Calculo de condendesadores y armonicas

Centro de Estudios de Energía Módulo 4 Factor depotencia y armónicas
Dr. Armando Llamas Terrés
A4-410 Tel 83582000 Ext 5420
email: allamas@campus.mty.itesm-mx
Ing. Javier Rodríguez Bailey
A4-423D Tel 83 58 20 00 Ext 5512
email: jrodrigu@campus.mty.itesm.mx
Modulo IV. Factor de potencia y armónicas

Objetivo: Capacitar al profesionista para que: comprenda
el significado del factor de potencia en ausencia y con
presencia de armónicas, entienda que se mide para
determinar factor de potencia y los efectos nocivos que
pueden tener las armónicas y su efecto al tratar de corregir
factor de potencia.
¿Desea disminuir el pago de energía eléctrica, mejorando el
factor de potencia?
¿Desea aprovechar mejor su equipo eléctrico, aumentando la
eficiencia y capacidad al reducir el contenido de armónicas?
Objetivo

1.- Definiciones fundamentales de potencia: potencia
instantánea, potencia promedio, potencia reactiva y potencia
aparente en ausencia de armónicas.
2.- Modificación de los conceptos anteriores al incluir la
influencia de armónicas: factor de desplazamiento, factor de
distorsión y distorsión total de armónicas.
3.-Corrección de factor de potencia con condensadores:
como modifican el factor de potencia, que parte del factor de
potencia mejoran, resonancia paralelo y filtros.
Demostración del efecto de resonancia paralelo al agregar
condensadores para corregir factor de potencia.
Contenido

4.-Convertidores estáticos: como cambia el factor de
potencia en convertidores estáticos y que armónicas se
producen.
5.-Convertidores estáticos con factor de potencia mejorada:
técnicas para mejorar el factor de potencia, técnicas que
mejoran el factor de potencia y el contenido de armónicas.
6.- Medición: como se mide el factor de potencia y como se
determina el contenido de armónicas. Demostración de
medición de armónicas y el factor distorsión de armónicas.
Contenido - 2

Para iniciar se repasaran los conceptos básicos de potencia y
factor de potencia, incluyendo entre otros los siguientes
conceptos:
-potencia promedio (también denominada potencia real o
potencia activa),
-potencia reactiva (también llamada potencia imaginaria)
- potencia aparente
-relación existente entre ellas incluyendo factor de potencia.
Para este propósito se considerara el caso de tener una fuente
senoidal v(t) conectada a una carga lineal por donde circulara
una corriente senoidal i(t).
Factor de potencia en ausencia de armónicas o
factor de potencia tradicional.

Usando identidades trigonométricas se obtiene:
[ ]( ) I ( ) (2 )Θ Θ+Φ−Φ= + +Cp os wtt V Cos
I ( )Θ − Φ=promedioP V CosDonde
Y el otro término es un coseno del doble de la frecuencia de la fuente.
Potencia instantánea
i(tv(t )) = 2 = 2 IVCos (wt + ) Cos(wt +Ø)Θ
=v(t) = 2 V Cosi(t) 2 I C(wt osp ((t wt) + )) +ØΘ

La ecuación anterior también se
puede expresar de la siguiente forma:
[ ]( ) 1 (2 2
I (
I ( ) )
) (2 2 )
= + + Θ +
Θ− Φ
Φ
+ Θ
Θ−p t Cos wt
Sen wt
V s
V Se
o
n
C
Donde al término que multiplica a 1 +Cos (2wt+2Θ) es el valor
promedio y lo conocemos como potencia activa. Al término que
multiplica a Sen(2wt+2Θ) lo conocemos como potencia reactiva.
( ( )) y Q V IP V I C S eno s= Θ − = Θ − ΦΦ
Potencias promedio y reactiva

Se puede usar una notación simplificada para P y Q,
juntándolos y formando un número complejo.
( )( )P V I CosjQ I SenjVθ φ θ φ+−= −+
Usando la ecuación de Euler ejβ= Cos β +j Sen β tambien se
puede expresar como:
( ) *j jj
Ij I e eP eV VQ φθ φ θ− −
= + = = = V IS
Donde S es la potencia compleja, P es la potencia promedio,
activa o real y Q es la potencia reactiva o imaginaria.V es el
fasor voltaje e I* es el fasor corriente conjugado.
Potencia compleja

36031527022518013590450
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
VOLTAJE
CORRIENTE
POTENCIA
CERO
CASO DE CARGA RESISTIVA
CORRIENTE EN FASE CON VOLTAJE
ANGULO
V(t)= 1.0 Cos(wt)
I(t) = 0.8 Cos (wt)
P(t) = 0.8 Cos(wt) Cos (wt)
= 0.4 (1+ Cos (2 wt))
Potencia promedio = 0.4
Potencia reactiva = 0
Carga resistiva

36031527022518013590450
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
VOLTAJE
CORRIENTE
POTENCIA
CERO
CASO DE CARGA INDUCTIVA
CORRIENTE ATRASADA 90 GRADOS
ANGULO
V(t)= 1.0 Cos(wt)
I(t) = 0.8 Sen (wt)
P(t) = 0.8 Cos(wt) Sen(wt)
= 0.4 Sen(2 wt)
Potencia promedio = 0
Potencia reactiva = 0.4
Carga inductiva

