
V3
2
2×g
+
u3
g
+

54. p2
g
+ z2
V2
2
2×g
+
u2
g
+

55. = −
siendo V2=V3, resulta 0 = H3 − H2 + Dh2_3 = H3 = H2 − Dh2_3 L2_3 := 50m
H3 H2 f
L2_3
D
:= − ×
× H3 = 80 m
2
V
2g
Procediendo de igual manera se calcularán todas las alturas piezométricas
siendo V2=V3, resulta 0 = H4 − H3 + Dh3_4 = H4 = H3 − Dh3_4 L3_4 := 50m
H4 H3 2×kcodo90º f
L3_4
D
:= − + ×
× H4 = 77.99 m

56. 2
V
2g
planteando Ec. de la
Energía entre 4 y 5 0 = H5 − H4 + Dh4_5 = H5 = H4. − Dh4_5 L4_5 := 50m
H5 H4 f
L4_5
D
:= − ×
× H5 = 76.26 m
2
V
2g
planteando Ec. de la
Energía entre 5 y 6 0 = H6 − H5 + Dh5_6 = H6 = H5. − Dh5_6
H6 H5 (1×kvalv_ret)
2
V
:= − × H6 = 75.3 m
2g
planteando Ec. de la
energía entre 6 y 7 0 = H7 − H6 + Dh6_7 = H7 = H6 − Dh6_7 L6_7 := 10m
H7 H6 f
L6_7
D
:= − ×
× H7 = 74.95 m
2
V
2g
Verificaremos este
valor, calculando la
altura piezométrica en
el punto 7 con los datos
H7 z7
p7
g65ºC
:= + H7 50×m
240000×Pa
= + H7 = 74.95 m
× ×g
980.6
kg
3
m
c) línea piezométrica.
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

57. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 14 de 30
1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
plano de referencia
50m
50m
50m
Aire
Agua
P7
30m
valvula retención
a clapeta
P1
Codo radio
largo a 90º
10m
2
3
5
7
1
4 6
Como no cambia el
diámetro ni el material
de la cañería, Re y e/D
se mantienen constante
en todo el recorrido, por
lo que la pendiente de
la línea piezométrica,
entre los tramos, es la
misma.
Otra forma de hallar el factor de fricción utilizando el diagrama de Moody
Flujo turbulento, Zona Zona de Transición tuberías rugosas
crítica
Flujo
laminar
3 4
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
10 10
Expresión de Colebrook-White
Zona de transición
0.00042
0.0166
2.800.000
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,028
0,026
0,024
0,02
0.06
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0001
Tubería totalmente lisa
105 106 107 108
2 3 4 5 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,019
0,018
0,017
8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor de
fricción
f
Rugosidad
relativa
e/D
Número de Reynolds: Re=V.D
0.000005
64/Re
Material(nuevo)
Vidrio
Tubería estirada
Acero, hierro forjado
Hierro fundido asfaltado
Hierro galvanizado
Hierro fundido
Madera cepillada
Hormigón
Acero remachado
e(mm)
0,0003
0,0015
0,046
0,12
0,15
0,26
0,18-0,9
0,3-3,0
0,9-9,0
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

58. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 15 de 30
1F
ESCURRIMIENT
O PERMANENTE
EN CONDUCTOS
50 puntos
La figura esquematiza la instalación de un Complejo Hidroeléctrico. Se desea saber:
a) qué ganancia tendrá la turbina para un caudal Q=100 m³/s.
b) qué presión absoluta habrá en el punto C, a la entrada de la turbina
Considerar:
• las características de las tuberías según se indican en el gráfico
• el fluido es agua a 15ºC, con: r65ºC=999 kg/m³ y u15ºC = 1.146x10-6 m2/s.
• presión atmosférica patm=93.700 N/m²
• despreciar las pérdidas localizadas
Turbina
T
185m
Tramo 1
L1=330m
material:acero remachado
e1=9mm
Ø=4m
Tramo 2
L2=6 km
material: roca excavada
e2=10cm
Ø2=7,5m
Embalse
A
Embalse
B
A
B
60m
C
zA := 245m PA := 0 patm 93700
N
2
m
:=
zB := 60m PB := 0
zC := 0m
e1 := 9×mm L1 := 330m D1 := 4m
e2 := 10× cm L2 := 6000m D2 := 7.5m
Q 100
3
m
:= r15ºC 999
s
kg
:= n15ºC 1.146 10
3
m
− 6
×
2
m
s
:= ×
a) Ganancia de la turbina
Planteando Ec. de la
energía entre las
superficies A y B, resulta: Q − (Wturb − Wbomba) r15ºC×Q (zB − zA)×g
PB − PA
r15ºC
+ + uB − uA
VB
2
2
VA
−
2
+
= ×
Reemplazando PA=PB=0
y VB=VA=0 y
multiplicando y dividiendo
por g, resulta:
Wturb ( ) − r15ºC Q × g × zB zA − ( ) Dhtotal +
= × [1]
Pérdidas de carga por
fricción (se desprecian las
localizadas por enunciado)
Dhtotal = Dh1.fricción + Dh2.friccion f1
L1
D1
×
V1
2
× f2
2g
L2
D2
×
V2
2
2g
= + ×
Pérdidas de carga en el tramo 1
×
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

59. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 16 de 30
Velocidad en la cañería, en
el tramo 1
V1
Q× 4
:= V1 7.96
p D1
2
×
m
s
=
Reynolds y rugosidad
relativa Re
V1×D1
n15ºC
:= Re = 27775732
e1
D1
= 0.00225
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e1
D1 × 3.7
2.51
Re× F
+

60. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e1
D1 × 3.7
2.51
Re× F
+

61. := − × [A]
Se buscará la raíz que
anule la expresión [A] F := 0.01 f1 := root ( f (F) , F) f1 = 0.0247
ver otra forma de calcular f al final
de la resolución.
Las pérdidas de carga
por fricción en el tramo 1
serán:
Dh1.friccion f1
L1
D1
:= ×
× Dh1.friccion = 6.57 m
V1
2
2g
Pérdidas de carga en el tramo 2
Velocidad en la cañería,
en el tramo 2
V2
Q× 4
:= V2 2.26
p D2
2
×
m
s
=
Reynolds y rugosidad
relativa Re2
V2×D2
n15ºC
:= Re2 = 14813724
e2
D2
= 0.0133
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
−0.86 ln
e2
D2 × 3.7
2.51
Re2× F
+

62. = × = f (F)
1
F
− 0.86 ln
e2
D2 × 3.7
2.51
Re2× F
+

63. := − ×
Se buscará la raíz que
anule la expresión F := 0.01 f2 := root ( f (F) , F) f2 = 0.0427
Las pérdidas de carga en el
tramo 2 serán:
Dh2.friccion f2
L2
D2
:= ×
× Dh2.friccion = 8.93 m
V2
2
2g
Pérdidas de carga total Dhtotal := Dh1.friccion + Dh2.friccion Dhtotal = 15.49 m
Finalmente, reemplazando
Wturb := r15ºC×Q×g× (zA − zB − Dhtotal)
la pérdida en la ecuación
(1), resulta:
= × × ×g× (245×m − 60×m − Dhtotal) = 166120 kW
Wturb 999
kg
× 100
3
m
3
m
s
b) presión absoluta en el punto C
patm = 93700 Pa zC = 0 g15ºC := r15ºC×g g15ºC 9800.19
N
3
m
=
VC := V1 VC 7.96
m
s
=
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

64. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 17 de 30
planteando Ec. de la
energía entre A y C 0
pC
g
+ zC
2
VC
2×g
+
uC
g
+

65. pA
g
+ zA
2
VA
2g
+
uA
g
+

66. = −
Siendo VA=0,
zc=-60m;uc-uA=Dh1
0
pC
g
+ zC
2
VC
2×g
+
pA
g
= − − zA + Dh1.friccion
Trabajando con valores
absolutos de la presión,
obtendremos:
pabs_C
patm
g15ºC
+ zA − zC
2
VC
− − Dh1.friccion
2g

