Este documento presenta un resumen de las técnicas de derivación, incluyendo definiciones de conceptos como derivada, derivada implícita y reglas básicas de derivación. Explica cómo calcular derivadas usando fórmulas como la derivada de funciones constantes, identidad, potencias y sumas. También cubre reglas como la de producto, cociente y cadena. Finalmente, incluye una tabla de derivadas comunes y ejercicios resueltos como ejemplos.

1. Técnicas de
derivación:
derivada de una
función mediante
fórmulas
Parte #1
12fth Grade

3. sección
01
Concepto de derivada
SECCIÓN
02
Derivadas Implicitas
e Inmediatas
SECCIÓN
03
Reglas de Derivación
sección
04
Tabla de Derivadas y
Ejercicios resueltos
tabla de contenido

4. Concepto de
dErivada
Recordatorio de lo anteriormente visto
01

5. Función derivada
La función derivada de una función
f(x) es otra función, a la que
llamaremos f’(x). f(x) puede ser
derivable en todo su dominio o no.
La función derivada de f(x) será f’(x),
la cual relacionará cada número real
x0 del dominio con el valor de la
derivada de f(x) en x0, es decir, con
cada valor de f’(x0).
La función se representa por la
expresión:

6. Derivadas
implicita e
inmediatas
Reglas de Derivación
02

7. Derivada implicita
La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función,
después de despejar la variable y, que es la que se considera variable
dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.
Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada.
Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.
No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner
la función en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque
las dos variables estén dentro del argumento, tal como:

8. Derivada implicita
Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en
forma explícita, aunque se pueden derivar sin necesidad de ser transformadas:
Al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras
que a y se le considera una función.
Derivadas inmediatas
Las derivadas inmediatas son las derivadas de las llamadas funciones elementales.
Son las derivadas de diversos tipos de funciones, como la derivada de la función
identidad, la derivada de la función potencia, la derivada de la función exponencial,
la derivada de la función logarítmica, o la derivada de las funciones trigonométricas,
etc.

9. Reglas de
Derivación
Reglas de Derivación
03

10. Reglas básicas de la derivación
1.Para una constante ''a'':
·Si f(x)=a, su derivada es f '(x)=0
Ejemplo:
→ Si f(x)=16, su derivada es f '(x)=0
2. Para la función identidad f(x)= x.
·Si f(x)= x, su derivada es f '(x)= 1.
Ejemplo:
→Si f(x)= x, su derivada es f '(x) =1
3.Para una constante ''a'' por una variable
''x'':
·Si f(x)=ax, su derivada es f '(x)=a
Ejemplo:
→Si f(x)= 7x, su derivada es f '(x)= 7

11. Reglas básicas de la derivación
4.Para una variable ''x'' elevada a una
potencia ''n'':
·Si f(x)=xⁿ, su derivada es f '(x)= nxⁿˉ¹
Ejemplo:
→Si f(x)= x², su derivada es f '(x)= 2x
5.Para una constante ''a'' por una variable
''x' elevada a una potencia ''n''
·Si f(x)= axⁿ su derivada es f '(x)= anxⁿ̄ˉ¹
Ejemplo:
→Si f(x) = 4x², su derivada es f '(x)= 8x
6. Para una suma de funciones:
·Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es
f '(x) = u'(x) + v'(x)
Ejemplo:
→Si f(x)= 3x²+4x, su derivada es
f '(x) = 6x+4

12. Reglas básicas de la derivación
7.La regla de producto.
·Esta regla es útil cuando se tiene una
función formada de la multiplicación de
polinomios, como por ejemplo:
f(x)=(2x³+3)(3x³-5); la regla de producto es:
Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:
La función: f(x) = uv
Su derivada: f '(x) = u'v +uv'
Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x)= (2x³+3)(3x³-5)?
→Solución:
f(x)= (2x³+3)(3x³-5)
f(x)= (6x²)(3x³-5) + (2x³+3)(12x³)
Si es fácil simplificar la expresión, entonces
debe simplificarse.

13. Reglas básicas de la derivación
8. La regla de cociente.
·Esta regla es útil cuando se tiene una
función formada de la división de
polinomios, como por ejemplo:
f (x)= 2x³+3/3x²-5; la regla de cociente es:
Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:
La función: f(x)= u/v
Su derivada: f '(x)= u'v- uv'/v²
Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x) = 2x³+3/3x²-5?
→Solución:
f(x) = 2x³+3/3x²-5
f '(x)= (6x²)(3x²-5)-(2x³+3)(12x³)/(3x²-5)²
Si es fácil simplificar la expresión, entonces
debe simplificarse.

