Este documento introduce conceptos sobre el cálculo de integrales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular integrales dobles y triples, las cuales son útiles para calcular áreas, volúmenes, cargas eléctricas y flujos de campos vectoriales. También cubre temas como derivadas parciales, derivación implícita, y el uso de multiplicadores de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.
Maquinaria Agricola utilizada en la produccion de Piña.pdf
Derivación e integración de varias variables
1. Profesor:
Pedro Beltran
Derivadas e Integración de
Funciones de Varias Variables
Republica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
"Santiago Mariño“
Sede Barcelona
Bachiller:
Francis Marcano
C.I.: 28.394.914
2. Integración de funciones reales de dos o más variables. Estas integrales
suelen llamarse integrales múltiples. Aunque, por su mayor interés
práctico, nos vamos a limitar a funciones de dos y de tres variables, los
resultados que expondremos se generalizan con facilidad para
funciones reales de cualquier número de variables. Como ya es usual en
estas notas, eludiremos los aspectos más teóricos para centrarnos en
las técnicas de cálculo de integrales dobles y triples. Vamos a ver que el
cálculo de dichas integrales se reduce al cálculo de dos o tres integrales
simples lo que suele hacerse calculando las correspondientes
primitivas. Por tanto, si no sabes calcular primitivas no podrás calcular
integrales dobles y triples. El área de una superficie en R3 o el flujo de
un campo vectorial a través de la misma, vienen dados por medio de
integrales dobles; la masa de un sólido en R3 o la carga eléctrica que
encierra el mismo vienen dados por integrales triples. Los resultados
principales del Análisis Vectorial, esto es, los teoremas de Green, de
Gauss y de Stokes, se formulan por medio de integrales dobles y triples.
Dichos resultados son herramientas básicas en la teoría de campos
electromagnéticos y en la mecánica de fluidos.
Introducción
3. Derivadas parciales
Suponga que tenemos una función f en dos variable x y y. Si dejamos una variable fija,
por ejemplo la x, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera
que tenemos una función de una sola variable dada por g( y) = f (a, y) . Podemos
entonces considerar derivar g con respecto a su variable, el resultado es la derivada
parcial de f con respecto a la variable y en (a, y) . En este caso la notación empleada
está dada bien por f y (a, y). A continuación establecemos la definición formal de
derivadas parciales para funciones en dos variables:
4. CÁLCULO DE DERIVADA PARCIALES
Para calcular derivadas parciales nos valemos de las reglas existentes para una sola
variable. Si por ejemplo queremos calcular
Ә𝑓
Ә𝑥
consideramos a y como una constante y
derivamos con respecto la x. Si queremos calcular
Ә𝑓
Ә𝑦
se deriva con respecto a y
manteniendo a x como una constante.
Ejemplo 1.- Calcule
Ә𝑓
Ә𝑥
y
Ә𝑓
Ә𝑦
para f (x, y) = 3x2 - 4xy + 5 y3
Solución: Primero calculamos
Ә𝑓
Ә𝑥
. Derivamos como una suma, recuerde que y se
comporta como una constante.
Ә𝑓
Ә𝑥
=
Ә
Ә𝑥
(3x2 ) -
Ә
Ә𝑥
(4xy) +
Ә
Ә𝑥
(5 y3 )
En el segundo factor sacamos 4y de factor constante. El término (5 y3) se comporta como
una constante, su derivada es 0
5. Ә𝑓
Ә𝑥
= 3
Ә
Ә𝑥
(x2 ) – 4y
Ә
Ә𝑥
(x) + 0
Ә𝑓
Ә𝑥
= 6x – 4y*1 = 6x – 4y
Ahora calculamos
Ә𝑓
Ә𝑦
. Derivamos como una suma, recuerde que y se comporta como
una constante.
Ә𝑓
Ә𝑦
=
Ә
Ә𝑦
(3x2 ) -
Ә
Ә𝑦
(4xy) +
Ә
Ә𝑦
(5 y3 )
En el segundo factor sacamos 4x de factor constante. El término (3x 2 ) se comporta como una
constante, su derivada es 0
Ә𝑓
Ә𝑦
= 0 – 4x
Ә
Ә𝑦
(y) + 5
Ә
Ә𝑦
(y3 )
Ә𝑓
Ә𝑦
= – 4x + 15y2
Otro tipo de notación para la derivada es Dx f que indica la parcial de f con
respecto a x.