67. := × g15ºC pabs_C = 2399 kPa
Zona Zona de Transición Flujo turbulento, tuberías rugosas
crítica
Flujo
laminar
0.0427 0.013
0,028
0,026
0.0247 0.0023
Expresión de Colebrook-White
Zona de transición
27.700.000
14.800.000
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,024
0,02
0.06
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0001
Tubería totalmente lisa
105 106 107 108
2 3 4 5 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,019
0,018
0,017
8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor de
fricción
f
Rugosidad
relativa
e/D
Número de Reynolds: Re=V.D
n
0.000005
64/Re
3 4
Material(nuevo)
Vidrio
Tubería estirada
Acero, hierro forjado
Hierro fundido asfaltado
Hierro galvanizado
Hierro fundido
Madera cepillada
Hormigón
Acero remachado
e(mm)
0,0003
0,0015
0,046
0,12
0,15
0,26
0,18-0,9
0,3-3,0
0,9-9,0
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
10 10
Otra forma de
hallar el factor
de fricción
utilizando el
diagrama de
Moody
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

68. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 18 de 30
2A CANALES
50 PUNTOS
En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 3m de ancho, circula un caudal regulado por
un vertedero rectangular aguas arriba, que tiene una carga de H=0,7m.
En su recorrido, el canal cambia de pendiente según se indica en la figura y se desea conocer:
a) el caudal regulado por el vertedero rectangular
b) los tirantes normales (uniformes) en cada tramo
c) el tirante crítico
d) evaluar si se produce resalto en algún sector
e) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,
curva y nombre de cada una.
Notas:
Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniforme
Se desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero
S02=0,025
S01=0,004
l=3m
B=3m
H=0,7m
h0=3,3m
H=0,7m
h0=3,3m
Vertedero regulador de
caudal aguas arriba
vista corte
S03=0,004
Datos Cd := 0.423 l := 3m H := 0.7m B := 3m Y := 4m n 0.012m
− 1
3
:= × s
S01 := 0.004 S02 := 0.025
a) flujo en vertedero rectangular
Utilizando la ecuación 10.30, y verificando luego si la velocidad de llegada (V1) es menor a 0,3 m/s de tal forma que sea despreciable
Como no hay contracción
lc := l lc = 3 m
lateral
Q Cd× lc× 2g H
3
2
:= ×
Q 0.423× lc× 2×g (0.7×m)
3
2
= Q 3.292
= × 3.29
3
m
s
3
m
s
=
V1
Q
B×Y
:= V1 0.274
m
s
= Se comprueba que la velocidad es despreciable ( a 0,3
m/s)
b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0
[1]
Partiendo de la ecuación
de Maning
Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= × = 0 −Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= + ×
Siendo A = B×Y P = B + 2×Y Rh
A
P
= [2]
Reemplazando [2] en [1],
resulta:
0 −Q
1
n
× (B×Y0)
B×Y0
B + 2×Y0

69. 2
3
× S0
1
2
= + × [3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

70. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 19 de 30
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
Se buscará el valor de Y := 0.01m
f (Y01) −Q
Y01 que haga 0 la ecuación [3]
1
n
× (B×Y01)
B×Y01
B + 2×Y01

71. 2
3
× S01
1
2
:= + ×
Y01 := root (f (Y01) , Y01) Y01 = 0.432 m
______________________________________________________________________________________________
Se buscará el valor de Y
que haga 0 la ecuación [3]
Y02 := 0.01m
f (Y02) −Q
1
n
× (B×Y02)
B×Y02
B + 2×Y02