36031527022518013590450
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
VOLTAJE
CORRIENTE
POTENCIA
CERO
CASO DE CARGA CAPACITIVA
CORRIENTE ADELANTADA 90 GRADOS
ANGULO
V(t)= 1.0 Cos(wt)
I(t) = - 0.8 Sen (wt)
P(t)= - 0.8 Cos(wt) Sen(wt)
= - 0.4 Sen(2 wt)
Potencia promedio = 0
Potencia reactiva = -0.4
Carga capacitiva

CARGA INDUCTIVA
P
Q
V
I
S
QCARGA CAPACITIVA
P
V
I
S
Q
P
V
I S
CARGA RESISTIVA
P
QCARGA ARBITRARIA
V
I
S
Θ− Ø
Θ
Ø
Diagramas fasoriales

La potencia Q es positiva y el ángulo de S es
positivo para cargas inductivas o sea cuando la
corriente esta atrasada con respecto al voltaje o
el factor de potencia es atrasado (-).
La potencia Q es negativa y el ángulo de S es
negativo cuando la corriente esta adelante del
voltaje o el factor de potencia es adelantado (+).
Potencia reactiva

Q es una medida de potencia transmitida
inútilmente por largas distancias.
Q es una medida del grado al cual un sistema de
potencia no se aprovecha adecuadamente.
Q es una medida de la capacidad del equipo que se
requiere para obtener corriente en fase con el
voltaje o sea factor de potencia unitario.
Significado de Q

Q es necesaria para la producción de campos
magnéticos requeridos para la operación de muchos
equipos como transformadores, motores de
inducción, válvulas solenoides, relevadores etc..
En estos casos Q es positiva.
Q es necesaria para la producción de campos
eléctricos para tener voltaje como en las líneas de
transmisión. En este caso Q es negativa
Necesidad de Q

1.- Suministrar la potencia reactiva localmente
con condensadores o motores sincrónicos.
2.-Controlando la potencia reactiva requerida por
controladores estáticos.
3.- Desconectando motores y transformadores sin
carga.
Técnicas para mejorar el factor de
potencia
IEEE Std 141, Red Book

1.- Conectando condensadores en concordancia con el motor,
usando el arrancador del motor.
2.-Conectando condensadores usando contactores, termomagnéticos
o interruptores al vació.
3.- Usando tiristores para conectar un reactor en paralelo con
condensadores. (Static var compensation o SVC).
4.- Usar tiristores para conectar condensadores que se conecten y
desconecten con corriente cero.
Cuatro métodos de controlar
potencia reactiva usando
condensadores

1.- Disminuir penalización aplicada al consumo de energía.
2.- Liberar capacidad de alimentadores y transformadores.
3.- Disminuir pérdidas en alimentadores
4.- Disminuir la caída de voltaje en alimentadores.
Motivación para corregir factor de potencia:

Beeman, Industrial Power System
Handbook, McGraw-Hill, 1955
Reducción en corriente de línea

Recargo por factor de potencia menor a 0.9:
% de Recargo= 3/5 x ( (90/FP) -1) x 100
Ejemplo: FP= 30% %de Recargo= 120%
Bonificación por factor de potencia mayor a 0.9:
% de Bonificación = 1/4 x (1 -(90/FP)) x 100
Ejemplo: FP=100% % de Bonificación= 2.5%
Penalización aplicada al consumo de energía.

Otra forma de interpretar la reducción en la corriente al
corregir el factor de potencia, es ver que esto permite que
los alimentadores y transformadores puedan aumentar su
corriente para alimentar otras cargas.
Por ejemplo: si originalmente la capacidad de conducción
de corriente era de 100A y se estaba usando esta
capacidad para alimentar una carga con factor de potencia
0.8. Al corregir el factor de potencia a 1.0 la corriente se
reduce a 80A lo que libera 20A de capacidad de
conducción para alimentar otras cargas.
Recuperar capacidad de alimentadores y
transformadores.

Iw
Ivar I
I = Iw + Ivar
|Ι|2 = |Iw|2+ |Ivar|2
Pérdidas del alimentador = r |Ι|2 = r |Iw|2+ r |Ivar|2
Perdidas del alimentador al eliminar Ivar = r |Iw|2
Si el factor de potencia original era =0.8(-) y se corrige a 1.0
|Iw| = 0.8 |Ι| .y |Ivar| = 0.6 |Ι|.
Pérdidas originales = r |Ι|2
Pérdidas al quitar Ivar = r |Iw|2 = 0.64 r |Ι|2
Las pérdidas se reducen en 0.36 r |Ι|2 o sea 36%
Reducción de pérdidas en alimentador

La caída de voltaje en alimentadores depende de la
impedancia del alimentador y de la corriente que circula por
el mismo.
A bajos voltajes el efecto resistivo es importante.
A altos voltajes predomina el efecto inductivo.
∆V= Z I = (r + j x) (Iw +Ivar)
donde:
Iw es la parte de la corriente que suministra potencia promedio
Ivar es la parte de la corriente correspondiente a la potencia
reactiva.
Caída de voltaje en alimentadores