6. Ejemplo 2.- Calcule f x (x, y) y f y (x, y) para f (x, y) =
(x 2 + 3xy + y 2 )
(x 2 + y 2 )
Solución:
Derivamos como un cociente
𝑓𝑥 (x, y) =
(2x + 3y )∗(x 2 + y 2 )
1
2 −(x 2 + 3xy + y 2 )∗2x(x 2 + y 2 )
−
1
2
(x 2 +y 2 )
Se simplifica el 2 en el segundo término y luego se saca Factor común (x 2 + y 2 )
1
2 en el
numerador.
= (x 2 + y 2 )−
1
2
(2x + 3y )∗(x 2 + y 2 ) −x(x 2 + 3xy + y 2 )
(x 2 +y 2 )
Se realiza la multiplicación en el primer término y se distribuye la x en el segundo término
𝑓𝑥 (x, y) = (x 2 + y 2 )−
1
2
(2 𝑥3+2xy2+3x 2y +3y3) −( 𝑥3 + 3x2y + y 2 x)
(x 2 +y 2 )
Sumamos términos semejantes. Pasamos al denominador el factor con exponente
cambiado de signo y sumamos los exponentes porque tienen igual base. Finalmente
obtenemos
7. 𝑓𝑥 (x, y) =
(x3+xy2+3y3)
(x 2 + 𝑦2)
3
2
Como la función es simétrica en x y y, para obtener la parcial de y intercambiamos x por y
en esta última. Esto es
𝑓𝑦 (x, y) =
(3x3+xy2+y3)
(x 2 + 𝑦2)
3
2
Las derivadas parciales de funciones de dos variables también son funciones de estas
variables. Ellas pueden ser evaluadas. A continuación introducimos las distintas
notaciones para las derivadas parciales evaluadas en el punto (a, b) .
8. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Suponga tenemos la función z = f (x, y) , esta función tiene como
representación gráfica una superficie en R3 . Cuando fijamos y = y0
entonces z = f (x, y0 ) es función de x y está representada
geométricamente por la curva que se obtiene de intersectar el plano y =
y0 con las superficie z = f (x, y) . En esta curva z = f (x, y0 ) se puede
calcular la recta tangente en cualquier punto (x0 , y0 , z0 ) que
satisfaga z0 = f (x0 , y0 ) . La pendiente está dada por la derivada de la
función z = f (x, y0 ) con respecto a su variable x evaluada en x = x0 .
Ésta es la derivada de la función f en la dirección x que no es otra cosa
que la derivada parcial de f con respecto a x, véase la figura de la
izquierda. La figura de la derecha ayuda a interpretar la derivada parcial
de f con respecto a y de manera análoga a como se expuso con la
derivada con respecto a x.
9.
10. Derivación de orden superior
Si f es una función en las variables x y y entonces, en general, las derivadas
parciales son funciones también de x y y , y por tanto se puede calcular su
derivada tanto para x como para y. Estas derivadas se llaman segundas
derivadas parciales de f y son cuatro en total. Abajo presentamos las
notaciones y su significado
11. Ejemplo 1.- Encuentre las derivadas de segundo orden de
f (x, y) = x 2 y 4 + e3x .
Solución: Calculamos primero las derivadas de primer orden
fx (x, y) = 2xy4 + 3e3x
f y (x, y) = 4x2 y3
Procedemos ahora a calcular las derivadas de segundo orden:
fxx(x, y) = (2xy4 + 3e3x )x = 2 y4 + 9e3x
fxy(x, y) = (2xy4 + 3e3x )y= 8xy3
f yy(x, y) = (4x2 y3 )y= 12x2 y2
f yx (x, y) = (4x2 y3 )x= 8xy3
Comentario: En el ejemplo anterior resultó fxy (x, y) = f yx (x, y) . En la mayoría de los
casos que presentaremos en este texto resultará esta igualdad. Pero no siempre es así.
Existe un Teorema, fuera del alcance de estas notas, que garantiza que si las segundas
derivadas parciales son continuas entonces la igualdad se cumple.
Las notaciones para evaluar derivadas parciales de segundo orden son similares al caso
de derivadas de primer orden.
12. Derivación implícita
Suponga que z es función de las variables x y y, dada implícitamente a través de una
ecuación, por ejemplo F (x, y, z) = 0 , y se quiere determinar la derivada de z con
respectos a alguna de las dos variables. Muchas veces resulta imposible despejar z en
función de las otras dos variables. El método de derivación implícita no requiere el
despeje de z para calcular las derivadas parciales de z con respecto a x ó y.
Para encontrar la derivada, por ejemplo
Ә𝑧
Ә𝑦
, podemos derivar con respecto a y ambos
lados de la ecuación que define a z como función de x y y. Luego se despeja
Ә𝑧
Ә𝑦
.