72. 2
3
× S02
1
2
:= + ×
Y02 := root (f (Y02) , Y02) Y02 = 0.24 m
______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
El tirante crítico es aquel
que hace 1 el número de
Froude
Fr
V
g×Dh
= [4]
velocidad V
Q
A
=
Q
Y×B
= profundidad hidráulica Dh
A
T
=
Y×B
Y
= = Y
Reemplazando la velocidad
y la profundidad hidráulica
en [4], resulta
Fr
Q
Y×B
1
g×Y
= × Fr
Q
B Y
3
2
× × g
=
al igualar el número de
Froude a 1, encontraremos
las variables críticas
Fr = 1 1
Q
= Yc
B Yc
3
2
× × g
Q
B× g

73. 2
3
:= Yc = 0.5 m
d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto
e) curvas de la superficie libre
S02=0,025
S01=0,004
S03=0,004
y02=0,24m
y01=0,43m
yc=0,50m
y03=y01=0,43m
F2
F3
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

74. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 20 de 30
2B
CANALES
50 puntos
En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 5m de ancho, escurre un caudal controlado
aguas arriba por un vertedero triangular (de ángulo recto) de carga H=2,5m. El canal cambia de pendiente
según se indica en la figura y se desea conocer:
a) el caudal regulado por el vertedero triangular
b) los tirantes normales (uniformes) en cada tramo
c) el tirante crítico
d) evaluar si se produce resalto en algún sector
e) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,
curva y nombre de cada una.
Notas:
Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniforme
Se desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero
S01=0,00036
2,5m
b=5m
S02=0,000095
S03=0,00036
Vertedero regulador de
caudal aguas arriba
Datos: B := 5m S01 := 0.00036 S02 := 0.000095 n 0.012m
− 1
3
:= × s H := 2.5m
a) flujo en vertedero triangular
flujo en vertedero
triangular
Q 1.346
m
× H
s
2
5
2
:= × Q 1.346
m
× (2.5×m)
s
2
5
2
= × 13.3
3
m
s
=
b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0
[1]
Partiendo de la ecuación
de Maning
Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= × = 0 −Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= + ×
Siendo A = B×Y P = B + 2×Y Rh
A
P
= [2]
Reemplazando [2] en [1],
resulta: 0 −Q
1
n
× (B×Y0)
B×Y0
B + 2×Y0

75. 2
3
× S0
1
2
= + ×
[3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
Se buscará el valor de Y f (Y01) −Q
Y01 := 0.00001m
que haga 0 la ecuación [3]
1
n
× (B×Y01)
B×Y01
B + 2×Y01

76. 2
3
× S01
1
2
:= + ×
Y01 := root (f (Y01) , Y01) Y01 = 1.68 m
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

77. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 21 de 30
Se buscará el valor de Y
que haga 0 la ecuación [3]
Y02 := 0.000001m
f (Y02) −Q
1
n
× (B×Y02)
B×Y02
B + 2×Y02

78. 2
3
× S02
1
2
:= + ×
Y02 := root (f (Y02) , Y02) Y02 = 2.74 m
______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
El tirante crítico es aquel
que hace 1 el número de
Froude
Fr
V
g×Dh
= [4]
velocidad V
Q
A
=
Q
Y×B
= profundidad hidráulica Dh
A
T
=
Y×B
Y
= = Y
Reemplazando la velocidad
y la profundidad hidráulica
en [4], resulta
Fr
Q
Y×B
1
g×Y
= × Fr
Q
B Y
3
2
× × g
=
al igualar el número de
Froude a 1, encontraremos
las variables críticas
Fr = 1 1
Q
= Yc
B Yc
3
2
× × g
Q
B× g

79. 2
3
:= Yc = 0.9 m
d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto
e) curvas de la superficie libre
2,5m
b=5m
línea de profundidad crítica
línea de profundidad normal
S01=0,00036
y02=2,74m
S02=0,000095
S03=0,00036
Vertedero regulador de
caudal aguas arriba
Y01=Y03=1,68m
yc=0,9m
D1
D2
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

80. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 22 de 30
2C
CANALES
50 puntos
Los ingenieros civiles, con frecuencia encuentran flujo en tuberías donde éstas no están completamente
llenas de agua. Por ejemplo esto ocurre en alcantarillas y, por consiguiente, el flujo es a superficie libre. En
la figura se muestra una tubería parcialmente llena, si el n de Manning es 0.015
a) ¿cuál es la pendiente necesaria para un flujo normal de 25000 l/s?
b) si la sección puede escurrir como máximo a sección llena, qué diámetro se debería poner para
transportar el mismo caudal en un tramo de la cañería en donde la pendiente es de 1/200? Considere que
la ecuación de Manning es válida también para escurrimientos a sección llena en conductos circulares.
d0=2,5m
0,625m
Datos: Q 25000
liter
sec
:= × Q 25
3
m
= n 0.015m
s
− 1
3
:= × s a := 0.625m d0 := 2.50m
a) Cálculo de la pendiente
Despejando la pendiente
de la expresión de
Manning, resulta:
Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= × S0
Q×n
A Rh
2
3
×

81. 2
= Radio de la cañería r
d0
:= r = 1.25 m
2
CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica
de Canales Abiertos, Ven Te Chow)
Sección
Área
A
Perímetr
o mojado
P
Radio Hidráulico
R
Ancho
Superficial
T
Profundidad
Hidráulica
D
Factor de Sección
Z
y
d0
T
q
Círculo
1
8
. 2
.(q sen(q) ) d 0
q
d 0
2
.
1
4
. 1
d 0
sen( q)
q
.
sen
q
2
.
d 0
ó
2 . y . d 0 y
1
8
q sen( q)
. d 0
sen
q
2
.
2
32
(q sen(q) )
1.5
. d 0
sen
q
2
0.5
. 2.5
gráfico de análisis a=0,5m
a asin
d0=2,50m
T
q
a
r
a
r

82. := a = 30 deg
q := p + 2×a q = 4.19 q = 240deg
Área de la cañería A
1
8
d0
2
2
:= × × (q − sin(q)) A =
3.95 m
Perímetro mojado Pmojado := q
× Pmojado = 5.24 m
d0
2
Rh
A
:= ó Rh
Pmojado
1
4
1
sin(q)
q
−

83. := × ×d0 Rh Radio hidráulico = 0.754 m
Pendiente normal S0
Q× n
A Rh
2
3
×

84. 2
:= S0 = 0.013134
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

85. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 23 de 30
b) Cálculo del diámetro, si la pendiente cambia, para transportar el mismo caudal a sección llena
Datos: S0
1
:= S0 = 0.005 Q 25
200
3
m
s
=
Área de la cañería a
sección llena
A p r
2
= × Perímetro mojado a sección
llena
Pmojado := (2×p× r)
Rh
A
Pmojado
=
2
×
p r
2×p× r
=
r
= Rh
2
A
Pmojado
=
Radio hidráulico
Reemplazando las
expresiones anteriores en
la ecuación de Manning,
resulta:
Q
1
n
×A Rh
2
3
× S0
1
2
×

86. =
1
n
2
× ( p × r
)
r
2

87. 2
3
× S0
1
2
×
=
1
n
2
×
×p r
r
2
3
× S0
2
2
3
1
2
×

88. =
1
n
×p r
8
3
×
S0
1
2
2
2
3
= ×
Despejando r:
r
Q× n 2
2
3
×
p S0
1
2
×

89. 3
8
:= r = 1.45 m d0 := 2× r d0 = 2.89 m
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

90. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 24 de 30
2D CANALES
50 PUNTOS
En un canal rectangular de ancho B = 4 m, de pendiente S0=0,01 y de rugosidad n = 0,015, que
transporta un caudal Q = 29 m³/s, se coloca una compuerta que eleva el tirante a 7,18 m, y tiene una
abertura inferior de 1,50 m. Considerar que las longitudes de los tramos son tales que la altura del tirante
alcanza el tirante normal antes y después de la compuerta. Determinar:
a) el tirante uniforme
b) el tirante crítico
c) determinar si se produce resalto; si es así: calcular los tirantes conjugados.
d) dibujar en forma aproximada las líneas de las curvas de la superficie libre, indicando su forma y su
denominación
7,18m
1.5m
S01=0,01
ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR DE 1,5m A 0,75m
Datos: B := 4m S01 := 0.01 Q 29
3
m
:= × n 0.015m
s
− 1
3
:= × s
a) Cálculo de los tirantes normales Y01 Y02
Partiendo de la ecuación
de Maning
Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= × A = B×Y P = B + 2×Y Rh
A
P
=
Se buscará el valor de Y
que haga 0 la ecuación f (Y01) −Q
1
n
× (B×Y01)
B×Y01
B + 2×Y01

91. 2
3
× S01
1
2
:= + ×
Y01 := 0.01m Y01 := root (f (Y01) , Y01) Y01 = 1.28 m
b) Cálculo del tirante crítico Y c
El tirante crítico es aquel
que hace 1 el número de
Froude
Fr = 1 Fr
Vc
g×Dh
= Vc
Q
A
=
Q
Y×B
=
A = Y×B Dh
Ac
T
=
Y×B
Y
= = Y
1
Q
Yc×B
1
= × 1
g Yc
1
2
×
Q
= Yc
B Yc
3
2
× × g
Q
B× g

92. 2
3
:= Yc = 1.75 m
c) Cálculo de tirantes conjugados
Tomamos como Y1 al
tirante uniforme antes del
resalto
Y1 := Y01 Y1 = 1.28 m
Y2
Y1
2
1 8 Fr1
2
+ × − 1

93. = ×
Y1
2
1 8
V1
Y1×g

94. 2
+ × − 1
= ×
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

95. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 25 de 30
Y2
Y1
2
1 8
Q
Y1×B

96. 2
×
1
Y1×g
+ × − 1
:= × Y2 = 2.32 m
Al ser Y2Y02, el tirante se forma en el tramo fuerte y la curva desde el tirante conjugado hasta el tirante uniforme Y02, toma la forma F1.
d) gráfico ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR!
7,18m
0.75m
S01=0,01
y2=2.32m
y0=1.28m
resalto
y1=y01
F1
F1
yc=1,75m
se modifica
compuerta
y0=1.28m
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

97. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 26 de 30
2E
CANALES
50 puntos
En un canal rectangular de hormigón, de 10 m de ancho, escurre un caudal de 90 m³/s. El canal cambia de
pendiente como se muestra en la figura, y se pide calcular:
a) los tirantes normales en cada tramo, para el canal de hormigón (n=0,013)
b) el tirante crítico
c) evaluar si se produce resalto en algún sector, si es así: calcular los conjugados
d) trazar las curvas del perfil de superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes
uniformes, forma y nombre de las curvas.
e) tomando como límite máximo de nivel el marcado en línea punteada, qué caudal máximo puede escurrir
con la pendiente S02? La planicie de inundación es de pasto (n=0,035) cuyas dimensiones se muestran en
la figura.
B1=10m B2=20m
y2=2m
y1=5m Planicie de inundación
Pasto
n=0,035
Canal principal
Hormigón
S02=0,00095 n=0,013
S01=0,006
Datos: B := 10m S01 := 0.006 Q 90
3
m
:= × n 0.013m
s
− 1
3
:= × s
S02 := 0.00095 npasto 0.035
− 1
3
:= × s
b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0
[1]
Partiendo de la ecuación
de Maning
Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= × = 0 −Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= + ×
Siendo A = B×Y P = B + 2×Y Rh
A
P
= [2]
Reemplazando [2] en [1],
resulta: 0 −Q
1
n
× (B×Y0)
B×Y0
B + 2×Y0

98. 2
3
× S0
1
2
= + ×
[3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________