Centro de Estudios de Energía Módulo 4 Factor depotencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey
Iw
Ivar
∆V
Vs
VL
En este caso la corriente Iw provoca una
caída en fase con el voltaje de la fuente, y
la corriente Ivar no altera
significativamente la magnitud del voltaje
en la carga, solo altera su ángulo de fase.
r Iw
r Ivar
Caso de alimentador con efecto resistivo

Iw
∆V
En este caso lo corriente Ivar produce la caída
que se resta en fase con el voltaje de la fuente y
la corriente Iw no modifica en forma
predominante la magnitud de voltaje de la carga,
solo cambia el defasamiento.
Ivar
VL
Vs
∆V
jx Ivar
jx Iw
Caso de alimentador puramente inductivo

Si se elimina Ivar mediante el uso de condensadores,la
magnitud del voltaje en la carga no se modificaría
apreciablemente.
VL
Vs
∆V
Caso de alimentador puramente inductivo
usando condensadores

Pexistente
Qexistente
Sexistente
Qdeseada
Sdeseada
Qc
ΘΘΘΘf ΘοΘοΘοΘο
oSexistPexiste entente Cos= Θ
fSdeseaQdeseado doSen= Θ
oPexistQexiste entente Tan= Θ
fSdesPexis eadoCtente os= Θ
oSexistQexiste entente Sen= Θ
fPexistenQdeseado teTan= Θ
cQexistQdeseado ente Q= − c Qexistent QdeseQ eado= −
2
2 2
2
c
c
V
V w C V f C
X
Q π= = =
( )c o fQ TanPexistente Tan= Θ − Θ
Tamaño de condensadores

Hoja de cálculo CFE-1

Hoja de cálculo CFE-2

Hoja Excel
Demanda máxima: La mayor de las demandas del período de facturación (Dp, Di, Db)
h
kWh
Dprom =
22
kVArhkWh
kWh
fp
+
=
Dm
Dprom
fc =
Período de
facturación
Horas del
período
Consumo
Demanda
máxima
Dm
Factor de
potencia
Demanda
media
Factor de
carga
Potencia
reactiva
promedio
Potencia
reactiva
máxima
Mes/Año h kWh kW fp Dprom fc Qprom Qmax
Dic-00 744 23000 142 0.8556 31 0.2177 19 86
Ene-01 744 22000 140 0.8954 30 0.2112 15 70
Feb-01 672 21000 136 0.8944 31 0.2298 16 68
Mar-01 744 24000 141 0.8944 32 0.2288 16 71
Abr-01 720 23000 140 0.834 32 0.2282 21 93
May-01 743 27000 126 0.8023 36 0.2884 27 94
Jun-01 720 27000 142 0.9138 38 0.2641 17 63
Jul-01 744 26000 134 0.8779 35 0.2608 19 73
Ago-01 744 32000 170 0.8599 43 0.2530 26 101
Sep-01 721 29000 177 0.8561 40 0.2272 24 107
Oct-01 744 35000 155 0.8923 47 0.3035 24 78
Nov-01 720 33000 135 0.8944 46 0.3395 23 68
Dic-01 744 30000 172 0.8575 40 0.2344 24 103
Promedios 147 0.871743 37 0.2519 21 83
Máximos 177 47 107
1
1
2
−





=
fp
DpromQprom 1
1
max
2
−





=
fp
DmQ

Triángulos de potencia y selección del banco de
capacitores
177 kW
107 kVAr
Fp = 0.8556
Máximo de demandas
147 kW
83 kVAr
Fp = 0.8708
Promedio de demandas
37 kW
21 kVAr
Fp = 0.8697
Promedio de demanda
media
Al instalar 40 kVar:
177 kW
67 kVAr
Fp = 0.9352
Máximo de demandas
147 kW
43 kVAr
Fp = 0.9598
Promedio de demandas
37 kW
19 kVAr
Fp = 0.8896
Promedio de demanda
media
Fp = 1.00

Recargo o bonificación
0.0%
2.5%
5.0%
7.5%
10.0%
12.5%
15.0%
17.5%
20.0%
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
fp
%
%rec
%bon






−= 1
9.0
5
3
Re%
fp
c 





−=
fp
Bon
9.0
1
4
1
%

Recuperación de inversión
Fp o = 0.85 atrasado
Rec = 3.5%
Fp n = 0.97 atrasado
Bon = 1.8%
Ahorro = 5.3 %
Facturación promedio sin iva y sin recargo =
$18,000.00
Ahorro mensual = $ 954.00
Inversión inicial = $ 22896.00
Retorno simple = 24 meses

La localización de condensadores requiere tomar en cuenta
factores económicos. Los costos por KVAR de
condensadores de medio voltaje son significativamente
menores que los de bajo voltaje, pero esta ventaja es
contrarrestada por los costos de los medios de conexión.
Los costos de comprar, instalar, proteger y controlar un solo
banco de condensadores y la habilidad de aislarlos de fuentes
de armónicas puede inclinar la decisión hacia instalar un solo
banco.
Localización de condensadores