14. Reglas básicas de la derivación
9. La regla de cadena.
·Esta regla es útil cuando se tiene una
función formada por un polinomio elevado
a una potencia como por ejemplo:
f(x) = (2x³+3)³;
La regla de cadena es:
Si ''u'' es el polinomio:
La función: f(x)= uⁿ̄
Su derivada: f '(x) = n(u)ⁿˉ¹(u')̄
Veamos un ejemplo:¿Cuál es la derivada
de f(x) = (2x³+3)³?
→Solución:
f(x)=(2x³+3)³
f '(x)=3(2x³+3)²(6x²)
f '(x)=18x²(2x³+3)²

15. Tabla de
Derivadas y
ejercicios
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04

16. Tabla de derivadas

17. Tabla de derivadas

18. Ejercicios
resueltos

19. Ejercicios resueltos P#1
Calcula las derivadas de las funciones
Solución:
1.- f(x) = 5; debemos aplicar la primera formula de la tabla de derivadas:
f(x) = a entonces f’(a) = 0
Para este caso; a = 5:
f(x) = 5 entonces f’(5) = 0
Por concepto o primera regla de derivación: La derivada de una función constante, es
igual cero; donde a = constante
1.- f(x) = 5

20. Ejercicios resueltos p#2
Calcular las derivadas de las funciones
Solución:
2.- f(x) = -2x; debemos aplicar la segunda formula de la tabla de derivadas.
f(x) = x entonces f’(x) = 1
Junto a la segunda regla de derivación (una constante “a” por una variable “”x”):
Para este caso: a = -2
f(x) = -2x entonces; f’(-2x) = -2(f’(x) = -2(1) = -2
2.- f(x) = -2x
3.- f(x) = -2x + 2
Solución:
3.- f(x) = -2x + 2; debemos aplicar la segunda formula de la tabla de derivadas.
f(x) = x entonces f’(x) = 1
Junto a la tercera y primera regla de derivación (una constante “a” por una variable “”x” y la
derivada de una constante): Para este caso: a = -2 y b = 2; donde a y b son constantes
f(x) = -2x entonces; f’(-2x + 2) = -2(f’(x)) + f’(2) = -2(1) - 0 = -2

21. Ejercicios resueltos p#3
Calcula las derivadas de las funciones
Solución:
4.- f(x) = −2𝑥2 − 5; debemos aplicar la cuarta formula de la tabla de derivadas
f(x) = 𝑥𝑛 entonces f’(x) = n𝑥(𝑛−1)
Además aplicamos las siguientes reglas a la vez:
Regla #5: una constante “a” por una variable “x elevada a una potencia “n” y la derivada de una
constante “b”
Para este caso: a = -2; b = -5 y n = 2
f(x) = −2𝑥2 − 5 entonces f’(−2𝑥2 − 5) = -2(f’(𝑥2)) – f’(5)
f’(x) = -2(2(𝑥(2−1)
)) − 0
f’(x) = -4x
4.- 𝑓 𝑥 = −2𝑥2
− 5

22. Ejercicios resueltos p#4
Calcula las derivadas de las funciones
5.- f(x) = 2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 4
Solución:
5.- f(x) = 2𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
+ 4; debemos aplicar la cuarta formula de la tabla de derivadas
f(x) = 𝑥𝑛
entonces f’(x) = n𝑥(𝑛−1)
Además aplicamos las siguientes reglas a la vez:
Regla #5: una constante “a” por una variable “x elevada a una potencia “n” y la derivada de una
constante “b”
Para este caso: a = 2; b = 4 y 𝑛1 = 4; 𝑛2= 3; 𝑛3= 2 donde las distintas n son los exponentes de
la variable “x”
f(x) = 2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 4; entonces f’(2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 4) = 2(f’(𝑥4)) + f’(𝑥3) - f’(𝑥2) + f’(4)
f’(x) = 2(4(𝑥(4−1)))+ (3(𝑥(3−1)) − (2(𝑥(2−1))+ 0
f’(x) = 8𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥

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