Recuerde que
Ә𝑥
Ә𝑦
= 0 , pues se considera que x no depende de y.
13. Máximos y mínimos en varias variables
El desarrollo de la teoría de máximos y mínimos en funciones de varias
variables es una extensión del caso de funciones de una sola variable.
Definición de extremo relativo.- Una función f en dos variables tiene un
máximo relativo (local) en (x0 , y0 ) si f (x0 , y0 ) ³ f (x, y) para todo (x, y) en
una región rectangular que contenga a (x0 , y0 ) . Similarmente la función
tiene un mínimo relativo en (x0 , y0 ) si f (x0 , y0 ) £ f (x, y) para todo (x, y)
en una región rectangular que contenga a (x0 , y0 ) .
Los máximos relativos corresponden a los picos o cimas de las montañas y los
mínimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos, alguna de las dos
derivadas parciales no existe y en los hoyos o cimas de la montaña las dos
derivadas parciales son cero.
14.
15. En todo este desarrollo supondremos que f es una función con derivadas parciales
continuas.
En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función que tiene un máximo absoluto
en (x0 , y0 ) . Observe como las pendientes de las rectas tangentes en la dirección de
ambos ejes son ceros, estas son las derivadas parciales con respecto a x y a y.
16. Multiplicadores de Lagrange
En problemas de la vida real se busca maximizar o minimizar funciones de dos o más
variables sujetas a una condición o restricción de las variables.
El problema matemático en dos variables y con una sola restricción se plantea como
Optimizar f (x, y) sujeta a g(x, y) = 0 .
(Debemos entender que optimizar puede ser maximizar o minimizar dependiendo de la
situación o interés que se tenga).
La función f (x, y) es conocida como la función objetivo y la ecuación g(x, y) = 0 como la
ecuación de restricción.
El problema de encontrar las dimensiones de la caja con menor superficie y con volumen
igual a 250 cc. se considera un problema de minimización sujeto a restricción. La
restricción en este caso es que el volumen debe ser igual a 250cc. y se traduce en la
ecuación xyz = 250 .
Este problema pudo ser resuelto despejando una de las variables de esta ecuación y
sustituyéndola en la función a minimizar. El problema se reduce entonces a minimizar una
función de dos variables.
17. En ocasiones esta técnica puede resultar engorrosa o simplemente resulta imposible
despejar alguna de las variables para sustituirla en la función a optimizar.
Existe un método alternativo conocido como los Multiplicadores de Lagrange, en honor
a este Matemático francés, donde no se tiene que despejar una de las variables de la
ecuación de restricción.
El método de los Multiplicadores de Lagrange introduce una nueva variable l , llamada
multiplicador de Lagrange y se basa en la función definida por
F (x, y, l) = f (x, y) - lg(x, y)
El método asegura que
(x0 , y0 , l0 ) es un punto crítico de F si y sólo si (x0 , y0 ) es un punto
crítico de f que cumple la restricción
g(x, y) = 0 .
A continuación formulamos los pasos del método de los multiplicadores de Lagrange.
22. y se llama la integral de Riemann de f en A.
Las integrales que acabamos de definir para campos escalares de tres variables se
llaman integrales triples.
Naturalmente, las definiciones que acabamos de dar no son útiles para calcular integrales.
Lo que debes recordar es que podemos obtener un valor aproximado de una integral
doble o triple por medio de sumas de Riemann, y cuanto más pequeñas sean las
longitudes de todos los intervalos de las particiones mejor será la aproximación obtenida.
23. Conclusión
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación
ocorrespondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado
porprimera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designaruna
potencia xn dela variable x.En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz
utilizó el términopara referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
Hastarecientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por
elmatemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió:"Una
variable es un símbolo que representa un número dentro de unconjunto de ello.Dos
variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a Xentonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente unvalor a Y, se dice que
Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la quese asignan libremente valores,
se llama variable independiente, mientras quela variable Y, cuyos valores dependen
de la X, se llama variablesdependientes. Los valores permitidos de X constituyen el
dominio dedefinición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido“
Tras el aprendizaje de cada una de las funciones, se puede concluir en queson muy
importantes, de mucho valor y utilidad para la solución deproblemas de la vida diaria,
así como, problemas de finanzas, de economía,de estadística, de ingeniería, de
química y física, y de cualquier área socialdonde haya que relacionar variables.
25. Bibliografía
Matrmaticas en movimiento
Calculode varias variables , McCullan , Aditorial Mc Graw Hill , New Jersey , 1992 .
http://www.math.iupui.edu/contour1.html
http://www.math.iupui.edu/contour2.html
http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html