M M
M
115KV
13.8KV
440V
4.16KV
Cargas de
distribución
Fuente de suministro
C1
C2
C3
C4
C5
Opciones de localización de condensadores

Localización de condensadores
junto al motor
C1
M MM
C2
C3
cuchillacuchilla cuchilla
fusiblefusiblefusible
contactorcontactorcontactor
relevador de
sobrecarga
relevador de
sobrecarga
relevador de
sobrecarga
MOTORMOTORMOTOR
ALIMENTACION

1.- Se usan arrancadores de estado sólido.
2.- Se arrancan los motores usando transición de circuito abierto.
3.- El motor se sujeta a conexiones y desconexiones repetitivas
(jogging, inching, or plugging).
4.- Se usan motores de múltiples velocidades.
5.- Se opera el motor en forma reversible.
6.- El motor mueve una inercia muy grande.
No se deben conectar los condensadores
directamente al motor cuando:

1.- La existencia de corrientes con armónicas.
2.- Sobre-voltajes debido a autoexcitación.
3.- Corrientes de energización excesivas y
pares transitorios debido a conexión con
defasamiento de voltajes.
4.- Conexión de condensadores espalda con
espalda.
Limitaciones en la conexión de
condensadores junto con el motor

En sistemas de distribución con varios motores conectados a
un barraje, se recomienda usar un banco de condensadores
conectado al barraje en lugar de conectar los condensadores
con los motores, para minimizar las posibles combinaciones
de condensadores e inductancia y simplificar la aplicación de
filtros.
La aplicación de condensadores a un barraje con corrientes
armónicas requiere un análisis del sistema de potencia para
evitar posibles resonancias paralelo entre los condensadores
y las inductancias de transformadores y de otros circuitos.
Existencia de corrientes armónicas

Centro de Estudios de Energía Módulo 4 Factor depotencia y armónicas IEEE Standard 141-1993 p 417
Autoexcitación de motores al desconectarlos

Los motores pueden sufrir daños si se re-conectan
mientras todavía existe voltaje inducido en el motor.
Este daño se puede prevenir si la re-conexión ocurre
después que el voltaje residual ha bajado lo suficiente
(menos del 25% del original).
El tiempo requerido para que el voltaje de un motor baje
cuando se desconecta, se alarga significativamente
cuando los condensadores están conectados en paralelo
con el motor.
Corrientes de energización excesivas debido a
conexión con defasamiento de voltajes

Tabla 8.6. Multiplicadores de nominal de capacitores para obtener capacidad*de dispositivo de desconexión
Tipo de dispositivo de
desconexión
Multiplicador
Corriente equivalente por kVAr
Interruptor de potencia
tipo magnético
Int.en caja moldeada
Magnético
Otros
Contactores, encerrados+
Interruptor de seguridad
Interruptor de seguridad
fusible
* El dispositivo de desconexión debe tener un nominal de corriente continua que sea igual o que exceda a la
corriente asociada con los kVAr del capacitor por el multiplicador indicado. Los nominales de
interruptores encerrados son a 40°C de temperatura ambiente.
+ Si los fabricantes dan valores nominales específicos para capacitores, estos son los que hay que cumplir
Multiplicadores para dispositivos de
desconexión de capacitores

Capacidad interruptiva del interruptor
Capacidad interruptiva interruptor o fusible debe ser mayor que la
posible corriente máxima de corto circuito.
Si no se conocen los kVASC-1 se pueden suponer infinitos
CFEkVASC-1
kVAt
Zt
kVASC-2
kVASC-1 son proporcionados por la compañía
suministradora
kVAt
Zt
kVA
kVA
SC
SC
+
=
−
−
1
2
1
1
LL
SC
SC
V
kVA
I
×
×
= −
3
10002

Ejemplo de selección del interruptor
Multiplicador: 1.35
Corriente nominal del capacitor:
Corriente nominal del interruptor en caja moldeada:
Se podría escoger uno de 125 A
Potencia de corto circuito en secundario:
Máxima corriente de corto circuito:
Se requiere un interruptor con capacidad interruptiva superior a 18 kA en 480 V
Zsc = 1000 / 14286 = 7 %
A
V
kVAr
I
LL
CAPNOM 2.84
4803
70000
3
1000
, =
×
=
×
×
=
AI ITMNOM 7.1132.8435.1, =×=
Considere un transformador de 1000 kVA, 480 V, con 6% de impedancia, un
banco de capacitores de 70 kVAr y 100 MVA de corto circuito en el primario
14286
1000
06.0
10100
1
1
32 =



+
×
=
−
−SCkVA
AISC ,17183
4803
1014286 3
=





×
×
=

Elevación de voltaje
SC
T
T
r
SC
r
C
SC
VA
VA
VA
VA
VA
VA
V
VV
V ×==
−
=∆
∆V: Elevación de voltaje en pu,
Vc: Voltaje en terminales del capacitor con éste
conectado al sistema,
Vs: Voltaje del sistema antes de conectar el banco,
VAr: Potencia reactiva del banco al voltaje nominal
del sistema,
VAsc: Potencia de corto circuito, en el lugar en que se
instala el banco de capacitores,
VAt: Potencia nominal del transformador.
CFE
kVASC-1
kVAt
Zt
kVASC-2
+
-
Vs
+
Vc
-
Xsc = XSC-1 + Xt
Xsc en pu, tomando como base los
nominales del transformador, es igual al
cociente de la capacidad del transformador
en VA entre los VA de corto circuito en el
secundario. Xsc = VAt / VAsc.