99. Se buscará el valor de Y f (Y01) −Q
Y01 := 0.00001m 01
que haga 0 la ecuación [3]
1
n
× (B×Y01)
B×Y01
B + 2×Y01
2
3
× S01
1
2
:= + ×
Y01 := root (f (Y01) , Y01) Y01 = 1.42 m
Se buscará el valor de Y02
que haga 0 la ecuación [3]
Y02 := 0.000001m
f (Y02) −Q
1
n
× (B×Y02)
B×Y02
B + 2×Y02

100. 2
3
× S02
1
2
:= + ×
Y02 := root (f (Y02) , Y02) Y02 = 2.64 m
_______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

101. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 27 de 30
El tirante crítico es aquel
que hace 1 el número de
Froude
Fr
V
g×Dh
= [4]
velocidad V
Q
A
=
Q
Y×B
= profundidad hidráulica Dh
A
T
=
Y×B
Y
= = Y
Reemplazando la velocidad
y la profundidad hidráulica
en [4], resulta
Fr
Q
Y×B
1
g×Y
= × Fr
Q
B Y
3
2
× × g
=
al igualar el número de
Froude a 1, encontraremos
las variables críticas
Fr = 1 1
Q
= Yc
B Yc
3
2
× × g
Q
B× g

102. 2
3
:= Yc = 2.02 m
c) Evaluación de resalto: Al producirse un cambio en la altura del tirante, desde un nivel inferior al crítico a uno
superior: se produce resalto y se calcularán los tirantes conjugados
Tomamos como Y1 al
tirante uniforme antes del
resalto
Y1 := Y01 Y1 = 1.42 m
Y2
Y1
2
1 8 Fr1
2
+ × − 1

103. = ×
Y1
2
1 8
V1
Y1×g

104. 2
+ × − 1
= ×
Y2
Y1
2
1 8
Q
Y1×B

105. 2
×
1
Y1×g
+ × − 1
:= × Y2 = 2.78 m
Al ser Y2Y02, el tirante se forma en el tramo débil y se calcula de la siguiente manera:
Tomamos como Y2 al
tirante uniforme después
Y2 := Y02 Y2 = 2.64 m
del resalto
Y1
Y2
2
1 8 Fr2
2
+ × − 1

106. = ×
Y2
2
1 8
V2
Y2×g

107. 2
+ × − 1
= ×
Y1
Y2
2
1 8
Q
Y2×B

108. 2
×
1
Y2×g
+ × − 1
:= × Y1 = 1.51 m
d) gráfico
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

109. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 28 de 30
Y02=2,64m
yc=2,02m
Y01=1,42m
S02=0,00095
S01=0,006
resalto
D3
Y1=1,51m
Y2=Y02=2,02m
y2 B1=10m B2=20m =2m
y1=5m Planicie de inundación
Canal principal
Hormigón
n=0,013
canal principal
Pasto
n=0,035
área planicie de inundación
perímetro planicie de inundación
perímetro mojado canal principal
línea de profundidad crítica
línea de profundidad normal
e) caudal máximo que escurre por el canal principal y la planicie de inundación
Datos: S0 := 0.00095 ncanal_ppal 0.013m
− 1
3
:= × s nplanicie 0.035m
− 1
3
:= × s
Características
geométricas de la planicie
de inundación: área,
perímetro mojado y radio
hidráulico:
2
Aplanicie := 2m× 20m Aplanicie =
40 m
Pplanicie := 2m + 20m Pplanicie = 22 m
Rhplanicie
Aplanicie
Pplanicie
:= Rhplanicie = 1.82 m
Características
geométricas del canal
principal: área, perímetro
mojado y radio hidráulico:
2
Acanal_ppal := 10m× 7m Acanal_ppal =
70 m
Pcanal_ppal := 10×m + 7m + 5m Pcanal_ppal = 22 m
Rhcanal_ppal
Acanal_ppal
Pcanal_ppal
:= Rhcanal_ppal = 3.18 m
Reemplazando los valores
anteriores en la ecuación
de Manning, resulta:
Qplanicie
1
nplanicie
×Aplanicie Rhplanicie
2
3
× S0
1
2
:= × Qplanicie 52.47
3
m
s
=
Qcanal_ppal
1
ncanal_ppal
×Acanal_ppal Rhcanal_ppal
2
3
× S0
1
2
:= × Qcanal_ppal 359.03
3
m
s
=
Q := Qplanicie + Qcanal_ppal Q 411.51
3
m
s
=
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd

110. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 29 de 30
2F
CANALES
50 puntos
Se desea construir un canal con
sección transversal en forma de
trapecio, del que ya se han definido
las dimensiones indicadas en la
figura, pero no se ha decidido todavía
el valor del tramo horizontal que
forma el fondo del canal.
a) Determine el valor de la longitud b
del fondo del canal para que pueda
evacuar un caudal de 4 m3/s siendo la
profundidad y = 1 m.
b) Altura crítica y tipo de
escurrimiento
c) Con el valor de b calculado en el
punto a), determine el máximo caudal
que puede evacuar el canal sin
desbordarse.
DATOS:
-Coeficiente de Manning: n = 0.022.
-Pendiente: S0 = 0.0024.
1
z
60º y=1m
b
ymáx
1
z
Datos: Q 4
3
m
:= × y := 1m n 0.022m
sec
− 1
3
:= × s S0 := 0.0024
tan60º
1
z
= z
1
:= z = 0.58
tan(60deg)
a) cálculo de la longitud del fondo b
Ecuación de Manning Q
1
n
×A R
2
3
× S0
1
2
= ×
CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow)
Sección
Área
A
Perímetro mojado
P
Radio Hidráulico
R
Ancho Superficial
T
Profundidad
Hidráulica
D
Factor de Sección
Z
1
z
b
y
z
1
Trapecio
(b z .y) .y b 2 .y 1 z
. 2
( b z .y) .y
. 2
b 2 y . 1 z
b 2 z . y .
( b z .y) .y
b 2 z . y .
( ( b z .y) .y)
1.5
b 2 z . y .
Área del canal A = (b + z×y) ×y
Radio hidráulico Rh
(b + z×y) ×y
2
b + 2×y × 1 +
z
=
Reemplazando A y Rh en
la ecuación de Manning,
resulta: Q
1
n
× [ (b + z×y) ×y]
(b + z×y) ×y
2
b + 2×y × 1 +
z
2
3
× S0
1
2
= ×
Como es una ecuación
implícita -no se puede
despejar b directamente-se
busca la raíz.
f (b) −Q
1
n
× [ (b + z×y) ×y]
(b + z×y) ×y
2
b + 2×y × 1 +
z
2
3
× S0
1
2
:= + ×
b := 0.01m b := root ( f (b) , b) b = 1.96 m
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111. Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 30 de 30
b) Profundiad crítica y tipo de escurrimiento
El tirante crítico es el
que hace 1 el número de
Froude
Fr = 1 Fr
Vc
g×Dh
= [1]
Siendo la velocidad y la
profundidad hidráulica: Vc
Q
A
= [2] Dh
A
T
=
Y× (b + z×Y)
b + 2×z×Y
= [3]
Reemplazando [2] y [3] en
[1], resulta:
1
Q
A× g
A
T
×
=
Q× T
A
3
2
× g
=
Es difícil despejar
directamente el valor de
Yc, se buscará la raíz de
la ecuación.
f (Yc) −1
Q× b + 2× z×Yc
[Yc× (b + z×Yc) ]
3
2
× g
:= +
Yc := 0.1m Yc := root ( f (Yc) , Yc) Yc = 0.7 m
Al ser el tirante crítico menor que el uniforme, el escurrimiento es lento
c) Caudal máximo sin desborde
Para un ymax=1,2m se
calculará el caudal
ymax := 1.2m y := ymax
2
Área del canal A := (b + z×y) ×y A =
3.19 m
Radio hidráulico Rh
(b + z×y) ×y
:= Rh = 0.67 m
2
b + 2×y × 1 +
z
Caudal Q
1
n
×A Rh
2
3
× S0
1
2
:= × Q 5.45
3
m
s
=
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