curvas de ∆∆∆∆V
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200
VAt/VAsc
VAr/Vat
DV = 0.5%
DV = 1%
DV = 1.5%
DV = 2%
DV = 2.5%
DV = 3%
∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
Curvas de elevación
SC
T
T
r
SC
r
C
SC
VA
VA
VA
VA
VA
VA
V
VV
V ×==
−
=∆
• Ejemplo: 2% de caída al desconectar el banco, curva azul claro, 8% de impedancia de corto
circuito El banco debe ser 0.25 kVAt.
• En un sistema industrial un banco de capacitores difícilmente elevará el voltaje más de un 3%, lo
cual se puede remediar con un cambio de TAP.

Cuando en una red eléctrica se conectan cargas no lineales
los conceptos anteriores se tienen que modificar para
contemplar la existencia de corrientes con armónicas. Entre
otras se pueden mencionar las siguientes cargas no lineales:
a) Convertidores electrónicos.
b) Hornos de arco eléctrico usados en fundición de acero.
c) Circuitos magnéticos de máquinas y transformadores.
Factor de potencia en presencia de armónicas

• Saturación de transformadores
• Corrientes de energización de transformadores
• Conexiones al neutro de transformadores
• Fuerzas magnetomotrices en máquinas rotatorias de corriente alterna
• Hornos de arco eléctrico
• Lámparas fluorescentes
• Fuentes reguladas por conmutación
• Cargadores de baterías
• Compensadores estáticos de VAr’s
• Variadores de frecuencia para motores (“drives”)
• Convertidores de estado sólido
Fuentes de Armónicas

es esencialmente la misma:
)
.
)
.
(
(
VA en volt
P en watts
amp s
f p
ere−
=
Pero la forma de calcular cada uno de estos valores
cambia en la presencia de armónicas
La definición básica de factor de potencia

fp =
Potencia Promedio
Potencia Aparente
=
P, (W)
V I, (VA)
[ ] [ ]
fp =
P
S
=
1
T
v(t) i(t) dt
1
T
v(t) dt
1
T
i(t) dt
0
T
0
T
0
T
⋅ ⋅
⋅ × ⋅
∫
∫ ∫
2 2
libro esmeralda página 31
Factor de Potencia Total o Verdadero

1,2 ,3 ...
i i i
i
P V I C o s θ
∞
=
= ∑
Donde Vi es el voltaje RMS de la armónica i
Ii es la corriente RMS de la armónica i
θι es el defasamiento entre la armónica i de voltaje y
la armónica i de corriente
Si solamente existen armónicas de corriente y el voltaje solo
tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de P
se simplifica a:
1 1 1P V I C o s θ=
Potencia promedio con distorsión en voltaje y
corriente

2
1, 2 ,3
2
1,2 ,3
( ) ( )
s
s is i
i i
s IV
V Vdon
V
de Iy
A
I
∞
==
∞
= =
=
∑ ∑
tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de
VA se simplifica a:
1 sVA V I=
Potencia aparente con distorsión en voltaje y
corriente

1,2
2
1,2,3
,3...
2
1,2,3
( )(
.
)
.
i
i i
i
i
i
i
iV
V I Cos
f
I
p
θ
∞
= =
∞
=
∞
=
∑
∑ ∑
El factor de potencia cuando existen armónicas de
voltaje y corriente

tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de
f.p. se simplifica a:
11 1 1
1
1
. .
ssV
IV
f p
I Cos
o
I I
C s
θ
θ= =
El termino Cos θ1 es similar al que se tenia con cargas lineales y se
le llama factor de desplazamiento, pero ahora tenemos otro termino
que es la relación entre el valor RMS de la componente fundamental
y el valor RMS total de la corriente, al cual se le llama factor de
distorsión.
Distorsión armónica sólo en corriente

• es la componente de desplazamiento del factor
de potencia
• es la relación de la potencia activa de la onda
fundamental, (W), a la potencia aparente de la
onda fundamental, (VA)
fpdisp v1 i1= cos( )θ θ−
fp
V I
V I
disp
v1 i1
= 1 1
1 1
⋅ ⋅ −
⋅
cos( )θ θ
libro esmeralda página 31
Factor de Potencia de Desplazamiento

fp =
Potencia Promedio
Potencia Aparente
=
P, (W)
V I, (VA)
fp fpdist= fpdisp ×
fp =
P
VI
dist
v1 i1
=
⋅ −
fp
fpdisp cos( )θ θ
Factor de Potencia de Distorsión

THD
I
I
dist
= =
valor rms de la distorsión
valor rms de la fundamental 1
∑=






=





++





+





+





+





=
max
2
2
1
2
1
max
2
1
5
2
1
4
2
1
3
2
1
2
h
h
hh
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
THD L
THD
I I I I I
I
h
=
+ + + + +2
2
3
2
4
2
5
2 2
1
L max
Distorsión Armónica Total

Indica la capacidad de un transformador para alimenta cargas no
senoidales sin sobrecalentarse
Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu del valor
efectivo de la corriente total
K I hh
h
h h
= ⋅
=
=
∑ 2 2
1
max
Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental,
el factor K se puede calcular mediante la siguiente expresión
K
I
I
I hh
h
h h
=





 ⋅ ⋅
=
=
∑1
2
2 2
1
max
Factor K

fp
P
VI
=
VI
VI
=
I
I
dist
v i1
1 v i1
v i1
1
=
⋅ −
⋅ −
⋅ −
=
⋅ +cos( )
cos( )
cos( )θ θ
θ θ
θ θ
I
I THDi
1
1
2
1
fp
THD
dist
i
=
1
1 2
+
Qdisp = VI1 v i1⋅ −sin( )θ θ
D S P Qdisp= − −
2 2 2
fp de distorsión
potencia reactiva
de desplazamiento
potencia de distorsión
Con voltaje senoidal

S P Q Ddisp
2 2 2 2
= + +
D
Sfund
Stotal
P
Qdisp
Idist
Ip
Iq
V
VOLTAJE SENOIDAL
Potencia de distorsión

S P Q Ddisp
2 2 2 2
= + +
D
Sfund
S
P=
Qdisp = 0
D
Sfund
S
P
Qdisp
Sin desplazamiento Con desplazamiento
Carga con Distorsión

• Aumento en las pérdidas I2R por efecto piel, Rac > Rdc por
el aumento de la corriente en la periferia del conductor
(a) Corriente directa (b) Corriente alterna de alta frecuencia
Densidad mínima
Densidad máxima
• Ejemplo de la variación del efecto piel en conductores
Tamaño del Resistencia AC / Resistencia DC
conductor 60 Hz 300 Hz
300 MCM 1.01 1.21
450 MCM 1.02 1.35
600 MCM 1.03 1.50
750 MCM 1.04 1.60
Efecto de las armónicas en Cables y
Conductores

• Aumento en sus pérdidas:
1. Pérdidas I2R (efecto Joule)
2. Pérdidas por corrientes de eddy
3. Pérdidas adicionales
Ih = corriente de la armónica h, en amperes
IR = corriente nominal, en amperes
Pe, R = pérdidas de eddy a corriente y frecuencia nominal
P he =





∑P
I
I
e, R
h
Rh = 1
h = h max 2
2
P hex =





∑P
I
I
ex, R
h
Rh = 1
h = h max 2
Pe, R = pérdidas adicionales a corriente y frecuencia nominal
Efecto de las armónicas en
Transformadores -1

• En conexiones delta-estrella que alimenten cargas no
lineales monofásicas se puede tener:
a. Sobrecalentamiento del neutro por la circulación de armónicas
“triplen”
b. Sobrecalentamiento del devanado conectado en delta
• En caso de que alimenten cargas no lineales que
presenten componente de corriente directa es posible:
a. Aumento ligero en las pérdidas de núcleo o sin carga
b. Aumento en el nivel de sonido audible
c. Incremento sustancial en la corriente de magnetización
• Para los transformadores que alimenten a cargas no
lineales se recomienda:
a. Disminuir su capacidad nominal
b. Utilizar transformadores con factor K
Efecto de las armónicas en
Transformadores - 2

• Diferencias entre transformadores convencionales y
transformadores con factor K:
a. El tamaño del conductor primario se incrementa para soportar las
corrientes armónicas “triplen” circulantes. Por la misma razón se dobla el
conductor neutro.
b. Se diseña el núcleo magnético con una menor densidad de flujo
normal, utilizando acero de mayor grado, y
c. Utilizando conductores secundarios aislados de menor calibre,
devanados en paralelo y transpuestos para reducir el calentamiento por el
efecto piel.
• Transformadores con factor K disponibles comercialmente
K- 4
K- 9
K- 13
K- 20
K- 30
K- 40
Transformadores con factor K

• Calentamiento excesivo por el aumento en todas sus
pérdidas
a. Pérdidas I2R en el estator: por el aumento de la corriente de
magnetización y por el efecto piel
b. Pérdidas I2R en el rotor: por el aumento en la resistencia
efectiva del rotor por el efecto piel
c. Pérdidas de núcleo: aumentan relativamente poco debido al
aumento en las densidades de flujo pico alcanzadas
d. Pérdidas adicionales: aumentan, pero son extremadamente
complejas de cuantificar y varían con cada máquina
• Dependiendo del voltaje aplicado puede haber una reducción
en el par promedio de la máquina
• Se producen torques pulsantes por la interacción de las
corrientes del rotor con los campos magnéticos en el
entrehierro
• Menor eficiencia y reducción de la vida de la máquina
Efecto de las armónicas en los motores

• Barras de neutros
Calentamiento por la circulación de corrientes de secuencia
cero (armónicas “triplen”)
• Interruptores
Los fusibles e interruptores termomagnéticos protegen en
forma efectiva contra sobrecargas por corrientes armónicas.
Su capacidad interruptiva no se ve afectada por armónicas
• Bancos de capacitores
Se pueden tener problemas de resonancia serie o paralelo al
instalar bancos de capacitores en presencia de armónicas, lo
que ocasiona la operación de dispositivos de protección y el
daño o envejecimiento prematuro de los bancos
• Equipos electrónicos sensitivos
Las armónicas pueden afectar la operación en estos equipos
• Valores erróneos en los equipos de medición
Efecto de las armónicas en otros equipos

Ejemplos de convertidores de C. A. a
C. D. con generación de armónicas y
factor de potencia variable al cambiar
el voltaje promedio de salida.
Convertidores de C. A. A C. D.

Se analizara el convertidor
completo monofásico de la
figura con una carga formada
por una resistencia (R), una
inductancia muy grande (L) y
una fuente de directa (E). Esto
podría representar la armadura
de un motor de C. D.
Debido a la inductancia grande la corriente por la carga
será continua y constante. Los tiristores al dispararse con
un atraso de ángulo α controlaran el voltaje promedio
aplicado a la carga.
Convertidor completo monofásico

α
( )
2
2
m m
dc rms
V V
V Cos Vα
π
= =
. . 0.9003f p Cosα= s
n 1,3...
4Ia
i Sen(nw nt )
n
∞
=
=
π
− α∑
α
Ondas de convertidor completo

Convertidor completo monofásico
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 15 30 45 60 75 90Alfa
VCDnormalizado F.P.
Vcd y f. p. y en convertidor completo

Para el convertidor monofásico se
tendrán los siguientes valores:
Fdist = =.9003
Fdesp = Cos α
F. P. = 0.9003 Cos αααα
I1 = 90.03% I7=12.86%
I3= 30.01% I9=10.0%
I5= 18% THD= 48.34%
Armónicas de convertidor completo

En el semiconvertidor mostrado
en la figura la carga será una
resistencia (R), una inductancia
muy grande (L) y una fuente de
directa (E), que podría
representar la armadura de un
motor de C. D.
Por ser un semiconvertidor el voltaje en la carga no puede ser
negativo, y debido a la inductancia grande la corriente por la carga
será continua y constante. El voltaje promedio aplicado a la carga
se controla con el atraso α en la señal de disparo a los tiristores.
Semiconvertidor monofásico

( )
0.5 (2 )
1
2
m m
dc rms
V V Sen
V Cos V
π α α
α
π π
− +
= + =
( )2 1
. .
( )
Cos
f p
α
π π α
+
=
− 1,3..
4 ( )
( )
2 2
a
s
n
I n
i Sen Sen nwt
n
n
π α
π
α∞
=
= −
−
∑
αα
Ondas de semiconvertidor monofásico

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 30 60 90 120 150 180
Alfa
Vcdnormalizado F.P.
Vcd y f. p. de semiconvertidor
monofásico

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 30 60 90 120 150 180
Alfa
F.P. Fdesp Fdist
Fdist, fdesp y f. P. de semiconvertidor
monofásico

Armónicas en semiconvertidor monofásico
0
0.5
1
1.5
0 30 60 90 120 150 180
Alfa
1 3 5 7 9 Is THD
Armónicas en semiconvertidor
monofásico

Para poder mejorar el factor de
potencia se usara un
semiconvertidor con tiristores con
capacidad para encenderse y
apagarse (se puede usar GTO) y se
necesita agregar un diodo (DM)
para permitir que la corriente de la
carga pueda seguir circulando
cuando se apaguen los tiristores.
Para mejorar el factor de potencia se tienen varias opciones que
se describirán a continuación manteniendo la posibilidad de
control del voltaje promedio aplicado a la carga
Como mejorar el factor de potencia
en convertidores de C. A. a C. D

Para mejorar el factor de potencia existen las
siguientes opciones:
a) Control del ángulo de extinción
b) Control de ángulo simétrico
c) Modulación de ancho de pulso uniforme
d) Modulación de ancho de pulso senoidal
Opciones para mejorar f. P. en
convertidores.

( )
s
n 1,3...
n4Ia
i Sen Sen(n
2
wt
n 2
n
)
∞
=
π−β
=
π
β
+∑( )2 1
. .
( )
Cos
f p
β
π π β
+
=
−
( )
0.5 (2 )
1
2
m m
dc rms
V V Sen
V Cos V
π β β
β
π π
− +
= + =
β β
Ondas de control de ángulo de extinción

nwtSen
2
n
Sen
n
I4
i
..3,1n
a
s
β
∑
π
=
∞
=2
Sen
22
.p.f
β
πβ
=
π
β+β
=
β
π
=
Sen
2
V
V
2
Sen
V2
V m
rms
m
dc
ββ
Ondas de control de ángulo simétrico

Control de ángulo simétrico
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 30 60 90 120 150 180
Beta
VCDnormalizado Fdesp Fdist=F.P.
Vcd y f.p de control de ángulo simétrico

Control de ángulo simétrico
0
0.5
1
1.5
0 30 60 90 120 150 180
Beta
1 3 5 7 9 Is THD
Armónicas de control de ángulo
simétrico

[ ]
1,2,...
( )
p
m
m m mdc
m
V
Cos CosV α α
π =
= − + ∂∑
1,2,...
1 1 1
(2 ) (2 2 )
2 2 2
p
m m m m mrms
m
V Sen SenV α α
π =
 
= ∂ + − + ∂  
∑
( ) ( )
1,3,... 1,2
2
( )
p
a
s n n m m m
n m
I
i C Sen nwt donde C Cos n Cos n n
n
α α
π
∞
= =
= = − + ∂  ∑ ∑
Ondas de modulación de ancho de
pulso uniforme

Modulación de pulsos uniforme
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Indice de modulación
FDESP FDIST=FP VDCnormalizado
Vcd y f.p. de modulación de ancho de
pulso uniforme.

Armónicas de modulación de ancho de
pulso uniforme.
Modulación de ancho de pulso uniforme
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 3 5 7 9 IS THD

Comparación de THD
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
THD
THD THDhasta9
THD de modulación de ancho de
pulso uniforme

[ ]
1,2,...
( )
p
m
m m mdc
m
V
Cos CosV α α
π =
= − + ∂∑
1,2,...
1 1 1
(2 ) (2 2 )
2 2 2
p
m m m m mrms
m
V Sen SenV α α
π =
 
= ∂ + − + ∂  
∑
( ) ( )
1,3,... 1,2
2
( )
p
a
s n n m m m
n m
I
i C Sen nwt donde C Cos n Cos n n
n
α α
π
∞
= =
= = − + ∂  ∑ ∑
Ondas de modulación de ancho de
pulso senoidal.

Modulación de ancho de pulso senoidal
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fdesp Fdisp=FP Vdctotal
Vcd y f. P. de modulación de ancho de
pulso senoidal

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 3 5 7 9 Is THD
Armónicas de modulación de
ancho de pulso senoidal.

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
THD THDhasta9
THD de modulación de ancho de
pulso senoidal.

Capacitores y resonancia paralelo
Σ
h = 1, 5, 7, ..
jXsc
-jXc
IhV
NL
Circuito original
jXsc . h
-jXc / h
IhΣ
h = 5, 7, ..
Circuito de armónicas de 60 Hz
jXsc
V
-jXc
I1
NL
Circuito de 60 Hz

jXsc h
-jXc / h
Ih; h = 1/
Z(h)
h
XSC
CX
=h
C
1
=
⋅SC
R
L
ω
( )( )
h =
1
120 120
r
π π⋅ ⋅Lsc C
h =
Xc
=
MVAsc
r
Xsc MVAr
En resonancia:
Circuito de armónicas de 60 Hz

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140
VAt/VAsc
VAr/VAt
hr = 15
hr = 13
hr = 11
hr = 9
hr = 7
hr = 5
Curvas de hr












==
VAsc
VAt
VAt
VArVAr
VAsc
hR
1

Respuesta a la frecuencia con capacitor
jXsc h
-jXc / h
Ih; h = 1/
Z(h)
( )












⋅⋅
Xsc
Xc
-h
1
Xchj=)(
2
hZ
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14
h
Z(h)
R
SC
VA
VA
h =
Xsc
Xc
=R
hR

Corriente y voltaje en capacitores, carga no lineal
-50
-25
0
25
50
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Tiempo (seg)
Corriente(A)
-400
-200
0
200
400
Voltaje(V)
Corriente Voltaje
-90
-45
0
45
90
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Tie m po (s eg)
Corriente(A)
-400
-200
0
200
400
Voltaje(V)
corriente voltaje

A
B
I
j Xsc ⋅ h
j
Xc
h
h
f
2
⋅
−j
Xc
h
A
B
Σ
h = 1, 5, 7, ..
Ih
V
NL
Filtros en Sistemas de Potencia

Respuesta a la frecuencia al instalar un filtro
j Xsc ⋅ h
j
Xc
h
h
f
2
⋅
−j
Xc
h
Z(h)
A
B
Z(h
h
) = j
h Xsc Xc
Xsc h + Xc
- h
h -
1
Xsc
Xc
+
1
h
f
f
2
2
f
2
⋅ ⋅
⋅







 ⋅


















2
2
h =
1
MVAr
MVA
+
1
h
h = h
ar
sc f
2
0 f
0
0.04
0.08
0.12
0 2 4 6 8
armónica
impedancia(ohms)
hf
har

Resonancia en un filtro
Corriente Voltaje
-100
-50
0
50
100
0 90 180 270
Grados Eléctricos
Corriente(Amp)
-200
-100
0
100
200
Voltaje(Volts)
-400
-200
0
200
400
0 90 180 270
GradosEléctricos
Corriente(Amp)
-200
-100
0
100
200
Voltaje(Volts)
Bien sintonizado, hf < 5 Mal sintonizado, hf > 5

Resonancia
CFE
Transformador
Capacitor
Rectificador
ABB
Dimmer

Medición de voltaje, corriente
y armónicas

Medición de voltaje,
corriente y armónicas
∼
FLUKE
Señal de
corriente
Señal de
voltaje

FIN

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